2024-2025學年高中數學2.3.2離散型隨機變量的方差課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-3

PAGE1-課時作業(yè)17離散型隨機變量的方差學問點一方差的求法1.已知X的分布列為X1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)則D(X)的值為()A.eq\f(29,12)B.eq\f(121,144)C.eq\f(179,144)D.eq\f(17,12)答案C解析∵E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(29,12)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(29,12)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(29,12)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).2．隨機變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數列，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，則D(ξ)＝______.答案eq\f(5,9)解析由題意得2b＝a＋c①，a＋b＋c＝1②，c－a＝eq\f(1,3)③，以上三式聯立解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，故D(ξ)＝eq\f(5,9).學問點二方差的性質3.D(ξ－D(ξ))的值為()A．0B．1C．D(ξ)D．2D(ξ)答案C解析D(ξ)是一個常數，而常數的方差等于零，∴D(ξ－D(ξ))＝D(ξ)．4．已知隨機變量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是()A．6,2.4B．2,2.4C．2,5.6D．6,5.6答案B解析∵X～B(10,0.6)，∴E(X)＝10×0.6＝6，D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4.又X＋Y＝8，∴Y＝8－X.∴E(Y)＝E(8－X)＝8－E(X)＝8－6＝2，D(Y)＝D(－X＋8)＝D(X)＝2.4.學問點三兩點分布與二項分布的方差5.設一隨機試驗的結果只有A和eq\o(A,\s\up6(－))，且P(A)＝m，令隨機變量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，A不發(fā)生，))則X的方差D(X)等于()A．m B．2m(1－m)C．m(m－1) D．m(1－m)答案D解析隨機變量X的分布列為X01P1－mm∴E(X)＝0×(1－m)＋1×m＝m.∴D(X)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．6．有一批產品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數，則D(X)＝________.答案eq\f(9,16)解析由題意知取到次品的概率為eq\f(1,4)，∴X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，∴D(X)＝3×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(9,16).一、選擇題1．有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數據，計算出樣本方差分別為D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估計()A．甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B．乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D．甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較答案B解析∵D(X甲)＞D(X乙)∴乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊．2．若ξ的分布列如下表所示，且E(ξ)＝1.1，則()ξ01xP0.2p0.3A．D(ξ)＝2 B．D(ξ)＝0.51C．D(ξ)＝0.5 D．D(ξ)＝0.49答案D解析因為0.2＋p＋0.3＝1，所以p＝0.5.又E(ξ)＝0×0.2＋1×0.5＋0.3x＝1.1，所以x＝2，所以D(ξ)＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49.故選D.3．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，則P(X＝1)的值為()A．3·2－2 B．2－4C．3·2－10 D．2－8答案C解析E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3∴P＝eq\f(1,2)，n＝12，則P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))11＝3×2－10.4．假如X是離散型隨機變量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分別是()A．E(X1)＝12，D(X1)＝1B．E(X1)＝7，D(X1)＝1C．E(X1)＝12，D(X1)＝2D．E(X1)＝7，D(X1)＝2答案D解析由于E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，結合已知可得E(X1)＝7，D(X1)＝2.故選D.5．若隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝m)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝n)＝a，若E(ξ)＝2，則D(ξ)的最小值等于()A．0B．2C．4D．無法計算答案A解析由分布列中，概率和為1，則a＋eq\f(1,3)＝1，a＝eq\f(2,3).∵E(ξ)＝2，∴eq\f(m,3)＋eq\f(2n,3)＝2.∴m＝6－2n.∴D(ξ)＝eq\f(1,3)×(m－2)2＋eq\f(2,3)×(n－2)2＝eq\f(2,3)×(n－2)2＋eq\f(1,3)×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2時，D(ξ)取最小值0.二、填空題6．已知離散型隨機變量X的分布列如下表：X－1012Pabceq\f(1,12)若E(X)＝0，D(X)＝1，則a＝________，b＝________.答案eq\f(5,12)eq\f(1,4)解析∵E(X)＝0，D(X)＝1，由離散型隨機變量X的分布列的性質知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－a＋c＋\f(2,12)＝0，,a＋c＋\f(4,12)＝1，))計算得出a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4).7．設d是等差數列x1，x2，x3，…，x19的公差，隨機變量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，則方差D(ξ)＝________.答案30d2解析E(ξ)＝x10，D(ξ)＝eq\f(d2,19)(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d2.8．某次考試中，第一大題由12個選擇題組成，每題選對得5分，不選或選錯得0分．小王選對每題的概率為0.8，則其第一大題得分的方差為________．答案48解析設小王選對個數為X，得分η＝5X，則X～B(12,0.8)，D(X)＝12×0.8×(1－0.8)＝1.92D(η)＝D(5X)＝25D(X)＝25×1.92＝48.三、解答題9．一出租車司機從某飯店到火車站途中有六個交通崗，假設他在各交通崗遇到紅燈這一事務是相互獨立的，并且概率是eq\f(1,3).(1)求這位司機遇到紅燈數ξ的均值與方差；(2)若遇上紅燈，則需等待30秒，求司機總共等待時間η的均值與方差．解(1)易知司機遇上紅燈次數ξ聽從二項分布，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，∴E(ξ)＝6×eq\f(1,3)＝2，D(ξ)＝6×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,3).(2)由已知η＝30ξ，∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1200.10．為了豐富學生的課余生活，促進校內文化建設，我校高二年級通過預賽選出了6個班(含甲、乙)進行經典美文誦讀競賽決賽．決賽通過隨機抽簽方式確定出場依次．求：(1)甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率；(2)決賽中甲、乙兩班之間的班級數記為X，求X的分布列和均值．解(1)設“甲、乙兩班恰好在前兩位出場”為事務A，則P(A)＝eq\f(A\o\al(2,2)×A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,15).所以甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率為eq\f(1,15).(2)隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4.P(X＝0)＝eq\f(A\o\al(2,2)×A\o\al(5,5),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,3)，P(X＝1)＝eq\f(4×A\o\al(2,2)×A\o\al(4,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(4,15)，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(2,4)×A\o\al(2,2)×A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(A\o\al(3,4)×A\o\al(2,2)×A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(2,15)，P(X＝4)＝eq\