2024~2025學年福建寧德高二第一學期入學考試數(shù)學調(diào)研試卷合集2套含解析

/2024-2025學年福建省寧德市高二上學期入學考試數(shù)學試卷（一）一、單選題（共40分）1．已知復數(shù)z滿足（z+2i）（2﹣i）＝5，則z的共軛復數(shù)＝（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．如圖①，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖②，已知圓柱的底面直徑AB＝16米，AD＝4米，圓錐的高PQ＝6米，則該蒙古包的側(cè)面積約為（）A．336π平方米 B．272π平方米 C．208π平方米 D．144π平方米3．設(shè)x0為函數(shù)f（x）＝lnx+x﹣5的零點，則不等式x﹣x0＞2的最小整數(shù)解為（）A．3 B．4 C．6 D．54．某小區(qū)從2000戶居民中隨機抽取100戶進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50～350kW?h之間，進行適當?shù)姆纸M后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示．則（）A．小區(qū)用電量平均數(shù)為186.5，極差為300 B．小區(qū)用電量中位數(shù)為171，眾數(shù)為175 C．可以估計小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)約為262.5 D．小區(qū)用電量不小于250kW?h的約有380戶5．已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為π B．是函數(shù)f（x）的一條對稱軸 C．函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為2 D．將函數(shù)f（x）向左平移個單位后得函數(shù)g（x），則g（x）為偶函數(shù)6．函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≤﹣1 B．a(chǎn)＜﹣1 C．﹣3≤a≤﹣1 D．﹣3＜a＜﹣17．如圖，在平面四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，△BCD為等邊三角形，當點M在對角線AC上運動時，的最小值為（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．8．△ABC中，AB＝2，，AC＝4，點O為△ABC的外心，若，則實數(shù)的值為（）A．7 B． C． D．二、多選題（共20分）（多選）9．設(shè)P表示一個點，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個平面，下列說法正確的是（）A．若P∈a，P∈α，則a?α B．若a∩b＝P，b?β，則a?β C．若a∥b，a?α，P∈b，P∈α，則b?α D．若α∩β＝b，P∈α，P∈β，則P∈b（多選）10．下列有關(guān)復數(shù)的說法正確的是（）A．若復數(shù)z＝，則z∈R B．若z+＝0，則z是純虛數(shù) C．若z是復數(shù)，則一定有|z|2＝z2 D．若z1，z2∈C，則（多選）11．一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個球（標號為1，2，3，4，5），從袋中有放回的抽出兩球則下列說法正確的是（）A．沒有出現(xiàn)數(shù)字1的概率為 B．兩次都出現(xiàn)兩個數(shù)字相同的概率為 C．至少出現(xiàn)一次數(shù)字1的概率為 D．兩個數(shù)字之和為6的概率為（多選）12．如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一個動點，則（）A．當P在平面BCC1B1上運動時，四棱錐P﹣AA1D1D的體積不變 B．當P在線段AC上運動時，D1P與A1C1所成角的取值范圍是[，] C．使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為 D．若F是A1B1的中點，當P在底面ABCD上運動，且滿足PF∥平面B1CD1時，PF長度的最小值是三、填空題（共20分）13．方程x2+9＝0在復數(shù)范圍內(nèi)的根為．14．某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分別為，則這個部件能正常工作的概率為．15．已知，，，；若P是△ABC所在平面內(nèi)一點，，則的最大值為．16．已知正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長為，側(cè)棱長為2，則該正四棱錐相鄰兩個側(cè)面所成二面角的余弦值為；該正四棱錐的外接球的體積為．四、解答題（共70分）17．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上，且AE＝2BE，點F是BC的中點．（1）設(shè)，，用，表示，；（2）已知ED⊥EF，求證：．18．設(shè)函數(shù)f（x）＝lg（x2﹣1）的定義域為集合A，g（x）＝的定義域為集合B．（1）當a＝1時，求（?RA）∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．19．已知向量，函數(shù)．（1）若f（α）＝2，α∈（0，π），求α的值；（2）已知△ABC的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（A）＝2，b＝1，△ABC的面積為，求的值．20．2021年起，遼寧省將實行“3+1+2”高考模式，為讓學生適應新高考的賦分模式．某校在一次?？贾惺褂觅x分制給高三年級學生的化學成績進行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定A、B、C、D、E共五個等級，然后在相應賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進行賦分．A等級排名占比15%，賦分分數(shù)區(qū)間是86～100；B等級排名占比35%，賦分分數(shù)區(qū)間是71～85；C等級排名占比35%，賦分分數(shù)區(qū)間是56～70；D等級排名占比13%，賦分分數(shù)區(qū)間是41～55；E等級排名占比2%，賦分分數(shù)區(qū)間是30～40．現(xiàn)從全年級的化學成績中隨機抽取100名學生的原始成績（未賦分）進行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：（Ⅰ）求圖中a的值；（Ⅱ）用樣本估計總體的方法，估計該校本次化學成績原始分不少于多少分才能達到賦分后的C等級及以上（含C等級）？（結(jié)果保留整數(shù)）（Ⅲ）若采用分層抽樣的方法，從原始成績在[40，50）和[50，60）內(nèi)的學生中共抽取5人，查看他們的答題情況來分析知識點上的缺漏，再從中選取2人進行調(diào)查分析，求這2人中恰有一人原始成績在[40，50）內(nèi)的概率．21．已知函數(shù)f（x）＝loga（10+x）﹣loga（10﹣x）（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的定義域；（2）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；（3）求不等式f（x）＞0的解集．22．如圖所示，在等邊△ABC中，AB＝6，M，N分別是AB，AC上的點，且AM＝AN＝4，E是BC的中點，AE交MN于點F．以MN為折痕把△AMN折起，使點A到達點P的位置（0＜∠PFE＜π），連接PB，PE，PC．（1）證明：MN⊥PE；（2）設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為點Q，若二面角P﹣MN﹣B的大小為，求直線QC與平面PBC所成角的正弦值．

答案一、單選題（共40分）1．已知復數(shù)z滿足（z+2i）（2﹣i）＝5，則z的共軛復數(shù)＝（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【分析】利用復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)z，利用共軛復數(shù)的定義可得結(jié)果．解：因為（z+2i）（2﹣i）＝5，則，所以．故選：B．【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．2．如圖①，普通蒙古包可近似看作是圓柱和圓錐的組合體；如圖②，已知圓柱的底面直徑AB＝16米，AD＝4米，圓錐的高PQ＝6米，則該蒙古包的側(cè)面積約為（）A．336π平方米 B．272π平方米 C．208π平方米 D．144π平方米【分析】首先根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖為長方形求出圓柱的側(cè)面積，再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形求出圓錐的側(cè)面積，進而得到蒙古包的側(cè)面積．解：依題意得，圓柱的側(cè)面積，∵DC＝AB＝16，∴，在Rt△PQC中，，∴圓錐的側(cè)面積，∴該蒙古包的側(cè)面積S＝S1+S2＝64π+80π＝144π，故選：D．【點評】本題考查了圓柱和圓錐側(cè)面積的計算，屬于基礎(chǔ)題．3．設(shè)x0為函數(shù)f（x）＝lnx+x﹣5的零點，則不等式x﹣x0＞2的最小整數(shù)解為（）A．3 B．4 C．6 D．5【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點存在性定理判斷x0∈（3，4），再解不等式，即可得解．解：因為函數(shù)f（x）＝lnx+x﹣5在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又f（3）＝ln3+3﹣5＝ln3﹣2＜0，f（4）＝ln4+4﹣5＝ln4﹣1＞0，即f（3）?f（4）＜0，所以x0∈（3，4），不等式x﹣x0＞2，解得x＞2+x0，因為x0∈（3，4），所以2+x0∈（5，6），所以不等式x﹣x0＞2的最小整數(shù)解為6．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的零點判斷定理的應用，是基礎(chǔ)題．4．某小區(qū)從2000戶居民中隨機抽取100戶進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50～350kW?h之間，進行適當?shù)姆纸M后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示．則（）A．小區(qū)用電量平均數(shù)為186.5，極差為300 B．小區(qū)用電量中位數(shù)為171，眾數(shù)為175 C．可以估計小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)約為262.5 D．小區(qū)用電量不小于250kW?h的約有380戶【分析】對于A，根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)與極差的算法計算即可；對于B，根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)與眾數(shù)的算法計算即可；對于C，根據(jù)頻率分布直方圖中百分位數(shù)的算法判斷即可；對于D，求出小區(qū)用電量不小于250kW?h的頻率，進而得解．解：對于A，極差為300，小區(qū)用電量平均數(shù)為50×0.0024×75+50×0.0036×125+50×0.0060×175+50×0.0044×225+50×0.0024×275+50×0.0012×325＝186，故A錯誤；對于B，小區(qū)用電量眾數(shù)為，因為50×（0.0024+0.0036）＝0.3，50×（0.0024+0.0036+0.0060）＝0.6，故小區(qū)用電量中位數(shù)在[150，200），設(shè)為m，則0.3+（m﹣150）×0.0060＝0.5，解得，故B錯誤；對于C，因為50×（0.0024+0.0036+0.0060+0.0044）＝0.82＜0.85，50×（0.0024+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024）＝0.94＞0.85，故估計小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)在[250，300），設(shè)為x，則0.82+（x﹣250）×0.0024＝0.85，解得x＝262.5，故C正確；對于D，樣本中小區(qū)用電量不小于250kW?h的頻率為0.0024×50+0.0012×50＝0.18，所以小區(qū)用電量不小于250kW?h的約有2000×0.18＝360戶，故D錯誤．故選：C．【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了平均數(shù)、極差、中位數(shù)和百分位數(shù)的計算，屬于中檔題．5．已知函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為π B．是函數(shù)f（x）的一條對稱軸 C．函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為2 D．將函數(shù)f（x）向左平移個單位后得函數(shù)g（x），則g（x）為偶函數(shù)【分析】由題意，利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．解：由于函數(shù)＝2sin（2x+），故它的最小正周期為＝π，故A正確．令x＝，求得f（x）＝﹣2，為最小值，可得它的圖象關(guān)于直線x＝對稱，故B正確．在區(qū)間上，2x+∈[﹣，]，故函數(shù)f（x）的最大值為2，故C正確．將函數(shù)f（x）向左平移個單位后得函數(shù)g（x）＝2sin（2x++）＝2sin（2x+）的圖象，顯然，g（x）為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤．故選：D．【點評】本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．6．函數(shù)在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≤﹣1 B．a(chǎn)＜﹣1 C．﹣3≤a≤﹣1 D．﹣3＜a＜﹣1【分析】根據(jù)題意，令t（x）＝7+2ax﹣x2，由題意可得t（x）需滿足在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減，且t（x）min≥0，由此列出不等式，求得答案．解：根據(jù)題意，函數(shù)，令t（x）＝7+2ax﹣x2，則，由題意可得t（x）＝7+2ax﹣x2需滿足在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減，且t（x）min≥0，而t（x）＝7+2ax﹣x2的圖象開口向下，對稱軸為x＝a，故a≤﹣1且t（1）＝6+2a≥0，解可得﹣3≤a≤﹣1．故選：C．【點評】本題考查復合函數(shù)單調(diào)性的判定，注意函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題．7．如圖，在平面四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，△BCD為等邊三角形，當點M在對角線AC上運動時，的最小值為（）A．﹣2 B． C．﹣1 D．【分析】由題意，結(jié)合全等三角形的定義得到△ABC≌△ADC，根據(jù)向量的加法運算以及數(shù)量積的定義對進行整理，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．解：已知∠A＝90°，AB＝AD＝2，所以△ABD為等腰直角三角形，此時∠ABC＝∠ADC＝45°+60°＝105°，易知，所以△ABC≌△ADC，所以∠ACB＝∠ACD，即AC平分∠BCD，因為，所以＝，當時，取得最小值，最小值為．故選：B．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的定義，考查了邏輯推理和運算能力．8．△ABC中，AB＝2，，AC＝4，點O為△ABC的外心，若，則實數(shù)的值為（）A．7 B． C． D．【分析】在△ABC中，利用余弦定理求出cos∠BAC，再在兩邊同時乘以向量和，利用投影的定義計算出和的值，代入方程中計算，解出m和n，可得出答案．解：由余弦定理可得∵，∴，又∵，同理可得：，代入上式，∴，解得：m＝，n＝，所以，故選：A．【點評】考查三角形外心的定義，余弦定理，以及數(shù)量積的運算及其計算公式，余弦函數(shù)的定義，屬于中檔題．二、多選題（共20分）（多選）9．設(shè)P表示一個點，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個平面，下列說法正確的是（）A．若P∈a，P∈α，則a?α B．若a∩b＝P，b?β，則a?β C．若a∥b，a?α，P∈b，P∈α，則b?α D．若α∩β＝b，P∈α，P∈β，則P∈b【分析】根據(jù)公理1以及直線在平面內(nèi)的定義，逐一對四個結(jié)論進行分析，即可求解．解：當a∩α＝P時，P∈a，P∈α，但a?α，故A錯；當a∩β＝P時，B錯；如圖，∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a和點P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a和點P，∴β與α重合，∴b?α，故C正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故D正確．故選：CD．【點評】本題考查了公理1及空間點、線、面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．（多選）10．下列有關(guān)復數(shù)的說法正確的是（）A．若復數(shù)z＝，則z∈R B．若z+＝0，則z是純虛數(shù) C．若z是復數(shù)，則一定有|z|2＝z2 D．若z1，z2∈C，則【分析】由共軛復數(shù)的概念及復數(shù)相等，判斷A；應用特殊值法，令z＝＝0及z＝1+i，判斷BC；利用共軛復數(shù)的概念及復數(shù)乘法判斷D．解：對于A，設(shè)z＝a+bi，（a，b∈R），則＝a﹣bi，若z＝，則b＝0，∴z∈R，故A正確；對于B，設(shè)z＝＝0時，z+＝0，而z不是純虛數(shù)，故B錯誤；對于C，當z＝1+i時，則|z|2＝2，zz2＝2im，∴|z|2≠z2，故C錯誤；對于D，令z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝m+ni（m，n∈R），則z1?z2＝ma﹣nb+（mb+na）i，＝ma﹣nb﹣（mb+na）i，∵＝a﹣bi，＝m﹣ni，∴＝（a﹣bi）（m﹣ni）＝ma﹣nb﹣（mb+na）i，∴若z1，z2∈C，則，故D正確．故選：AD．【點評】本題考查復數(shù)的運算，考查復數(shù)的定義、運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．（多選）11．一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個球（標號為1，2，3，4，5），從袋中有放回的抽出兩球則下列說法正確的是（）A．沒有出現(xiàn)數(shù)字1的概率為 B．兩次都出現(xiàn)兩個數(shù)字相同的概率為 C．至少出現(xiàn)一次數(shù)字1的概率為 D．兩個數(shù)字之和為6的概率為【分析】根據(jù)古典概型計算公式，結(jié)合邏輯推理，逐項運算判斷即可；解：沒有出現(xiàn)數(shù)字1的概率為，選項A錯誤；從袋中有放回的抽出兩球共有：5×5＝25種結(jié)果，兩次都出現(xiàn)兩個數(shù)字相同的有5種結(jié)果，故兩次都出現(xiàn)兩個數(shù)字相同的概率為，選項B正確；從反向思考，至少出現(xiàn)一次數(shù)字1的概率為，選項C正確；兩個數(shù)字之和為6的情況有：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），5種，故兩個數(shù)字之和為6的概率為，選項D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．如圖，點P是棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1的表面上一個動點，則（）A．當P在平面BCC1B1上運動時，四棱錐P﹣AA1D1D的體積不變 B．當P在線段AC上運動時，D1P與A1C1所成角的取值范圍是[，] C．使直線AP與平面ABCD所成的角為45°的點P的軌跡長度為 D．若F是A1B1的中點，當P在底面ABCD上運動，且滿足PF∥平面B1CD1時，PF長度的最小值是【分析】對于選項A，由點P到側(cè)面ADD1A1的距離相等，故四棱錐P﹣AA1D1D的體積為定值，即可判斷；對于選項B，找到所求角為∠D1PA或其補角，根據(jù)正三角形△D1AC，即可判斷；對于選項C，分別求當點P在側(cè)面BB1C1C，側(cè)面CC1D1D上時（不包括正方形的邊界）、在上底面A1B1C1D1上、點P在側(cè)面AA1D1D，AA1BB上點P的軌跡長，即可判斷；對于選項D，取BC中點M，CD中點N，連結(jié)FM，F(xiàn)N，可證明平面FMN∥平面B1CD1，即可求得P的軌跡是MN，即可求得PF的最小值，進而判定選項．解：對于選項A：因為平面BCC1B1∥平面AA1D1D，所以點P到側(cè)面ADD1A1的距離為定值，故四棱錐P﹣AA1D1D的體積為定值，故A正確；對于選項B：因為A1C1∥AC，D1P與A1C1所成角是∠D1PA或其補角，因為△D1AC是正三角形，所以D1P與A1C1成角的取值范圍是[]，故B正確；?對于選項C：①當點P在側(cè)面CC1D1D上時（不包括正方形的邊界），過點P作平面ABCD的垂線，垂足為H，連AH，根據(jù)正方體易知PH⊥平面ABCD，則∠PAH為PA與平面ABCD所成的角，故∠PAH＝45°，所以PH＝AH，在Rt△ADH中，由AH＞AD＝2，但是PH＝AH＜2，矛盾，故點P不能在側(cè)面CC1D1D上（不包括正方形的邊界），同理，點P不在側(cè)面BB1C1C上（不包括正方形的邊界）．②當點P在上底面A1B1C1D1上時，過點P作平面ABCD的垂線，垂足為G，連結(jié)A1P，AG，根據(jù)正方體易知PG⊥平面ABCD，且四邊形A1PGA為矩形，則∠PAG為PA與平面ABCD所成的角，故∠PAG＝45°，所以PG＝AG＝2，所以A1P＝AG＝2，此時點P的軌跡是以A1為圓心，2為半徑的四分之一圓，點P的軌跡長度為；③當點P在側(cè)面AA1D1D，AA1BB上時，根據(jù)正方體特征易知點P在線段AB1，AD1上，都符合題意，此時點P的軌跡長為；由上知點P的軌跡長度為，故C選項正確；對于選項D：取BC中點M，CD中點N，連結(jié)FM，F(xiàn)N，因為M、N是BC、CD的中點，可知MN∥BD且MN＝BD＝，又BD∥B1D1，所以MN∥B1D1，又MN?平面B1CD1，B1D1?平面B1CD1，所以MN∥平面B1CD1，因為F，N是A1B1、CD中點，根據(jù)正方體可得，四邊形B1FNC是平行四邊形，所以FN∥B1C，F(xiàn)N?平面B1CD1，B1C?平面B1CD1，所以FN∥平面B1CD1，又FN∩MN＝N，F(xiàn)N，MN?平面FMN，所以平面FMN∥平面平面B1CD1，因為P在底面ABCD上運動，且PF∥平面B1CD1，所以PF?平面FMN，因為平面FMN∩底面ABCD＝MN，所以點P在底面ABCD上的軌跡為MN，根據(jù)正方體的棱長為2，結(jié)合勾股定理可得，，，所以FN2＝FM2+MN2，故MN⊥FM，所以PF長度的最小值為，故D錯誤．?故選：ABC．【點評】本題考查了棱錐的體積，直線與直線所成角，直線與平面所成角以及軌跡問題，屬于較難題．三、填空題（共20分）13．方程x2+9＝0在復數(shù)范圍內(nèi)的根為±3i．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的四則運算，即可求解．解：方程x2+9＝0，解得x＝±3i．故±3i．【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．14．某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．元件1，元件2，元件3正常工作的概率分別為，則這個部件能正常工作的概率為．【分析】設(shè)“元件1正常工作”為事件A，“元件2正常工作”為事件B，“元件3正常工作”為事件C，則P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，再結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解．解：設(shè)“元件1正常工作”為事件A，“元件2正常工作”為事件B，“元件3正常工作”為事件C，則P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，這個部件能正常工作的概率為P＝[1﹣P（）P（）]P（A）＝．故．【點評】本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．15．已知，，，；若P是△ABC所在平面內(nèi)一點，，則的最大值為192．【分析】建立直角坐標系，由可得P的坐標，從而可得＝12t2，再結(jié)合t的范圍即可求得它的最大值．解：由題意建立如圖所示的坐標系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），因為＝，所以P（0，4t），所以＝（，﹣4t），＝（0，﹣3t），所以＝﹣4t×（﹣3t）＝12t2，因為，所以的最大值為192．故192．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積與坐標運算，屬于中檔題．16．已知正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長為，側(cè)棱長為2，則該正四棱錐相鄰兩個側(cè)面所成二面角的余弦值為；該正四棱錐的外接球的體積為．【分析】作出二面角的平面角，通過求解三角形．推出結(jié)果；求解外接球的半徑，然后求解體積即可．解：如圖所示，連接AC，BD，相交于點O，連接OS．∵四棱錐S﹣ABCD是正四棱錐，∴OS⊥底面ABCD．作BE⊥SC，同理DE⊥SC，連接DE，∴∠BED是相鄰兩個側(cè)面所成二面角的平面角，BD＝2，，可得BE＝＝，sin＝，cos∠BED＝＝﹣．SO＝＝＝，設(shè)外接球的半徑為R，可得，解得R＝，正四棱錐的外接球的體積為：＝．故；．【點評】本題考查了正四棱錐的性質(zhì)，二面角的求法，幾何體的外接球的體積的求法．考查了推理能力與計算能力．四、解答題（共70分）17．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AB上，且AE＝2BE，點F是BC的中點．（1）設(shè)，，用，表示，；（2）已知ED⊥EF，求證：．【分析】（1）利用平面向量基本定理以及三角形法則即可求解；（2）利用向量垂直的性質(zhì)化簡即可證明．解：（1）因為AE＝2BE，則，所以，＝；（2）證明：因為ED⊥EF，所以，即（）＝，即|，所以AB＝．【點評】本題考查了平面向量基本定理的應用，涉及到向量垂直的性質(zhì)，考查了學生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．18．設(shè)函數(shù)f（x）＝lg（x2﹣1）的定義域為集合A，g（x）＝的定義域為集合B．（1）當a＝1時，求（?RA）∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得集合A，B，再根據(jù)集合的運算進行求解即可；（2）因為“x∈A”是“x∈B”的必要條件，所以B?A，即可求得實數(shù)a的取值范圍．解：（1）由x2﹣1＞0，解得x＞1或x＜﹣1，所以集合A＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），?RA＝[﹣1，1]，當a＝1時，由9x+1﹣3≥0，即32x+2≥3，解得x≥，所以集合B＝[﹣，+∞），故（?RA）∩B＝[﹣，1]，（2）由（1）知A＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由9x+a﹣3≥0，解得x﹣a，所以B＝[﹣a，+∞），因為“x∈A”是“x∈B”的必要條件，所以B?A，所以﹣a＞1，解得a，故實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，）．【點評】本題主要考查了復合函數(shù)的定義域，集合的運算，充要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．19．已知向量，函數(shù)．（1）若f（α）＝2，α∈（0，π），求α的值；（2）已知△ABC的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（A）＝2，b＝1，△ABC的面積為，求的值．【分析】（1）由向量的數(shù)量積的坐標表示和三角函數(shù)的恒等變換，計算可得所求角；（2）運用三角形的面積公式和三角形的正弦定理、余弦定理，計算可得所求值．解（1）依題意得＝＝，因為，所以．所以，即．（2）因為f（A）＝2，A∈（0，π），由（1）得．因為，所以，即c＝2．在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝．由，得b＝2sinB，c＝2sinC，a＝2sinA，所以．【點評】本題主要考查平面向量的應用、正弦定理、余弦定理及三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，考查數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性．20．2021年起，遼寧省將實行“3+1+2”高考模式，為讓學生適應新高考的賦分模式．某校在一次?？贾惺褂觅x分制給高三年級學生的化學成績進行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定A、B、C、D、E共五個等級，然后在相應賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進行賦分．A等級排名占比15%，賦分分數(shù)區(qū)間是86～100；B等級排名占比35%，賦分分數(shù)區(qū)間是71～85；C等級排名占比35%，賦分分數(shù)區(qū)間是56～70；D等級排名占比13%，賦分分數(shù)區(qū)間是41～55；E等級排名占比2%，賦分分數(shù)區(qū)間是30～40．現(xiàn)從全年級的化學成績中隨機抽取100名學生的原始成績（未賦分）進行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：（Ⅰ）求圖中a的值；（Ⅱ）用樣本估計總體的方法，估計該校本次化學成績原始分不少于多少分才能達到賦分后的C等級及以上（含C等級）？（結(jié)果保留整數(shù)）（Ⅲ）若采用分層抽樣的方法，從原始成績在[40，50）和[50，60）內(nèi)的學生中共抽取5人，查看他們的答題情況來分析知識點上的缺漏，再從中選取2人進行調(diào)查分析，求這2人中恰有一人原始成績在[40，50）內(nèi)的概率．【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)列方程，能求出a．（Ⅱ）由已知等級達到C及以上所占排名等級占比為85%，假設(shè)原始分不少于x分可以達到賦分后的C等級及以上，列方程能求出結(jié)果．（Ⅲ）由題知得分在[40，50）和[50，60）內(nèi)的頻率分別為0.1和0.15，則抽取的5人中，得分在[40，50）內(nèi)的有2人，得分在[50，60）的有3人，記得分在[50，60）內(nèi)的3位學生為a，b，c，得分在[40，50）內(nèi)的2位學生為D，E，從5人中任選2人，利用列舉法能求出這2人中恰有一人原始成績在[40，50）內(nèi)的概率．解：（Ⅰ）由題意（0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10＝1，所以a＝0.030．（Ⅱ）由已知等級達到C及以上所占排名等級占比為15%+35%+35%＝85%，假設(shè)原始分不少于x分可以達到賦分后的C等級及以上，則有（0.005+0.025+0.030+0.015）×10+（60﹣x）×0.015＝0.85，解得x≈53.33（分），所以原始分不少于54分才能達到賦分后的C等級及以上．（Ⅲ）由題知得分在[40，50）和[50，60）內(nèi)的頻率分別為0.1和0.15，則抽取的5人中，得分在[40，50）內(nèi)的有2人，得分在[50，60）的有3人，記得分在[50，60）內(nèi)的3位學生為a，b，c，得分在[40，50）內(nèi)的2位學生為D，E，則從5人中任選2人，樣本空間可記為：Ω＝{ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE}共包含10個樣本，用A表示“這2人中恰有一人得分在[40，50）內(nèi)”，則A＝{aD，aE，bD，bE，cD，cE}，即A包含6個樣本，所以這2人中恰有一人原始成績在[40，50）內(nèi)的概率為P（A）＝＝．【點評】本題考查頻率、概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．21．已知函數(shù)f（x）＝loga（10+x）﹣loga（10﹣x）（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的定義域；（2）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；（3）求不等式f（x）＞0的解集．【分析】（1）由函數(shù)有意義所需條件，求f（x）的定義域；（2）由函數(shù)奇偶性的定義，判斷并證明f（x）的奇偶性；（3）分類討論，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解不等式．解：（1）要使函數(shù)有意義，則，解得﹣10＜x＜10，所以函數(shù)f（x）的定義域為（﹣10，10）．（2）f（x）是奇函數(shù)，理由如下：由（1）知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，f（﹣x）＝loga（10﹣x）﹣loga（10+x）＝﹣[loga（10+x）﹣loga（10﹣x）]＝﹣f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；（3）若f（x）＞0，則loga（10+x）﹣loga（10﹣x）＞0，即loga（10+x）＞loga（10﹣x），若a＞1，則y＝logax單調(diào)遞增，則有，得，解得：0＜x＜10；若0＜a＜1，則y＝logax單調(diào)遞減則有，得，解得：﹣10＜x＜0．即當a＞1時，不等式的解集為（0，10），當0＜a＜1時，不等式的解集為（﹣10，0）．【點評】本題考查分類討論求解不等式的解集的方法及函數(shù)的奇偶性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．22．如圖所示，在等邊△ABC中，AB＝6，M，N分別是AB，AC上的點，且AM＝AN＝4，E是BC的中點，AE交MN于點F．以MN為折痕把△AMN折起，使點A到達點P的位置（0＜∠PFE＜π），連接PB，PE，PC．（1）證明：MN⊥PE；（2）設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為點Q，若二面角P﹣MN﹣B的大小為，求直線QC與平面PBC所成角的正弦值．【分析】（1）折疊前MN⊥AE，折疊后MN⊥PF，MN⊥FE，從而MN⊥平面PFE，又PE?平面PFE，則MN⊥PE；（2）易知二面角P﹣MN﹣B的平面角為∠PFE，另一方面平面ABC⊥平面PFE，從而可以確定Q的位置，建立空間直角坐標系即可求解．（1）證明：因為△ABC是等邊三角形，E是BC的中點，所以AE⊥BC，因為AM＝AN＝4，所以MN∥BC，所以MN⊥AE，可得MN⊥PF，MN⊥FE，又PF∩FE＝F，所以MN⊥平面PFE，又PE?平面PFE，所以MN⊥PE．（2）解：因為MN⊥PF，MN⊥FE，所以二面角P﹣MN﹣B的平面角為∠PFE，所以，可得，由第（1）問知，MN⊥平面PFE，MN?平面ABC，所以平面ABC⊥平面PFE，又因為平面PFE?平面ABC＝AE，所以點P在平面ABC內(nèi)的射影Q在AE上，因為，所以，過F作直線l∥PQ交PE于點K，以F為坐標原點，以的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，令z＝2，可得，所以，所以直線QC與平面PBC所成角的正弦值為．【點評】本題主要考查空間中的垂直關(guān)系，線面角的相關(guān)計算，空間想象能力的培養(yǎng)等知識，屬于中等題．2024-2025學年福建省寧德市高二上學期入學考試數(shù)學試卷（二）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知全集，，，則集合可能為（

）A． B．C． D．2．設(shè)實數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（

）A． B．C． D．4．已知，則等于（

）A． B．C．1 D．25．設(shè)，且，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．6．已知正實數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為 B．的最小值為8C．的最小值為 D．沒有最大值7．已知是偶函數(shù)，則（

）A． B．C．1 D．28．如圖，長方形的邊，，是的中點．點沿著邊，與運動，記．將動點到兩點距離之和表示為的函數(shù)，則的圖像大致為（

）

A．

B．

C．

D．

二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．設(shè)函數(shù)的定義域都為R，且，，是減函數(shù)，是增函數(shù)，則下列說法錯誤的有（

）A．是增函數(shù) B．是減函數(shù)C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)10．已知關(guān)于的不等式的解集是，其中，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．11．已知定義在R上的奇函數(shù)，其周期為4，當時，，則（

）A． B．的值域為C．在上單調(diào)遞增 D．在上有9個零點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則的取值范圍是.13．設(shè)是非空集合，定義，且，且.已知，，則.14．對于任意實數(shù)，定義，設(shè)函，則函數(shù)的最小值是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．為迎接中秋佳節(jié)，某公司開展抽獎活動，規(guī)則如下：在一個不透明的容器中有除顏色外完全相同的2個紅球和3個白球，每位員工從中摸出2個小球．若摸到一紅球一白球，可獲得價值(單位：百元)代金券；摸到兩白球，可獲得價值(單位：百元)代金券；摸到兩紅球，可獲得價值(單位：百元)代金券(,均為整數(shù)).(1)若，，求每位員工平均可獲得多少代金券（即數(shù)學期望，單位：百元）；(2)若已知每位員工平均可獲得5.4(單位：百元)代金券，試估計手氣最好者獲得至多多少代金券(單位：百元).16．解關(guān)于x的不等式.17．已知不等式.(1)是否存在實數(shù)，使不等式對任意恒成立，并說明理由；(2)若不等式對于恒成立，求的取值范圍；(3)若不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．函數(shù)的定義域為，且滿足對于任意，有，當.(1)證明：在上是增函數(shù)；(2)證明：是偶函數(shù)；(3)如果，解不等式.19．黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，是德國著名數(shù)學家波恩哈德·黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在數(shù)學中有廣泛的應用．黎曼函數(shù)定義在上，．(1)請用描述法寫出滿足方程的解集；（直接寫出答案即可）(2)解不等式；(3)探究是否存在非零實數(shù)，使得為偶函數(shù)？若存在，求k，b應滿足的條件；若不存在，請說明理由．1．D【分析】先明確全集，分析集合中的元素組成，可得答案.【詳解】因為，因為，所以，所以.又，所以且.故選：D2．B【分析】結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與充分條件及必要條件定義計算即可得.【詳解】若，則有或，即有或，若，則，故當時，可得，當時，不一定成立，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.3．A【分析】根據(jù)給定條件，利用抽樣函數(shù)定義域列式求解即得.【詳解】由函數(shù)的定義域是，得，因此在函數(shù)中，，解得，所以所示函數(shù)的定義域為.故選：A4．B【分析】根據(jù)給定條件，逐次判斷代入計算即得.【詳解】函數(shù)，則，所以.故選：B5．B【分析】先比較的大小，再利用的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，，.故選：B6．A【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定A正確；利用基本不等式，可得判定B錯誤；由，可判定C錯誤，利用對數(shù)的運算性質(zhì)，得到，得到，設(shè)函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定D錯誤.【詳解】對于A中，由正實數(shù)滿足，可得，且，則，當時，取得最小值為，所以A正確；對于B中，由，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為，所以B不正確；對于C中，由，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為，所以C錯誤；對于D中，由，因為，設(shè)，可得，當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在上單調(diào)遞減，所以，當時，函數(shù)取得最大值，最大值為，則的最大值為，所以D不正確.故選：A.7．C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性列方程，化簡求得的值.【詳解】的定義域是，由于是偶函數(shù)，所以，即，所以，即，所以，解得，當時，，，符合題意，所以.故選：C8．B【分析】借助排除法，計算、可排除C、D，計算時的情況可得時圖像不是線段，可排除A.【詳解】由題意可得，，故，由此可排除C、D；當時點在邊上，，，所以，可知時圖像不是線段,可排除A，故選B．故選：B.9．AC【分析】根據(jù)給定條件，利用單調(diào)性的性質(zhì)即可根據(jù)選項逐一求解.【詳解】對于A，如，，不單調(diào)，因此函數(shù)不一定為增函數(shù)，A錯誤；對于B，是增函數(shù)，則為減函數(shù)，又是減函數(shù)，則為減函數(shù)，B正確；對于C，如，，因此函數(shù)不一定是增函數(shù)，C錯誤；對于D，，由是增函數(shù)，且，得，則，由為減函數(shù)，得，于是，是減函數(shù)，D正確.故選：AC10．AB【分析】由一元二次不等式的性質(zhì)可得，且，即可得A、D，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得B、C.【詳解】由題意可得，，即，即有，即，，故A正確、D錯誤；令，其根為，，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得，，即，故B正確、C錯誤.故選：AB.11．BD【分析】利用函數(shù)的周期性與奇偶性計算函數(shù)值可判斷A；求出時的范圍，再利用奇偶性周期性求出函數(shù)在的值域可判斷B；求出、可判斷C；利用函數(shù)的周期性、奇偶性求出零點個數(shù)可判斷D.【詳解】對于A，因為為R上的奇函數(shù)，所以，又其周期為4，所以，故A錯誤；對于B，因為為奇函數(shù)，所以f?x=?fx，可得又因為周期為4，所以，可得，所以，即，可得的圖象關(guān)于對稱，所以，，因為當時，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又因為為奇函數(shù)，當時，所以，再由的周期為4，可得的值域為，故B正確；對于C，因為，，所以在上不具備單調(diào)性，故C錯誤；對于D，因為的周期為