2025年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與演練(上海專用)專題06數(shù)列(九大題型)(原卷版+解析)

/專題06數(shù)列(九大題型)TOC\o"1-1"\h\u題型012021-2024年高考+春考真題 1題型02定義法求解數(shù)列 2題型03無窮等比數(shù)列及其應(yīng)用 3題型04分段數(shù)列 3題型05取值范圍、最值問題 4題型06數(shù)列中的個數(shù)、項數(shù)問題 4題型07數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，其他應(yīng)用 5題型08列舉分析、綜合分析 5題型09選擇壓軸題 6【解題規(guī)律·提分快招】1、解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．2、解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．3、求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法①函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．②利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項．a(chǎn)⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．4、如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法．5、錯位相減法求和時，應(yīng)注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.題型012021-2024年高考+春考真題【典例1-1】．（2024?上海）無窮等比數(shù)列{an}滿足首項a1＞0，q＞1，記In＝{x﹣y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an+1]}，若對任意正整數(shù)n，集合In是閉區(qū)間，則q的取值范圍是．【典例1-2】．（2024?上海）數(shù)列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范圍為．【變式1-1】．（2023?上海）已知首項為3，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前n項和為Sn，則S6＝．【變式1-2】．（2023?上海）已知無窮數(shù)列{an}的各項均為實(shí)數(shù)，Sn為其前n項和，若對任意正整數(shù)k＞2022都有|Sk|＞|Sk+1|，則下列各項中可能成立的是（）A．a(chǎn)1，a3，a5，?，a2n﹣1，?為等差數(shù)列，a2，a4，a6，?，a2n，?為等比數(shù)列 B．a(chǎn)1，a3，a5，?，a2n﹣1，?為等比數(shù)列，a2，a4，a6，?，a2n，?為等差數(shù)列 C．a(chǎn)1，a2，a3，?，a2022為等差數(shù)列，a2022，a2023，?，an，?為等比數(shù)列 D．a(chǎn)1，a2，a3，?，a2022為等比數(shù)列，a2022，a2023，?，an，?為等差數(shù)列【變式1-3】．（2022?上海）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，前n項積為Tn，則下列選項判斷正確的是（）A．若S2022＞S2021，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 B．若T2022＞T2021，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則a2022≥a2021 D．若數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，則a2022≥a2021【變式1-4】．（2022?上海）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，Sn為其前n項和，若S5＝0，則Si（i＝1，2，…，100）中不同的數(shù)值有個．【變式1-5】．（2021?上海）已知{an}為無窮等比數(shù)列，a1＝3，an的各項和為9，bn＝a2n，則數(shù)列{bn}的各項和為．【變式1-6】．（2021?上海）在無窮等比數(shù)列{an}中，（a1﹣an）＝4，則a2的取值范圍是．題型02定義法求解數(shù)列【典例2-1】．（24-25高三上·上?！て谥校┰O(shè)等比數(shù)列滿足，，則.【典例2-2】．（2024·上海靜安·一模）設(shè)是等差數(shù)列，，則該數(shù)列的前8項的和的值為.【變式2-1】．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.【變式2-2】．（24-25高三上·上?！て谥校┰O(shè)等差數(shù)列的公差不為0，其前項和為．若，則．【變式2-3】．（24-25高二上·上海·階段練習(xí)）為等差數(shù)列的前項和，，則與的等比中項為.【變式2-4】．（23-24高三上·上海青浦·期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則.題型03無窮等比數(shù)列及其應(yīng)用【典例3-1】．（23-24高三上·上海虹口·期末）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，，則．【典例3-2】．（22-23高一下·上海長寧·期末）已知無窮等比數(shù)列，，，則公比．【變式3-1】．（20-21高二上·上海寶山·階段練習(xí)）已知無窮等比數(shù)列，公比滿足，，求實(shí)數(shù)的取值范圍【變式3-2】．（22-23高二下·上海寶山·期末）如圖，記棱長為1的正方體為，以各個面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為，以各面的中心為頂點(diǎn)的正方體為，以各個面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為，…，以此類推得到一系列的多面體，設(shè)的棱長為，則.

【變式3-3】．（2023·上海嘉定·一模）數(shù)列滿足，且，為的前項和，求題型04分段數(shù)列【典例4-1】．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知數(shù)列滿足，，則的前10項和.【變式4-1】．（24-25高三上·上?！て谥校?shù)列滿足：為正整數(shù)，，若，則.【變式4-2】．（2023·上海浦東新·三模）已知數(shù)列（是正整數(shù)）的遞推公式為若存在正整數(shù)，使得，則的最大值是．題型05取值范圍、最值問題【典例5-1】．（2023·上海閔行·一模）已知數(shù)列為無窮等比數(shù)列，若，則的取值范圍為．【典例5-2】．（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）已知等差數(shù)列的首項表示的前項和，若數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，則的公差取值范圍是.【變式5-1】．（2024·上海普陀·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的通項公式為為數(shù)列的前項和，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式5-2】．（2024·上海嘉定·一模）已知數(shù)列的通項公式為，其中為常數(shù)，設(shè)數(shù)列的前項和為，若且，則的取值范圍為.【變式5-3】．（21-22高三上·上海浦東新·期中）設(shè)其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是.【變式5-4】．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：對任意，都有，，設(shè)數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為．題型06數(shù)列中的個數(shù)、項數(shù)問題【典例6-1】．（2024·上海奉賢·三模）若數(shù)列滿足對任意整數(shù)有成立，則在該數(shù)列中小于100的項一共有項．【典例6-2】．（24-25高三·上?！ふn堂例題）從中選3個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列最多有個．【變式6-1】．（2024·上海虹口·一模）已知項數(shù)為10的數(shù)列中任一項均為集合中的元素，且相鄰兩項滿足．若中任意兩項都不相等，則滿足條件的數(shù)列有個．【變式6-2】．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知無窮數(shù)列的前項和為，不等式對任意不等于2的正整數(shù)恒成立，且，那么這樣的數(shù)列有個.【變式6-3】．（2022·上?！つM預(yù)測）若一個整數(shù)數(shù)列的首項和末項都是1，且任意相鄰兩項之差的絕對值不大于1，則我們稱這個數(shù)列為“好數(shù)列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一個好數(shù)列，若一個好數(shù)列的各項之和是2021，則這個數(shù)列至少有項.【變式6-4】．（23-24高三上·上海青浦·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列的前n項和分別為、，如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解，那么以下2023個方程（）中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有個【變式6-5】．（2024·上?！と＃┮阎懈F數(shù)列的首項為1，末項為12，且任意相鄰兩項之間滿足，則符合上述要求的不同數(shù)列的個數(shù)為．題型07數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，其他應(yīng)用【典例7-1】．（2023·上海閔行·三模）已知是同一直線上三個不同的點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前7項和.【變式7-1】．（23-24高三下·上?！ら_學(xué)考試）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”…，以此類推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，該年是（

）A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年【變式7-2】．（2023·上海黃浦·三模）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則．

題型08列舉分析、綜合分析【典例8-1】．（2024·上海楊浦·一模）設(shè)無窮數(shù)列的前項和為，且對任意的正整數(shù)，則的值可能為（

）A． B．0 C．6 D．12【典例8-2】．（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，若，且存在正整數(shù)，使得，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【變式8-1】．（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）已知是等差數(shù)列，，存在正整數(shù)，使得，，.若集合中只含有4個元素，則t的可能取值有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【變式8-2】．（2024·上海嘉定·一模）已知數(shù)列滿足，給出以下四個結(jié)論：①當(dāng)時，存在有限個，使得對任意正整數(shù)，都有②當(dāng)時，存在和正整數(shù)，當(dāng)時，③當(dāng)時，存在和正整數(shù)，當(dāng)時，④當(dāng)時，不存在，使得對任意正整數(shù)，且，都有其中正確結(jié)論是（

）.A．①② B．②③ C．③④ D．②④題型09選擇壓軸題【典例9-1】．（2024·上海寶山·一模）設(shè)的三邊長分別為、、，面積為（為正整數(shù)）．若，其中，，，，則（

）A．為嚴(yán)格減數(shù)列B．為嚴(yán)格增數(shù)列C．為嚴(yán)格增數(shù)列，為嚴(yán)格減數(shù)列D．為嚴(yán)格減數(shù)列，為嚴(yán)格增數(shù)列【變式9-1】．（2024·上海長寧·一模）數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意的正整數(shù)n，都有，則稱數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”．①存在等差數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”；②任意等比數(shù)列，若首項，則滿足“性質(zhì)Ω”；下列選項中正確的是（

）A．①是真命題，②是真命題； B．①是真命題，②是假命題；C．①是假命題，②是真命題； D．①是假命題，②是假命題．【變式9-2】．（24-25高三上·上海黃浦·期末）設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間I上恒成立，對任意的，有．對于各項均不相同的數(shù)列，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列與均是嚴(yán)格增數(shù)列B．?dāng)?shù)列與均是嚴(yán)格減數(shù)列C．?dāng)?shù)列與中的一個是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個是嚴(yán)格減數(shù)列D．?dāng)?shù)列與均既不是嚴(yán)格增數(shù)列也不是嚴(yán)格減數(shù)列一、填空題1．（2023·上海寶山·一模）已知等差數(shù)列的前項和為，若則2．（2024·上海普陀·二模）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則“，，成等差數(shù)列”的一個充分非必要條件是.3．（2024·上?！つM預(yù)測）數(shù)列的最小項的值為.4．（2024·上海松江·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，前項和為，若，則使得成立的的最大值為.5．（2024·上海楊浦·二模）某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2024根，每根圓鋼的直徑為10厘米．現(xiàn)將它們堆放在一起.若堆成縱斷面為等腰梯形（如圖每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），且為考慮安全隱患，堆放高度不得高于米，若堆放占用場地面積最小，則最下層圓鋼根數(shù)為.

6．（2024·上海奉賢·一模）已知集合是由函數(shù)的圖象上兩兩不相同的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，集合，其中、．若集合中的元素按照從小到大的順序排列能構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，當(dāng)時，則符合條件的點(diǎn)集的個數(shù)為．二、單選題7．（2024·上海青浦·二模）設(shè)是首項為，公比為q的等比數(shù)列的前項和，且，則（

）．A． B． C． D．8．（2023·上海楊浦·一模）等比數(shù)列的首項，公比為，數(shù)列滿足（是正整數(shù)），若當(dāng)且僅當(dāng)時，的前項和取得最大值，則取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2024·上海虹口·一模）設(shè)數(shù)列的前四項分別為，對于以下兩個命題，說法正確的是（

）．①存在等比數(shù)列以及銳角α，使成立．②對任意等差數(shù)列以及銳角α，均不能使成立．A．①是真命題，②是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①是假命題，②是假命題

專題06數(shù)列(九大題型)TOC\o"1-1"\h\u題型012021-2024年高考+春考真題 1題型02定義法求解數(shù)列 5題型03無窮等比數(shù)列及其應(yīng)用 7題型04分段數(shù)列 10題型05取值范圍、最值問題 12題型06數(shù)列中的個數(shù)、項數(shù)問題 14題型07數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，其他應(yīng)用 18題型08列舉分析、綜合分析 20題型09選擇壓軸題 23【解題規(guī)律·提分快招】1、解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．2、解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．3、求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法①函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值．②利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項．a(chǎn)⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．4、如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法．5、錯位相減法求和時，應(yīng)注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.題型012021-2024年高考+春考真題【典例1-1】．（2024?上海）無窮等比數(shù)列{an}滿足首項a1＞0，q＞1，記In＝{x﹣y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an+1]}，若對任意正整數(shù)n，集合In是閉區(qū)間，則q的取值范圍是[2，+∞）．【分析】當(dāng)n≥2時，不妨設(shè)x≥y，則x﹣y∈[0，a2﹣a1]∪[an﹣a2，an+1﹣a1]∪[0，an+1﹣an]，結(jié)合In為閉區(qū)間可得對任意的n≥2恒成立，故可求q的取值范圍．【解析】解：由題設(shè)有，因?yàn)閍1＞0，q＞1，故an+1＞an，故，當(dāng)n＝1時，x，y∈[a1，a2]，故x﹣y∈[a1﹣a2，a2﹣a1]，此時I1為閉區(qū)間，當(dāng)n≥2時，不妨設(shè)x≥y，若x，y∈[a1，a2]，則x﹣y∈[0，a2﹣a1]，若y∈[a1，a2]，x∈[an，an+1]，則x﹣y∈[an﹣a2，an+1﹣a1]，若x，y∈[an，an+1]，則x﹣y∈[0，an+1﹣an]，綜上，x﹣y∈[0，a2﹣a1]∪[an﹣a2，an+1﹣a1]∪[0，an+1﹣an]，又In為閉區(qū)間等價于[0，a2﹣a1]∪[an﹣a2，an+1﹣a1]∪[0，an+1﹣an]為閉區(qū)間，而an+1﹣a1＞an+1﹣an＞a2﹣a1，故an+1﹣an≥an﹣a2對任意n≥2恒成立，故，故qn﹣2（q﹣2）+1≥0，故對任意的n≥2恒成立，因?yàn)閝＞1，故當(dāng)n→+∞時，→0，故q﹣2≥0即q≥2．故答案為：[2，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．【典例1-2】．（2024?上海）數(shù)列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范圍為（﹣∞，﹣4）．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【解析】解：等差數(shù)列由an＝n+c，知數(shù)列{an}為等差數(shù)列S7＝＝7a4＜0，即7（4+c）＜0，解得c＜﹣4．故c的取值范圍為（﹣∞，﹣4）．故答案為：（﹣∞，﹣4）．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【變式1-1】．（2023?上海）已知首項為3，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前n項和為Sn，則S6＝189．【分析】直接利用等比數(shù)列的前n項和公式求解．【解析】解：∵等比數(shù)列的首項為3，公比為2，∴S6＝＝189．故答案為：189．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題．【變式1-2】．（2023?上海）已知無窮數(shù)列{an}的各項均為實(shí)數(shù)，Sn為其前n項和，若對任意正整數(shù)k＞2022都有|Sk|＞|Sk+1|，則下列各項中可能成立的是（）A．a(chǎn)1，a3，a5，?，a2n﹣1，?為等差數(shù)列，a2，a4，a6，?，a2n，?為等比數(shù)列 B．a(chǎn)1，a3，a5，?，a2n﹣1，?為等比數(shù)列，a2，a4，a6，?，a2n，?為等差數(shù)列 C．a(chǎn)1，a2，a3，?，a2022為等差數(shù)列，a2022，a2023，?，an，?為等比數(shù)列 D．a(chǎn)1，a2，a3，?，a2022為等比數(shù)列，a2022，a2023，?，an，?為等差數(shù)列【分析】由對任意正整數(shù)k＞2022，都有|Sk|＞|Sk+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，?，an不可能為等差數(shù)列，若d＝0，an＝0，則|Sk|＝|Sk+1|，矛盾；若d＝0，an＜0，當(dāng)n→+∞，Sn→﹣∞，k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＝0，an＞0，當(dāng)n→+∞，Sn→+∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＞0，當(dāng)n→+∞，an→+∞，Sn→+∞必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＜0，當(dāng)n→+∞，an→﹣∞，Sn→﹣∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；即可判斷．【解析】解：由對任意正整數(shù)k＞2022，都有|Sk|＞|Sk+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，?，an不可能為等差數(shù)列，因?yàn)槿鬱＜0，當(dāng)n→+∞，an→﹣∞，Sn→﹣∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＝0，an＝0，則|Sk|＝|Sk+1|，矛盾；若d＝0，an＜0，當(dāng)n→+∞，Sn→﹣∞，k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＝0，an＞0，當(dāng)n→+∞，Sn→+∞，必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；若d＞0，當(dāng)n→+∞，an→+∞，Sn→+∞必有k使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾；所以選項B中的a2，a4，a6，?，a2n為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；選項D中的a2022，a2023，a2024，?，an為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；選項A中的a1，a3，a5，?，a2n﹣1為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；由排除法可得C正確．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．【變式1-3】．（2022?上海）已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，前n項積為Tn，則下列選項判斷正確的是（）A．若S2022＞S2021，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 B．若T2022＞T2021，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則a2022≥a2021 D．若數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，則a2022≥a2021【分析】反例判斷A；反例判斷B；構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷C；推出數(shù)列公比以及數(shù)列項的范圍，即可判斷D．【解析】解：如果數(shù)列a1＝﹣1，公比為﹣2，滿足S2022＞S2021，但是數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，所以A不正確；如果數(shù)列a1＝1，公比為﹣，滿足T2022＞T2021，但是數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，所以B不正確；如果數(shù)列a1＝1，公比為，Sn＝＝2（1﹣），數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，但是a2022＜a2021，所以C不正確；數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正確，所以D正確；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．【變式1-4】．（2022?上海）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，Sn為其前n項和，若S5＝0，則Si（i＝1，2，…，100）中不同的數(shù)值有98個．【分析】由等差數(shù)前n項和公式求出a1＝﹣2d，從而Sn＝（n2﹣5n），由此能求出結(jié)果．【解析】解：∵等差數(shù)列{an}的公差不為零，Sn為其前n項和，S5＝0，∴＝0，解得a1＝﹣2d，∴Sn＝na1+＝﹣2nd+＝（n2﹣5n），∵d≠0，∴Si（i＝0，1，2?，100）中S0＝S5＝0，S2＝S3＝﹣3d，S1＝S4＝﹣2d，其余各項均不相等，∴Si（i＝1，2?，100）中不同的數(shù)值有：101﹣3＝98．故答案為：98．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的前n項和公式、通項公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．【變式1-5】．（2021?上海）已知{an}為無窮等比數(shù)列，a1＝3，an的各項和為9，bn＝a2n，則數(shù)列{bn}的各項和為．【分析】設(shè){an}的公比為q，由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，解方程可得q，進(jìn)而得到an，bn，求得數(shù)列{bn}的首項和公比，再由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．【解析】解：設(shè){an}的公比為q，由a1＝3，an的各項和為9，可得＝9，解得q＝，所以an＝3×（）n﹣1，bn＝a2n＝3×（）2n﹣1，可得數(shù)列{bn}是首項為2，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列{bn}的各項和為＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項公式和無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【變式1-6】．（2021?上海）在無窮等比數(shù)列{an}中，（a1﹣an）＝4，則a2的取值范圍是（﹣4，0）∪（0，4）．【分析】由無窮等比數(shù)列的概念可得公比q的取值范圍，再由極限的運(yùn)算知a1＝4，從而得解．【解析】解：∵無窮等比數(shù)列{an}，∴公比q∈（﹣1，0）∪（0，1），∴an＝0，∴（a1﹣an）＝a1＝4，∴a2＝a1q＝4q∈（﹣4，0）∪（0，4）．故答案為：（﹣4，0）∪（0，4）．【點(diǎn)評】本題考查無窮等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，極限的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．題型02定義法求解數(shù)列【典例2-1】．（24-25高三上·上?！て谥校┰O(shè)等比數(shù)列滿足，，則.【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)及等比數(shù)列通項公式求基本量，即可求.【解析】令公比為，則，可得，所以或（舍），可得，則.故答案為：【典例2-2】．（2024·上海靜安·一模）設(shè)是等差數(shù)列，，則該數(shù)列的前8項的和的值為.【答案】36【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的公差，進(jìn)而求出其前8項的和.【解析】在等差數(shù)列中，，則公差，所以.故答案為：36【變式2-1】．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.【答案】95【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.【變式2-2】．（24-25高三上·上海·期中）設(shè)等差數(shù)列的公差不為0，其前項和為．若，則．【答案】【分析】由等差數(shù)列的通項公式代入化簡可得，再結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式即可得出答案.【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項和公差為，所以，可得，則，，故答案為：.【變式2-3】．（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）為等差數(shù)列的前項和，，則與的等比中項為.【答案】【分析】通過已知條件可求得，再根據(jù)等比中項的定義即可求得答案.【解析】解：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以，所以，解得，所以與的等比中項為.故答案為：【變式2-4】．（23-24高三上·上海青浦·期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得解.【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以.故答案為：.題型03無窮等比數(shù)列及其應(yīng)用【典例3-1】．（23-24高三上·上海虹口·期末）設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，，則．【答案】【分析】求出，得到公比，再利用公式法求和，最后求出其極限.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，所以，所以，所以，故答案為：.【典例3-2】．（22-23高一下·上海長寧·期末）已知無窮等比數(shù)列，，，則公比．【答案】【分析】依題意得到，再利用無窮等比數(shù)列和的公式得到與，解方程組即可得解.【解析】因?yàn)闊o窮等比數(shù)列，，則，，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，又，得，即，則，又，則，得．故答案為：．【變式3-1】．（20-21高二上·上海寶山·階段練習(xí)）已知無窮等比數(shù)列，公比滿足，，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】【分析】根據(jù)無窮等比數(shù)列性質(zhì)，可結(jié)合極限的概念表示出的代換式，再結(jié)合數(shù)列的通項公式，代換得，結(jié)合即可求得的取值范圍【解析】等比數(shù)列的前項和公式，，的值趨向于正無窮時，即，，又，，，且，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項公式與前項和公式的應(yīng)用，極限思想在處理數(shù)列中的應(yīng)用，推理轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題型.【變式3-2】．（22-23高二下·上海寶山·期末）如圖，記棱長為1的正方體為，以各個面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為，以各面的中心為頂點(diǎn)的正方體為，以各個面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為，…，以此類推得到一系列的多面體，設(shè)的棱長為，則.

【答案】32/【分析】根據(jù)條件先求出，根據(jù)條件依次求出，，，然后利用歸納推理得到：奇數(shù)項與偶數(shù)項都是等比數(shù)列，然后求和即可．【解析】正方體各面中心為頂點(diǎn)的凸多面體為正八面體，它的中截面（垂直平分相對頂點(diǎn)連線的界面）是正方形，該正方形對角線長等于正方體的棱長，所以它的棱長；以各個面的中心為頂點(diǎn)的正方體為圖形是正方體，正方體面對角線長等于棱長的，（正三角形中心到對邊的距離等于高的，因此對角線為，所以，以上方式類推，得，，，各項依次為：，，，，，，奇數(shù)項是首項為：，公比為的等比數(shù)列，偶數(shù)項是首項為：，公比為的等比數(shù)列，則．故答案為：．【變式3-3】．（2023·上海嘉定·一模）數(shù)列滿足，且，為的前項和，求【答案】【分析】逐項代入可得，再根據(jù)等比數(shù)列求和與極限求解即可.【解析】由題，，，，，，，，，，..故.又當(dāng)時，，故.故答案為： 題型04分段數(shù)列【典例4-1】．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知數(shù)列滿足，，則的前10項和.【答案】75【分析】根據(jù)題意分別求，進(jìn)而求.【解析】由題意可知：，，，，，，，，，，所以的前10項和.故答案為：75.【變式4-1】．（24-25高三上·上?！て谥校?shù)列滿足：為正整數(shù)，，若，則.【答案】【分析】利用遞推關(guān)系式可推得數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，從而利用數(shù)列的周期性即可得解.【解析】因?yàn)椋?，所以，，，，以此類推，可知，即?shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以.故答案為：.【變式4-2】．（2023·上海浦東新·三模）已知數(shù)列（是正整數(shù)）的遞推公式為若存在正整數(shù)，使得，則的最大值是．【答案】【分析】對原遞推公式作代數(shù)變換，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，求出的通項公式，再解不等式即可.【解析】由題意，當(dāng)時，，令，，即是，公比為3的等比數(shù)列，，，當(dāng)，也成立，；對于，即，令，考察=，其中是對稱軸為，開口向下的拋物線，當(dāng)時，，當(dāng)時，，

，當(dāng)時最大，；故答案為：.題型05取值范圍、最值問題【典例5-1】．（2023·上海閔行·一模）已知數(shù)列為無窮等比數(shù)列，若，則的取值范圍為．【答案】【分析】利用無窮等比數(shù)列的前項和公式及性質(zhì)即可得解.【解析】因?yàn)闉闊o窮等比數(shù)列，，所以，則，則，因?yàn)?，所以是以為公比的等比?shù)列，且，此時，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因?yàn)?，所以，故，則；綜上：，即，故的取值范圍為.故答案為：.【典例5-2】．（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）已知等差數(shù)列的首項表示的前項和，若數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，則的公差取值范圍是.【答案】【分析】由與的關(guān)系再結(jié)合等差數(shù)列通項公式的基本量計算即可；【解析】若數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，則恒成立，即恒成立，又，所以，所以的公差取值范圍是，故答案為：.【變式5-1】．（2024·上海普陀·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的通項公式為為數(shù)列的前項和，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】先證明是等差數(shù)列，再根據(jù)求和公式計算，解不等式即可.【解析】當(dāng)，，當(dāng)，則（常數(shù)）。則是首項為，公差為1的等差數(shù)列.由題意知，，故，故.故答案為：.【變式5-2】．（2024·上海嘉定·一模）已知數(shù)列的通項公式為，其中為常數(shù)，設(shè)數(shù)列的前項和為，若且，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，可得且，由此建立不等式組并求解即得.【解析】數(shù)列的前項和為，由且，得且，而，因此，解得，所以的取值范圍為.故答案為：【變式5-3】．（21-22高三上·上海浦東新·期中）設(shè)其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是.【答案】3【分析】由已知利用等差數(shù)列的通項公式將用表示，求出的最小值，進(jìn)而可求出的最小值，利用等比數(shù)列的通項即可求出的范圍．【解析】由題意得，所以，所以，所以，故的最小值是3，滿足題意，故答案為：3.【變式5-4】．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：對任意，都有，，設(shè)數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為．【答案】【分析】首先求第二項，再找到可行數(shù)列，再證明可行性，即可求解.【解析】若，則，得，若，與矛盾，只能?。⒁獾揭粋€可行的數(shù)列為0，，1，，2，，3，…下面證明該數(shù)列使達(dá)到最大：為此，我們證明：當(dāng)為奇數(shù)時，，假設(shè)存在某正奇數(shù)使，則分為兩種可能：①若，則，；同時，按原數(shù)列要求，，，故.注意到該數(shù)列顯然為整數(shù)數(shù)列，故當(dāng)為奇數(shù)時，不存在整數(shù)能位于該區(qū)間,因此矛盾．②若，則，，與矛盾；綜上，原假設(shè)不成立，故當(dāng)為奇數(shù)時，.而已經(jīng)找到的數(shù)列0，，1，，2，，3，…中等號全部成立，故的最大值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到可行數(shù)列，再結(jié)合推理證明可行性.題型06數(shù)列中的個數(shù)、項數(shù)問題【典例6-1】．（2024·上海奉賢·三模）若數(shù)列滿足對任意整數(shù)有成立，則在該數(shù)列中小于100的項一共有項．【答案】【分析】根據(jù)與的關(guān)系求出數(shù)列的通項，再令即可得解.【解析】設(shè)數(shù)列的前項和為，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，所以，令，則，所以在該數(shù)列中小于100的項一共有項.故答案為：.【典例6-2】．（24-25高三·上?！ふn堂例題）從中選3個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列最多有個．【答案】180【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前項和公式，運(yùn)算分類計數(shù)原理進(jìn)行求解即可.【解析】以連續(xù)三個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列有個，以相隔一個數(shù)的3個連續(xù)數(shù)所構(gòu)成的等差數(shù)列共有個，以相隔兩個數(shù)的3個連續(xù)數(shù)所構(gòu)成的等差數(shù)列共有個，，所以這樣的等差數(shù)列最多有個，故答案為：180【變式6-1】．（2024·上海虹口·一模）已知項數(shù)為10的數(shù)列中任一項均為集合中的元素，且相鄰兩項滿足．若中任意兩項都不相等，則滿足條件的數(shù)列有個．【答案】【分析】先將任意排列，依次將到插入該數(shù)列，考慮滿足條件，求出其方法總數(shù)，即可得出答案.【解析】由于，可以先將任意排列，再將插入該數(shù)列，但不能在的左邊且與相鄰，共有種，再將插入該數(shù)列，同樣不能在和的左邊且與，相鄰，共有種，再將插入該數(shù)列，同樣不能在，和3的左邊且與相鄰，共有種，以此類推，將插入該數(shù)列，共有種.故答案為：.【變式6-2】．（2024·上?！つM預(yù)測）已知無窮數(shù)列的前項和為，不等式對任意不等于2的正整數(shù)恒成立，且，那么這樣的數(shù)列有個.【答案】4【分析】因?yàn)?，令，求得，再由與的關(guān)系，求得或，求得，結(jié)合不等式恒成立，可得所求結(jié)論．【解析】當(dāng)時，，得或，當(dāng)時，由，得，兩式相減得：，整理得，所以或，當(dāng)時，若，可得，因?yàn)椴坏仁綄θ我獠坏扔?的正整數(shù)恒成立，所以對任意不等于2的正整數(shù)恒成立，則當(dāng)時，，即，，，，成立；若，時，，即，，，，成立；當(dāng)時，若，可得，，不合題意，舍去；當(dāng)時，若，可得，由題意可得對任意不等于2的正整數(shù)恒成立，則當(dāng)時，，即，，，，成立；若，時，，即，，，，成立；當(dāng)時，若，可得，，不合題意，舍去．所以滿足題意的數(shù)列有4個．故答案為：4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是用與的關(guān)系求得或，但由于或兩個值，就會有四種組合，分類意義驗(yàn)證恒成立即可.【變式6-3】．（2022·上?！つM預(yù)測）若一個整數(shù)數(shù)列的首項和末項都是1，且任意相鄰兩項之差的絕對值不大于1，則我們稱這個數(shù)列為“好數(shù)列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一個好數(shù)列，若一個好數(shù)列的各項之和是2021，則這個數(shù)列至少有項.【答案】89【分析】根據(jù)題意分析可得數(shù)列要想項數(shù)最少，需要各項最大，可設(shè)這個“好數(shù)列”為：，求這個“好數(shù)列”各項之和為，令得，此時，將85分成小于或等于44的項，最少可以分成兩項，由此即可求解.【解析】由題意得數(shù)列要想項數(shù)最少，需要各項最大；又因?yàn)閿?shù)列首項和末項都是1，且任意相鄰兩項之差的絕對值不大于1，所以需要數(shù)列前面遞增，后面對稱遞減，又各項之和是2021，中間可能存在相等的項，設(shè)除去相等項后的各項為，令各項和，得，當(dāng)為44時，項數(shù)為項，，將85分成小于或等于44的項，最少可以分成兩項，故這個數(shù)列至少有項，故答案為：89【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義和等差數(shù)列求和，關(guān)鍵在于理解數(shù)列新定義中各項數(shù)的特點(diǎn)，嚴(yán)格按照運(yùn)用定義進(jìn)行求和和數(shù)列的項的探索，屬于中檔題.【變式6-4】．（23-24高三上·上海青浦·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列的前n項和分別為、，如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解，那么以下2023個方程（）中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有個【答案】1012【分析】設(shè)出兩個等差數(shù)列的公差，由等差數(shù)列的性質(zhì)得到，要想無實(shí)根，要滿足，結(jié)合根的判別式與基本不等式得到和至多一個成立，同理可證：和至多一個成立，……，和至多一個成立，且，從而得到結(jié)論.【解析】由題意得：，其中，，代入上式得：，要想方程有實(shí)數(shù)解，則，顯然第1012個方程有解，設(shè)方程與方程的判別式分別為和，則，等號成立的條件是.所以和至多一個成立，同理可證：和至多一個成立，……，和至多一個成立，且，綜上，在所給的2023個方程中，無實(shí)數(shù)根的方程最多1011個，有實(shí)數(shù)根的方程至少1012個.故答案為：1012【變式6-5】．（2024·上海·三模）已知有窮數(shù)列的首項為1，末項為12，且任意相鄰兩項之間滿足，則符合上述要求的不同數(shù)列的個數(shù)為．【答案】144【分析】首末項相差11，從首項到末項的運(yùn)算方法進(jìn)行分類，結(jié)合組合計數(shù)問題列式計算即得.【解析】依題意，首項和末項相差11，而任意相鄰兩項之間滿足，，當(dāng)時，即后一項與前一項的差均為1，數(shù)列的個數(shù)為1；當(dāng)時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)一個2，九個1，數(shù)列的個數(shù)為；當(dāng)時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)兩個2，七個1，數(shù)列的個數(shù)為；當(dāng)時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)三個2，五個1，數(shù)列的個數(shù)為；當(dāng)時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)四個2，三個1，數(shù)列的個數(shù)為；當(dāng)時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)五個2，一個1，數(shù)列的個數(shù)為，所以符合上述要求的不同數(shù)列的個數(shù)為.故答案為：144【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：按后一項與前一項的差2出現(xiàn)的次數(shù)分類是解決本問題的關(guān)鍵.題型07數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，其他應(yīng)用【典例7-1】．（2023·上海閔行·三模）已知是同一直線上三個不同的點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前7項和.【答案】/3.5【分析】由題意，然后利用等差數(shù)列的前項和公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【解析】因?yàn)槭峭恢本€上三個不同的點(diǎn)，為直線外一點(diǎn)，且，所以，則.故答案為：.【變式7-1】．（23-24高三下·上?！ら_學(xué)考試）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”…，以此類推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，該年是（

）A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年【答案】A【分析】依題意天干以十年為一個周期，地支以十二年為一個周期，求出相隔的年數(shù)，再由周期性判斷即可.【解析】天干以十年為一個周期，地支以十二年為一個周期.年與年相隔年，，即天干有24個周期，余7年；，即地支有20個周期，余7年.故甲往前數(shù)7年為丁，辰往前數(shù)7年為酉，故年為丁酉年.故選：A.【變式7-2】．（2023·上海黃浦·三模）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則．

【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出通項，再利用裂項相消法求和作答.【解析】依題意，在數(shù)列中，，當(dāng)時，，滿足上式，因此，，數(shù)列的前項和為，則，所以.故答案為：題型08列舉分析、綜合分析【典例8-1】．（2024·上海楊浦·一模）設(shè)無窮數(shù)列的前項和為，且對任意的正整數(shù)，則的值可能為（

）A． B．0 C．6 D．12【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系，探索數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分別求出和，再根據(jù)及數(shù)列是無窮數(shù)列對各選項進(jìn)行判斷.【解析】當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以，兩式相減得：，因?yàn)?，所?所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，且.所以.同理，數(shù)列的偶數(shù)項是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以.所以.若，則數(shù)列各項均不為0，數(shù)列是無窮數(shù)列，故A正確；若，這與矛盾，故B錯誤；若，根據(jù)奇數(shù)項成公差為1的等差數(shù)列，則，則無法求出，這與數(shù)列是無窮數(shù)列矛盾，故C錯誤；若，根據(jù)奇數(shù)項成公差為1的等差數(shù)列，則，則無法求出，這與數(shù)列是無窮數(shù)列矛盾，故D錯誤.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：觀察出數(shù)列的特點(diǎn)后，一定要注意及數(shù)列是無窮數(shù)列這兩個條件的應(yīng)用.【典例8-2】．（24-25高三上·上海·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，若，且存在正整數(shù)，使得，則的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分組求和求得，不妨令，解得，所以，因?yàn)?，所以?7，分情況討論可得答案.【解析】因?yàn)?，所以不妨令，可得，解得或（舍去），所?又因?yàn)?，所以?7，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時，由所以當(dāng)時，由又由所以所以的取值集合為.故選：B.【變式8-1】．（24-25高三上·上海·開學(xué)考試）已知是等差數(shù)列，，存在正整數(shù)，使得，，.若集合中只含有4個元素，則t的可能取值有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】考慮不符合題意，時，列舉出滿足條件的集合，再考慮時不成立，得到答案.【解析】當(dāng)時，，根據(jù)周期性知集合最多有3個元素，不符合；當(dāng)時，，取，此時，滿足條件；當(dāng)時，，即，即，所以，或，（舍），故解得，此時在單位圓上的5等分點(diǎn)，取到的，，，，，不可能取到4個不同的正弦值，故不滿足；當(dāng)時，，取，此時，滿足條件；當(dāng)時，，取，此時，滿足條件；當(dāng)時，，取，此時，滿足條件；故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義集合的思路有：（1）根據(jù)題意，先寫出幾項，找出規(guī)律；（2）找到新集合和舊集合之間的關(guān)系；（3）分情況討論，結(jié)合題意，找出適合的答案即可.【變式8-2】．（2024·上海嘉定·一模）已知數(shù)列滿足，給出以下四個結(jié)論：①當(dāng)時，存在有限個，使得對任意正整數(shù)，都有②當(dāng)時，存在和正整數(shù)，當(dāng)時，③當(dāng)時，存在和正整數(shù)，當(dāng)時，④當(dāng)時，不存在，使得對任意正整數(shù)，且，都有其中正確結(jié)論是（

）.A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【分析】對于①②，利用作差法可得一元二次不等式，求得數(shù)列中的項的取值范圍，可得其正誤；對于③④，根據(jù)遞推公式，利用賦值法求得當(dāng)數(shù)列為常數(shù)列時所取的數(shù)值，進(jìn)而求得首項，結(jié)合舉例，可得答案.【解析】對于①，當(dāng)時，，，解得，當(dāng)時，恒成立，故①錯誤；對于②，當(dāng)時，，，解得或，易知，由①可知，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，，所以一定存在，當(dāng)時，，故②正確；對于③，當(dāng)時，，令，可得，解得或，令，解得或，當(dāng)時，可得當(dāng)時，，故③正確；對于④，當(dāng)時，，令，則，解得或，令，可得，解得或，令，可得，解得，當(dāng)時，當(dāng)時，，故④錯誤.故選：B.題型09選擇壓軸題【典例9-1】．（2024·上海寶山·一模）設(shè)的三邊長分別為、、，面積為（為正整數(shù)）．若，其中，，，，則（

）A．為嚴(yán)格減數(shù)列B．為嚴(yán)格增數(shù)列C．為嚴(yán)格增數(shù)列，為嚴(yán)格減數(shù)列D．為嚴(yán)格減數(shù)列，為嚴(yán)格增數(shù)列【答案】B【分析】由可知的邊為定值，由，，可知為定值，結(jié)合雙曲線定義可知動點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的雙曲線上，再根據(jù)面積公式可得單調(diào)性.【解析】

由已知，即的邊為定值，不妨設(shè)，為定點(diǎn)，如圖所示，又，，則，即為定值，又，所以為定值，即，所以動點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離之差的絕對值為定值，滿足雙曲線定義，所以動點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線，如圖所示，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列為遞增數(shù)列，所以當(dāng)增大時，變大，即變大，此時向遠(yuǎn)離處運(yùn)動，即變大，所以變大，即數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，且，均為嚴(yán)格增數(shù)列，故選：B.【變式9-1】．（2024·上海長寧·一模）數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意的正整數(shù)n，都有，則稱數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”．①存在等差數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”；②任意等比數(shù)列，若首項，則滿足“性質(zhì)Ω”；下列選項中正確的是（

）A．①是真命題，②是真命題； B．①是真命題，②是假命題；C．①是假命題，②是真命題； D．①是假命題，②是假命題．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算即可判斷①，根據(jù)等比數(shù)列為常數(shù)列時，即可判斷②.【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為，若等差數(shù)列滿足“性質(zhì)Ω”；由可得，故，即，故只需要即可滿足“性質(zhì)Ω”；故①是真命題，設(shè)等比數(shù)列的首項和公比分別為，若，，則顯然不成立，因此存在等比數(shù)列不滿足“性質(zhì)Ω”；故②是假命題故選：B【變式9-2】．（24-25高三上·上海黃浦·期末）設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有導(dǎo)函數(shù)，且在區(qū)間I上恒成立，對任意的，有．對于各項均不相同的數(shù)列，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列與均是嚴(yán)格增數(shù)列B．?dāng)?shù)列與均是嚴(yán)格減數(shù)列C．?dāng)?shù)列與中的一個是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個是嚴(yán)格減數(shù)列D．?dāng)?shù)列與均既不是嚴(yán)格增數(shù)列也不是嚴(yán)格減數(shù)列【答案】C【分析】由條件易知函數(shù)y=fx在I上嚴(yán)格遞減，構(gòu)造，因數(shù)列的各項均不相同，由的大小比較，利用函數(shù)單調(diào)性可得的大小關(guān)系，即得結(jié)論.【解析】依題意，因f'x<0在區(qū)間I上恒成立，則函數(shù)y=f由，，因數(shù)列的各項均不相同，且，若，則，即，即此時數(shù)列嚴(yán)格遞增，數(shù)列嚴(yán)格遞減；若，則，即，即此時數(shù)列嚴(yán)格遞減，數(shù)列嚴(yán)格遞增.綜上所述，數(shù)列與中的一個是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個是嚴(yán)格減數(shù)列.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查利用函數(shù)單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題.解題思路在于根據(jù)選項信息，考慮數(shù)列中連續(xù)偶數(shù)項的差，通過對應(yīng)的連續(xù)奇數(shù)項的大小比較，借助于函數(shù)單調(diào)性得出偶數(shù)項的大小關(guān)系.一、填空題1．（2023·上海寶山·一模）已知等差數(shù)列的前項和為，若則【答案】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得答案.【