中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題02方程與不等式(知識(shí)梳理、基礎(chǔ)考點(diǎn)、方法技巧、易錯(cuò)點(diǎn))

專(zhuān)題02方程與不等式目錄01思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。 02基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（4大模塊知識(shí)梳理）知識(shí)模塊一：一次方程（組）知識(shí)模塊二：分式方程知識(shí)模塊三：一元二次方程知識(shí)模塊四：一次不等式（組）03考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（6大基礎(chǔ)考點(diǎn)+2方法技巧）考點(diǎn)一：一元一次方程的解法考點(diǎn)二：二元一次方程（組）的解法考點(diǎn)三：分式方程及其解法考點(diǎn)四：一元二次方程的解法考點(diǎn)五：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系考點(diǎn)六：一次不等式（組）的解法及解集表示（高頻）考點(diǎn)七：方程（組）的含參問(wèn)題（方法技巧）考點(diǎn)八：方程（組）的實(shí)際應(yīng)用（方法技巧）04易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）易錯(cuò)點(diǎn)1：解分式方程時(shí)首要步驟去分母，分?jǐn)?shù)相相當(dāng)于括號(hào)，易忘記根檢驗(yàn)，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果出錯(cuò)。易錯(cuò)點(diǎn)2：關(guān)于一元一次不等式組有解無(wú)解的條件易忽視相等或增根的情況。

思維導(dǎo)圖基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)模塊一：一次方程（組）知識(shí)點(diǎn)一：方程的有關(guān)概念一、等式1.等式：用“=”來(lái)表示相等關(guān)系的式子叫作等式。2.等式的性質(zhì)：（1）性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等（如果\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，那么\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""（\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""為一個(gè)數(shù)或式子））。（2）性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等（如果\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，那么\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；如果\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，那么\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""）3.等式性質(zhì)的延伸：（1）對(duì)稱(chēng)性：等式左右兩邊互換，所得結(jié)果仍相等，即如果\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，那么\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""。（2）傳遞性：如果\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，那么\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""。二、方程的概念和方程的解1.方程的概念：含有未知數(shù)的等式叫作方程。2.方程與等式的區(qū)別：方程是等式，但等式中不一定含有未知數(shù)，即等式不一定是方程。3.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。4.判斷一個(gè)數(shù)（或一組數(shù)）是不是某方程的解，只需看兩點(diǎn)：（1）它是方程中的未知數(shù)的值；（2）將它分別代入方程的左右兩邊，若左邊等于右邊，則它是方程的解，否則不是。5.解方程：求方程解的過(guò)程叫作解方程。6.方程的解和解方程的區(qū)別：方程的解是一個(gè)結(jié)果，解方程則是得到這個(gè)結(jié)果的一個(gè)過(guò)程。7.一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫作一元一次方程。8.一元一次方程知識(shí)拓展：（1）“元”是指未知數(shù)，“次”是指未知數(shù)的次數(shù)；（2）一元一次方程滿(mǎn)足3個(gè)條件：①是整式方程；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的次數(shù)是1.（3）一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""。知識(shí)點(diǎn)二：解一元一次方程與一元一次方程的應(yīng)用一、解一元一次方程1.移項(xiàng)：把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫作移項(xiàng)，注意移項(xiàng)要變號(hào)。2.解一元一次方程的步驟：（1）去分母：把方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（去分母時(shí)，若分子是多項(xiàng)式，要添括號(hào)）；（2）去括號(hào)：先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)（不要漏乘括號(hào)里的項(xiàng)，不要弄錯(cuò)符號(hào)）；（3）移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，其他項(xiàng)移到另一邊（注意移項(xiàng)要變號(hào)）；（4）合并同類(lèi)項(xiàng)：把等號(hào)兩邊的同類(lèi)項(xiàng)分別合并，化成“\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""”的形式（\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""）；（5）系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""得方程的解為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""。二、一元一次方程的應(yīng)用（一）一元一次方程解應(yīng)用題的常見(jiàn)類(lèi)型有：（1）和、差、倍、分問(wèn)題：和、差、倍、分對(duì)應(yīng)兩個(gè)量之間的加、減、乘、除，解題時(shí)要注意弄清倍、分關(guān)系和多少關(guān)系等；（2）增長(zhǎng)（減少）率問(wèn)題：增長(zhǎng)后的量=原有量×（1+增長(zhǎng)率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）；（3）等積變形問(wèn)題：長(zhǎng)方形體積=長(zhǎng)×寬×高；圓柱體積=\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；（4）行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間；快車(chē)行駛路程+慢車(chē)行駛路程=原距離（相向而行）；快車(chē)行駛路程-慢車(chē)行駛路程=原距離（同向而行）。（5）航行問(wèn)題：順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度；（6）調(diào)配問(wèn)題：從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系；（7）比例分配問(wèn)題：全部數(shù)量=各種成分的數(shù)量之和；（8）年齡問(wèn)題：大小兩個(gè)年齡的差不會(huì)變；（9）工程問(wèn)題：工作量=工作效率×工作時(shí)間；兩個(gè)或幾個(gè)工作效率不同的對(duì)象所完成的工作量的和等于總工作量；一般情況下，把總工作量設(shè)為1.（10）利潤(rùn)問(wèn)題：商品的售價(jià)=商品的標(biāo)價(jià)×折扣；商品的利潤(rùn)=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià)；商品的利潤(rùn)率=\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；（11）數(shù)字問(wèn)題：設(shè)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""分別為一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位、十位上的數(shù)字，則這個(gè)兩位數(shù)可表示為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；（12）儲(chǔ)蓄問(wèn)題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期數(shù)）；（13）濃度問(wèn)題：溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量；百分比濃度=\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；溶質(zhì)質(zhì)量=溶液質(zhì)量×百分比濃度。（二）利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問(wèn)什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫(xiě)出答句．知識(shí)點(diǎn)三：二元一次方程（組）及其解法（一）二元一次方程1.二元一次方程的定義含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．二元一次方程需滿(mǎn)足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．2.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解。（二）二元一次方程組1.概念：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組；組成方程組的兩個(gè)方程不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù)，例如：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""也是二元一次方程組。2.二元一次方程組的一般形式為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""3.如果兩個(gè)一次方程合起來(lái)共有兩個(gè)未知數(shù)，那么他們也組成一個(gè)二元一次方程組。4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫作二元一次方程組的解。二元一次方程組\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""解的情況：（1）當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，方程組有唯一的一組解；（2）當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，方程組無(wú)解；（3）當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)組解。（三）消元—解二元一次方程組1.消元思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求出另一個(gè)未知數(shù)。這種將未知數(shù)由多化少，逐一解決的思想，叫作消元思想。2.代入消元法（1）定義：在二元一次方程組中，將其中一個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，再代入另一個(gè)方程中，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種解方程組的方法稱(chēng)為代入消元法。（2）代入消元法解二元一次方程組的一般步驟：①變形；②代入；③解方程；④求值；⑤聯(lián)立。（3）代入消元法的技巧：①當(dāng)方程組中含有一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式時(shí)，可以直接利用代入法求解；②若方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1（或-1）的方程，則選擇系數(shù)為1（或-1）的方程進(jìn)行變形比較簡(jiǎn)便；③若方程組中所有方程里的未知數(shù)的系數(shù)都不是1（或-1），選系數(shù)較簡(jiǎn)單的方程和系數(shù)較簡(jiǎn)單的未知數(shù)變形比較簡(jiǎn)便。3.用加減消元法解二元一次方程組（1）定義：兩個(gè)二元一次方程中，同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減從而消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；這種解二元一次方程組的方法叫作加減消元法。（2）加減法解二元一次方程組的一般步驟：①變形；②加減；③解方程；④求值；⑤聯(lián)立。（3）加減法的技巧：①當(dāng)方程組中兩個(gè)方程的同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等時(shí)，可直接用加減法進(jìn)行消元；②當(dāng)方程組的兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，可把其中一個(gè)方面的兩邊乘以倍數(shù)，使這個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或相反，然后運(yùn)用加減法消去這個(gè)未知數(shù)。③當(dāng)方程組中兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)均不成整數(shù)倍時(shí)，一般選擇系數(shù)較為簡(jiǎn)單的未知數(shù)消元，將兩個(gè)方程分別乘以某個(gè)數(shù)，使該未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，再加減消元求解。（四）列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：（1）審題：找出問(wèn)題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來(lái)．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．（五）列二元一次方程組解應(yīng)用題的常見(jiàn)類(lèi)型（1）和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量=原有量×增長(zhǎng)率；較大量=較小量+多余量；總量=倍數(shù)×倍量；（2）產(chǎn)品配套問(wèn)題：解這類(lèi)問(wèn)題的基本等量關(guān)系是加工總量成比例；（3）工程問(wèn)題：工作量=工作效率×工作時(shí)間；各部分工作量之和=總量；（4）利潤(rùn)問(wèn)題：商品售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣率；商品利潤(rùn)=商品售價(jià)-商品進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；（5）行程問(wèn)題：速度×?xí)r間=路程；順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度；（6）方案問(wèn)題：在解決問(wèn)題時(shí)，常常需合理安排，需要從幾種方案中選擇最佳方案，方案選擇題的題干較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn)，比較幾種方案得出最佳方案。知識(shí)模塊二：分式方程知識(shí)點(diǎn)一：分式方程求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．注意：在解方程的過(guò)程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．知識(shí)點(diǎn)二：分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．知識(shí)點(diǎn)三：解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．知識(shí)點(diǎn)四：換元法解分式方程1.解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理．2.我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．知識(shí)點(diǎn)五：解分式方程應(yīng)用題1.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫(xiě)出單位等．2.要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度＝路程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率＝工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．知識(shí)模塊三：一元二次方程知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程（1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱(chēng)為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．知識(shí)點(diǎn)三：配方法解一元二次方程（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開(kāi)平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．知識(shí)點(diǎn)四：因式分解法解一元二次方程（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．知識(shí)點(diǎn)五：根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．知識(shí)點(diǎn)六：一元二次方程的應(yīng)用1.列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．2.列一元二次方程解應(yīng)用題中常見(jiàn)問(wèn)題：（1）數(shù)字問(wèn)題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長(zhǎng)率問(wèn)題：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長(zhǎng)百分率）2＝后來(lái)數(shù)．（3）形積問(wèn)題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng)．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過(guò)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問(wèn)題．6．答：寫(xiě)出答案．知識(shí)模塊四：一次不等式（組）知識(shí)點(diǎn)一：不等式的基本性質(zhì)（一）不等式1.一般地，用符號(hào)“<”、“>”、“≥”、“≤”表示大小關(guān)系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。2.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解；3.不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集；4.不等式解集的表示方法：（1）用最簡(jiǎn)的不等式表示，一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解集是一個(gè)范圍；（2）用數(shù)軸表示，不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來(lái)，形象的表明不等式的無(wú)限個(gè)解（注意：邊界點(diǎn)和方向）。①確定邊界點(diǎn)：若邊界點(diǎn)是不等式的解，則用實(shí)心點(diǎn)；若邊界點(diǎn)不是不等式的解，則用空心點(diǎn)；②確定方向：對(duì)邊界點(diǎn)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""而言，當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，向右畫(huà)；當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，向左畫(huà)。（二）不等式的性質(zhì)1.不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。2.不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。3.不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。知識(shí)點(diǎn)二：一元一次不等式（組）及其應(yīng)用（一）一元一次不等式1.一元一次不等式的概念：一般地，只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫作一元一次不等式。2.一元一次不等式與一元一次方程的區(qū)別與聯(lián)系：（1）相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1，左邊和右邊都是整式；（2）不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號(hào)連接，不等號(hào)有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號(hào)連接，等號(hào)沒(méi)有方向。（二）一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式的解集的過(guò)程叫作解不等式。2.解一元一次不等式的一般步驟：①去分母：防止漏乘不含分母的項(xiàng)，乘以（或除以）負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要改變方向，分子是多項(xiàng)式時(shí)，須加括號(hào)；②去括號(hào)：防止漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)和出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤；③移項(xiàng)：過(guò)了不等號(hào)的項(xiàng)要變號(hào)；④合并同類(lèi)項(xiàng)：防指計(jì)算錯(cuò)誤；⑤系數(shù)化為1：除以負(fù)數(shù)時(shí)要改變不等號(hào)的方向。（三）一元一次不等式組1.一元一次不等式組的概念：一般地關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。（這幾個(gè)不等式必須含有同一個(gè)未知數(shù)）2.解一元一次不等式組：（1）一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中幾個(gè)不等式的解集的公共部分叫作這個(gè)一元一次不等式組的解集。（2）由2個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集的情況：同小取??；同大取大；大小小大取中間，大大小小取不到。（3）一元一次不等式組的解法：第一步：分別求出不等式組中各不等式的解集；第二步：將各不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)；第三步：在數(shù)軸上找出各不等式的解集的公共部分，這個(gè)公共部分就是這個(gè)不等式組的解集。一元一次不等式（組）的應(yīng)用：審題\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""設(shè)未知數(shù)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""找不等關(guān)系\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""列不等式（組）\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""解不等式（組）\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""檢驗(yàn)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""回答考點(diǎn)考法考點(diǎn)一：一元一次方程的解法【典例1】（2024·海南·中考真題）若代數(shù)式\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的值為5，則x等于（

）A．8 B．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" C．2 D．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（一）——合并同類(lèi)項(xiàng)與移項(xiàng)【分析】本題主要考查了解一元一次方程，根據(jù)題意可知\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵代數(shù)式\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的值為5，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故選：A．【典例2】（2024·貴州·中考真題）小紅學(xué)習(xí)了等式的性質(zhì)后，在甲、乙兩臺(tái)天平的左右兩邊分別放入“■”“●”“▲”三種物體，如圖所示，天平都保持平衡．若設(shè)“■”與“●”的質(zhì)量分別為x，y，則下列關(guān)系式正確的是（

）A．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" B．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" C．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" D．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等式的性質(zhì)【分析】本題考查等式的性質(zhì)，設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，根據(jù)題意列出等式\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，然后化簡(jiǎn)代入即可解題．【詳解】解：設(shè)“▲”的質(zhì)量為a，由甲圖可得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，由乙圖可得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故選C．【典例3】（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運(yùn)算：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""例如：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．若\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的值為．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次方程（一）——合并同類(lèi)項(xiàng)與移項(xiàng)、解一元二次方程——直接開(kāi)平方法【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確新運(yùn)算的定義．根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出方程求解即可．【詳解】解：∵\(yùn)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""而\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴①當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，則有\(zhòng)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；②當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""綜上所述，x的值是\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故答案為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．考點(diǎn)二：二元一次方程（組）的解法【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）國(guó)家“雙減”政策實(shí)施后，某班開(kāi)展了主題為“書(shū)香滿(mǎn)校園”的讀書(shū)活動(dòng)．班級(jí)決定為在活動(dòng)中表現(xiàn)突出的同學(xué)購(gòu)買(mǎi)筆記本和碳素筆進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)（兩種獎(jiǎng)品都買(mǎi)），其中筆記本每本3元，碳素筆每支2元，共花費(fèi)28元，則共有幾種購(gòu)買(mǎi)方案（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程的解【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)購(gòu)買(mǎi)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""支筆記本，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""個(gè)碳素筆，利用總價(jià)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""單價(jià)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""數(shù)量，即可得出關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的二元一次方程，再結(jié)合\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""均為正整數(shù)，即可得出購(gòu)買(mǎi)方案的個(gè)數(shù)．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""支筆記本，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""個(gè)碳素筆，依題意得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．又\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""均為正整數(shù)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""共有4種不同的購(gòu)買(mǎi)方案．故選：B．【典例2】（2024·四川宜賓·中考真題）某果農(nóng)將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷(xiāo)售，其中每個(gè)大箱裝4千克荔枝，每個(gè)小箱裝3千克荔枝．該果農(nóng)現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場(chǎng)銷(xiāo)售需求，大小箱都要裝滿(mǎn)，則所裝的箱數(shù)最多為（

）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程的解【分析】本題考查的是二元一次方程的正整數(shù)解問(wèn)題，設(shè)用\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""個(gè)大箱，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""個(gè)小箱，利用每個(gè)大箱裝4千克荔枝，每個(gè)小箱裝3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整數(shù)解可得答案．【詳解】解：設(shè)用\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""個(gè)大箱，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""個(gè)小箱，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴方程的正整數(shù)解為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴所裝的箱數(shù)最多為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""箱；故選C．【典例3】（2024·湖北·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)關(guān)于“方程”的問(wèn)題：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．問(wèn)牛羊各直金幾何？”譯文：“今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩．牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問(wèn)牛、羊每頭各值金多少？”若設(shè)牛每頭值金x兩，羊每頭值金y兩，則可列方程組是（

）A．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" B．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""C．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" D．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二元一次方程組、古代問(wèn)題(二元一次方程組的應(yīng)用)【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．因?yàn)槊款^牛值金\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""兩，每頭羊值金\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""兩，根據(jù)“牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩”，即可得出關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""、\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．故選：A．【典例4】（2024·浙江·中考真題）解方程組：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【知識(shí)點(diǎn)】加減消元法【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①×3＋②得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，再把\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""代入①求出\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""即可.【詳解】解：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""①×3＋②得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""解得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，把\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""代入①得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""考點(diǎn)三：分式方程及其解法【典例1】（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""無(wú)解，則k的值為（

）A．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" B．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" C．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" D．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】分式方程無(wú)解問(wèn)題【分析】本題考查了解分式方程無(wú)解的情況，理解分式方程無(wú)解的意義是解題的關(guān)鍵．先將分式方程去分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：去分母得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，整理得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，方程無(wú)解，當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，令\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，所以關(guān)于x的分式方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""無(wú)解時(shí)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．故選：A．【典例2】（2024·江蘇徐州·中考真題）分式方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的解為．【答案】x=1【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：原方程去分母得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""解得：x=1，檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故原方程的解為x=1，故答案為：x=1．【典例3】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若分式方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的解為正整數(shù)，則整數(shù)m的值為．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．表示出方程的解，由解是正整數(shù)，確定出整數(shù)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的值即可．【詳解】解：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，化簡(jiǎn)得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，去分母得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，移項(xiàng)合并得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，由方程的解是正整數(shù)，得到\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""為正整數(shù)，即\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""（舍去，會(huì)使得分式無(wú)意義）．故答案為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．【典例4】（2024·廣東廣州·中考真題）解方程：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【知識(shí)點(diǎn)】解分式方程【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關(guān)鍵，注意檢驗(yàn)．依次去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)求解，檢驗(yàn)后即可得到答案．【詳解】解：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，去分母得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，去括號(hào)得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，移項(xiàng)得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，合并同類(lèi)項(xiàng)得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，經(jīng)檢驗(yàn)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""是原方程的解，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""該分式方程的解為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．考點(diǎn)四：一元二次方程的解法【典例1】（2024·山東東營(yíng)·中考真題）用配方法解一元二次方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，將它轉(zhuǎn)化為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的形式，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的值為（

）A．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" B．2024 C．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" D．1【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程——配方法、配方法的應(yīng)用【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關(guān)鍵．用配方法把\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""移項(xiàng)，配方，化為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即可．【詳解】解：∵\(yùn)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，移項(xiàng)得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，配方得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．故選：D．【典例2】（2024·山東濰坊·中考真題）已知關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的一元二次方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，其中\(zhòng)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""滿(mǎn)足\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，關(guān)于該方程根的情況，下列判斷正確的是（

）A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，若\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，據(jù)此先求出\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，再求出\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的符號(hào)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵\(yùn)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：C．【典例3】（2024·河北·中考真題）淇淇在計(jì)算正數(shù)a的平方時(shí)，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""（

）A．1 B．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" C．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" D．1或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程、其他問(wèn)題(一元二次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解一元二次方程，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由題意得方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，利用公式法求解即可．【詳解】解：由題意得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""或\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""（舍）故選：C．【典例4】（2024·吉林·中考真題）圖①中有一首古算詩(shī)，根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中\(zhòng)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""于點(diǎn)C，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""尺，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""尺．設(shè)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的長(zhǎng)度為x尺，可列方程為．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【知識(shí)點(diǎn)】列方程、用勾股定理構(gòu)造圖形解決問(wèn)題【分析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，運(yùn)用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的長(zhǎng)度為x尺，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，在\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""中，由勾股定理即可建立方程．【詳解】解：設(shè)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的長(zhǎng)度為x尺，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∵\(yùn)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，由勾股定理得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故答案為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．【典例5】（2024·江蘇徐州·中考真題）關(guān)于x的方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k值為．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．【詳解】解：∵方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故答案為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""考點(diǎn)五：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系【典例1】（2024·山東日照·中考真題）已知，實(shí)數(shù)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""是關(guān)于x的方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的兩個(gè)根，若\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則k的值為（

）A．1 B．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" C．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" D．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，若\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，據(jù)此得到\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，再由\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""得到\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，據(jù)此可得答案．【詳解】解：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""是關(guān)于x的一元二次方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的兩個(gè)根，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，經(jīng)檢驗(yàn)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""是原分式方程的解，故選：B．【典例2】（2024·山東德州·中考真題）已知a和b是方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的兩個(gè)解，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的值為．【答案】2028【知識(shí)點(diǎn)】已知式子的值，求代數(shù)式的值、一元二次方程的解、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，先根據(jù)方程的解滿(mǎn)足方程以及根與系數(shù)關(guān)系求得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，再代值求解即可．【詳解】解：∵a和b是方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的兩個(gè)解，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故答案為：2028．考點(diǎn)六：一次不等式（組）的解法及解集表示（高頻）【典例1】（2024·廣東廣州·中考真題）若\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則（

）A．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" B．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" C．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" D．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A．∵\(yùn)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；B．∵\(yùn)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；C．∵\(yùn)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．∵\(yùn)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則此項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【典例2】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）解不等式組\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，不等式①和不等式②的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出不等式組的解集即可．【詳解】解：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""解不等式①得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解不等式②得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，所以，不等式組的解集為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，在數(shù)軸上表示為：故選：C．【典例3】（2024·山東·中考真題）根據(jù)以下對(duì)話(huà)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①1班學(xué)生的最高身高為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；②1班學(xué)生的最低身高小于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；③2班學(xué)生的最高身高大于或等于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】代入消元法、用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題【分析】本題考查了二元一次方程、不等式的應(yīng)用，設(shè)1班同學(xué)的最高身高為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，最低身高為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，2班同學(xué)的最高身高為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，最低身高為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，根據(jù)1班班長(zhǎng)的對(duì)話(huà)，得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，然后利用不等式性質(zhì)可求出\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即可判斷①，③；根據(jù)2班班長(zhǎng)的對(duì)話(huà)，得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，然后利用不等式性質(zhì)可求出\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即可判斷②．【詳解】解：設(shè)1班同學(xué)的最高身高為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，最低身高為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，2班同學(xué)的最高身高為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，最低身高為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，根據(jù)1班班長(zhǎng)的對(duì)話(huà)，得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故①錯(cuò)誤，③正確；根據(jù)2班班長(zhǎng)的對(duì)話(huà)，得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故②正確，故選：C．【典例4】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）關(guān)于x的不等式\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的解集是，這個(gè)不等式的任意一個(gè)解都比關(guān)于x的不等式\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的解大，則m的取值范圍是．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解題關(guān)鍵．先分別求出不等式的解集，再根據(jù)題意列出關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的不等式，求解即可得．【詳解】解：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．解不等式\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∵不等式\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""任意一個(gè)解都比關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的不等式\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的解大，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故答案為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．【典例5】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""定義運(yùn)算“※”為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，例如\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的不等式\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""有且只有一個(gè)正整數(shù)解時(shí)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的取值范圍是．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的整數(shù)解、求不等式組的解集【分析】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，解一元一次不等式組，根據(jù)新定義和正整數(shù)解列出關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的不等式組是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義列出不等式，解關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的不等式，再由不等式的解集有且只有一個(gè)正整數(shù)解得出關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的不等式組求解可得．【詳解】解：根據(jù)題意可知，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""解得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""有且只有一個(gè)正整數(shù)解\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""解不等式①，得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""解不等式②，得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""故答案為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．【典例6】（2024·江蘇鹽城·中考真題）求不等式\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的正整數(shù)解．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．【知識(shí)點(diǎn)】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整數(shù)解【分析】本題考查了求一元一次不等式的解集以及正整數(shù)解，先求出不等式的解集，進(jìn)而可得到不等式的正整數(shù)解，正確求出一元一次不等式的解集是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：去分母得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，去括號(hào)得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，移項(xiàng)得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，合并同類(lèi)項(xiàng)得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，系數(shù)化為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""得，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴不等式的正整數(shù)解為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．考點(diǎn)七：方程（組）的含參問(wèn)題（方法技巧）【典例1】（2024·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：對(duì)于任意實(shí)數(shù)A.B.c，有\(zhòng)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，其中等式右面是通常的乘法和加法運(yùn)算，如\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．若關(guān)于x的方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" B．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" C．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" D．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、一元二次方程的定義、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】此題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，根據(jù)題意得到\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，再由有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即可得到答案.【詳解】解：∵\(yùn)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∵關(guān)于x的方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故選：D．【典例2】（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的解是\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則關(guān)于x、y的方程組\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的解是．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【知識(shí)點(diǎn)】已知二元一次方程組的解求參數(shù)、加減消元法【分析】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，把\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，代入\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，得到\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，整體代入\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""中，得到方程組\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，加減消元法解方程組即可．【詳解】解：把\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""代入\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∵\(yùn)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∵方程組\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""有解，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，把\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""代入①，得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；∴方程組的解集為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；故答案為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．【典例3】（2024·重慶·中考真題）若關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的一元一次不等式組\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的解集為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，且關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的分式方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的值之和是．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分式方程解的情況求值、由一元一次不等式組的解集求參數(shù)【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先解不等式組中的兩個(gè)不等式，再根據(jù)不等式組的解集求出\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；解分式方程得到\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，再由關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的分式方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的解均為負(fù)整數(shù)，推出\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且a是偶數(shù)，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且a是偶數(shù)，據(jù)此確定符合題意的a的值，最后求和即可．【詳解】解：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""解不等式①得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解不等式②得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∵不等式組的解集為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；解分式方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∵關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的分式方程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的解均為負(fù)整數(shù)，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""是整數(shù)且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且a是偶數(shù)，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""且a是偶數(shù)，∴滿(mǎn)足題意的a的值可以為4或8，∴所有滿(mǎn)足條件的整數(shù)a的值之和是\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．故答案為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．【典例4】（2024·西藏·中考真題）解不等式組：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，數(shù)軸見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解不等式①得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解不等式②得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴不等式組的解集為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，將解集表示在數(shù)軸上如圖：．考點(diǎn)八：方程（組）的實(shí)際應(yīng)用（方法技巧）【典例1】（2024·江蘇宿遷·中考真題）我國(guó)古代問(wèn)題：以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺：若將繩四折測(cè)之，繩多一尺．繩長(zhǎng)、井深各幾何？這段話(huà)的意思是：用繩子量井深，把繩三折來(lái)量，井外余繩四尺；把繩四折來(lái)量，井外余繩一尺．繩長(zhǎng)、井深各幾尺？若設(shè)繩長(zhǎng)為x尺，則可列方程為（

）A．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" B．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""C．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" D．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】和差倍分問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了一元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，利用井的深度不變建立方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)繩長(zhǎng)為x尺，列方程為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故選A．【典例2】（2024·四川巴中·中考真題）某班學(xué)生乘汽車(chē)從學(xué)校出發(fā)去參加活動(dòng)，目的地距學(xué)校60km，一部分學(xué)生乘慢車(chē)先行\(zhòng)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，另一部分學(xué)生再乘快車(chē)前往，他們同時(shí)到達(dá)．已知快車(chē)的速度比慢車(chē)的速度每小時(shí)快20km，求慢車(chē)的速度？設(shè)慢車(chē)的速度為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則可列方程為（

）A．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" B．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""C．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)"" D．\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】列分式方程【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用．設(shè)慢車(chē)的速度為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則快車(chē)的速度是\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，再根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】解：設(shè)慢車(chē)的速度為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則快車(chē)的速度為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，根據(jù)題意可得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．故選：A．【典例3】（2024·山東淄博·中考真題）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""地勻速出發(fā)，甲健步走向\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""地．途中偶遇一位朋友，駐足交流\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""后，繼續(xù)以原速步行前進(jìn)；乙因故比甲晚出發(fā)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，跑步到達(dá)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""與甲出發(fā)的時(shí)間\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""之間的函數(shù)關(guān)系．(

)那么以下結(jié)論：①甲、乙兩人第一次相遇時(shí)，乙的鍛煉用時(shí)為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；②甲出發(fā)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，甲、乙兩人之間的距離達(dá)到最大值\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；③甲、乙兩人第二次相遇的時(shí)間是在甲出發(fā)后\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；④\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""兩地之間的距離是\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．其中正確的結(jié)論有：A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】行程問(wèn)題(二元一次方程組的應(yīng)用)、從函數(shù)的圖象獲取信息【分析】本題考查了函數(shù)圖象以及二元一次方程組的應(yīng)用；①由乙比甲晚出發(fā)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""及當(dāng)x=50時(shí)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""第一次為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，可得出乙出發(fā)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)兩人第一次相遇，進(jìn)而可得出結(jié)論①正確；②觀察函數(shù)圖象，可得出當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""取得最大值，最大值為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，進(jìn)而可得出結(jié)論②正確；③設(shè)甲的速度為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，乙的速度為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，利用路程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""速度\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)間，可列出關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的二元一次方程組，解之可得出\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的之，將其代入\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""中，可得出甲、乙兩人第二次相遇的時(shí)間是在甲出發(fā)后\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，進(jìn)而可得出結(jié)論③錯(cuò)誤；④利用路程\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""速度\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)間，即可求出\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""兩地之間的距離是\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""．【詳解】解：①\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""乙比甲晚出發(fā)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，且當(dāng)x=50時(shí)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""乙出發(fā)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，兩人第一次相遇，既甲、乙兩人第一次相遇時(shí)，乙的鍛煉用時(shí)為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，結(jié)論①正確；②觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""取得最大值，最大值為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""甲出發(fā)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，甲、乙兩人之間的距離達(dá)到最大值\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，結(jié)論②正確；③設(shè)甲的速度為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，乙的速度為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，根據(jù)題意得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""甲、乙兩人第二次相遇的時(shí)間是在甲出發(fā)后\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，結(jié)論③錯(cuò)誤；④\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""兩地之間的距離是\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，結(jié)論④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有①②④．故選：B．【典例4】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）2024年春晚吉祥物“龍辰辰”，以十二生肖龍的專(zhuān)屬漢字“辰”為名．某廠家生產(chǎn)大小兩種型號(hào)的“龍辰辰”，大號(hào)“龍辰辰”單價(jià)比小號(hào)“龍辰辰”單價(jià)貴15元，且用2400元購(gòu)進(jìn)小號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量是用2200元購(gòu)進(jìn)大號(hào)“龍辰辰”數(shù)量的1.5倍，則大號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為元．某網(wǎng)店在該廠家購(gòu)進(jìn)了兩種型號(hào)的“龍辰辰”共60個(gè)，且大號(hào)“龍辰辰”的個(gè)數(shù)不超過(guò)小號(hào)“龍辰辰”個(gè)數(shù)的一半，小號(hào)“龍辰辰”售價(jià)為60元，大號(hào)“龍辰辰”的售價(jià)比小號(hào)“龍辰辰”的售價(jià)多30%．若兩種型號(hào)的“龍辰辰”全部售出，則該網(wǎng)店所獲最大利潤(rùn)為元．【答案】551260【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的實(shí)際應(yīng)用、一元一次不等式組的其他應(yīng)用、最大利潤(rùn)問(wèn)題(一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用)【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)大號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""元，則小號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""元，根據(jù)題意建立分式方程，解方程即可得；設(shè)購(gòu)進(jìn)小號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""個(gè)，則購(gòu)進(jìn)大號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""個(gè)，先求出\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的取值范圍，再設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤(rùn)為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""元，建立\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""關(guān)于\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：設(shè)大號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""元，則小號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""元，由題意得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，經(jīng)檢驗(yàn)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""是所列分式方程的解，所以大號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為55元，小號(hào)“龍辰辰”的單價(jià)為40元．設(shè)購(gòu)進(jìn)小號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""個(gè)，則購(gòu)進(jìn)大號(hào)“龍辰辰”的數(shù)量為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""個(gè)，由題意得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，解得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，設(shè)該網(wǎng)店所獲利潤(rùn)為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""元，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""內(nèi)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""隨\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的增大而減小，則當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""取得最大值，最大值為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，即該網(wǎng)店所獲最大利潤(rùn)為1260元，故答案為：55；1260．【典例5】（2024·重慶·中考真題）我們規(guī)定：若一個(gè)正整數(shù)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""能寫(xiě)成\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，其中\(zhòng)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""與\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""都是兩位數(shù)，且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""與\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則稱(chēng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""為“方減數(shù)”，并把\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""分解成\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的過(guò)程，稱(chēng)為“方減分解”．例如：因?yàn)閈o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""與\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""與\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的和為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，所以\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""是“方減數(shù)”，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""分解成\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的過(guò)程就是“方減分解”．按照這個(gè)規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是．把一個(gè)“方減數(shù)”\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""進(jìn)行“方減分解”，即\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，將\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""放在\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""的左邊組成一個(gè)新的四位數(shù)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，若\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""除以\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""余數(shù)為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""（\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""為整數(shù)），則滿(mǎn)足條件的正整數(shù)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""為．【答案】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""【知識(shí)點(diǎn)】新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算、整式加減的應(yīng)用、二元一次方程的解【分析】本題考查了新定義，設(shè)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""（\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""）根據(jù)最小的“方減數(shù)”可得\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，代入，即可求解；根據(jù)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""除以\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""余數(shù)為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，且\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""（\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""為整數(shù)），得出\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""為整數(shù)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""是完全平方數(shù)，在\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，逐個(gè)檢驗(yàn)計(jì)算，即可求解．【詳解】\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""設(shè)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""（\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""）由題意得：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∵\(yùn)o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，“方減數(shù)”最小，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，∴\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，則當(dāng)\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""時(shí)，\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""最小，為\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""，故答案為：\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""；\o"中國(guó)教育出版網(wǎng)""設(shè)\o"中國(guó)教