2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題2.7對數(shù)與對數(shù)函數(shù)練文含解析

PAGEPAGE1專題2.7對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1．（2024·湖南湘潭一中月考）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥4，,f（x＋1），x<4，))則f(2＋log23)的值為()A．24 B．16C．12 D．8【答案】A【解析】因?yàn)?<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.2.（2024·山西長治一中月考）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3－x＋1，x≤0，))則f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))的值是()A.5 B.3 C.－1 D.eq\f(7,2)【答案】A【解析】由題意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))＝3－log3eq\f(1,2)＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))＝5.3．（2024·福建漳州一中月考）在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的圖象大致為()【答案】A【解析】若0<a<1，令f(x)＝2－ax＝0，則x＝eq\f(2,a)>2，選項(xiàng)C、D不滿意．當(dāng)a>1時(shí)，由2－ax＝0，得x＝eq\f(2,a)<2，且g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函數(shù)，解除B，只有A滿意．4．（2024·山東淄博一中期中）若函數(shù)y＝eq\r(a－ax)(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[0，1]，則logaeq\f(5,6)＋logaeq\f(48,5)＝()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由題意可得a－ax≥0，ax≤a，定義域?yàn)閇0，1]，所以a>1，y＝eq\r(a－ax)在定義域?yàn)閇0，1]上單調(diào)遞減，值域是[0，1]，所以f(0)＝eq\r(a－1)＝1，f(1)＝0，所以a＝2，所以logaeq\f(5,6)＋logaeq\f(48,5)＝log2eq\f(5,6)＋log2eq\f(48,5)＝log28＝3.5．（2024·廣東佛山一中月考）已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，則()A．f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)B．f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)C．f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)D．f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)【答案】D【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＋x>0，,10－x>0，))得x∈(－10，10)，且f(x)＝lg(100－x2)．所以f(x)是偶函數(shù)．又t＝100－x2在(0，10)上遞減，y＝lgt在(0，＋∞)上遞增，故函數(shù)f(x)在(0，10)上遞減．6．（2024·江西無錫一中期中）已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，則()A．f(x)是奇函數(shù)，且在(0,10)上是增函數(shù)B．f(x)是偶函數(shù)，且在(0,10)上是增函數(shù)C．f(x)是奇函數(shù)，且在(0,10)上是減函數(shù)D．f(x)是偶函數(shù)，且在(0,10)上是減函數(shù)【答案】D【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＋x＞0，,10－x＞0，))得x∈(－10,10)，故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－10,10)，關(guān)于原點(diǎn)對稱．由于f(－x)＝lg(10－x)＋lg(10＋x)＝f(x)，故函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．而f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)＝lg(100－x2)，y＝100－x2在(0,10)上遞減，y＝lgx在(0,10)上遞增，故函數(shù)f(x)在(0,10)上遞減．7．（2024·河北承德一中月考）已知2x＝72y＝A，且eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝2，則A的值是________．【答案】7eq\r(2)【解析】由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝eq\f(1,2)log7A，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,log2A)＋eq\f(2,log7A)＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.又A＞0，故A＝eq\r(98)＝7eq\r(2).8．（2024·浙江嘉興一中期中）已知函數(shù)f(x)＝|log3x|，實(shí)數(shù)m，n滿意0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值為2，則eq\f(n,m)＝________.【答案】9【解析】因?yàn)閒(x)＝|log3x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－log3x，0＜x＜1，,log3x，x≥1，))所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜1，,n＞1，,log3n＝－log3m，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜m＜1，,n＞1，,mn＝1，))所以0＜m2＜m＜1，則f(x)在[m2,1)上單調(diào)遞減，在(1，n]上單調(diào)遞增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，則f(x)在[m2，n]上的最大值為f(m2)＝－log3m2＝2，解得m＝eq\f(1,3)，則n＝3，所以eq\f(n,m)＝9.9．（2024·安徽巢湖一中期末）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝loga(x＋1)(a＞0，且a≠1)．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若－1＜f(1)＜1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，由題意知f(－x)＝loga(－x＋1)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)．∴當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝loga(－x＋1)，∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga（x＋1），x≥0，,loga（－x＋1），x＜0.))(2)∵－1＜f(1)＜1，∴－1＜loga2＜1，∴l(xiāng)ogaeq\f(1,a)＜loga2＜logaa.①當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜2，,a＞2，))解得a＞2；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式等價(jià)于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＞2，,a＜2，))解得0＜a＜eq\f(1,2).綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．10．（2024·海南三亞一中期末）已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1)．(1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？假如存在，試求出a的值；假如不存在，請說明理由．【解析】(1)∵a＞0且a≠1，設(shè)t(x)＝3－ax，則t(x)＝3－ax為減函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a∵當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)恒有意義，即x∈[0,2]時(shí)，3－ax＞0恒成立．∴3－2a＞0，∴a＜eq\f(3,2).又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1或1＜a＜eq\f(3,2)，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(2)由(1)知函數(shù)t(x)＝3－ax為減函數(shù)．∵f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，∴y＝logat在[1,2]上為增函數(shù)，∴a＞1，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，t(x)的最小值為3－2a，f(x)的最大值為f(1)＝loga(3－a∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a＞0，,loga3－a＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜\f(3,2)，,a＝\f(3,2).))故不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1.11．（2024·湖南長郡中學(xué)模擬）f(x)＝xα滿意f(2)＝4，那么函數(shù)g(x)＝|logα(x＋1)|的圖象大致為()【答案】C【解析】由f(2)＝2α＝4，得α＝2.所以g(x)＝|log2(x＋1)|，則g(x)的圖象由y＝|log2x|的圖象向左平移一個(gè)單位得到，C滿意．12．（2024·山西平遙中學(xué)模擬）已知函數(shù)f(x)＝|lnx|，若f(m)＝f(n)(m>n>0)，則eq\f(2,m＋1)＋eq\f(2,n＋1)＝()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．4【答案】C【解析】函數(shù)f(x)＝|lnx|的圖象如圖所示：由f(m)＝f(n)，m>n>0，可知m>1>n>0，所以lnm＝－lnn，則mn＝1.所以eq\f(2,m＋1)＋eq\f(2,n＋1)＝eq\f(2（m＋n）＋4,mn＋m＋n＋1)＝eq\f(2（m＋n＋2）,m＋n＋2)＝2.13．（2024·浙江杭州高級中學(xué)模擬）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－log2（3－x），x<2，,2x－2－1，x≥2，))若f(2－a)＝1，則f(a)＝________．【答案】－2【解析】若2－a<2，即a>0時(shí)，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1.解得a＝－eq\f(1,2)，不合題意．當(dāng)2－a≥2，即a≤0時(shí)，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2?a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2.14．（2024·河南鄭州一中模擬）已知函數(shù)f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的圖象過點(diǎn)(4，2)．(1)求a的值；(2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定義域；(3)在(2)的條件下，求g(x)的單調(diào)減區(qū)間．【解析】(1)函數(shù)f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的圖象過點(diǎn)(4，2)，可得loga4＝2，解得a＝2.(2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝log2(1－x2)，由1－x＞0且1＋x＞0，解得－1＜x＜1，可得g(x)的定義域?yàn)?－1，1)．(3)g(x)＝log2(1－x2)，由t＝1－x2在(－1，0)上單調(diào)遞增，(0，1)上單調(diào)遞減，且y＝log2t在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可得函數(shù)g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0，1)．15．（2024·河北衡水中學(xué)模擬）已知函數(shù)f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1).(1)求函數(shù)f(x)的定義域，并推斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)對于x∈[2，6]，f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1)＞lneq\f(m,（x－1）（7－x）)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)由eq\f(x＋1,x－1)＞0，解得x＜－1或x＞1，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(1，＋∞)，當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時(shí)，f(－x)＝lneq\f(－x＋1,－x－1)＝lneq\f(x－1,x＋1)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－1)))eq\s\up12(－1)＝－lneq\f(x＋1,x－1)＝－f(x)，所以f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1)是奇函數(shù)．(2)由于x∈[2，6]時(shí)，f(x)＝lneq\f(x＋1,x－1)＞lneq\f(m,（x－1）（7－x）)恒成立，所以eq\f(x＋1,x－1)＞eq\f(m,（x－1）（7－x）)＞0，因?yàn)閤∈[2，6]，所以0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，x∈[2，3]時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x∈[3，6]時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，即x∈[2，6]時(shí)，g(x)min＝g(6)＝7，所以0＜m＜7.1.【2024年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】即則．故選B．2.【2024年高考天津文數(shù)】已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，即，所?故選A.3.(2024·天津卷)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】法一因?yàn)閍＝log2e>1，b＝ln2∈(0，1)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.法二logeq\f(1,2)eq\f(1,3)＝log23，如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝log2x，y＝lnx的圖象，由圖知c>a>b.4.(2024·全國卷Ⅲ)設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則()A．a(chǎn)＋b＜ab＜0 B．a(chǎn)b＜a＋b＜0C．a(chǎn)＋b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a＋b【答案】B【解析】∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，∴0＜eq\f(a＋b,ab)＜1，∴ab＜a＋b＜0.5.(