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/大題仿真卷05(A組+B組+C組)(模式:5道解答題滿分:78分限時(shí):70分鐘)一、解答題1.如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,且,,且.(1)求證:平面平面;(2)設(shè)為的中點(diǎn),求平面與平面所成銳二面角的大小.2.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)已知關(guān)于x的方程在上有解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.3.2024年法國(guó)奧運(yùn)會(huì)落下帷幕.某平臺(tái)為了解觀眾對(duì)本次奧運(yùn)會(huì)的滿意度,隨機(jī)調(diào)查了本市1000名觀眾,得到他們對(duì)本屆奧運(yùn)會(huì)的滿意度評(píng)分(滿分100分),平臺(tái)將評(píng)分分為共5層,繪制成頻率分布直方圖(如圖1所示).并在這些評(píng)分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評(píng)分,繪制成莖葉圖,但由于某種原因莖葉圖受到了污損,可見部分信息如圖2所示.(1)求圖2中這20名觀眾的滿意度評(píng)分的第35百分位數(shù);(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪,求其中至少有1名觀眾的評(píng)分大于等于90分的概率;(3)已知這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值為67,方差為64.7,位于上的均值為73,方差為134.6,求這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差.4.在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為.(1)若直線與軸相交于點(diǎn),到直線的距離為,求;(2)若,點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn),設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,記的面積為,的面積為,若,求的取值范圍;(3)若,過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(在的上方),線段上存在點(diǎn),使得,求的最小值.5.對(duì)于集合且,定義且.集合A中的元素個(gè)數(shù)記為,當(dāng)時(shí),稱集合A具有性質(zhì).(1)判斷集合是否具有性質(zhì),并說明理由;(2)設(shè)集合,且具有性質(zhì),若中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列,求的值;(3)若集合A具有性質(zhì),且中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列,問:集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值?若存在,求出該最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.一、解答題1.如圖,該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成,半圓柱體底面直徑,,為半圓弧的中點(diǎn).若異面直線和所成角的大小為,求:(1)該幾何體的體積;(2)直線和所成角的大小.2.已知函數(shù),(1)若,求;(2)如果關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍3.為了了解廣大消費(fèi)者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相關(guān)性,某汽車APP采用問卷調(diào)查形式對(duì)400名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查,數(shù)據(jù)顯示這400人中中老年人共有150人,且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的2倍;青年中愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的4倍.年齡段購車意向合計(jì)愿意購買新能源車愿意購買燃油車青年中老年合計(jì)(1)完善2×2列聯(lián)表,請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析消費(fèi)者對(duì)新能源車和燃油車的意向購買與年齡是否有關(guān);(2)采用分層隨機(jī)抽樣從愿意購買新能源車的消費(fèi)者中抽取9人,再從這9人中隨機(jī)抽取5人,求這5人中青年人數(shù)的分布和期望.附:,.0.050.010.0013.8416.63510.8284.已知橢圓的下頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,離心率為,是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線與圓相交于點(diǎn)(異于點(diǎn)),關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)記為,直線與橢圓相交于點(diǎn)(異于點(diǎn)).①若,求的面積;②設(shè)直線、的斜率分別為、,試探究是否為定值,并說明理由.5.已知為實(shí)數(shù),.對(duì)于給定的一組有序?qū)崝?shù),若對(duì)任意,,都有,則稱為的“正向數(shù)組”.(1)若,判斷是否為的“正向數(shù)組”,并說明理由;(2)證明:若為的“正向數(shù)組”,則對(duì)任意,都有;(3)已知對(duì)任意,都是的“正向數(shù)組”,求的取值范圍.一、解答題1.已知在中,角所對(duì)的邊分別為,且滿足,;(1)求角的值;(2)若的面積為,求的周長(zhǎng).2.已知和所在的平面互相垂直,,,,,是線段的中點(diǎn),.(1)求證:;(2)設(shè),在線段上是否存在點(diǎn)(異于點(diǎn)),使得二面角的大小為.3.為幫助鄉(xiāng)村脫貧,某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況,測(cè)得了平均金屬含量(單位:)與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離(單位:)的數(shù)據(jù),并作了初步處理,得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.(表中)660(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí),判斷與哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型?(2)根據(jù)(1)的結(jié)果回答下列問題:(i)建立關(guān)于的回歸方程;(ii)樣本對(duì)原點(diǎn)的距離時(shí),金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少?(3)已知該金屬在距離原點(diǎn)米時(shí)的平均開采成本(單位:元)與關(guān)系為,根據(jù)(2)的結(jié)果回答,為何值時(shí),開采成本最大?4.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為是雙曲線上兩點(diǎn),過作斜率為的直線,與雙曲線只有點(diǎn)這一個(gè)交點(diǎn).(1)求雙曲線的方程;(2)若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求的面積;(3)已知點(diǎn)和雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn),滿足,過點(diǎn)作于點(diǎn),證明:點(diǎn)在一個(gè)定圓上,并求定圓的方程.5.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間,若存在,使得在處的切線與的圖像只有唯一的公共點(diǎn),則稱為“函數(shù)”,切線為一條“切線”.(1)判斷是否是函數(shù)的一條“切線”,并說明理由;(2)設(shè),求證:存在無窮多條“切線”;(3)設(shè),求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)和正數(shù)都是“函數(shù)”
大題仿真卷05(A組+B組+C組)(模式:5道解答題滿分:78分限時(shí):70分鐘)一、解答題1.如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,且,,且.(1)求證:平面平面;(2)設(shè)為的中點(diǎn),求平面與平面所成銳二面角的大小.【答案】(1)證明見解析;(2).【分析】(1)由已知可得,結(jié)合,可得平面,再結(jié)合面面垂直的判定定理即可證結(jié)論.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求得的一個(gè)法向量,平面的一個(gè)法向量,利用向量法可求平面與平面所成銳二面角的大小.【解析】(1)取中點(diǎn),連接、.因?yàn)椋?,所以,因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形,且,所以是等邊三角形,所以且,又,,所以,所以.又由于,且、AD是平面上的兩條相交直線,故平面.又由于平面,所以平面平面.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),、、為、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則P0,0,1,A1,0,0,,,,進(jìn)而有.于是,,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,所以平面的一個(gè)法向量.又平面的一個(gè)法向量,故,因此平面與平面所成銳二面角的大小為.2.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)已知關(guān)于x的方程在上有解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)由f?x=fx(2)利用換元法令,從而得到方程在時(shí)有解,再分參數(shù),求出右邊的值域即可.【解析】(1)由偶函數(shù)定義知:f?x即,.(2)由(1)知,,即,即,令,則,則方程在時(shí)有解,則,令,,則.3.2024年法國(guó)奧運(yùn)會(huì)落下帷幕.某平臺(tái)為了解觀眾對(duì)本次奧運(yùn)會(huì)的滿意度,隨機(jī)調(diào)查了本市1000名觀眾,得到他們對(duì)本屆奧運(yùn)會(huì)的滿意度評(píng)分(滿分100分),平臺(tái)將評(píng)分分為共5層,繪制成頻率分布直方圖(如圖1所示).并在這些評(píng)分中以分層抽樣的方式從這5層中再抽取了共20名觀眾的評(píng)分,繪制成莖葉圖,但由于某種原因莖葉圖受到了污損,可見部分信息如圖2所示.(1)求圖2中這20名觀眾的滿意度評(píng)分的第35百分位數(shù);(2)若從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪,求其中至少有1名觀眾的評(píng)分大于等于90分的概率;(3)已知這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值為67,方差為64.7,位于上的均值為73,方差為134.6,求這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差.【答案】(1)(2)(3)這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差分別為,.【分析】(1)根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可;(2)先求出的人數(shù),利用對(duì)立事件結(jié)合古典概型求解即可;(3)根據(jù)題意利用分層抽樣的平均數(shù)和方差公式運(yùn)算求解.【解析】(1)∵,∴第35百分位數(shù)為第兩個(gè)數(shù)的平方數(shù)(2)由圖1可知,圖2中有2人,所以從圖2中的20名觀眾中再任選取3人做深度采訪,求其中至少有1名觀眾的評(píng)分大于等于90分設(shè)為事件,所以.(3)由題意可知:落在的頻率為,落在的頻率為,因?yàn)檫@1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值為67,方差為64.7,位于上的均值為73,方差為134.6,所以,設(shè)這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差分別為,所以,解得:,,解得:.這1000名觀眾的評(píng)分位于上的均值與方差分別為,.4.在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為.(1)若直線與軸相交于點(diǎn),到直線的距離為,求;(2)若,點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn),設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,記的面積為,的面積為,若,求的取值范圍;(3)若,過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(在的上方),線段上存在點(diǎn),使得,求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】小問1:使用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合向量的數(shù)量積求解,小問2:表示出三角形的面積,利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程代入消元求解出相應(yīng)的變量的范圍,進(jìn)而求出的范圍,小問3:首先設(shè)直線的方程,再設(shè),,利用條件結(jié)合韋達(dá)定理將的橫坐標(biāo)用斜率表示出來,再將代入直線方程,求出和斜率的關(guān)系,進(jìn)而利用斜率,求出滿足的直線方程,然后根據(jù)直線的斜率不存在時(shí),,由,解出,滿足斜率存在時(shí)的直線方程,最后利用將軍飲馬的思路,求對(duì)稱點(diǎn)求出的最小值.【解析】(1)由已知,因?yàn)?,所以到直線的距離,所以,所以,又因?yàn)?,所以,;?)當(dāng)時(shí),,則,設(shè),則,,因?yàn)椋?,即,又因?yàn)?,所以,所以,所以?所以的范圍是;(3)顯然點(diǎn)在橢圓外,設(shè),,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去,化簡(jiǎn)得,則由,得,所以或,由,可得,解得,消去可得,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,由,可得滿足方程,所以點(diǎn)滿足直線,且位于橢圓的內(nèi)部,設(shè)F21,0關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,則,又F1?1,0,所以當(dāng)在橢圓內(nèi)部,滿足要求,所以的最小值為.【點(diǎn)睛】在第三小問中利用直線的斜率為“橋梁”求解出點(diǎn)滿足的直線方程是解決這一問題的關(guān)鍵點(diǎn).5.對(duì)于集合且,定義且.集合A中的元素個(gè)數(shù)記為,當(dāng)時(shí),稱集合A具有性質(zhì).(1)判斷集合是否具有性質(zhì),并說明理由;(2)設(shè)集合,且具有性質(zhì),若中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列,求的值;(3)若集合A具有性質(zhì),且中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列,問:集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值?若存在,求出該最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)集合具有性質(zhì),集合不具有性質(zhì),理由見解析(2)的值分別為4,5或5,9(3)存在最大值,最大值為4【分析】(1)根據(jù)集合A具有性質(zhì)的定義進(jìn)行判斷,可得答案;(2)寫出中的所有元素,分類討論,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),列出相應(yīng)的方程組,解得答案;(3)一數(shù)列新定義得在集合中,,得到,由此分類討論,可確定n的取值,可得答案.【解析】(1),故集合具有性質(zhì).故集合不具有性質(zhì)(2)因集合具有性質(zhì),故.(i)若,則,解得,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意,故的值分別為4,5.(ii)若,則,解得,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意,故的值分別為5,9.(3)不妨設(shè),則在集合中,.又中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)公差為,則,即,故.當(dāng)時(shí),是集合A中互不相同的4項(xiàng),從而,與集合A具有性質(zhì)矛盾.當(dāng)時(shí),,即成等差數(shù)列,且公差也為,故中的元素從小到大的前三項(xiàng)為,且第四項(xiàng)只能是或.(i)若第四項(xiàng)為,則,從而,于是,故,與集合A具有性質(zhì)矛盾.(ii)若第四項(xiàng)為,則,故.另一方面,,即.于是,故,與集合具有性質(zhì)矛盾.因此,.由(2)知,時(shí),存在集合A具有性質(zhì),故集合中的元素個(gè)數(shù)存在最大值,最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的新定義問題,綜合考查了學(xué)生的閱讀理解接受并理解新信息的能力,解答的關(guān)鍵是理解新定義的含義并能依此解決問題,其中還要注意分類討論與整合的思想方法.一、解答題1.如圖,該幾何體由半圓柱體與直三棱柱構(gòu)成,半圓柱體底面直徑,,為半圓弧的中點(diǎn).若異面直線和所成角的大小為,求:(1)該幾何體的體積;(2)直線和所成角的大小.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算根據(jù)直線和所成角的大小為,求出幾何體的高,進(jìn)而可求體積;(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明直線和垂直,即可求解.【解析】(1)連接,由題意得關(guān)于平面對(duì)稱,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,所以,因?yàn)楫惷嬷本€和所成角的大小為,所以,解得,;(2),因?yàn)?,所以直線和所成角的大小為.2.已知函數(shù),(1)若,求;(2)如果關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)或,;(2)【分析】(1)化簡(jiǎn)得到,計(jì)算解得答案.(2),畫出函數(shù)圖像,根據(jù)函數(shù)圖像得到答案.【解析】(1)或,故或,(2)設(shè)則畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像知:或或即【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)求值,函數(shù)的零點(diǎn)問題,畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.3.為了了解廣大消費(fèi)者購買新能源汽車意向與年齡是否具有相關(guān)性,某汽車APP采用問卷調(diào)查形式對(duì)400名消費(fèi)者進(jìn)行調(diào)查,數(shù)據(jù)顯示這400人中中老年人共有150人,且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的2倍;青年中愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的4倍.年齡段購車意向合計(jì)愿意購買新能源車愿意購買燃油車青年中老年合計(jì)(1)完善2×2列聯(lián)表,請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析消費(fèi)者對(duì)新能源車和燃油車的意向購買與年齡是否有關(guān);(2)采用分層隨機(jī)抽樣從愿意購買新能源車的消費(fèi)者中抽取9人,再從這9人中隨機(jī)抽取5人,求這5人中青年人數(shù)的分布和期望.附:,.0.050.010.0013.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析,有關(guān)(2)分布列見解析,【分析】(1)根據(jù)題意分別求出愿意購買新能源車的中年人數(shù)和青年人數(shù)以及愿意購買燃油車中年人數(shù)和青年人數(shù),即可補(bǔ)全列聯(lián)表,再根據(jù)公式計(jì)算出,根據(jù)表格即可判斷;(2)先求出抽取9人中青年人數(shù)和中年人數(shù),求出青年人數(shù)的可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率,即可求出分布列,再由數(shù)學(xué)期望公式即可求解.【解析】(1)中老年共有150人,且愿意購買新能源車的人數(shù)是愿意購買燃油車的2倍,所以愿意購買新能源車的中老年人數(shù)為100人,愿意購買燃油車的中老年人數(shù)為50人,青年共有250人,愿意購買新能源車是愿意購買燃油車的4倍,所以青年中愿意購買新能源車為200人,愿意購買燃油車為50人,故2×2列聯(lián)表如下:年齡段購車意向合計(jì)愿意購買新能源車愿意購買燃油車青年20050250中老年10050150合計(jì)300100400零假設(shè):消費(fèi)者購買新能源車和燃油車的意向與年齡無關(guān),根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷不成立,即認(rèn)為消費(fèi)者購買新能源車和燃油車的意向與年齡有關(guān);(2)愿意購買新能源車的共有300人,青年人與中老年人的比例為,所以分層隨機(jī)抽樣抽取的9人中6人是青年人,3人是中老年人,記這5人中,青年的人數(shù)為,則的可能取值為,,.所以的分布列如下:X2345P則,所以這5人中青年人數(shù)的期望為.4.已知橢圓的下頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,離心率為,是橢圓上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線與圓相交于點(diǎn)(異于點(diǎn)),關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)記為,直線與橢圓相交于點(diǎn)(異于點(diǎn)).①若,求的面積;②設(shè)直線、的斜率分別為、,試探究是否為定值,并說明理由.【答案】(1)(2)①;②證明見解析【分析】(1)運(yùn)用橢圓的離心率公式以及點(diǎn)到直線的距離公式,解方程可得,,,進(jìn)而得到所求橢圓方程;(2)①設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,聯(lián)立橢圓方程可得的坐標(biāo),聯(lián)立圓方程可得的坐標(biāo),運(yùn)用兩直線垂直的條件:斜率之積為,求得的坐標(biāo),由可得,求得,坐標(biāo),以及,,由的面積為,計(jì)算可得;②運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式,分別計(jì)算線的斜率為,直線的斜率為,即可得證.【解析】(1)據(jù)題意,橢圓的離心率為,即.當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),直線的方程為,即,由原點(diǎn)到直線的距離為,可知,即.聯(lián)立可得,,,故.所以橢圓的方程為.(2)①據(jù)題意,直線的斜率存在,且不為0,設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為,聯(lián)立,整理可得,所以或.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,聯(lián)立和,整理可得,所以或.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.顯然,是圓的直徑,故,所以直線的方程為.用代替,得點(diǎn)的坐標(biāo)為,即.①由可得,,即,解得.根據(jù)圖形的對(duì)稱性,不妨取,則點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,故,.所以的面積為.②直線的斜率,直線的斜率.所以為定值,得證.【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛:本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì),考查直線和橢圓方程聯(lián)立,以及直線與圓的方程聯(lián)立,解方程求交點(diǎn),考查直線的斜率公式的運(yùn)用以及“設(shè)而不求,整體代換的思想”,化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,計(jì)算量較大,屬于中檔題.5.已知為實(shí)數(shù),.對(duì)于給定的一組有序?qū)崝?shù),若對(duì)任意,,都有,則稱為的“正向數(shù)組”.(1)若,判斷是否為的“正向數(shù)組”,并說明理由;(2)證明:若為的“正向數(shù)組”,則對(duì)任意,都有;(3)已知對(duì)任意,都是的“正向數(shù)組”,求的取值范圍.【答案】(1)不是的“正向數(shù)組”;(2)證明見解析;(3)的取值范圍是.【分析】(1)代入有,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到的正負(fù)時(shí)不同取值情況即可;(2)假設(shè)存在,使得,通過正向數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對(duì)任意恒成立,設(shè),再利用函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立;(3)代入有恒成立或恒成立,設(shè),求出是的最大值或最小值時(shí)的取值范圍即可.【解析】(1)若,,對(duì),即,而當(dāng),時(shí),,,即,不滿足題意.所以不是的“正向數(shù)組”.(2)反證法:假設(shè)存在,使得,為的“正向數(shù)組”,對(duì)任意,都有.對(duì)任意恒成立.令,則在上恒成立,,設(shè),,則當(dāng)時(shí),在上為負(fù),在上為正,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;若,當(dāng),,當(dāng),,即存在,使在上為正,在上為負(fù),在上為正,所以Fx在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又當(dāng),,當(dāng),,則Fx的值域?yàn)?;若,,F(xiàn)x在上單調(diào)遞增,又當(dāng),,當(dāng),,則Fx的值域?yàn)?當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,又當(dāng),,當(dāng),,必存在,使在上為負(fù),在上為正,所以Fx在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又當(dāng),,當(dāng),,則Fx的值域?yàn)?由值域可看出,與在上恒成立矛盾.對(duì)任意,都有.(3)都是的“正向數(shù)組”,對(duì)任意,,都有,則恒成立或恒成立,即恒成立或恒成立,設(shè),則,即是的最大值或最小值.,且.當(dāng)時(shí),由(2)可得,的值域?yàn)?,無最大值或最小值;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,又,則在上為負(fù),在上為正,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則是的最小值,滿足,此時(shí)對(duì)任意,,都有.的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第2問的關(guān)鍵是運(yùn)用反證法,通過函數(shù)的圖象與性質(zhì)推理出與假設(shè)矛盾的結(jié)論,最后即得到證明;本題第3問的關(guān)鍵是理解“正向數(shù)組”的變形推理得到恒成立或恒成立,并構(gòu)造函數(shù),得到是的最大值或最小值,最后結(jié)合前面的證明得到結(jié)果.一、解答題1.已知在中,角所對(duì)的邊分別為,且滿足,;(1)求角的值;(2)若的面積為,求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】(1)由,利用兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)得,再根據(jù)題中條件利用正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出,最后根據(jù)角的大小關(guān)系,確定角的值;(2)由,,借助余弦定理求出,即為等腰直角三角形,再根據(jù)的面積為,求出的值,即可得到的的周長(zhǎng).【解析】(1)由題意得:,即:,,,又,因此,因?yàn)?,因此,故為銳角,因此;(2)由,,則由余弦定理:,得:,因此可得:,,因此,為等腰直角三角形,又得:,因此,的周長(zhǎng)為.2.已知和所在的平面互相垂直,,,,,是線段的中點(diǎn),.(1)求證:;(2)設(shè),在線段上是否存在點(diǎn)(異于點(diǎn)),使得二面角的大小為.【答案】(1)證明見解析(2)不存在,理由見解析【分析】(1)根據(jù)余弦定理計(jì)算,根據(jù)勾股定理得到,確定平面,得到證明.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo),平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為,根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【解析】(1),故,,則,故,又,平面,,故平面,平面,故,
(2)△和△所在的平面互相垂直,則平面平面,且平面,故平面,如圖所示:以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,設(shè),,平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,取得到,則,解得,不滿足題意.綜上所述:不存在點(diǎn),使二面角的大小為.3.為幫助鄉(xiāng)村脫貧,某勘探隊(duì)計(jì)劃了解當(dāng)?shù)氐V脈某金屬的分布情況,測(cè)得了平均金屬含量(單位:)與樣本對(duì)原點(diǎn)的距離(單位:)的數(shù)據(jù),并作了初步處理,得到了下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.(表中)660(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)的知識(shí),判斷與哪一個(gè)更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型?(2)根據(jù)(1)的結(jié)果回答下列問題:(i)建立關(guān)于的回歸方程;(ii)樣本對(duì)原點(diǎn)的距離時(shí),金屬含量的預(yù)報(bào)值是多少?(3)已知該金屬在距離原點(diǎn)米時(shí)的平均開采成本(單位:元)與關(guān)系為,根據(jù)(2)的結(jié)果回答,為何值時(shí),開采成本最大?【答案】(1)(2)(i);(ii)(3)10【分析】(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出相對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù),即可判斷;(2)(i)由(1)及所給數(shù)據(jù)求出、,即可得到回歸方程;(ii)將代入計(jì)算即可;(3)依題意,可得,令,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性,即可求出函數(shù)的極大值點(diǎn),從而得解.【解析】(1)因?yàn)榈木€性相關(guān)系數(shù),的線性相關(guān)系數(shù),,更適宜作為平均金屬含量關(guān)于樣本對(duì)原點(diǎn)的距離的回歸方程類型.(2)(i)依題意,可得,,,關(guān)于的回歸方程為.(ii)當(dāng)時(shí),金屬含量的預(yù)報(bào)值為.(3)因?yàn)椋?,則,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,在處取得極大值,也是最大值,此時(shí)取得最大值,故為10時(shí),開采成本最大.4.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為是雙曲線上兩點(diǎn),過作斜率為的直線,與雙曲線只有點(diǎn)這一個(gè)交點(diǎn).(1)求雙曲線的方程;(2)若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求的面積;(3)已知點(diǎn)和雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn),滿足,過點(diǎn)作于點(diǎn),證明:點(diǎn)在一個(gè)定圓上,并求定圓的方程.【答案】(1)(2)144(3)證明見解析,【分析】(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和斜率可得方程;(2)利用弦長(zhǎng)公式得出,結(jié)合垂直關(guān)系可得,利用可求斜率,進(jìn)而可得三角形的面積;(3)設(shè)出的方程,結(jié)合垂直關(guān)系,得出過定點(diǎn),進(jìn)而可證結(jié)論.【解析】(1)因?yàn)橛翼旤c(diǎn)為,所以,又因?yàn)檫^斜率為的直線與雙曲線只有點(diǎn)這一個(gè)交點(diǎn),所以,即,所以方程為.(2)由題意可知直線的斜率存在且不為零,設(shè),則,聯(lián)立,,,,設(shè),則,,利用代換可得,由題意,,整理得,,,因?yàn)椋?/p>
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