2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第1章集合與常用邏輯用語(yǔ)第1節(jié)集合教學(xué)案文含解析北師大版

PAGE1-第一節(jié)集合[考綱傳真]1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的詳細(xì)問(wèn)題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在詳細(xì)情境中，了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)潔集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集．(3)能運(yùn)用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算．1．元素與集合(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性．(2)元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，分別記為∈和?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N＋)ZQR2.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言記法基本關(guān)系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A?x∈BA?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一個(gè)元素不屬于AA?B，存在x0∈B，x0?AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A?B，B?A?A＝BA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集隨意x，x??，??A?3.集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言記法交集屬于A且屬于B的元素組成的集合{x|x∈A且x∈B}A∩B并集屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合{x|x∈A或x∈B}A∪B補(bǔ)集全集U中不屬于A的元素組成的集合{x|x∈U，x?A}?UAeq\o([常用結(jié)論])1．若有限集A中有n個(gè)元素，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集的個(gè)數(shù)為2n－1.2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．A∩?UA＝?；A∪?UA＝U；?U(?UA)＝A.[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)任何集合都至少有兩個(gè)子集． ()(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，則A＝B＝C． ()(3)若{x2，x}＝{－1,1}，則x＝－1． ()(4)若A∩B＝A∩C，則B＝C． ()[解析](1)錯(cuò)誤．空集只有一個(gè)子集，就是它本身，故該說(shuō)法是錯(cuò)誤的．(2)錯(cuò)誤．集合A是函數(shù)y＝x2的定義域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函數(shù)y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是拋物線y＝x2上的點(diǎn)集．因此A，B，C不相等．(3)正確．(4)錯(cuò)誤．當(dāng)A＝?時(shí)，B，C可為隨意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改編)若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(10)}，a＝2eq\r(2)，則下列結(jié)論正確的是()A．{a}?A B．a(chǎn)?AC．{a}∈A D．a(chǎn)?AD[由題意知A＝{0,1,2,3}，由a＝2eq\r(2)知，a?A.]3．設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，則A∪B＝()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[A∪B＝{1,2,3,4}．]4．設(shè)集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，則?AB＝()A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}C[?AB＝{0,2,6,10}．]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，則A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]集合的含義與表示1．設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素個(gè)數(shù)為()A．3B．4C．5D．6B[因?yàn)榧螹中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以當(dāng)b＝4，a＝1,2,3時(shí)，x＝5,6,7.當(dāng)b＝5，a＝1,2,3時(shí)，x＝6,7,8.由集合元素的互異性，可知x＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4個(gè)元素．]2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝()A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8)C．0D．0或eq\f(9,8)D[若集合A中只有一個(gè)元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個(gè)實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)根．當(dāng)a＝0時(shí)，x＝eq\f(2,3)，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝eq\f(9,8)，所以a的取值為0或eq\f(9,8).]3．已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，則a2019＋b2019為()A．1B．0C．－1D．±1C[由已知得a≠0，則eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又依據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2019＋b2019＝(－1)2019＋02019＝－1.]4．設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝________.1[由A∩B＝{3}知a＋2＝3或a2＋4＝3.解得a＝1.][規(guī)律方法]與集合中的元素有關(guān)的問(wèn)題的求解策略(1)確定集合中的元素是什么，即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集．(2)看這些元素滿意什么限制條件．(3)依據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，要留意檢驗(yàn)集合是否滿意元素的互異性．集合間的基本關(guān)系【例1】(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則()A．B?A B．A＝BC．AB D．BA(2)(2024·大慶模擬)集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈Z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x－3)≤0))))，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，則集合B的子集個(gè)數(shù)為()A．5B．8C．3D．2(3)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值集合為________．(1)C(2)B(3)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2)，0))[(1)A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，則AB，故選C.(2)由eq\f(x＋1,x－3)≤0得－1≤x＜3，則A＝{－1,0,1,2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}＝{1,2,5}，其子集的個(gè)數(shù)為23＝8個(gè)．(3)A＝{－3,2}，若a＝0，則B＝?，滿意B?A，若a≠0，則B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，由B?A知，eq\f(1,a)＝－3或eq\f(1,a)＝2，故a＝－eq\f(1,3)或a＝eq\f(1,2)，因此a的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2)，0)).][規(guī)律方法]1.集合間基本關(guān)系的兩種判定方法(1)化簡(jiǎn)集合，從表達(dá)式中找尋兩集合的關(guān)系．(2)用列舉法(或圖示法等)表示各個(gè)集合，從元素(或圖形)中找尋關(guān)系．2．依據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿意的關(guān)系，解決這類問(wèn)題經(jīng)常要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀進(jìn)行求解.易錯(cuò)警示：B?AA≠?，應(yīng)分B＝?和B≠?兩種狀況探討.(1)(2024·長(zhǎng)沙模擬)已知集合A＝{0}，B＝{－1,0,1}，若A?C?B，則符合條件的集合C的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．4D．8(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(1)C(2)[2，＋∞)[(1)由A?C?B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故選C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A?B，則a≥2.]集合的基本運(yùn)算?考法1集合的運(yùn)算【例2】(1)(2024·全國(guó)卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，則A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2024·全國(guó)卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，則?RA＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2024·桂林模擬)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，則下列關(guān)系正確的是()A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C(2)B(3)B[(1)由題意知，A＝{x|x≥1}，則A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故選B.法二：因?yàn)锳＝{x|x2－x－2＞0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故選B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故選B.]?考法2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)【例3】(1)設(shè)集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠?，則a的取值范圍是()A．－1＜a≤2 B．a(chǎn)＞2C．a(chǎn)≥－1 D．a(chǎn)＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為()A．0B．1C．2D．4(3)(2024·廈門模擬)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠?知，集合A，B有公共元素，作出數(shù)軸，如圖所示：易知a＞－1，故選D.(2)由題意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故選D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B?A，則a≥2，故選C.][規(guī)律方法]解決集合運(yùn)算問(wèn)題需留意以下三點(diǎn)：(1)看元素組成，集合是由元素組成的，從探討集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的前提．(2)看集合能否化簡(jiǎn)，集合能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)，再探討其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)潔明白，易于求解．(3)要借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀化．一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，并留意端點(diǎn)值的取舍．(1)(2024·東北三省四市聯(lián)考)設(shè)集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x(x－3)＜0}，則A∪B＝()A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2024·西安模擬)設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，則(?RA)∩B＝()A．{1} B．{2}C．{1,2} D．?(3)(2024·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2024·長(zhǎng)沙模擬)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，則A∩B＝()A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故選C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，則?RA＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(?RA)∩B＝?，故選D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故選C.(4)因?yàn)锳＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{1,3}．]1．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，則A∩B＝()A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由題意知A∩B＝{0,2}．]2．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A．9B．8C．5D．4A[由x2＋y2≤3知，－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)，－eq\r(3)≤y≤eq\r(3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1，0,1}，所以A