高中數(shù)學(xué)北師大版講義(必修二)第15講2.5從力的做功到向量的數(shù)量積6種常見(jiàn)考法歸類(學(xué)生版+解析)

2.5從力的做功到向量的數(shù)量積6種常見(jiàn)考法歸類課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)通過(guò)物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．(2)通過(guò)幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義．(3)能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角．(4)能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件．1.理解向量數(shù)量積的定義及投影向量；2.掌握向量積的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì).3.學(xué)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，掌握兩點(diǎn)之間的距離公式；4..掌握平面向量的夾角公式；5.能夠用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.6.能夠靈活運(yùn)用向量數(shù)量積解決平面幾何問(wèn)題，主要涉及向量長(zhǎng)度的計(jì)算和向量夾角的計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)01向量的數(shù)量積1.定義已知兩個(gè)非零向量a與b，|a||b|cosθ稱為a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．2.幾何意義b的長(zhǎng)度|b|與a在b方向上的投影數(shù)量|a|cosθ的乘積；或a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上的投影數(shù)量|b|cosθ的乘積．3.性質(zhì)(1)若e是單位向量，則a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉.(2)若a，b是非零向量，則a·b＝0?a⊥b.(3)a·a＝|a|2，即|a|＝a·(4)cos〈a，b〉＝a·bab(|(5)|a·b|≤|a||b|，當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立．4.運(yùn)算律交換律：a·b＝b·a結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c注：關(guān)于向量數(shù)量積應(yīng)注意的問(wèn)題(1)若向量a與b的夾角為θ，θ＝0時(shí)，a與b同向；θ＝π時(shí)，a與b反向；θ＝π2時(shí)，a⊥b(2)求兩向量的夾角，應(yīng)保證兩個(gè)向量有公共起點(diǎn)，若沒(méi)有，需平移．(3)向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，符號(hào)由cosθ的符號(hào)所決定，而向量的加減法和實(shí)數(shù)與向量的積的結(jié)果仍是向量．(4)符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替．【即學(xué)即練1】已知向量，滿足，，且與的夾角為，則向量等于（）A． B．C． D．1【即學(xué)即練2】已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B．8 C．10 D．12【即學(xué)即練3】若非零向量，，滿足，且，則（）A．4 B．3 C．2 D．0【即學(xué)即練4】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，則eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝________，eq\o(BC,\s\up7(―→))·eq\o(CA,\s\up7(―→))＝________，eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝________.【即學(xué)即練5】在中，，點(diǎn)D在上，，，則（）A．8 B．10 C．12 D．16.知識(shí)點(diǎn)02平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 若兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1注：對(duì)于a·b＝|a|·|b|·cosθ和a·b＝x1x2＋y1y2，兩者無(wú)本質(zhì)區(qū)別，計(jì)算時(shí)根據(jù)已知條件選用即可．可用坐標(biāo)運(yùn)算的結(jié)果判斷cosθ的正負(fù)．【即學(xué)即練6】已知，，則=___________.【即學(xué)即練7】設(shè)a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，則(a＋2b)·c＝()A．12B．0C．－3 D．－11【即學(xué)即練8】已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，則a·b＝________.【即學(xué)即練9】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x＝()A．6B．5C．4 D．3知識(shí)點(diǎn)03兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?a·b＝0?x1注：這個(gè)結(jié)論與a∥b?x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以從平行與垂直的定義理解．設(shè)非零向量a，b的起點(diǎn)均為原點(diǎn)O，a的終點(diǎn)為A，b的終點(diǎn)為B，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若a∥b，且x1，x2不為0，則kOA＝kOB，即y1x1＝y(tǒng)2x2，得x2y1－x1y2＝0.垂直則是從數(shù)量積的角度理解，若a⊥b，則cosθ＝0(θ為向量a與b的夾角)，a·b＝0，即x【即學(xué)即練10】已知向量，且，則_______.【即學(xué)即練11】已知向量，，若，則t的值為（）A． B．1 C．2 D．1或2【即學(xué)即練12】設(shè)向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ＝________.知識(shí)點(diǎn)04向量模的坐標(biāo)表示1．向量模的坐標(biāo)表示若a＝(x，y)，則|a|2＝x2+y2，或|a|＝x2在平面直角坐標(biāo)系中，若OA＝a＝(x，y)，則|OA|＝|a|，即|a|為點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離．2．兩點(diǎn)間的距離公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝OB?OA＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝注：如何準(zhǔn)確把握向量的模的坐標(biāo)表示與兩點(diǎn)間的距離公式(1)向量的長(zhǎng)度(或模)是該向量與其自身的數(shù)量積的算術(shù)平方根，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可推出向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式；(2)|AB|即為A，B兩點(diǎn)間的距離，|AB|的計(jì)算公式與解析幾何中兩點(diǎn)間的距離公式是完全一致的；(3)若已知向量的坐標(biāo)或表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，可分別利用上述兩個(gè)公式求向量的模，它們?cè)诒举|(zhì)上是一致的．3．向量a的單位向量的坐標(biāo)表示因?yàn)橄蛄縜的單位向量a0＝±aa若a＝(x，y)，則|a|＝x2+y2，所以a0＝±【即學(xué)即練13】已知a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0)，則|a＋b|＝________.【即學(xué)即練14】設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于()A.eq\r(5)B.eq\r(6)C.eq\r(17) D.eq\r(26)【即學(xué)即練15】已知向量，且，，則（）A．3 B． C． D．知識(shí)點(diǎn)05兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cosθ＝a·bab＝x1【即學(xué)即練16】已知向量，，則與夾角的大小為_(kāi)________.【即學(xué)即練17】已知向量，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．【即學(xué)即練18】設(shè)向量，，則與夾角的余弦值為（）A．0 B． C． D．1【即學(xué)即練19】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角；(3)a與b的夾角為銳角．題型一：向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義例1．（2024高一下·江西上饒·階段練習(xí)）在等腰梯形中，，，則下列各組向量夾角為的是（

）A．與 B．與C．與 D．與變式1．（2024高一下·北京順義·階段練習(xí)）若均為非零向量，則是與共線的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件例2．（2024高一下·河南·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為60°，其中，，則（

）A．6 B．5 C．3 D．2變式1．（2024高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）在中，，，為的中點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．0變式2．（2024高二上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）在中，，M是邊的中點(diǎn)，O為的外心，則（

）A．8 B． C．16 D．17變式3．（2024高三上·北京海淀·階段練習(xí)）在中，，，是外接圓的圓心，在線段上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】向量數(shù)量積的求法(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．題型二：求向量的模例3．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，，若，，與的夾角為，則＝（）A．6 B．C．3 D．變式1．（2024高三下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知向量滿足，則（

）A．3 B． C．7 D．變式2．（2024高三下·四川·期末）已知向量、、滿足，，且，則（

）A． B． C． D．變式3．（2024高三·陜西西安·階段練習(xí)）若向量與的夾角為，，則等于（

）A．2 B．4 C．6 D．12變式4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，滿足，，，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．1 B．3 C．2 D．變式5．（2024高一下·河南焦作·期中）已知，點(diǎn)在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（

）A． B． C．2 D．【方法技巧與總結(jié)】求向量的模的常見(jiàn)思路及方法(1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開(kāi)方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2題型三：向量的夾角與垂直問(wèn)題（一）求向量的夾角例4．（2024高三上·山東煙臺(tái)·期末）已知，則向量與夾角的大小為（

）A． B． C． D．變式1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知非零向量,滿足，且則的夾角為（

）A．45° B．135°C．60° D．120°變式2．（2024高三下·重慶·開(kāi)學(xué)考試）已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．變式3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，滿足，，，則（）A． B．C． D．變式4．（2024·四川巴中·一模）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C． D．（二）已知兩向量的夾角求相關(guān)參數(shù)的值例5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，與的夾角為60°．若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式1．（2024高一下·陜西渭南·期末）已知分別是與軸、軸方向相同的單位向量，，，且的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式2．（2024高一下·北京海淀·期末）已知向量，是兩個(gè)單位向量，則“為銳角”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件（

）C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件變式3．（2024高三上·北京懷柔·階段練習(xí)）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個(gè)滿足條件的的值可以為．變式4．（2024高一下·山東泰安·階段練習(xí)）設(shè)兩個(gè)向量滿足．(1)若，求的夾角；(2)若的夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．變式5．（2024高一下·天津·期末）已知.求：(1)與的夾角；(2)；(3)若與夾角為鈍角，求的取值范圍.（三）向量垂直的問(wèn)題例6．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知且向量與互相垂直，則k的值為（

）A． B．C． D．1變式1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，，且與垂直，則.變式2．（2024高三上·陜西·階段練習(xí)）已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則.變式3．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知是非零向量，當(dāng)?shù)哪Ｈ∽钚≈禃r(shí)，求證：．變式4．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知兩個(gè)單位向量的夾角為60°，，若，則t＝．變式5．（2024高二上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知向量、的夾角為．(1)求·的值(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，證明，和都垂直．【方法技巧與總結(jié)】1、求向量a，b的夾角θ有兩步：第一步，利用公式cosθ＝a·bab求cosθ；第二步，根據(jù)θ∈[0，π]確定θ.而求cosθ有兩種情形，一種是求出a·b，|a|，|b|的值；另一種是得到a·b，|2、向量垂直問(wèn)題的處理思路解決與垂直相關(guān)題目的依據(jù)是a⊥b?a·b＝0，利用數(shù)量積的運(yùn)算律代入，結(jié)合與向量的模、夾角相關(guān)的知識(shí)解題．題型四：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算例7．（2024高一下·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知，則等于（）A．10 B． C．3 D．變式1．（2024高三上·青海西寧·期末）已知向量，，則（

）A． B．1 C． D．2變式2．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）若向量，，，且滿足條件，則（

）A．6 B．5C．4 D．3變式3．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，，則.變式4．（2024高一下·江蘇·階段練習(xí)）已知向量，，且.(1)求的值；(2)求的取值范圍；(3)記函數(shù)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.變式5．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）已知向量，函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．【方法技巧與總結(jié)】向量數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi)，再依據(jù)已知條件計(jì)算．(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握?qǐng)D形的特征，看到題目中的直角條件要敏銳地產(chǎn)生建系的想法，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)求解．題型五：平面向量共線、垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用例8．（2024高一上·浙江紹興·期末）已知向量，，且，則（

）A． B．2 C． D．變式1．（2024高三上·湖南常德·期末）已知向量，，若，則的值為（

）A． B． C． D．變式2．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，向量，向量，若與共線，，則（

）A． B．C． D．變式3．【多選】（2024高一下·云南紅河·開(kāi)學(xué)考試）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）.A． B．C． D．變式4．【多選】（2024高三上·浙江金華·期末）設(shè)平面向量，，（

）A．若，則 B．若，則C．， D．，使【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)向量共線、垂直求參數(shù)的值的基本思路借助兩向量平行和垂直的條件求解某參數(shù)的值，是向量坐標(biāo)運(yùn)算的重要應(yīng)用之一，具體做法就是先借助a∥b?a＝λb(λ∈R，b≠0)?x1y2－x2y1＝0或a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列關(guān)于某參數(shù)的方程(或方程組)，然后解之即可．題型六：平面向量的模與夾角（一）向量的模例9．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，，則.變式1．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知向量，，且，則（）A． B．5C． D．變式2．（2024高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知且，則．變式3．（2024高一下·湖南岳陽(yáng)·期末）設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C．10 D．變式4．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)向量，且，則，.變式5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在四邊形中，，則四邊形的面積為（

）A． B． C．2 D．15（二）向量的夾角例10．（2024高三上·遼寧·期中）已知向量，，，則（

）

A． B． C． D．變式1．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知向量，，則向量，的夾角為（）A． B．C． D．變式2．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知菱形中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，則的余弦值為.變式3．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，，且與夾角的余弦值為，則.變式4．（2024高三下·陜西安康·開(kāi)學(xué)考試）已知向量，，，，則（

）A． B． C． D．變式5．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知，，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．（三）三角形形狀的判斷例11．（2024高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結(jié)論正確的為（

）A．一定為鈍角三角形 B．一定不為直角三角形C．一定為銳角三角形 D．可為任意三角形變式1．（2024高一下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在中，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4變式2．（2024高一下·山西朔州·期末）在中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．“”是“A為直角”的充要條件B．“”是“A為銳角”的充要條件C．“”是“是銳角三角形”的充分不必要條件D．“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件變式3．（2024高三上·山東濟(jì)南·期末）已知非零向量，滿足，且，則為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【方法技巧與總結(jié)】1.求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算利用|a|2＝a2，將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問(wèn)題．(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x22.根據(jù)向量的夾角求參數(shù)：由于兩個(gè)非零向量a，b的夾角θ滿足0≤θ≤π，且cosθ＝a·bab，故當(dāng)θ＝0時(shí)，a·b＝|a|·|b|；當(dāng)0<θ<π2時(shí)，a·b>0且a·bab<1；當(dāng)θ＝π2時(shí)，a·b＝0；當(dāng)π2<θ<π時(shí)，a·b<0且a3.判斷三角形的形狀要兩判一判三角形三邊所在的向量?jī)蓛蓴?shù)量積的大小．二判三角形三邊邊長(zhǎng)的關(guān)系．一、單選題1．（2024高一下·湖南益陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，，則向量在向量方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正三角形的重心，則（

）A．1 B． C．2 D．3．（2024高一下·山東濱州·開(kāi)學(xué)考試）已知，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）平面向量，則（

）A．3 B．5 C．7 D．115．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）若O是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形6．（2024·四川成都·二模）在中，“”是“是鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知平面向量與的夾角為60°，||＝2，||＝4，則|＋4|＝（

）A．10 B．2C．10 D．48．（2024高三下·重慶·階段練習(xí)）已知向量，且，則（

）A． B．2 C． D．二、多選題9．（2024高一上·浙江紹興·期末）下面給出的關(guān)系式中，不正確的是（

）A． B．C． D．10．（2024高一下·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）已知向量，，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C．與向量平行的單位向量?jī)H有 D．向量在向量上的投影向量為11．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的相反向量是B．若，則C．在上的投影向量為D．若，則12．（2024高三下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．與的夾角為C． D．在上的投影向量是三、填空題13．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，，若，則.14．（2024高一下·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）已知向量，滿足，，則．15．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知向量,,若,則．16．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）已知，是單位向量，，．若，則與的夾角為．四、解答題17．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）已知向量.(1)求的值；(2)若，求的值.18．（2024高一下·北京·期中）已知向量和，則,,求：(1)的值；(2)的值；(3)與的夾角θ的余弦值．19．（2024高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知向量，，．(1)求(2)若，求實(shí)數(shù)的值．20．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知.(1)設(shè)的夾角為θ，求cosθ的值；(2)若向量與互相垂直，求k的值.21．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知非零向量，滿足，且.(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，求和向量與的夾角的值．2.5從力的做功到向量的數(shù)量積6種常見(jiàn)考法歸類課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)通過(guò)物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．(2)通過(guò)幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義．(3)能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角．(4)能用坐標(biāo)表示平面向量共線、垂直的條件．1.理解向量數(shù)量積的定義及投影向量；2.掌握向量積的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì).3.學(xué)會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，掌握兩點(diǎn)之間的距離公式；4..掌握平面向量的夾角公式；5.能夠用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.6.能夠靈活運(yùn)用向量數(shù)量積解決平面幾何問(wèn)題，主要涉及向量長(zhǎng)度的計(jì)算和向量夾角的計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)01向量的數(shù)量積1.定義已知兩個(gè)非零向量a與b，|a||b|cosθ稱為a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．2.幾何意義b的長(zhǎng)度|b|與a在b方向上的投影數(shù)量|a|cosθ的乘積；或a的長(zhǎng)度|a|與b在a方向上的投影數(shù)量|b|cosθ的乘積．3.性質(zhì)(1)若e是單位向量，則a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉.(2)若a，b是非零向量，則a·b＝0?a⊥b.(3)a·a＝|a|2，即|a|＝a·(4)cos〈a，b〉＝a·bab(|(5)|a·b|≤|a||b|，當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立．4.運(yùn)算律交換律：a·b＝b·a結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c注：關(guān)于向量數(shù)量積應(yīng)注意的問(wèn)題(1)若向量a與b的夾角為θ，θ＝0時(shí)，a與b同向；θ＝π時(shí)，a與b反向；θ＝π2時(shí)，a⊥b(2)求兩向量的夾角，應(yīng)保證兩個(gè)向量有公共起點(diǎn)，若沒(méi)有，需平移．(3)向量的數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)數(shù)量，符號(hào)由cosθ的符號(hào)所決定，而向量的加減法和實(shí)數(shù)與向量的積的結(jié)果仍是向量．(4)符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替．【即學(xué)即練1】已知向量，滿足，，且與的夾角為，則向量等于（）A． B．C． D．1【解析】由條件可得，故選：D【即學(xué)即練2】已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B．8 C．10 D．12【解析】由題設(shè)，.故選：B.【即學(xué)即練3】若非零向量，，滿足，且，則（）A．4 B．3 C．2 D．0【解析】因?yàn)榉橇阆蛄?，所以存在?shí)數(shù)使得，又因?yàn)?，所以，故選：D．【即學(xué)即練4】在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，則eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝________，eq\o(BC,\s\up7(―→))·eq\o(CA,\s\up7(―→))＝________，eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝________.【解析】由題意，得|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝4，|eq\o(BC,\s\up7(―→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up7(―→))|＝4eq\r(2)，所以eq\o(AB,\s\up7(―→))·eq\o(BC,\s\up7(―→))＝4×4×cos90°＝0，eq\o(BC,\s\up7(―→))·eq\o(CA,\s\up7(―→))＝4×4eq\r(2)×cos135°＝－16，eq\o(CA,\s\up7(―→))·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝4eq\r(2)×4×cos135°＝－16.【即學(xué)即練5】在中，，點(diǎn)D在上，，，則（）A．8 B．10 C．12 D．16.【解析】在中，因?yàn)?，所以，所?故選：C．知識(shí)點(diǎn)02平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 若兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1注：對(duì)于a·b＝|a|·|b|·cosθ和a·b＝x1x2＋y1y2，兩者無(wú)本質(zhì)區(qū)別，計(jì)算時(shí)根據(jù)已知條件選用即可．可用坐標(biāo)運(yùn)算的結(jié)果判斷cosθ的正負(fù)．【即學(xué)即練6】已知，，則=___________.【解析】由題意可知：【即學(xué)即練7】設(shè)a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，則(a＋2b)·c＝()A．12B．0C．－3 D．－11【解析】∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.【即學(xué)即練8】已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，則a·b＝________.【解析】因?yàn)閍＝(－2，－6)，所以|a|＝eq\r(－22＋－62)＝2eq\r(10).又|b|＝eq\r(10)，向量a與b的夾角為60°，所以a·b＝|a||b|cos60°＝2eq\r(10)×eq\r(10)×eq\f(1,2)＝10.答案：10【即學(xué)即練9】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x＝()A．6B．5C．4 D．3【解析】由題意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.知識(shí)點(diǎn)03兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?a·b＝0?x1注：這個(gè)結(jié)論與a∥b?x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以從平行與垂直的定義理解．設(shè)非零向量a，b的起點(diǎn)均為原點(diǎn)O，a的終點(diǎn)為A，b的終點(diǎn)為B，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．若a∥b，且x1，x2不為0，則kOA＝kOB，即y1x1＝y(tǒng)2x2，得x2y1－x1y2＝0.垂直則是從數(shù)量積的角度理解，若a⊥b，則cosθ＝0(θ為向量a與b的夾角)，a·b＝0，即x【即學(xué)即練10】已知向量，且，則_______.【解析】因?yàn)?，且，所以，解?故答案為：【即學(xué)即練11】已知向量，，若，則t的值為（）A． B．1 C．2 D．1或2【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以，因?yàn)椋?，解得：，故選：A.【即學(xué)即練12】設(shè)向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實(shí)數(shù)λ＝________.【解析】(a＋λb)⊥(a－λb)?(a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2＝0?18－2λ2＝0?λ＝±3.答案：±3知識(shí)點(diǎn)04向量模的坐標(biāo)表示1．向量模的坐標(biāo)表示若a＝(x，y)，則|a|2＝x2+y2，或|a|＝x2在平面直角坐標(biāo)系中，若OA＝a＝(x，y)，則|OA|＝|a|，即|a|為點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離．2．兩點(diǎn)間的距離公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝OB?OA＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝注：如何準(zhǔn)確把握向量的模的坐標(biāo)表示與兩點(diǎn)間的距離公式(1)向量的長(zhǎng)度(或模)是該向量與其自身的數(shù)量積的算術(shù)平方根，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可推出向量長(zhǎng)度的坐標(biāo)計(jì)算公式；(2)|AB|即為A，B兩點(diǎn)間的距離，|AB|的計(jì)算公式與解析幾何中兩點(diǎn)間的距離公式是完全一致的；(3)若已知向量的坐標(biāo)或表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，可分別利用上述兩個(gè)公式求向量的模，它們?cè)诒举|(zhì)上是一致的．3．向量a的單位向量的坐標(biāo)表示因?yàn)橄蛄縜的單位向量a0＝±aa若a＝(x，y)，則|a|＝x2+y2，所以a0＝±【即學(xué)即練13】已知a＝(1，eq\r(3))，b＝(－2,0)，則|a＋b|＝________.【解析】因?yàn)閍＋b＝(－1，eq\r(3))，所以|a＋b|＝eq\r(－12＋\r(3)2)＝2.答案：2【即學(xué)即練14】設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|3a＋b|等于()A.eq\r(5)B.eq\r(6)C.eq\r(17) D.eq\r(26)【解析】∵a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，從而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝eq\r(5).【即學(xué)即練15】已知向量，且，，則（）A．3 B． C． D．【解析】向量，由得：，即，由得：，即，于是得，，，所以.故選：B知識(shí)點(diǎn)05兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cosθ＝a·bab＝x1【即學(xué)即練16】已知向量，，則與夾角的大小為_(kāi)________.【解析】設(shè)與夾角為，則由已知得，∵，∴.故答案為：.【即學(xué)即練17】已知向量，，，則與的夾角為（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋O(shè)與的夾角為，，所以，即，解得，故，故選：A.【即學(xué)即練18】設(shè)向量，，則與夾角的余弦值為（）A．0 B． C． D．1【解析】，則.故選：B【即學(xué)即練19】已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使得：(1)a與b的夾角為直角；(2)a與b的夾角為鈍角；(3)a與b的夾角為銳角．【解析】設(shè)a與b的夾角為θ，則a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因?yàn)閍與b的夾角為直角，所以cosθ＝0，所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－eq\f(1,2).(2)因?yàn)閍與b的夾角為鈍角，所以cosθ<0且cosθ≠－1，所以a·b<0且a與b不反向．由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－eq\f(1,2)，由a與b共線得λ＝2，故a與b不可能反向．所以λ的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).(3)因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以cosθ>0，且cosθ≠1，所以a·b>0且a，b不同向．由a·b>0，得λ>－eq\f(1,2)，由a與b同向得λ＝2.所以λ的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．題型一：向量數(shù)量積的計(jì)算及其幾何意義例1．（2024高一下·江西上饒·階段練習(xí)）在等腰梯形中，，，則下列各組向量夾角為的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【分析】根據(jù)向量夾角的概念結(jié)合等腰梯形的幾何性質(zhì)，即可判斷出答案.【詳解】由題意可得與的夾角為，A錯(cuò)誤；如圖，作，交與于E，則，故與的夾角，B正確；由于，故與的夾角等于與的夾角，即為，C錯(cuò)誤；與的夾角為，D錯(cuò)誤；故選：B變式1．（2024高一下·北京順義·階段練習(xí)）若均為非零向量，則是與共線的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】由，可得，而與共線意味著或，由此即可得解.【詳解】一方面：由，可得，此時(shí)與共線;另一方面：由與共線，可得或，此時(shí)有或，即此時(shí)不一定成立.結(jié)合以上兩方面有是與共線的充分不必要條件.故選：A.例2．（2024高一下·河南·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為60°，其中，，則（

）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】.故選：C變式1．（2024高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）在中，，，為的中點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】設(shè)，由，根據(jù)三角形的面積公式，求得，得，進(jìn)而得到答案.【詳解】如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，設(shè)，可得，解得，所以，所以，所以.故選：D.

變式2．（2024高二上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）在中，，M是邊的中點(diǎn)，O為的外心，則（

）A．8 B． C．16 D．17【答案】B【分析】根據(jù)題意可將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化到向量上去，再代入數(shù)據(jù)即可計(jì)算得出結(jié)論.【詳解】由題意，取的中點(diǎn)為，連接，如下圖所示：

易知，；可得，又，同理；所以故選：B變式3．（2024高三上·北京海淀·階段練習(xí)）在中，，，是外接圓的圓心，在線段上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，根據(jù)外心的性質(zhì)可得，，結(jié)合三點(diǎn)共線設(shè)，進(jìn)而運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，則，可得，同理可得，因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，則，所以的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.對(duì)于外心的數(shù)量積問(wèn)題，常借助于外心的性質(zhì)結(jié)合中點(diǎn)分析求解；2.對(duì)于三點(diǎn)共線常結(jié)合結(jié)論：若三點(diǎn)共線，則，且，分析求解.【方法技巧與總結(jié)】向量數(shù)量積的求法(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．題型二：求向量的模例3．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，，若，，與的夾角為，則＝（）A．6 B．C．3 D．【答案】A【分析】由數(shù)量積公式結(jié)合得出答案.【詳解】∵向量，，與的夾角為，∴，∴.故選：A.變式1．（2024高三下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知向量滿足，則（

）A．3 B． C．7 D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量模的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】∵向量滿足，，，，.故選：B變式2．（2024高三下·四川·期末）已知向量、、滿足，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)?，，且，則，可得，所以，，故.故選：B.變式3．（2024高三·陜西西安·階段練習(xí)）若向量與的夾角為，，則等于（

）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，從而求得.【詳解】因?yàn)椋?，解得（?fù)根舍去）.故選：C變式4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，滿足，，，則實(shí)數(shù)k的值為（

）A．1 B．3 C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.【詳解】將兩邊同時(shí)平方，得，而，，，因此，即依題意，又，所以.故選：A變式5．（2024高一下·河南焦作·期中）已知，點(diǎn)在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由取得最小值得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，由得，由配方可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)椋源藭r(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，故，則，因?yàn)?，故．故選：B.【方法技巧與總結(jié)】求向量的模的常見(jiàn)思路及方法(1)求模問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開(kāi)方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2題型三：向量的夾角與垂直問(wèn)題（一）求向量的夾角例4．（2024高三上·山東煙臺(tái)·期末）已知，則向量與夾角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的數(shù)量積公式，求解即可.【詳解】結(jié)合題意：設(shè)向量與夾角為，，因?yàn)?，所以，解?因?yàn)?，所?故選：B.變式1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知非零向量,滿足，且則的夾角為（

）A．45° B．135°C．60° D．120°【答案】B【分析】由向量垂直計(jì)算得，再利用夾角公式求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)的夾角為θ，因?yàn)椋?，所?變形可得,則.又，所以θ＝135°.故選:B.變式2．（2024高三下·重慶·開(kāi)學(xué)考試）已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)投影向量、向量數(shù)量積等知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)與的夾角為，在上的投影向量為所以，所以，所以為鈍角，且.故選：A變式3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，滿足，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】借助向量數(shù)量積的計(jì)算及夾角公式計(jì)算即可得.【詳解】，，故.故選：D.變式4．（2024·四川巴中·一模）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將平方，求出的值，即可求得以及的值，根據(jù)向量的夾角公式，即可求得答案.【詳解】由題意知向量，滿足，，，故，即，則，，故，故選：A（二）已知兩向量的夾角求相關(guān)參數(shù)的值例5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，與的夾角為60°．若與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】【分析】先求得，根據(jù)向量的夾角為銳角，得到且，不共線，由此列式來(lái)求得的取值范圍.【詳解】由題意知，，∵與的夾角為銳角，∴且，不共線，假設(shè)，共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，由題知，，不共線，∴，∴，∴若，不共線，則．，即，∴，即，得．綜上，且，∴的取值范圍為．變式1．（2024高一下·陜西渭南·期末）已知分別是與軸、軸方向相同的單位向量，，，且的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量夾角為銳角可知且不同向，由此可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】的夾角為銳角，且不同向，，解得：且，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.變式2．（2024高一下·北京海淀·期末）已知向量，是兩個(gè)單位向量，則“為銳角”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件（

）C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)向量的夾角得出差向量的模長(zhǎng)判斷充分條件,舉反例判斷必有條件即得.【詳解】已知向量，是兩個(gè)單位向量，設(shè)，夾角為，所以，，，“為銳角”是“”的充分條件成立；時(shí)，即時(shí)，，，不為銳角，所以“為銳角”是“”的不必要條件．故A正確．故選：A.變式3．（2024高三上·北京懷柔·階段練習(xí)）已知平面向量，滿足，與的夾角為，若與的夾角為鈍角，則一個(gè)滿足條件的的值可以為．【答案】（答案不唯一，只要滿足即可）【分析】由題意可得且這兩個(gè)向量不共線，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律及平面向量共線定理即可得解.【詳解】因?yàn)椋c的夾角為，所以，因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以且這兩個(gè)向量不共線，，解得，當(dāng)時(shí)，存在唯一實(shí)數(shù)，使得，所以，所以，又不共線，所以，綜上所述，，所以滿足條件的的值可以為.故答案為：.（答案不唯一，只要滿足即可）變式4．（2024高一下·山東泰安·階段練習(xí)）設(shè)兩個(gè)向量滿足．(1)若，求的夾角；(2)若的夾角為，向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)(2)且【分析】（1）先由可求，再用向量夾角余弦的公式可得，則的夾角可求.（2）由向量與的夾角為鈍角，可得且與不共線，再求解相應(yīng)不等式即可.【詳解】（1）又即又（2）的夾角為且向量與的夾角為鈍角且與不共線即解得：且實(shí)數(shù)t的取值范圍且變式5．（2024高一下·天津·期末）已知.求：(1)與的夾角；(2)；(3)若與夾角為鈍角，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)向量的運(yùn)算法則，列出方程，求得，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，即可求得的值；（3）由與夾角為鈍角，得到且與不共線，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋傻?，即，解得，又因?yàn)榈娜≈捣秶鸀?，可?（2）由，且，可得所以.（3）若與夾角為鈍角，則滿足且與不共線所以，即，解得，令，可得，解得，綜上可得且，即求的取值范圍.（三）向量垂直的問(wèn)題例6．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知且向量與互相垂直，則k的值為（

）A． B．C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，列方程求解，即可求得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c互相垂直，所以．所以，因?yàn)椋?，所以，解得，故選：B變式1．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，，且與垂直，則.【答案】【分析】由平面向量的數(shù)量積及向量垂直的充要條件即可求解.【詳解】，與垂直，，∴.故答案為：.變式2．（2024高三上·陜西·階段練習(xí)）已知向量、滿足，，與的夾角為，若，則.【答案】/【分析】運(yùn)用平面向量數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，與的夾角為，所以.因?yàn)?，所以，解?故答案為：.變式3．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知是非零向量，當(dāng)?shù)哪Ｈ∽钚≈禃r(shí)，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)題意，由平面向量的模長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，即可證明.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最小值．此時(shí)，所以．變式4．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知兩個(gè)單位向量的夾角為60°，，若，則t＝．【答案】2【分析】結(jié)合，將向量等式兩邊與作數(shù)量積，再利用向量數(shù)量積的定義式展開(kāi)就算即得.【詳解】將的兩邊分別與作數(shù)量積得：化簡(jiǎn)得：，即，解得：故答案為：2.變式5．（2024高二上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知向量、的夾角為．(1)求·的值(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，證明，和都垂直．【答案】(1)2(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解；（2）根據(jù)向量垂直結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】（1）．（2）當(dāng)時(shí)，，

則，與實(shí)數(shù)的值無(wú)關(guān)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，和都垂直．【方法技巧與總結(jié)】1、求向量a，b的夾角θ有兩步：第一步，利用公式cosθ＝a·bab求cosθ；第二步，根據(jù)θ∈[0，π]確定θ.而求cosθ有兩種情形，一種是求出a·b，|a|，|b|的值；另一種是得到a·b，|2、向量垂直問(wèn)題的處理思路解決與垂直相關(guān)題目的依據(jù)是a⊥b?a·b＝0，利用數(shù)量積的運(yùn)算律代入，結(jié)合與向量的模、夾角相關(guān)的知識(shí)解題．題型四：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算例7．（2024高一下·甘肅張掖·階段練習(xí)）已知，則等于（）A．10 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算即可求解.【詳解】由向量，可得，所以.故選：B.變式1．（2024高三上·青海西寧·期末）已知向量，，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得正確答案.【詳解】.故選：A變式2．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）若向量，，，且滿足條件，則（

）A．6 B．5C．4 D．3【答案】C【分析】代入向量的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，則，解得：.故選：C變式3．（2024高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，，則.【答案】【分析】建系，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則，因?yàn)椋瑒t，可得，所以.故答案為：.變式4．（2024高一下·江蘇·階段練習(xí)）已知向量，，且.(1)求的值；(2)求的取值范圍；(3)記函數(shù)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用數(shù)量積結(jié)合兩角和的余弦公式求的值；（2）平方再開(kāi)方，結(jié)合角的范圍求的取值范圍；（3）把前面的結(jié)果代入，換元后得二次函數(shù)，利用對(duì)稱軸和所得區(qū)間的關(guān)系討論得解.【詳解】（1）向量，，.（2），，，，，所以的取值范圍為.（3）由（1）（2）可知，函數(shù)，令，則，，其圖像拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸方程為，當(dāng)，即時(shí)，最小值為，解得（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，最小值為，解得或（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，最小值為.綜上可知，.變式5．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）已知向量，函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值．【答案】(1)(2)最大值0，最小值【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義，兩角和的正弦公式，二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再由正弦型函數(shù)周期公式求函數(shù)周期；（2）利用不等式性質(zhì)求的范圍，再由正弦函數(shù)和一次函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的最值．【詳解】（1）由已知得，，所以的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值；當(dāng)，即，函數(shù)有最小值．【方法技巧與總結(jié)】向量數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi)，再依據(jù)已知條件計(jì)算．(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握?qǐng)D形的特征，看到題目中的直角條件要敏銳地產(chǎn)生建系的想法，并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)求解．題型五：平面向量共線、垂直的坐標(biāo)表示的應(yīng)用例8．（2024高一上·浙江紹興·期末）已知向量，，且，則（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】由，可得，計(jì)算即可得的值.【詳解】由，故，故.故選：D.變式1．（2024高三上·湖南常德·期末）已知向量，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意得，即，代入即可求解．【詳解】已知向量，，若，則，即，則的值為．故選：D．變式2．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，向量，向量，若與共線，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線以及垂直的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于的方程組，求解即可.【詳解】因?yàn)榕c共線，所以，解得.又，所以，解得，所以，所以.故選：C.變式3．【多選】（2024高一下·云南紅河·開(kāi)學(xué)考試）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）.A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用向量平行與垂直的坐標(biāo)表示，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得解.【詳解】因?yàn)?，?duì)于AB，，則，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，則，則，故C正確；對(duì)于D，，顯然，則，故不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC.變式4．【多選】（2024高三上·浙江金華·期末）設(shè)平面向量，，（

）A．若，則 B．若，則C．， D．，使【答案】ABC【分析】利用向量垂直，平行的充分必要條件得到ABD，利用向量的模長(zhǎng)和二次函數(shù)得到C即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，故A正確；B：若，，，所以，所以，故B正確；C：，故C正確；D：若，則，等式不成立，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【方法技巧與總結(jié)】根據(jù)向量共線、垂直求參數(shù)的值的基本思路借助兩向量平行和垂直的條件求解某參數(shù)的值，是向量坐標(biāo)運(yùn)算的重要應(yīng)用之一，具體做法就是先借助a∥b?a＝λb(λ∈R，b≠0)?x1y2－x2y1＝0或a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))，列關(guān)于某參數(shù)的方程(或方程組)，然后解之即可．題型六：平面向量的模與夾角（一）向量的模例9．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，，則.【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，結(jié)合模的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】由向量，，所以，所以.故答案為：.變式1．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知向量，，且，則（）A． B．5C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再根據(jù)向量加減的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模的計(jì)算公式即可.【詳解】由，可得，代入坐標(biāo)運(yùn)算可得，解得，所以，得，故選：B．變式2．（2024高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知且，則．【答案】【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得，由此可計(jì)算得到所求模長(zhǎng)．【詳解】．故答案為：變式3．（2024高一下·湖南岳陽(yáng)·期末）設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C．10 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，列出方程求得，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】由向量，，因?yàn)椋傻?，解得，所以，所?故選：D.變式4．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)向量，且，則，.【答案】【分析】由，化簡(jiǎn)得到，列出方程求得，再由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】由向量且，可得，所以，則，解得，所以，所以，則.故答案為：；.變式5．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在四邊形中，，則四邊形的面積為（

）A． B． C．2 D．15【答案】D【分析】設(shè)相交于點(diǎn)，首先證明四邊形對(duì)角線互相垂直，從而由即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即四邊形?duì)角線互相垂直，設(shè)相交于點(diǎn)，則．故選：D．（二）向量的夾角例10．（2024高三上·遼寧·期中）已知向量，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：A.變式1．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知向量，，則向量，的夾角為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量夾角公式可得解.【詳解】由，，可知，所以，，且，設(shè)，的夾角為，則，又因?yàn)?，所以，故選：B.變式2．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知菱形中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，則的余弦值為.【答案】【分析】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的定義與坐標(biāo)表示計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，有，則.故答案為：變式3．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知向量，，且與夾角的余弦值為，則.【答案】1或【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的夾角公式即可得出.【詳解】因?yàn)椋?，，，顯然，故有：，解得或故答案為：1或.變式4．（2024高三下·陜西安康·開(kāi)學(xué)考試）已知向量，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，，由得：，，解得：.故選：C.變式5．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知，，若與的夾角為鈍角，求的取值范圍．【答案】【分析】轉(zhuǎn)化為并去掉兩向量共線反方向的情況.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以且與不共線（反向），則，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)兩向量共線反向量，又與不共線反向，所以，所以的取值范圍是．（三）三角形形狀的判斷例11．（2024高一下·山東青島·期中）在中，，若，則下列結(jié)論正確的為（

）A．一定為鈍角三角形 B．一定不為直角三角形C．一定為銳角三角形 D．可為任意三角形【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積的概念即可判斷為銳角，再利用三角形的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以為銳角，但是不能確定其它角是否為銳角、直角或鈍角，所以不能確定的形狀，故可為任意三角形.故選：D變式1．（2024高一下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）在中，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③若，則為等腰三角形；④，則為銳角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算公式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】①，故①錯(cuò)誤；②.故②正確；③，則，為等腰三角形，故③正確；④若，只能說(shuō)明中，角是銳角，不能說(shuō)明其它角的情況，所以不能判斷為銳角三角形，故④錯(cuò)誤.故選：B變式2．（2024高一下·山西朔州·期末）在中，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．“”是“A為直角”的充要條件B．“”是“A為銳角”的充要條件C．“”是“是銳角三角形”的充分不必要條件D．“”是“是鈍角三角形”的充分不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)量積的概念，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，平方可得，解得，所以，所以為直角，即充分性成立；若為直角，可得，所以，則，即，所以必要性也成立，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，可得，所以為銳角，所以充分性成立，當(dāng)為銳角，可得，可得，即，所以必要性也成立，所以B正確；對(duì)于C中，由，可得為銳角，但不一定為銳角三角形，所以充分性不成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，可得為鈍角，所以為鈍角三角形，即充分性成立，當(dāng)為鈍角三角形，不一定為鈍角，即必要性不一定成立，所以是是鈍角三角形的充分不必要條件，所以D正確.故選：C.變式3．（2024高三上·山東濟(jì)南·期末）已知非零向量，滿足，且，則為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案.【詳解】，，，，為等腰三角形，又，，，又，所以，為等邊三角形，故選：D.【方法技巧與總結(jié)】1.求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算利用|a|2＝a2，將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問(wèn)題．(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x22.根據(jù)向量的夾角求參數(shù)：由于兩個(gè)非零向量a，b的夾角θ滿足0≤θ≤π，且cosθ＝a·bab，故當(dāng)θ＝0時(shí)，a·b＝|a|·|b|；當(dāng)0<θ<π2時(shí)，a·b>0且a·bab<1；當(dāng)θ＝π2時(shí)，a·b＝0；當(dāng)π2<θ<π時(shí)，a·b<0且a3.判斷三角形的形狀要兩判一判三角形三邊所在的向量?jī)蓛蓴?shù)量積的大?。腥切稳呥呴L(zhǎng)的關(guān)系．一、單選題1．（2024高一下·湖南益陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，，則向量在向量方向上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)投影向量定義直接求解即可.【詳解】，，向量在向量方向上的投影向量為.故選：D.2．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正三角形的重心，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求得的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】如圖所示，以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以線段所在的直線為軸，線段的垂直的平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)榈倪呴L(zhǎng)為，可得，又因?yàn)闉榈闹匦模傻?，所以，則.故選：C.3．（2024高一下·山東濱州·開(kāi)學(xué)考試）已知，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量在向量上的投影公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛椋海蔬x：C.4．（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）平面向量，則（

）A．3 B．5 C．7 D．11【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及模的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B5．（2024高一·