2025年中考數(shù)學壓軸專題匯編(江蘇專用)壓軸專題09定角定高模型(原卷版+解析)

/壓軸專題09定角定高模型知識考點與解題策略定角定高模型（探照燈模型）定角定高模型：如圖，直線BC外一點A，A到直線BC距離為定值（定高AD），∠BAC為定角，則BC有最小值，即△ABC的面積有最小值。因為其形像探照燈，所以也叫探照燈模型。條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。結(jié)論：當△ABC是等腰三角形（AB=AC）時，BC的長最小；△ABC的面積最?。弧鰽BC的周長最小。證明：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，過點O作OH⊥BC于點E，設的半徑為r，則∠BOH=∠BAC=；∴BC=2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos。∵OA+OH≥AD（當且僅當點A，O，H三點共線時,等號成立），∴r+rcos≥h，即，當取等號時r有最小值；∴，當取等號時BC有最小值；∴，當取等號時△ABC有最小值；∴，當取等號時△ABC有最小值。例題1（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習）已知：如圖，點O是直線l外一點，點O到直線l的距離是4，點A、點B是直線l上的兩個動點，且cos∠AOB=，則線段AB的長的最小值為（）A． B． C．3 D．4例題2如圖，在中，，于點，且，則面積的最小值為．

1、如圖，在中，，邊上的高為4，則周長的最小值為．

2、如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，點E、F分別為邊BC、CD上的兩個動點，且∠EAF＝60°，則△AEF的面積的最小值是．3、問題提出：（1）如圖①，已知在邊長為10的等邊△ABC中，點D在邊BC上，BD＝6，連接AD，則△ACD的面積為；問題探究：（2）如圖②，已知在邊長為6的正方形ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面積；問題解決：（3）如圖③是某座城市延康大道的一部分，因自來水搶修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開挖一個△AEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上（不與B、C、D重合），且∠EAF＝45°，為了減少對該路段的擁堵影響，要求△AEF面積最小，那么是否存在一個面積最小的△AEF？若存在，請求出△AEF面積的最小值；若不存在，請說明理由．4．（2024九年級上·江蘇·專題練習）如圖，在中，，邊上的高，則周長的最小值為．5．（1）如圖1，在中，，為邊上的高，若，求面積的最小值；（2）某花卉培育公司有一塊直角三角形鮮花培育基地，現(xiàn)在研究人員打算在這塊鮮花培育基地上規(guī)劃出一部分來培育新品種郁金香．如圖2，是這片鮮花培育基地的平面示意圖，，點是邊上一點，連接，，且，點為上一點，，為了更有效的利用這塊鮮花培育基地，需要新品種郁金香培育基地的面積盡可能的小，請你求出新品種郁金香培育基地面積的最小值．6．（2023·江蘇淮安·二模）某數(shù)學興趣小組同學遇到這樣一個問題：如圖1，點是一只探照燈，距離地面高度，照射角度，在地平線上的照射范圍是線段，此燈的光照區(qū)域的面積最小值是多少？(1)小明同學利用特殊化方法進行分析，請你完成填空：如圖2，設，，構(gòu)造的外接圓，可得，即的最小值為4，又，故得的最小值為__________，通過計算可得的面積最小值為__________．(2)當時，小慧同學采用小明的思路進行如下構(gòu)造，請你在圖1中畫出圖形，并把解題過程續(xù)寫完整：解：作的外接圓，作于H，設(3)請你寫出原題中的結(jié)論：光照區(qū)域的面積最小值是__________________________．（用含的式子表示）(4)如圖3，探照燈A到地平線l距離米，到垂直于地面的墻壁n的距離米，探照燈的照射角度，且，光照區(qū)域為四邊形，點M、N分別在射線上，設的面積為，的面積為，求的最大值．7．（2020春?和平區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分別為邊BC及射線CD上的動點，∠EAF＝45°，△AEF面積的最小值．8、（2024九年級上·江蘇·專題練習）輔助圓之定角定高求解探究(1)如圖①，已知線段，以為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；(2)如圖②，在中，，為邊上的高，若，試判斷是否存在最小值，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；(3)如圖③，某園林單位要設計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形中，，，，點、分別為、上的點，若保持，那么四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由．9、已知點O為直線外一點，點O到直線距離為4，點A、B是直線上的動點，且∠AOB＝30°。則△ABO的面積最小值為．10．在直角中，，，點D是外一點，連接，以為邊作等邊．(1)如圖1，當點F在線段上，交于點M，且平分，若，求的面積；(2)如圖2，連接并延長至點E，使得，連接、、，證明：；(3)如圖3，旋轉(zhuǎn)使得落在的角平分線上，M、N分別是射線、上的動點，且始終滿足，連接，若，請直接寫出的面積最小值．11．【場景發(fā)現(xiàn)】小明晚上經(jīng)過河邊時，發(fā)現(xiàn)探照燈的照射光線都不是垂直于河邊，而是有一個角度，為了尋找原因，小明將這一場景進行數(shù)學抽象化如圖所示，【模型遷移】在一個矩形院子安裝一個攝像頭，攝像頭的監(jiān)控角度為，若將攝像頭安裝在墻的處，，是攝像頭與墻壁的交點，如圖圖所示，陰影部分為攝像頭的盲區(qū)．

(1)假設探照燈的有效照射角度為，河寬米，米的時候照射的面積最小，最小值為；(2)若米，米，在線段是否存在點，當攝像頭在點轉(zhuǎn)動時，攝像頭的盲區(qū)不變，若存在，等于多少，攝像頭的盲區(qū)面積為多少？(3)在南北走向的馬路上，工作人員要安裝一個攝像角度為的攝像頭，正好可以監(jiān)控到整面墻面，以墻面的中點為為原點建立如圖所示的坐標系，，馬路距離墻面的最小距離為，請寫出符合條件的攝像頭的坐標．

壓軸專題09定角定高模型知識考點與解題策略定角定高模型（探照燈模型）定角定高模型：如圖，直線BC外一點A，A到直線BC距離為定值（定高AD），∠BAC為定角，則BC有最小值，即△ABC的面積有最小值。因為其形像探照燈，所以也叫探照燈模型。條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。結(jié)論：當△ABC是等腰三角形（AB=AC）時，BC的長最??；△ABC的面積最??；△ABC的周長最小。證明：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，過點O作OH⊥BC于點E，設的半徑為r，則∠BOH=∠BAC=；∴BC=2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcos=rcos?！逴A+OH≥AD（當且僅當點A，O，H三點共線時,等號成立），∴r+rcos≥h，即，當取等號時r有最小值；∴，當取等號時BC有最小值；∴，當取等號時△ABC有最小值；∴，當取等號時△ABC有最小值。例題1（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習）已知：如圖，點O是直線l外一點，點O到直線l的距離是4，點A、點B是直線l上的兩個動點，且cos∠AOB=，則線段AB的長的最小值為（）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型求解。法2：如圖，過點O作直線直線l，則直線l與直線之間的距離為4，作點B關于直線的對稱點，連接，，交直線于點T，連接BT，過點A作AH⊥BT于H，過點T作TW⊥AB于W．首先證明當A，O，共線時，的值最小，此時AB的值最小，解直角三角形求出此時AB的值，可得結(jié)論．【詳解】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型知道：當△OAB是等腰三角形（OA=OB）時，AB的長最??；設三角形△OAB的高為h，其外接圓半徑為r，根據(jù)定角定高（探照燈）模型易得：r+rcos∠AOB≥h，當取等號時r有最小值，此時BC的長最小:2rsin∠AOB；∵O到直線l的距離是4，且cos∠AOB=，∴r≥，sin∠AOB=，∴BC≥4。例題2如圖，在中，，于點，且，則面積的最小值為．

【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，三角形的外接圓的半徑，垂徑定理，作的外接圓，連接，，，過點作于點，根據(jù)圓周角定理可得，則，設的半徑為，則，，根據(jù)得出，求得半徑的范圍，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】作的外接圓，連接，，，過點作于點，

，，，，設的半徑為，則，，，，，解得：，，，的面積的最小值為，故答案為：.1、如圖，在中，，邊上的高為4，則周長的最小值為．

【答案】【分析】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型求解。法2：作的垂直平分線，交于點N，交于點M，連接，則周長，當點D與點M重合時，周長，且為等邊三角形，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】法1：設三角形△ABC的高為AD=h=4，其外接圓半徑為r，根據(jù)定角定高（探照燈）模型知：r+rcos≥h，即，當取等號時r有最小值（即AB=AC時）；r的最小值為：，BC的最小值為：，此時△ABC是等腰三角形（AB=AC）時，△ABC的周長有最小值：.法2：如圖所示，作的垂直平分線，交于點N，交于點M，連接，

∵垂直平分，∴，∴周長∵在中，，∴，當點D與點M重合時，，∴周長，∴周長的最小值，∵，∴為等邊三角形，∵為邊上的高，，∴，∴周長的最小值，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關鍵是正確作出輔助線，確定當周長最小時的情況．2、如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，點E、F分別為邊BC、CD上的兩個動點，且∠EAF＝60°，則△AEF的面積的最小值是．【答案】4【解答】解：將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°到△ABM，由旋轉(zhuǎn)得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共線，∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA，過A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB?sin60°＝2，作△AEF的外接圓⊙O，連接OA、OE、OF，過O作ON⊥EF于N，∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，設EF＝2x，則NF＝x，Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2，∴S△AEF＝EF?AK＝＝2x≥4，∴△AEF面積的最小值是4．3、問題提出：（1）如圖①，已知在邊長為10的等邊△ABC中，點D在邊BC上，BD＝6，連接AD，則△ACD的面積為；問題探究：（2）如圖②，已知在邊長為6的正方形ABCD中，點E在邊BC上，點F在邊CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面積；問題解決：（3）如圖③是某座城市延康大道的一部分，因自來水搶修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開挖一個△AEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上（不與B、C、D重合），且∠EAF＝45°，為了減少對該路段的擁堵影響，要求△AEF面積最小，那么是否存在一個面積最小的△AEF？若存在，請求出△AEF面積的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）15；（3）存在，．【分析】（1）過點A作AH⊥BC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、正弦的定義求出AH，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案；（2）將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，證明△AEF≌△AEH，根據(jù)三角形的面積公式計算即可；（3）把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°并縮小為，得到△ABG，根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式得到＝，設△AGE的外接圓圓心為O，連接OA、OG、OE，過得O作OH⊥GE于H，則∠GOE＝2∠EAG＝90°，設△AGE的外接圓的半徑為R，則GE＝R，OH＝R，由題意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得R的范圍，故△AGE的面積≥××（8﹣4）×4＝16﹣16，得△AGE的面積的最小值為16﹣16，進而可得△AEF的面積的最小值為24﹣24．【詳解】（1）如圖①，過點A作AH⊥BC于H，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝60°，∴△ACD的面積＝×CD×AH＝×4×10?sin60°＝10，故答案為：10；（2）如圖②，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠EAH＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEH中，AF=AH,∠EAH＝∠EAF，AE=AE，∴△AEF≌△AEH（SAS），∴EH＝EF＝5，∴S△AEF＝S△AEH＝×5×6＝15；（3）把△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°并縮小為，得到△ABG，則AG＝AF，∠EAG＝∠EAF＝45°，過點E作EM⊥AG于M，EN⊥AF于N，∵∠EAG＝∠EAF，EM⊥AG，EN⊥AF，∴EM＝EN，∴＝，設△AGE的外接圓圓心為O，連接OA、OG、OE，過得O作OH⊥GE于H，則∠GOE＝2∠EAG＝90°，設△AGE的外接圓的半徑為R，則GE＝R，OH＝R，由題意得，OA+OH≥AB，即R+R≥4，解得，R≥8﹣4，∴△AGE的面積≥××（8﹣4）×4＝16﹣16，∴△AGE的面積的最小值為16﹣16，∴△AEF的面積的最小值為24﹣24．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，角平分線的性質(zhì)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等，較為綜合，根據(jù)圖形作出合適的輔助線是解題的關鍵．4．（2024九年級上·江蘇·專題練習）如圖，在中，，邊上的高，則周長的最小值為．【答案】【分析】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型求解。法2：延長到E，使得，延長到F，使得，連接，作的外接圓，過點O作于點J，交于點T．求出的最小值，可得結(jié)論．【詳解】法1：根據(jù)定角定高（探照燈）模型知道：當△ABC是等腰三角形（AB=AC）時，△ABC有最小值。再結(jié)合，邊上的高，∴BC=12，AB=AC=?！嗟闹荛L的最小值為，故答案為：．法2：如圖，延長到E，使得，延長到F，使得，連接，作的外接圓，連接，過點O作于點J，交于點T．∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，，∵，∴最小時，的周長最小，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴的周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱最短問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．5．（1）如圖1，在中，，為邊上的高，若，求面積的最小值；（2）某花卉培育公司有一塊直角三角形鮮花培育基地，現(xiàn)在研究人員打算在這塊鮮花培育基地上規(guī)劃出一部分來培育新品種郁金香．如圖2，是這片鮮花培育基地的平面示意圖，，點是邊上一點，連接，，且，點為上一點，，為了更有效的利用這塊鮮花培育基地，需要新品種郁金香培育基地的面積盡可能的小，請你求出新品種郁金香培育基地面積的最小值．【答案】（1）；（2）平方米【分析】（1）作的外接圓，連接、、，過點作于點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，設，則，，根據(jù)，得，求出，，然后求出結(jié)果即可；（2）過點作于點，于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，證明，得出，，，求出，在上截取，連接，證明，得出，根據(jù)，得出要使四邊形的面積最小，只需的面積最小，求出，的外接圓圓心為，連接，，，作于點，根據(jù)，得出，求出，得出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）如圖，作的外接圓，連接、、，過點作于點，，，，設，則，∴，∵，∴，由，得，即，，，面積的最小值為；（2）如圖，過點作于點，于點，，平分，，又，，，，，，均為等腰直角三角形，且，，如圖，在上截取，連接，，，，，，，要使四邊形的面積最小，只需的面積最小，，，，，.如圖，的外接圓圓心為，連接，，，作于點，，，，，由題意得，即，，，，，新品種郁金香培育基地面積的最小值為平方米.【點睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計算，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質(zhì)．6．（2023·江蘇淮安·二模）某數(shù)學興趣小組同學遇到這樣一個問題：如圖1，點是一只探照燈，距離地面高度，照射角度，在地平線上的照射范圍是線段，此燈的光照區(qū)域的面積最小值是多少？(1)小明同學利用特殊化方法進行分析，請你完成填空：如圖2，設，，構(gòu)造的外接圓，可得，即的最小值為4，又，故得的最小值為__________，通過計算可得的面積最小值為__________．(2)當時，小慧同學采用小明的思路進行如下構(gòu)造，請你在圖1中畫出圖形，并把解題過程續(xù)寫完整：解：作的外接圓，作于H，設(3)請你寫出原題中的結(jié)論：光照區(qū)域的面積最小值是__________________________．（用含的式子表示）(4)如圖3，探照燈A到地平線l距離米，到垂直于地面的墻壁n的距離米，探照燈的照射角度，且，光照區(qū)域為四邊形，點M、N分別在射線上，設的面積為，的面積為，求的最大值．【答案】(1)8，16(2)(3)(4)【分析】（1）當和點重合時，，此時最小為4，從而得出；（2）作的外接圓，作于，設，依次表示出，，，，根據(jù)列出，從而得出的最小值，進一步得出結(jié)果；（3）同（2）步驟相同：作的外接圓，作于，設圓的半徑為，依次表示出，，，根據(jù)列出方程，從而得出的最小值，進一步得出結(jié)果；（4）作，交于，可證得，從而得出，可證得，從而得出由（3）結(jié)論知：的最小值，進而變形得出的最小值，可得出，進一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：，，當和點重合時，，此時最小為4，，最小，故答案為：8，16；（2）解：如圖1，作的外接圓，作于，設，，，，，，，，當點在上時，，此時最小，；（3）解：如圖2，作的外接圓，作于，設，，，，，，，，，，當點在上時，，此時，，故答案為：；（4）解：如圖3，作，交于，，，，，，，，，由（2）知：，，，，，，，同理，，．【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等有關知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形．7．（2020春?和平區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分別為邊BC及射線CD上的動點，∠EAF＝45°，△AEF面積的最小值．【答案】【解答】解：如圖，過點A作AM⊥BC于M，過點E作EH⊥AF于H，AN⊥CD，交CD的延長線于N，∵∠B＝60°，AM⊥BC，∴∠BAM＝30°，∴BM＝3，AM＝3，∵∠ADC＝120°，∴∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝AD＝，AN＝，∵∠BAD＝135°，∠EAF＝45°，∠BAM＝30°，∴∠MAE+∠DAF＝60°，又∵∠ADN＝∠DAF+∠DFA＝60°，∴∠MAE＝∠AFD，又∵∠AME＝∠N＝90°，∴△AFN∽△EAM，∴，設ME＝x，則AE＝＝，∴AF＝＝，∵∠EAF＝45°，HE⊥AF，∴HE＝AE＝×，∴△AEF面積＝×AF×HE＝×（）＝×（），∵當a，b為正數(shù)時，（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，∴△AEF面積＝×（）≥×2×，∴△AEF面積的最小值為，故答案為．8、（2024九年級上·江蘇·專題練習）輔助圓之定角定高求解探究(1)如圖①，已知線段，以為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；(2)如圖②，在中，，為邊上的高，若，試判斷是否存在最小值，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；(3)如圖③，某園林單位要設計把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形中，，，，點、分別為、上的點，若保持，那么四邊形的面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)存在，(3)存在，144【分析】（1）構(gòu)造輔助圓，利用直徑所對圓周角是直角解決問題即可．（2）如圖2中，作的外接圓，連接，，，作于．設．求出的最小值即可解決問題．（3）如圖③中，連接，延長交的延長線于，將順時針旋轉(zhuǎn)得到，作的外接圓．由（2）可知，當?shù)耐饨訄A的圓心在線段上時，的面積最小，此時四邊形的面積最大．【詳解】（1）解：如圖①中，即為所求．（2）存在，理由如下，如圖②中，作的外接圓，連接，，，作于．設．，，，，，，，，，，的最小值為，，的最小值為．（3）存在，理由如下，如圖③中，連接，延長交的延長線于，將順時針旋轉(zhuǎn)得到，作的外接圓．，，，，，，，，，，，，由（2）可知，當?shù)耐饨訄A的圓心在線段上時，的面積最小，此時四邊形的面積最大，設，則，，，，四邊形的面積的最大值．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的外接圓，解直角三角形，最值問題等知識，解題的關鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．9、已知點O為直線外一點，點O到直線距離為4，點A、B是直線上的動點，且∠AOB＝30°。則△ABO的面積最小值為．【詳解】法1：設三角形△ABO的高為h=4，其外接圓半徑為r，∠AOB＝＝30°根據(jù)定角定高（探照燈）模型知道：當△ABO是等腰三角形（AO=BO）時。∴r+rcos≥h，即，當取等號時r有最小值；∴，當取等號時EF有最小值；∴64﹣16，當取等號時△ABC有最小值；法2：如圖，過點O作直線l′∥直線l，則直線l與直線l′之間的距離為4，作點B關于直線l′的對稱點B′，連接OB′，AB′，AB′交直線l′于點T，連接BT，過點A作AH⊥BT于H，過點T作TW⊥AB于W．在Rt△ABB′中，AB＝，∴AB′的值最小時，AB的值最小，∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，∴當A，O，B′共線時，AB′的值最小，此時AB的值最小，∵直線l垂直平分線段BB′，∴TB＝TB′，∴∠TBB′＝∠TB′B，∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，∴∠TAB＝∠TBA，∴TA＝TB，∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，∴，∴可以假設TH＝k，AT＝TB＝2k，∴BH＝TB﹣TH＝（2﹣）k，∴AH＝k，∴AB＝＝2k，∵S△TAB＝?AB?TW＝?TB?AH，∴×2k×4＝×2k×k，解得k＝4，∴△ABO的面積最小值為＝∴×2×4×4＝64﹣16，故答案為：64﹣16．10．在直角中，，，點D是外一點，連接，以為邊作等邊．(1)如圖1，當點F在線段上，交于點M，且平分，若，求的面積；(2)如圖2，連接并延長至點E，使得，連接、、，證明：；(3)如圖3，旋轉(zhuǎn)使得落在的角平分線上，M、N分別是射線、上的動點，且始終滿足，連接，若，請直接寫出的面積最小值．【答案】(1)；(2)見解析；(3)【分析】（1）過點M作交于點N，設，則，，解得，從而求得；（2）延長至M，使得，連接，，證，，則，，從而證得；（3）過點D作于點H，過點D作于點G，過點D作交延長線于點K，證，運用定角定高模型進行分析．【詳解】（1）解：如圖1，過點M作交于點N，∴是等邊三角形，，∴．∵在直角中，，，∴，∵平分，∴，∵是等邊三角形，∴，∴．設，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴．故．（2）證明：如圖2，延長至M，使得，連接，，在與中，∵，∴，∴．∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，．∵是等邊三角形，∴，，∴，即．在與中，∵，∴，∴．∵，∴．設，則，∴，，∴，∵，∴．（3）解：如圖3，過點D作于點H，過點D