2025年中考數(shù)學(xué)壓軸專題匯編(江蘇專用)壓軸專題16阿基米德折弦定理與婆羅摩笈多模型(原卷版+解析)

/壓軸專題16阿基米德折弦定理與婆羅摩笈多模型知識(shí)考點(diǎn)與解題策略模型1.阿基米德折弦模型折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。條件：如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，結(jié)論：CD=AB+BD。圖1圖2圖3圖4證明：法1（垂線法）：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接，AC；∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．法2（截長(zhǎng)法）：如圖3，在CD上截取DG=BD，連接BM，MC，MA，AC；∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，∵M(jìn)B=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．法3（補(bǔ)短法）：如圖4，如圖，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA；連接MA、MB、MC、MF、AC，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC，∠MAC=∠MCA，∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，，∴∠MBA=∠MBF，在△MBF和△MBA中，，∴△MBF≌△MBA（SAS），∴MF=MA=MC，又∵M(jìn)D⊥BC，∴FD=CD，∴DC=BF+BD=BA+BD；模型2.圓中的“婆羅摩笈多”模型婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形（即對(duì)角互補(bǔ)的四邊形）的對(duì)角線互相垂直且相交，那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)（反之亦能成立）。1）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）條件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)M，直線，垂足為點(diǎn)E，并且交直線AD于點(diǎn)F．結(jié)論：．證明：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD2）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理?xiàng)l件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，直線FM交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)A=FD．結(jié)論：FE⊥BC．證明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．例題1（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）（1）【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在上截取，連接和，是的中點(diǎn)，∴，∴①，又∵②，，，又，，，即，根據(jù)證明過(guò)程，完成下列步驟：①，②．（2）【理解運(yùn)用】如圖1，是的兩條弦，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_____．（3）【變式探究】如圖3，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．（4）【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：如圖4，是的直徑，點(diǎn)圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，的半徑為10，求長(zhǎng)．

例題2（2021·江蘇宿遷·二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為（填“真命題”，“假命題”）；【探究】（1）如圖2，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）如圖3，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．1．阿基米德折弦定理：如圖1，與是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)N，則點(diǎn)N是折弦的中點(diǎn)，即．如圖2，半徑為4的圓中有一個(gè)內(nèi)接矩形，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)N，若矩形的面積為20，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（23-24九年級(jí)下·江蘇徐州·自主招生）已知圓的圓心在函數(shù)圖象上，若圓與軸和直線都相切，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．4．（23-24九年級(jí)上·江蘇常州·期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后，作了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn)．如圖，在中，是的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則可以得到＝，請(qǐng)證明此結(jié)論．

(2)從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，稱為該圓的一條折弦．如圖，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，若、是的折弦，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)．則．這就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何來(lái)證明這個(gè)結(jié)論呢？小明的證明思路是∶在上截取，連接、、、…請(qǐng)你按照小明的思路完成證明過(guò)程．

(3)如圖，已知等邊三角形內(nèi)接于，＝，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，＝，AE⊥BD于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_________．

5．請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．

這個(gè)定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內(nèi)接于，D為上一點(diǎn)，．于點(diǎn)E，，連接，求的周長(zhǎng)．6．（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點(diǎn)在折線段上，，則稱點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．(1)如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．若，則；(2)【定理證明】阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點(diǎn)；【變式探究】(3)如圖4，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】(4)如圖5，是的直徑，點(diǎn)為上一定點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，，則．7．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．小明同學(xué)運(yùn)用“截長(zhǎng)法”和三角形全等來(lái)證明，過(guò)程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊內(nèi)接于⊙O，，D為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出的周長(zhǎng)．8．（九年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，阿基米德的折弦定理是其推導(dǎo)出來(lái)的重要定理之一．阿基米德折弦定理：如圖，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是⊙O的一條折弦），BC＞AB，M是弧ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB+BD．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝AB+BD的部分證明過(guò)程．證明：如圖，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是弧ABC的中點(diǎn)，∴MA＝MC．…請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分．9．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并成為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al﹣Binmi的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=AB+BD的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC．…任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖3，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=2，D為上一點(diǎn)，∠ABD=45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，則△BDC的周長(zhǎng)是．10．綜合運(yùn)用：【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在上截取，連接和，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∴（相等的弧所對(duì)的弦相等），又∵（同弧所對(duì)的圓周角相等），∴，∴，又∵，∴，∴，即．(1)【理解運(yùn)用】如圖1，是的兩條弦，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為________；(2)【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：如圖4，是的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，的半徑為10，求長(zhǎng)．11．問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．

（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴……請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實(shí)踐應(yīng)用：（2）如圖3，已知內(nèi)接于，，D是的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為．（3）如圖4，已知等腰內(nèi)接于，，D為上一點(diǎn)，連接，，于點(diǎn)E，的周長(zhǎng)為，，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．12．（九年級(jí)上·江蘇連云港·期末）【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝DB+BA．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝DB+BA的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵M(jìn)D⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據(jù)證明過(guò)程，分別寫出下列步驟的理由：①，②，③；【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝；【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長(zhǎng)．13．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，D為上一點(diǎn),，與點(diǎn)E,則的周長(zhǎng)是．14．【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在上截取，連接、、和．是的中點(diǎn)，，又，，，，又，，即．

(1)【理解運(yùn)用】如圖1，、是的兩條弦，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，則；(2)【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．(3)【實(shí)踐應(yīng)用】如圖4，是的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，的半徑為5，則AD＝．15．（23-24九年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）如圖：已知點(diǎn)A、B、C、D順次在圓O上，，，垂足為M．證明：．（阿基米德折弦定理）

16．（24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB+BD．小明同學(xué)運(yùn)用“截長(zhǎng)法”和三角形全等來(lái)證明CD＝AB+BD，過(guò)程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC，…(1)請(qǐng)按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=4，AC=10，則AE的長(zhǎng)度為_________；(3)如圖4，已知等邊ABC內(nèi)接于⊙O，AB=8，D為上一點(diǎn)，∠ABD=45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，求BDC的周長(zhǎng)．17．（23-24九年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）閱讀材料并完成相應(yīng)任務(wù)：婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．其中就包括他提出的婆羅摩笈多定理（也稱布拉美古塔定理）．婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊．下面對(duì)該定理進(jìn)行證明．已知：如圖（1），四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線于點(diǎn)P，于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N．求證：．證明：∵，，∴，∴．……任務(wù)：(1)請(qǐng)完成該證明的剩余部分；(2)請(qǐng)利用婆羅摩笈多定理完成如下問(wèn)題：如圖（2），已知中，分別交于點(diǎn)D，E，連接交于點(diǎn)P．過(guò)點(diǎn)P作，分別交于點(diǎn)M，N．若，求的長(zhǎng)．18．（24-25九年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）閱讀材料并完成相應(yīng)任務(wù)：婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．其中就包括他提出的婆羅摩笈多定理（也稱布拉美古塔定理）．婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊．下面對(duì)該定理進(jìn)行證明．已知：如圖（1），四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：．證明：，，，，．……任務(wù)：(1)請(qǐng)完成該證明的剩余部分；(2)請(qǐng)利用婆羅摩笈多定理完成如下問(wèn)題：如圖（2），已知中，，，，分別交于點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，．若，求的長(zhǎng)．19、婆羅摩笈多（Brahmagupta）約公元598年生，約660年卒，在數(shù)學(xué)、天文學(xué)方面有所成就．婆羅摩笈多是印度印多爾北部烏賈因地方人，原籍可能為巴基斯坦的信德．婆羅摩笈多的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．例如下列模型就被稱為“婆羅摩笈多模型”：如圖1，2，3，△ABC中，分別以AB，AC為邊作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，則有下列結(jié)論：①圖1中S△ABC＝S△ADE；②如圖2中，若AM是邊BC上的中線，則ED＝2AM；

③如圖3中，若AM⊥BC，則MA的延長(zhǎng)線平分ED于點(diǎn)N．（1）上述三個(gè)結(jié)論中請(qǐng)你選擇一個(gè)感興趣的結(jié)論進(jìn)行證明，寫出證明過(guò)程；（2）能力拓展：將上述圖形中的某一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)到如圖4所示的位置：△ABC與△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BD，CE，若F為BD的中點(diǎn)，連接AF，求證：2AF＝CE．

壓軸專題16阿基米德折弦定理與婆羅摩笈多模型知識(shí)考點(diǎn)與解題策略模型1.阿基米德折弦模型折弦:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱之為該圖的一條折弦。一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。條件：如圖1所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，結(jié)論：CD=AB+BD。圖1圖2圖3圖4證明：法1（垂線法）：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接，AC；∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．法2（截長(zhǎng)法）：如圖3，在CD上截取DG=BD，連接BM，MC，MA，AC；∵BD=DG，MD⊥BG，∴MB=MG，∠MBG=∠MGB，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴∠MAC=∠MCA，∴MA=MC，∵∠CMG＋∠MCG=∠MGB=∠MBG=∠MAC=∠MCA=∠ACB＋∠MCG，∴∠CMG=∠ACB=∠AMB，∵M(jìn)B=MG，MA=MC，∠BMA=∠GMC，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴BA=GC，CD=AB+BD．法3（補(bǔ)短法）：如圖4，如圖，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA；連接MA、MB、MC、MF、AC，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC，∠MAC=∠MCA，∵∠MBA=180°-∠MCA，∠MBF=180°-∠CBC=180°-∠MAC=180°-∠MCA，，∴∠MBA=∠MBF，在△MBF和△MBA中，，∴△MBF≌△MBA（SAS），∴MF=MA=MC，又∵M(jìn)D⊥BC，∴FD=CD，∴DC=BF+BD=BA+BD；模型2.圓中的“婆羅摩笈多”模型婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形（即對(duì)角互補(bǔ)的四邊形）的對(duì)角線互相垂直且相交，那么從交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)（反之亦能成立）。1）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）條件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，對(duì)角線，垂足為點(diǎn)M，直線，垂足為點(diǎn)E，并且交直線AD于點(diǎn)F．結(jié)論：．證明：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．在Rt△ADM中，∠ADM＝90°，∴∠DMF＝90°﹣∠AMF，∠ADM＝90°﹣∠CAD，又∠AMF＝∠CAD，∴∠DMF＝∠ADM，∴FM＝FD，∴AF＝FD2）婆羅摩笈多定理（古拉美古塔定理）的逆定理?xiàng)l件：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為M，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，直線FM交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)A=FD．結(jié)論：FE⊥BC．證明：∵AF=FD，AC⊥BD，∴∠AMD=90°，∴AF=MF=FD，∴∠FMD=∠ADM，∵∠DAM+∠ADM=90°，∴∠FMD+∠DAM=90°，∵∠FMD=∠BME，∠DAM=∠DBC，∴∠DBC+∠BME=90°，∴∠MEB=90°，∴FE⊥BC．例題1（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）（1）【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在上截取，連接和，是的中點(diǎn)，∴，∴①，又∵②，，，又，，，即，根據(jù)證明過(guò)程，完成下列步驟：①，②．（2）【理解運(yùn)用】如圖1，是的兩條弦，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_____．（3）【變式探究】如圖3，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．（4）【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：如圖4，是的直徑，點(diǎn)圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，的半徑為10，求長(zhǎng)．

【答案】（1）相等的弧所對(duì)的弦相等，同弧所對(duì)的圓周角相等；（2）2；（3），見解析；（4）或【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解；（2）由“問(wèn)題”呈現(xiàn)結(jié)論即可求解；（3）在上截取，連接、、、，證明可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（4）分兩種情況討論，由（1）結(jié)論可求解．【詳解】（1）解：由證明過(guò)程可知，（相等的弧所對(duì)的弦相等）；（同弧所對(duì)的圓周角相等）；故答案為：相等的弧所對(duì)的弦相等，同弧所對(duì)的圓周角相等；（2）由題意得：，即，，，，故答案為：2；（3），證明：在上截取，連接、、、，如圖3，

是弧的中點(diǎn)，，，又，，，，又，，，即；（4）如圖4，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

是圓的直徑，，，圓的半徑為10，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，，同理得，綜上所述：的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，理解題意是解本題的關(guān)鍵．例題2（2021·江蘇宿遷·二模）【閱讀】婆羅摩笈多是七世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家，他曾提出一個(gè)定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線平分對(duì)邊．證明：如圖1所示內(nèi)接于圓的四邊形的對(duì)角線互相垂直，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)，由垂直關(guān)系得，，所以，由同弧所對(duì)的圓周角相等得，所以，則，同理，，故；【思考】命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為（填“真命題”，“假命題”）；【探究】（1）如圖2，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于，垂足為點(diǎn)，與邊交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2）如圖3，和為共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．【答案】【思考】真命題；【探究】（1）證明見解析；（2）4．【思考】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出，再利用等量代換計(jì)算．結(jié)論可得；（1）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用同角的余角相等得出和，進(jìn)而得到；再證明，結(jié)論可得；（2）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，易證，得到，．再進(jìn)一步說(shuō)明，可得，結(jié)論可得．【詳解】解：【思考】“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為真命題．理由如下：如下圖，∵，為的中點(diǎn)，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．即：．∴命題“若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則平分對(duì)邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線垂直于另一邊”為真命題．故答案為：真命題．【探究】（1）如下圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵為等腰直角三角形，∴．在和中，∴．∴．∵，∴．在和中，∴．∴．即是的中點(diǎn)．（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴．在和中，∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．在和中，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，利用中點(diǎn)添加平行線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．1．阿基米德折弦定理：如圖1，與是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)N，則點(diǎn)N是折弦的中點(diǎn)，即．如圖2，半徑為4的圓中有一個(gè)內(nèi)接矩形，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)N，若矩形的面積為20，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查圓與勾股定理的綜合應(yīng)用；連接，，，根據(jù)圓周角定理，結(jié)合已知條件易證得為的直徑，，則，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系及等腰直角三角形的性質(zhì)可求得，然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等及勾股定理可得，，設(shè)，，其中，利用勾股定理及矩形面積公式列得方程，解方程求得，的長(zhǎng)度，再結(jié)合可證得，則，最后利用勾股定理列得方程，解方程求出或，再進(jìn)一步分析即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，，，四邊形為矩形，，為的直徑，，的半徑為4，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，設(shè)，，其中，則，解得：或舍去，即，，，，，，，，，解得：或，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴．故選：A．2．（23-24九年級(jí)下·江蘇徐州·自主招生）已知圓的圓心在函數(shù)圖象上，若圓與軸和直線都相切，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】本題考查了切線長(zhǎng)定理，勾股定理，反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)，分當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)和點(diǎn)在第四象限內(nèi)兩種情況，畫出圖形解答即可求解，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)時(shí)，點(diǎn)為切點(diǎn)，連接，則軸，，由切線長(zhǎng)定理可得，，∵直線解析式為，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∵點(diǎn)在函數(shù)圖象上，∴，解得，∴；當(dāng)點(diǎn)在第四象限內(nèi)時(shí)，同理可得；綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．3．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．請(qǐng)應(yīng)用阿基米德折弦定理解決問(wèn)題：如圖2，已知等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是．

【答案】/【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，則可用阿基米德折弦定理得，，根據(jù)中，，于點(diǎn)，可得是等腰直角三角形，可求出的長(zhǎng)，即的長(zhǎng)，根據(jù)的周長(zhǎng)的計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∴外接圓中，，即點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，且于點(diǎn)，∴根據(jù)阿基米德折弦定理得，，∵中，，于點(diǎn)，且，∴，，即是等腰直角三角形，則，∴，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，等邊三角形的性質(zhì)，圓的基礎(chǔ)知識(shí)，等腰直角三角形的性質(zhì)，幾何圖形的周長(zhǎng)的計(jì)算方法等知識(shí)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（23-24九年級(jí)上·江蘇常州·期中）小明學(xué)習(xí)了垂徑定理后，作了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．(1)更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多新的發(fā)現(xiàn)．如圖，在中，是的中點(diǎn)，直線于點(diǎn)，則可以得到＝，請(qǐng)證明此結(jié)論．

(2)從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，稱為該圓的一條折弦．如圖，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)，若、是的折弦，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)．則．這就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何來(lái)證明這個(gè)結(jié)論呢？小明的證明思路是∶在上截取，連接、、、…請(qǐng)你按照小明的思路完成證明過(guò)程．

(3)如圖，已知等邊三角形內(nèi)接于，＝，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，＝，AE⊥BD于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_________．

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（1）連接，，易證為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，可以證得．（2）如圖，在上截?。剑B接、、、，由是的中點(diǎn)，得，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等腰三角形的三線合一即可得證；（3）根據(jù)，從而證明，得出，然后判斷出，進(jìn)而求得．【詳解】（1）如圖，連接，，

∵是劣弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰三角形，∵，∴；（2）證明：如圖，在上截取＝，連接、、、，

∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵＝，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴由（）得，∵，AE⊥BD，∴是等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∴的周長(zhǎng)為∶．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理及其推論，等邊三角形得性質(zhì)，勾股定理，弧、弦、弦心距之間得關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，掌握并熟練運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．

阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），．M是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．

這個(gè)定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊三角形內(nèi)接于，D為上一點(diǎn)，．于點(diǎn)E，，連接，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證，推出，．再證，推出，等量代換可得；（2）先利用等邊三角形的性質(zhì)證明，進(jìn)而證明，，求出，再利用（1）中結(jié)論可得，通過(guò)等量代換可得．【詳解】（1）證明：如圖，，

∵，，∴．又∵，∴，∴，．∵，，∴．∴．∴．（2）解：如圖，

∵是等邊三角形，∴，．∵．∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)C是的中點(diǎn)．∴由（1）的結(jié)論得，，∴的周長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等量代換思想．6．（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段、組成折線段．若點(diǎn)在折線段上，，則稱點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．(1)如圖2，的半徑為2，是的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是折線段的中點(diǎn)．若，則；(2)【定理證明】阿基米德折弦定理：如圖3，和是的兩條弦（即折線段是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，從向作垂線，垂足為，求證：是折弦的中點(diǎn)；【變式探究】(3)如圖4，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】(4)如圖5，是的直徑，點(diǎn)為上一定點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，，則．【答案】(1)3(2)見解析(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，求出，再由所給的定義求出的長(zhǎng)即可；（2）在上截取，連接、、、，可證明，得到，再由垂徑定理得到，則有，即可證明是折弦的中點(diǎn)；（3）仿照（2）的方法，在上截取，連接、、、，證明，可得到；（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，求出，再由勾股定理求出；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖6，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由，求出，再由勾股定理求出．【詳解】（1）解：是的切線，為切點(diǎn)，，，，，，，是折線段的中點(diǎn)，，故答案為：3；（2）證明：在上截取，連接、、、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，（SAS），，，，，是折弦的中點(diǎn)；（3）解：，理由如下：如圖，在上截取，連接、、、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，（SAS），，，，，；（4）解：是的直徑，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖，，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，；綜上所述：的長(zhǎng)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，垂徑定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，理解阿基米德折弦定理是解題的關(guān)鍵．7．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al-Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即．小明同學(xué)運(yùn)用“截長(zhǎng)法”和三角形全等來(lái)證明，過(guò)程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，已知等邊內(nèi)接于⊙O，，D為上一點(diǎn)，，于點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出的周長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析；(2)的周長(zhǎng)為【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）首先證明，進(jìn)而得出，以及，進(jìn)而求出BE的長(zhǎng)即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖2所示，在CB上截取，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴．又∵，∴，∴；（2）解：如圖3，截取，連接AF，AD，CD．則．∵是等邊三角形，∴，在和中，∴，∴．∵，∴，則．∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．8．（九年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，阿基米德的折弦定理是其推導(dǎo)出來(lái)的重要定理之一．阿基米德折弦定理：如圖，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是⊙O的一條折弦），BC＞AB，M是弧ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB+BD．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝AB+BD的部分證明過(guò)程．證明：如圖，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是弧ABC的中點(diǎn)，∴MA＝MC．…請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分．【答案】見解析.【分析】首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案．【詳解】如圖，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC，在△MBA和△MGC中，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，又∵M(jìn)D⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．9．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并成為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al﹣Binmi的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=AB+BD的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC．…任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖3，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=2，D為上一點(diǎn)，∠ABD=45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，則△BDC的周長(zhǎng)是．【答案】(1)詳見解析；（2）2+2．【詳解】試題分析：（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案；（2）首先證明△ABF≌ACD（SAS），進(jìn)而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)即可得出答案．試題解析：（1）證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC．在△MBA和△MGC中∵，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵M(jìn)D⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）解：如圖3，截取BF=CD，連接AF，AD，CD，由題意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，在△ABF和△ACD中∵，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，則CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE==，則△BDC的周長(zhǎng)是2+2．考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì)．10．綜合運(yùn)用：【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在上截取，連接和，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，∴（相等的弧所對(duì)的弦相等），又∵（同弧所對(duì)的圓周角相等），∴，∴，又∵，∴，∴，即．(1)【理解運(yùn)用】如圖1，是的兩條弦，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為________；(2)【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；(3)【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：如圖4，是的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，的半徑為10，求長(zhǎng)．【答案】(1)2(2)，理由見解析(3)的長(zhǎng)為或．【分析】（1）由“問(wèn)題”呈現(xiàn)結(jié)論即可求解；（2）在上截取，連接、、、，證明可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，由（1）結(jié)論可求解．【詳解】（1）解：由題意得：，即，，，，故答案為：2；（2）解：，證明：在上截取，連接、、、，如圖3，

是弧的中點(diǎn)，，，又，，，，又，，，即；（3）解：如圖4，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

是圓的直徑，，，圓的半徑為10，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，，同理得，綜上所述：的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，理解題意是解本題的關(guān)鍵．11．問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．

（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴……請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；實(shí)踐應(yīng)用：（2）如圖3，已知內(nèi)接于，，D是的中點(diǎn)，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為．（3）如圖4，已知等腰內(nèi)接于，，D為上一點(diǎn)，連接，，于點(diǎn)E，的周長(zhǎng)為，，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）4【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）直接根據(jù)阿基米德折弦定理得出結(jié)論；（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得出，進(jìn)而求出，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．

∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴．在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）根據(jù)阿基米德折弦定理得，，答案為：；（3）根據(jù)阿基米德折弦定理得，，∵的周長(zhǎng)為，∴，∴，∵，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，理解和應(yīng)用阿基米德折弦定理解題關(guān)鍵．12．（九年級(jí)上·江蘇連云港·期末）【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝DB+BA．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝DB+BA的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵M(jìn)D⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據(jù)證明過(guò)程，分別寫出下列步驟的理由：①，②，③；【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝；【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長(zhǎng)．【答案】（問(wèn)題呈現(xiàn)）相等的弧所對(duì)的弦相等；同弧所對(duì)的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（理解運(yùn)用）1；（變式探究）DB＝CD+BA；證明見解析；（實(shí)踐應(yīng)用）7或．【分析】（問(wèn)題呈現(xiàn)）根據(jù)圓的性質(zhì)即可求解；（理解運(yùn)用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；（變式探究）證明△MAB≌△MGB（SAS），則MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，則DC＝DG，即可求解；（實(shí)踐應(yīng)用）已知∠D1AC＝45°，過(guò)點(diǎn)D1作D1G1⊥AC于點(diǎn)G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．【詳解】（問(wèn)題呈現(xiàn)）①相等的弧所對(duì)的弦相等②同弧所對(duì)的圓周角相等③有兩組邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等故答案為：相等的弧所對(duì)的弦相等；同弧所定義的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；（理解運(yùn)用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案為：1；（變式探究）DB＝CD+BA．證明：在DB上截去BG＝BA，連接MA、MB、MC、MG，∵M(jìn)是弧AC的中點(diǎn)，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；（實(shí)踐應(yīng)用）如圖，BC是圓的直徑，所以∠BAC＝90°．因?yàn)锳B＝6，圓的半徑為5，所以AC＝8．已知∠D1AC＝45°，過(guò)點(diǎn)D1作D1G1⊥AC于點(diǎn)G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．所以AD1＝7．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．所以AD的長(zhǎng)為7或．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定（SAS）與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和圓心角、弦、弧，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定（SAS）與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和圓心角、弦、弧.13．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，M是的中點(diǎn)，則從M向所作垂線的垂足D是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（2）填空：如圖（3），已知等邊內(nèi)接于，，D為上一點(diǎn),，與點(diǎn)E,則的周長(zhǎng)是．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）首先證明，進(jìn)而得出，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（2）方法一、首先證明，進(jìn)而得出，以及，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可得出答案．方法二、先求出，再用（1）的結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖2，在上截取，連接和．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴在和中∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：方法一、如圖3，截取，連接，由題意可得：，在和中，∴，∴，∵，∴，則，∵，∴，則的周長(zhǎng)是．故答案為．方法二、∵是等邊三角形，∴，∴由（1）的結(jié)論得，，∵，∴，∴，∴則的周長(zhǎng)是．故答案為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．14．【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在上截取，連接、、和．是的中點(diǎn)，，又，，，，又，，即．

(1)【理解運(yùn)用】如圖1，、是的兩條弦，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，則；(2)【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷、、之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．(3)【實(shí)踐應(yīng)用】如圖4，是的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，若，的半徑為5，則AD＝．【答案】(1)1(2)；證明見解析(3)或【分析】（1）由“問(wèn)題呈現(xiàn)”結(jié)論可求解；（2）在上截取，連接、、、，由“”可證，可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，由“問(wèn)題呈現(xiàn)”結(jié)論可求解．【詳解】（1）解：由題意可得，即，，，．（2）解：．證明：在上截取，連接、、、，是弧的中點(diǎn)，，，又，，，，又，，，即．（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，是圓的直徑，，，圓的半徑為5，，，，，．當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，，同理易得．綜上所述：的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識(shí)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，理解題意是本題的關(guān)鍵．15．（23-24九年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）如圖：已知點(diǎn)A、B、C、D順次在圓O上，，，垂足為M．證明：．（阿基米德折弦定理）

【答案】見解析【分析】如圖，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到，使與重合，再證，可得,即可得出．【詳解】∵，∴，又，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到，使與重合，如圖，

∴，∴，，，∵，即，∴，在和中，，∴∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)建全等三角形，是解答的本題的關(guān)鍵．16．（24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB+BD．小明同學(xué)運(yùn)用“截長(zhǎng)法”和三角形全等來(lái)證明CD＝AB+BD，過(guò)程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA＝MC，…(1)請(qǐng)按照上述思路，寫出該證明的剩余部分；(2)如圖3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=4，AC=10，則AE的長(zhǎng)度為_________；(3)如圖4，已知等邊ABC內(nèi)接于⊙O，AB=8，D為上一點(diǎn)，∠ABD=45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，求BDC的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)3(3)8+8【分析】（1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案；（2）在AC上截取CF=AB，連接BD、CD、AD、DF，證明△DCF≌△DBA（SAS），得到DF=AD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AE=EF，由此得到AE；（3）首先證明△ABF≌ACD（SAS），進(jìn)而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴MA=MC．又∵BA=GC，∠A=∠C，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵M(jìn)D⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）在AC上截取CF=AB，連接BD、CD、AD、DF，∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，∴△DCF≌△DBA（SAS），∴DF=AD，又∵DE⊥AC，∴AE=EF，∵CF=AB=4，AC=10，∴AE=3；（3）解：如圖3，在BD上截取BF=CD，連接AF，AD，CD，由題意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，則CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE=AB=4，則△BDC的周長(zhǎng)=2BE+BC=8+8．故答案為：8+8．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．17．（23-24九年級(jí)下·江蘇泰州·階段練習(xí)）閱讀材料并完成相應(yīng)任務(wù)：婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．其中就包括他提出的婆羅摩笈多定理（也稱布拉美古塔定理）．婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊．下面對(duì)該定理進(jìn)行證明．已知：如圖（1），四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線于點(diǎn)P，于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N．求證：．證明：∵，，∴，∴．……任務(wù)：(1)請(qǐng)完成該證明的剩余部分；(2)請(qǐng)利用婆羅摩笈多定理完成如下問(wèn)題：如圖（2），已知中，分別交于點(diǎn)D，E，連接交于點(diǎn)P．過(guò)點(diǎn)P作，分別交于點(diǎn)M，N．若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義和三角形內(nèi)角和定理證明，再由對(duì)頂角相等和圓周角定理證明，得到，同理可證，即可證明；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)得到，即，再由平行線的性質(zhì)得到，即可利用題中定理得到，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，同理可證，∴；（2）解：∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，即點(diǎn)N為的中點(diǎn)，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，證明題中所給定理是解題的關(guān)鍵．18．（24-25九年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）閱讀材料并完成相應(yīng)任務(wù)：婆羅摩笈多是一位印度數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家，他的一些數(shù)學(xué)成就在世界數(shù)學(xué)史上有較高的地位．其中就包括他提出的婆羅摩笈多定理（也稱布拉美古塔定理）．婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊．下面對(duì)該定理進(jìn)行證明．已知：如圖（1），四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：．證明：，，，，．……任務(wù)：(1)請(qǐng)完成該證明的剩余部分；(2)請(qǐng)利用婆羅摩笈多定理完成如下問(wèn)題：如圖（2），已知中，，，，分別交于點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作，分別交，于點(diǎn)，．若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）應(yīng)用圓周角定理，等腰三角形的判定，可證明；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求解．【詳解】（1）解：證明：，，，，，，，，，同理，，；（2）四邊形是內(nèi)接四邊形，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角