2025年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與演練(上海專用)大題仿真卷05(原卷版+解析)

/大題仿真卷05（A組+B組+C組）（模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘）一、解答題1．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，，且.(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的大小.2．已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知關(guān)于x的方程在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.3．2024年法國(guó)奧運(yùn)會(huì)落下帷幕．某平臺(tái)為了解觀眾對(duì)本次奧運(yùn)會(huì)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了本市1000名觀眾，得到他們對(duì)本屆奧運(yùn)會(huì)的滿意度評(píng)分（滿分100分），平臺(tái)將評(píng)分分為共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）．并在這些評(píng)分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評(píng)分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖2所示．(1)求圖2中這20名觀眾的滿意度評(píng)分的第35百分位數(shù)；(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評(píng)分大于等于90分的概率；(3)已知這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差．4．在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為.(1)若直線與軸相交于點(diǎn)，到直線的距離為，求；(2)若，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,記的面積為，的面積為,若,求的取值范圍；(3)若，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在的上方），線段上存在點(diǎn)，使得，求的最小值．5．對(duì)于集合且，定義且.集合A中的元素個(gè)數(shù)記為，當(dāng)時(shí)，稱集合A具有性質(zhì).(1)判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)設(shè)集合，且具有性質(zhì)，若中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，求的值；(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，問：集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.一、解答題1．如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑，，為半圓弧的中點(diǎn).若異面直線和所成角的大小為，求:(1)該幾何體的體積；(2)直線和所成角的大小.2．已知函數(shù)，（1）若，求；（2）如果關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍3．為了了解廣大消費(fèi)者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相關(guān)性，某汽車APP采用問卷調(diào)查形式對(duì)400名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示這400人中中老年人共有150人，且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的2倍；青年中愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的4倍.年齡段購車意向合計(jì)愿意購買新能源車愿意購買燃油車青年中老年合計(jì)(1)完善2×2列聯(lián)表，請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析消費(fèi)者對(duì)新能源車和燃油車的意向購買與年齡是否有關(guān)；(2)采用分層隨機(jī)抽樣從愿意購買新能源車的消費(fèi)者中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取5人，求這5人中青年人數(shù)的分布和期望.附：，.0.050.010.0013.8416.63510.8284．已知橢圓的下頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率為，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)記為，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）.①若，求的面積；②設(shè)直線、的斜率分別為、，試探究是否為定值，并說明理由.5．已知為實(shí)數(shù)，．對(duì)于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對(duì)任意，，都有，則稱為的“正向數(shù)組”．(1)若，判斷是否為的“正向數(shù)組”，并說明理由；(2)證明：若為的“正向數(shù)組”，則對(duì)任意，都有；(3)已知對(duì)任意，都是的“正向數(shù)組”，求的取值范圍．一、解答題1．已知在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，；(1)求角的值；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng).2．已知和所在的平面互相垂直，，，，，是線段的中點(diǎn)，.(1)求證：；(2)設(shè)，在線段上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得二面角的大小為.3．為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測(cè)得了平均金屬含量（單位：）與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離（單位：）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.（表中）660(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷與哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型？(2)根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）樣本對(duì)原點(diǎn)的距離時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？(3)已知該金屬在距離原點(diǎn)米時(shí)的平均開采成本（單位：元）與關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答，為何值時(shí)，開采成本最大？4．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為是雙曲線上兩點(diǎn)，過作斜率為的直線，與雙曲線只有點(diǎn)這一個(gè)交點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求的面積；(3)已知點(diǎn)和雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，滿足，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一個(gè)定圓上，并求定圓的方程.5．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，若存在，使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點(diǎn)，則稱為“函數(shù)”，切線為一條“切線”．(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”，并說明理由；(2)設(shè)，求證：存在無窮多條“切線”；(3)設(shè)，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”

大題仿真卷05（A組+B組+C組）（模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘）一、解答題1．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，，且.(1)求證：平面平面；(2)設(shè)為的中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的大小.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由已知可得，結(jié)合，可得平面，再結(jié)合面面垂直的判定定理即可證結(jié)論.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，利用向量法可求平面與平面所成銳二面角的大小.【解析】（1）取中點(diǎn)，連接、.因?yàn)椋?，所以，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，且，所以是等邊三角形，所以且，又，，所以，所以.又由于，且、AD是平面上的兩條相交直線，故平面.又由于平面，所以平面平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、為、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則P0,0,1，A1,0,0，，，，進(jìn)而有.于是，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量.又平面的一個(gè)法向量，故，因此平面與平面所成銳二面角的大小為.2．已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)已知關(guān)于x的方程在上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由f?x=fx（2）利用換元法令，從而得到方程在時(shí)有解，再分參數(shù)，求出右邊的值域即可.【解析】（1）由偶函數(shù)定義知：f?x即，.（2）由（1）知，，即，即，令，則，則方程在時(shí)有解，則，令，，則.3．2024年法國(guó)奧運(yùn)會(huì)落下帷幕．某平臺(tái)為了解觀眾對(duì)本次奧運(yùn)會(huì)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了本市1000名觀眾，得到他們對(duì)本屆奧運(yùn)會(huì)的滿意度評(píng)分（滿分100分），平臺(tái)將評(píng)分分為共5層，繪制成頻率分布直方圖（如圖1所示）．并在這些評(píng)分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評(píng)分，繪制成莖葉圖，但由于某種原因莖葉圖受到了污損，可見部分信息如圖2所示．(1)求圖2中這20名觀眾的滿意度評(píng)分的第35百分位數(shù)；(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評(píng)分大于等于90分的概率；(3)已知這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，求這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差．【答案】(1)(2)(3)這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差分別為，.【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可；（2）先求出的人數(shù)，利用對(duì)立事件結(jié)合古典概型求解即可；（3）根據(jù)題意利用分層抽樣的平均數(shù)和方差公式運(yùn)算求解.【解析】（1）∵，∴第35百分位數(shù)為第兩個(gè)數(shù)的平方數(shù)（2）由圖1可知，圖2中有2人，所以從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪，求其中至少有1名觀眾的評(píng)分大于等于90分設(shè)為事件，所以.（3）由題意可知：落在的頻率為，落在的頻率為，因?yàn)檫@1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值為67，方差為64.7，位于上的均值為73，方差為134.6，所以，設(shè)這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差分別為，所以，解得：，，解得：.這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差分別為，.4．在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為.(1)若直線與軸相交于點(diǎn)，到直線的距離為，求；(2)若，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,記的面積為，的面積為,若,求的取值范圍；(3)若，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在的上方），線段上存在點(diǎn)，使得，求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】小問1：使用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合向量的數(shù)量積求解，小問2：表示出三角形的面積，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程代入消元求解出相應(yīng)的變量的范圍，進(jìn)而求出的范圍,小問3：首先設(shè)直線的方程，再設(shè)，，利用條件結(jié)合韋達(dá)定理將的橫坐標(biāo)用斜率表示出來，再將代入直線方程，求出和斜率的關(guān)系，進(jìn)而利用斜率,求出滿足的直線方程，然后根據(jù)直線的斜率不存在時(shí)，，由，解出，滿足斜率存在時(shí)的直線方程，最后利用將軍飲馬的思路，求對(duì)稱點(diǎn)求出的最小值.【解析】（1）由已知，因?yàn)?，所以到直線的距離，所以，所以，又因?yàn)?，所以，；?）當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則，，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以?所以的范圍是；（3）顯然點(diǎn)在橢圓外，設(shè)，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去，化簡(jiǎn)得，則由，得，所以或，由，可得，解得，消去可得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，由，可得滿足方程，所以點(diǎn)滿足直線，且位于橢圓的內(nèi)部，設(shè)F21,0關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，又F1?1,0，所以當(dāng)在橢圓內(nèi)部，滿足要求，所以的最小值為．【點(diǎn)睛】在第三小問中利用直線的斜率為“橋梁”求解出點(diǎn)滿足的直線方程是解決這一問題的關(guān)鍵點(diǎn).5．對(duì)于集合且，定義且.集合A中的元素個(gè)數(shù)記為，當(dāng)時(shí)，稱集合A具有性質(zhì).(1)判斷集合是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)設(shè)集合，且具有性質(zhì)，若中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，求的值；(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，問：集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)集合具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)，理由見解析(2)的值分別為4，5或5，9(3)存在最大值，最大值為4【分析】（1）根據(jù)集合A具有性質(zhì)的定義進(jìn)行判斷，可得答案；（2）寫出中的所有元素，分類討論，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列出相應(yīng)的方程組，解得答案；（3）一數(shù)列新定義得在集合中，，得到，由此分類討論，可確定n的取值，可得答案.【解析】（1），故集合具有性質(zhì).故集合不具有性質(zhì)（2）因集合具有性質(zhì)，故.（i）若，則,解得,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故的值分別為4，5.（ii）若，則,解得,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故的值分別為5，9.（3）不妨設(shè)，則在集合中，.又中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，即，故.當(dāng)時(shí)，是集合A中互不相同的4項(xiàng)，從而，與集合A具有性質(zhì)矛盾.當(dāng)時(shí)，，即成等差數(shù)列，且公差也為，故中的元素從小到大的前三項(xiàng)為，且第四項(xiàng)只能是或.（i）若第四項(xiàng)為，則，從而，于是，故，與集合A具有性質(zhì)矛盾.（ii）若第四項(xiàng)為，則，故.另一方面，，即.于是，故，與集合具有性質(zhì)矛盾.因此，.由（2）知，時(shí)，存在集合A具有性質(zhì)，故集合中的元素個(gè)數(shù)存在最大值，最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的新定義問題，綜合考查了學(xué)生的閱讀理解接受并理解新信息的能力，解答的關(guān)鍵是理解新定義的含義并能依此解決問題，其中還要注意分類討論與整合的思想方法.一、解答題1．如圖，該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成，半圓柱體底面直徑，，為半圓弧的中點(diǎn).若異面直線和所成角的大小為，求:(1)該幾何體的體積；(2)直線和所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算根據(jù)直線和所成角的大小為，求出幾何體的高，進(jìn)而可求體積；（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明直線和垂直，即可求解.【解析】（1）連接，由題意得關(guān)于平面對(duì)稱，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，因?yàn)楫惷嬷本€和所成角的大小為，所以，解得，；（2），因?yàn)?，所以直線和所成角的大小為.2．已知函數(shù)，（1）若，求；（2）如果關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】（1）或，；（2）【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，計(jì)算解得答案.（2），畫出函數(shù)圖像，根據(jù)函數(shù)圖像得到答案.【解析】（1）或，故或，（2）設(shè)則畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：或或即【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)求值，函數(shù)的零點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.3．為了了解廣大消費(fèi)者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相關(guān)性，某汽車APP采用問卷調(diào)查形式對(duì)400名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示這400人中中老年人共有150人，且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的2倍；青年中愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的4倍.年齡段購車意向合計(jì)愿意購買新能源車愿意購買燃油車青年中老年合計(jì)(1)完善2×2列聯(lián)表，請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析消費(fèi)者對(duì)新能源車和燃油車的意向購買與年齡是否有關(guān)；(2)采用分層隨機(jī)抽樣從愿意購買新能源車的消費(fèi)者中抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取5人，求這5人中青年人數(shù)的分布和期望.附：，.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意分別求出愿意購買新能源車的中年人數(shù)和青年人數(shù)以及愿意購買燃油車中年人數(shù)和青年人數(shù)，即可補(bǔ)全列聯(lián)表，再根據(jù)公式計(jì)算出，根據(jù)表格即可判斷；（2）先求出抽取9人中青年人數(shù)和中年人數(shù)，求出青年人數(shù)的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，再由數(shù)學(xué)期望公式即可求解.【解析】（1）中老年共有150人，且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的2倍，所以愿意購買新能源車的中老年人數(shù)為100人，愿意購買燃油車的中老年人數(shù)為50人，青年共有250人，愿意購買新能源車是愿意購買燃油車的4倍，所以青年中愿意購買新能源車為200人，愿意購買燃油車為50人，故2×2列聯(lián)表如下：年齡段購車意向合計(jì)愿意購買新能源車愿意購買燃油車青年20050250中老年10050150合計(jì)300100400零假設(shè)：消費(fèi)者購買新能源車和燃油車的意向與年齡無關(guān)，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為消費(fèi)者購買新能源車和燃油車的意向與年齡有關(guān)；（2）愿意購買新能源車的共有300人，青年人與中老年人的比例為，所以分層隨機(jī)抽樣抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，記這5人中，青年的人數(shù)為，則的可能取值為，，.所以的分布列如下：X2345P則，所以這5人中青年人數(shù)的期望為.4．已知橢圓的下頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率為，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)記為，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）.①若，求的面積；②設(shè)直線、的斜率分別為、，試探究是否為定值，并說明理由.【答案】(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，解方程可得，，，進(jìn)而得到所求橢圓方程；（2）①設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程可得的坐標(biāo)，聯(lián)立圓方程可得的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為，求得的坐標(biāo)，由可得，求得，坐標(biāo)，以及，，由的面積為，計(jì)算可得；②運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，分別計(jì)算線的斜率為，直線的斜率為，即可得證.【解析】（1）據(jù)題意，橢圓的離心率為，即.當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，即，由原點(diǎn)到直線的距離為，可知，即.聯(lián)立可得，，，故.所以橢圓的方程為.（2）①據(jù)題意，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，所以或.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，聯(lián)立和，整理可得，所以或.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.顯然，是圓的直徑，故，所以直線的方程為.用代替，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.①由可得，，即，解得.根據(jù)圖形的對(duì)稱性，不妨取，則點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，故，.所以的面積為.②直線的斜率，直線的斜率.所以為定值，得證.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，以及直線與圓的方程聯(lián)立，解方程求交點(diǎn)，考查直線的斜率公式的運(yùn)用以及“設(shè)而不求，整體代換的思想”，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，計(jì)算量較大，屬于中檔題．5．已知為實(shí)數(shù)，．對(duì)于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對(duì)任意，，都有，則稱為的“正向數(shù)組”．(1)若，判斷是否為的“正向數(shù)組”，并說明理由；(2)證明：若為的“正向數(shù)組”，則對(duì)任意，都有；(3)已知對(duì)任意，都是的“正向數(shù)組”，求的取值范圍．【答案】(1)不是的“正向數(shù)組”；(2)證明見解析；(3)的取值范圍是.【分析】（1）代入有，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到的正負(fù)時(shí)不同取值情況即可；（2）假設(shè)存在,使得,通過正向數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對(duì)任意恒成立，設(shè)，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立；（3）代入有恒成立或恒成立，設(shè)，求出是的最大值或最小值時(shí)的取值范圍即可.【解析】（1）若，，對(duì)，即，而當(dāng)，時(shí)，，，即，不滿足題意.所以不是的“正向數(shù)組”.（2）反證法:假設(shè)存在,使得,為的“正向數(shù)組”，對(duì)任意,都有.對(duì)任意恒成立.令，則在上恒成立，，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，在上為負(fù)，在上為正，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，當(dāng)，，當(dāng)，，即存在，使在上為正，在上為負(fù)，在上為正，所以Fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則Fx的值域?yàn)?；若，，F(xiàn)x在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則Fx的值域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，必存在，使在上為負(fù)，在上為正，所以Fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則Fx的值域?yàn)?由值域可看出，與在上恒成立矛盾.對(duì)任意，都有.（3）都是的“正向數(shù)組”，對(duì)任意，，都有，則恒成立或恒成立，即恒成立或恒成立，設(shè)，則，即是的最大值或最小值.，且.當(dāng)時(shí)，由（2）可得，的值域?yàn)?，無最大值或最小值；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又，則在上為負(fù)，在上為正，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則是的最小值，滿足，此時(shí)對(duì)任意，，都有.的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2問的關(guān)鍵是運(yùn)用反證法，通過函數(shù)的圖象與性質(zhì)推理出與假設(shè)矛盾的結(jié)論，最后即得到證明；本題第3問的關(guān)鍵是理解“正向數(shù)組”的變形推理得到恒成立或恒成立，并構(gòu)造函數(shù)，得到是的最大值或最小值，最后結(jié)合前面的證明得到結(jié)果.一、解答題1．已知在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足，；(1)求角的值；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)得，再根據(jù)題中條件利用正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出，最后根據(jù)角的大小關(guān)系，確定角的值；（2）由，，借助余弦定理求出，即為等腰直角三角形，再根據(jù)的面積為，求出的值，即可得到的的周長(zhǎng).【解析】（1）由題意得：，即：，，，又，因此，因?yàn)?，因此，故為銳角，因此；（2）由，，則由余弦定理：，得：，因此可得：，，因此，為等腰直角三角形，又得：，因此，的周長(zhǎng)為.2．已知和所在的平面互相垂直，，，，，是線段的中點(diǎn)，.(1)求證：；(2)設(shè)，在線段上是否存在點(diǎn)（異于點(diǎn)），使得二面角的大小為.【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)余弦定理計(jì)算，根據(jù)勾股定理得到，確定平面，得到證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【解析】（1），故，，則，故，又，平面，，故平面，平面，故，

（2）△和△所在的平面互相垂直，則平面平面，且平面，故平面，如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取得到，則，解得，不滿足題意.綜上所述：不存在點(diǎn)，使二面角的大小為.3．為幫助鄉(xiāng)村脫貧，某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況，測(cè)得了平均金屬含量（單位：）與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離（單位：）的數(shù)據(jù)，并作了初步處理，得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.（表中）660(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí)，判斷與哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型？(2)根據(jù)（1）的結(jié)果回答下列問題：（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）樣本對(duì)原點(diǎn)的距離時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少？(3)已知該金屬在距離原點(diǎn)米時(shí)的平均開采成本（單位：元）與關(guān)系為，根據(jù)（2）的結(jié)果回答，為何值時(shí)，開采成本最大？【答案】(1)(2)（i）；（ii）(3)10【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出相對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)，即可判斷；（2）（i）由（1）及所給數(shù)據(jù)求出、，即可得到回歸方程；（ii）將代入計(jì)算即可；（3）依題意，可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得解.【解析】（1）因?yàn)榈木€性相關(guān)系數(shù)，的線性相關(guān)系數(shù)，，更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型.（2）（i）依題意，可得，，，關(guān)于的回歸方程為.（ii）當(dāng)時(shí)，金屬含量的預(yù)報(bào)值為.（3）因?yàn)椋?，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，也是最大值，此時(shí)取得最大值，故為10時(shí)，開采成本最大.4．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為是雙曲線上兩點(diǎn)，過作斜率為的直線，與雙曲線只有點(diǎn)這一個(gè)交點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求的面積；(3)已知點(diǎn)和雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，滿足，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在一個(gè)定圓上，并求定圓的方程.【答案】(1)(2)144(3)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和斜率可得方程；（2）利用弦長(zhǎng)公式得出，結(jié)合垂直關(guān)系可得，利用可求斜率，進(jìn)而可得三角形的面積；（3）設(shè)出的方程，結(jié)合垂直關(guān)系，得出過定點(diǎn)，進(jìn)而可證結(jié)論.【解析】（1）因?yàn)橛翼旤c(diǎn)為，所以，又因?yàn)檫^斜率為的直線與雙曲線只有點(diǎn)這一個(gè)交點(diǎn)，所以，即，所以方程為.（2）由題意可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)，則，聯(lián)立，，，，設(shè)，則，，利用代換可得，由題意，，整理得，，，因?yàn)椋?/p>