2024-2025學(xué)年福建省廈門市、泉州市五校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省廈門市、泉州市五校高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=ax3?x2+x，且A.?1 B.0 C.1 D.22.二項(xiàng)式(x2+1A.245 B.524 C.2753.如圖，一套俄羅斯套娃由8個(gè)大小各不相同套娃組成，將這8個(gè)套娃放置在一個(gè)上下兩層的展示架上，上層放置3個(gè)，下層放置5個(gè)，且要求每層的套娃左邊都比右邊的大，則不同的放置方法共有(

)A.C83種

B.A83種

C.A84.函數(shù)f(x)=xln(2x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A.(0,12e) B.(0,12e5.已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi=1)=pi，P(ξi=0)=1?pA.E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) B.E(6.甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知甲、乙、丙的槍中分別裝有1、3、3發(fā)子彈.每次隨機(jī)選一人射擊，直到所有子彈射完為止.則不同的射擊順序有(

)A.140種 B.160種 C.180種 D.200種7.已知函數(shù)f(x)=ex|x?a|?x有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.(?∞,0) B.(0,+∞) C.(?∞,e) D.(e,+∞)8.已知函數(shù)f(x)=(x+1)ex?x2與g(x)=(x?2)2?m(m∈R)A.[1,+∞) B.[1e,+∞) C.[?二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知二項(xiàng)式(x?1y)10A.展開式中x7y?3的系數(shù)為45 B.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)

C.展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1 D.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第510.某生物制藥企業(yè)使用兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種疫苗.第1條生產(chǎn)線的疫苗效價(jià)不達(dá)標(biāo)的概率為6%，第2條生產(chǎn)線的疫苗效價(jià)不達(dá)標(biāo)的概率為5%，生產(chǎn)后的疫苗混放在一起.已知第1、2條生產(chǎn)線生產(chǎn)的疫苗數(shù)分別占總數(shù)的40%，60%.記“任取一份疫苗是由第i條生產(chǎn)線生產(chǎn)(i=1,2)”為事件Ai，“任取一份疫苗效價(jià)不達(dá)標(biāo)”為事件B，則(

)A.P(B)=0.054 B.P(A2B)=0.03 C.P(B|11.某數(shù)學(xué)研究小組在研究函數(shù)f(x)=2x2+1A.當(dāng)x>0時(shí)，|f(?x)|<f(x)恒成立

B.過原點(diǎn)且與曲線y=f(x)相切的直線有且僅有2條

C.若g(x)=f(x)?a(a∈R)有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且x1<x2<x3，則x三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.銀行卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自動(dòng)取款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字.如果記得密碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)，則連續(xù)3次都沒按對(duì)的概率為______．13.現(xiàn)有甲、乙等6人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，則不同的安排方案有______種.(用數(shù)字作答)14.已知對(duì)任意x∈(0,+∞)，不等式2(x+1x)lnx≤k?(ekx四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

設(shè)函數(shù)f(x)=x3+52x2?2x+1．

(I)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；

(Ⅱ16.(本小題15分)

某同學(xué)參加投籃比賽.比賽規(guī)則如下：先后在兩個(gè)不同位置投籃.其中第一次投籃投進(jìn)得1分，投不進(jìn)得0分，第二次投籃投進(jìn)得2分，投不進(jìn)得?1分，兩次投籃的總得分不低于0分就能獲獎(jiǎng).已知這位同學(xué)在第一個(gè)位置投籃投進(jìn)的概率是23，在第二個(gè)位置投籃投進(jìn)的概率為12，每次投籃是否投進(jìn)相互之間沒有影響．

(I)求至少投進(jìn)一個(gè)球的概率；

(Ⅱ)求這位同學(xué)兩次投籃的總得分X的分布列、期望及方差；

(Ⅲ)求這位同學(xué)能獲獎(jiǎng)的概率．17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=xlnx?kx，x∈(0,e]．

(I)若x=1為f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；

(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)k，使得f(x)的最小值為?e？若存在，求出k18.(本小題17分)

在量子通信中，通過發(fā)送和接收光子實(shí)現(xiàn)信息的傳遞.光子可制備為“0”和“1”兩種偏振態(tài).發(fā)送器和接收器獨(dú)立選擇測(cè)量基，基的匹配規(guī)則如下：①當(dāng)發(fā)送器與接收器的測(cè)量基相同時(shí)，接收器可準(zhǔn)確測(cè)得光子的偏振態(tài)②當(dāng)基不同時(shí)，接收器測(cè)量結(jié)果完全隨機(jī)(即測(cè)得“0”或“1”光子的概率均為0.5).現(xiàn)發(fā)射器使用基A，從兩個(gè)“1”、兩個(gè)“0”光子中隨機(jī)選取兩個(gè)依次發(fā)送.接收器每次隨機(jī)地以A或B基測(cè)量，每次發(fā)送和接收相互獨(dú)立．

(I)求發(fā)射器第一次發(fā)送“0”光子的條件下，第二次發(fā)送“1”光子的概率；

(Ⅱ)求接收器測(cè)量到兩個(gè)“1”光子的概率；

(Ⅲ)已知接收器測(cè)量到兩個(gè)“1”光子，求發(fā)送器正好也是發(fā)送兩個(gè)“1”光子的概率．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex?12x2?ax(a∈R)．

(I)若不等式f(x)≥1在x∈[0,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(Ⅱ)參考答案1.C

2.D

3.A

4.A

5.B

6.A

7.B

8.C

9.BD

10.ABC

11.AD

12.2513.150

14.2e15.解：(Ⅰ)由題意知，f(0)=1，即切點(diǎn)為(0,1)，

由已知f′(x)=3x2+5x?2，

則f′(0)=?2，

曲線f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y?1=?2x，即2x+y?1=0．

(Ⅱ)f′(x)=0，得x=?2或x=13．

在(?∞,?2),(13,+∞)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．

在(?2,13)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

f(x)的極小值點(diǎn)為x=13，f(13)=3516.解：(Ⅰ)設(shè)“至少投進(jìn)一個(gè)球”為事件A，則P(A)=1?13×12=56；

(Ⅱ)這位同學(xué)投籃三次的總得分X的所有可能取值為?1，0，2，3

X?1

0

2

3

P

1

1

1

1E(X)=?1×16+0×13+2×16+3×13=76，

E(X2)=(?1)2×117.解：(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=xlnx?kx，x∈(0,e]，

則f′(x)=lnx+1?k，

因?yàn)閤=1是極值點(diǎn)，所以f′(1)=0，即ln1+1?k=0，解得k=1，

此時(shí)f′(x)=lnx，

在x∈(0,1)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

在x∈(1,e)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

f(x)min=f(1)=?1；

(Ⅱ)f′(x)=lnx+1?k，令f′(x)=0，得lnx=k?1，即x=ek?1，

①若k≥2，則ek?1≥e，

在x∈(0,e]，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，f(x)min=f(e)=e?ke，

令e?ke=?e，解得k=1+e?12<2，矛盾；

②若k<2，0<ek?1<e，f(x)18.解：(Ⅰ)設(shè)事件M=“發(fā)射器第一次發(fā)送‘0’偏振態(tài)的光子”，事件N=“第二次發(fā)送‘1’偏振態(tài)的光子”，

則P(M)=12，P(NM)=12×23=13，

由條件概率公式，P(N|M)=P(MN)P(M)=1312=23；

(Ⅱ)設(shè)事件B=“接收器測(cè)量到兩個(gè)‘1’偏振態(tài)光子”，

事件A00=“發(fā)射器先后發(fā)射了0，0光子”，事件A01=“發(fā)射器先后發(fā)射了0，1光子”，事件A10=“發(fā)射器先后發(fā)射了1，0光子”，

事件A11=“發(fā)射器先后發(fā)射了1，1光子”，事件C=“發(fā)射器使用基A發(fā)送1偏振態(tài)光子時(shí)接收器測(cè)量結(jié)果為1”，

事件D=發(fā)射器使用基A發(fā)送0偏振態(tài)光子時(shí)接收器測(cè)量結(jié)果為0”，

則P(C)=119.解：(Ⅰ)f′(x)=ex?x?a，x∈[0,+∞)，

令u(x)=f′(x)，則u′(x)=ex?1，則u′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，僅在x=0時(shí)取等號(hào)，

所以u(píng)(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，即f′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增．

當(dāng)a≤1時(shí)，f′(x)≥f′(0)=1?a≥0在[0,+∞)上恒成立，

所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(0)=1，符合題意；

當(dāng)a>1時(shí)，f′(0)=1?a<0．

令?(x)=ex?2x，則?′(x)=ex?2，所以?(x)在(?∞,ln2)上單調(diào)遞減，

在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增，所以?(x)≥?(ln2)=