2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量及其運(yùn)算（2025年4月）

第38頁（共38頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量及其運(yùn)算（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?齊齊哈爾二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，設(shè)AB→=a→，AC→=b→，A．a(chǎn)→+b→+c→ B．122．（2025?北京校級(jí)模擬）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P滿足DP→=λDD1→+μDA→，λ∈[0，1]，μ∈[0，A．3 B．1+2 C．2 D．3．（2025?武漢模擬）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M在平面B1BCC1上（不含三棱柱的頂點(diǎn)），若MA1⊥MB，則CM的最小值為（）A．3-2 B．23-2 C．4．（2025春?鹽城月考）在正三棱錐P﹣ABC中，PA＝AB＝4，點(diǎn)D是棱PC的中點(diǎn)，AE→=2EBA．-203 B．﹣9 C．-2835．（2025春?鹽城月考）已知兩平面的法向量分別為m→=(0，A．45° B．135° C．45°或135° D．90°6．（2025春?鹽城月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E為棱A1C1上點(diǎn)并且A1E→=2EC1→．設(shè)A．23a→+b→+13c→ 7．（2024秋?龍馬潭區(qū)校級(jí)期末）已知|a→|=4，空間向量e→為單位向量，?aA．2 B．﹣2 C．-12 D8．（2024秋?桂林期末）若a→=(1，-2A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（2，0，2） D．（﹣2，﹣1，﹣3）二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?池州模擬）在三棱錐A﹣BCD中，給定下列四個(gè)條件：①AB→②AB③AB→④AB→下列組合條件中，一定能斷定三棱錐A﹣BCD是正三棱錐的有（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④（多選）10．（2025春?成都校級(jí)月考）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有OP→=12OA→+13OBB．已知兩個(gè)向量a→=(1，m，3)，b→C．若a→⊥b→，且a→=(x1，y1，z1)，b→=(xD．a(chǎn)→=(0，1，1)，b（多選）11．（2025春?鹽城月考）下列說法正確的是（）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有AB→B．單位正交基底中的基向量模為1，且互相垂直 C．將空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓 D．若空間向量a→，b→（多選）12．（2025?江蘇模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P滿足AP→=xAB→+yAD→+zA．當(dāng)x＝y(tǒng)，y≠0，z≠0時(shí)，B1B∥平面ACP B．當(dāng)x＝y(tǒng)＝z，z≠0時(shí)，異面直線AP與BC所成的角為45° C．當(dāng)x+y＝1，z＝0時(shí)，D1P⊥A1C1 D．當(dāng)x+y+z＝1時(shí)，線段AP的長(zhǎng)度最小值為3三．填空題（共4小題）13．（2025?浦東新區(qū)模擬）已知a→、b→、c→為空間中三個(gè)單位向量，且a→?b→=b→?c→14．（2025春?上海校級(jí)月考）a→=(-2，1，0)，b→=(1，015．（2025春?普陀區(qū)校級(jí)月考）已知x∈R，空間向量a→=（3，1，2），b→=(1，1，-1)，c→=(5，x，0)16．（2025?上海校級(jí)模擬）已知點(diǎn)A（0，1，2）、B（1，3，6）、C（﹣1，2，4），則AB→在AC→方向上的投影為四．解答題（共4小題）17．（2025春?上海校級(jí)月考）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．記向量AB→=a→，向量（1）取B1C1的中點(diǎn)M，用向量a→，b→，c→（2）求|AM18．（2025春?濱?？h校級(jí)月考）如圖，在六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六邊形，設(shè)AB→=a→，AF→=b→，AA1→=（1）A1（2）|A19．（2025春?鹽城月考）已知空間中三點(diǎn)A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，3），C（3，0，1），設(shè)a→=AB（1）若向量a→+kb→（2）若|c→|=3，且c20．（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，且∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°．（1）用AB→，AD→，AA1→表示AC（2）求異面直線AC與BD1所成角的大小．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之空間向量及其運(yùn)算（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案CDDAABAA二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案ACDBCABDACD一．選擇題（共8小題）1．（2025?齊齊哈爾二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，設(shè)AB→=a→，AC→=b→，A．a(chǎn)→+b→+c→ B．12【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由空間向量的線性運(yùn)算法則即可求解．【解答】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，設(shè)AB→=a→，AC→=b連接AN，如圖，因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以A1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．2．（2025?北京校級(jí)模擬）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P滿足DP→=λDD1→+μDA→，λ∈[0，1]，μ∈[0，A．3 B．1+2 C．2 D．【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算，當(dāng)λ+μ＝1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為線段AD1，將等腰直角三角形DAD1旋轉(zhuǎn)與平面D1ABC1共面，由余弦定理可求解．【解答】解：棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P滿足DP→=λDD1→+μDA→，λ∈[0，1]，如圖所示，當(dāng)λ+μ＝1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為線段AD1，將等腰直角三角形三角形DAD1旋轉(zhuǎn)至與平面D1ABC1共面，可知PD+PB≥BD，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，D三點(diǎn)共線取最小值，由余弦定理可得BD=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．（2025?武漢模擬）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M在平面B1BCC1上（不含三棱柱的頂點(diǎn)），若MA1⊥MB，則CM的最小值為（）A．3-2 B．23-2 C．【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)空間線面的位置關(guān)系即可求解．【解答】解：由題意知，點(diǎn)M在以線段A1B為直徑的球與平面B1BCC1的交線上，如圖，取A1B的中點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥平面B1BCC1，垂足為E，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為4，∴A1到平面B1BCC1的距離為23，則DE又側(cè)棱長(zhǎng)為2，∴A1可得點(diǎn)M在以E為圓心，以(5故CM的最小值為CE-故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面的位置關(guān)系，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4．（2025春?鹽城月考）在正三棱錐P﹣ABC中，PA＝AB＝4，點(diǎn)D是棱PC的中點(diǎn)，AE→=2EBA．-203 B．﹣9 C．-283【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算，用AB→，AC【解答】解：根據(jù)題意可作圖，因?yàn)锳E→=2EB因?yàn)辄c(diǎn)D是棱PC的中點(diǎn)，所以AD→則PE→由題意，△PAB，△ABC，△PAC都是等邊三角形，PA＝AB＝4，所以AB→故PE→故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．5．（2025春?鹽城月考）已知兩平面的法向量分別為m→=(0，A．45° B．135° C．45°或135° D．90°【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】通過向量夾角公式求出兩平面法向量的夾角，再根據(jù)兩平面夾角與法向量夾角的關(guān)系求出兩平面的夾角．【解答】解：由已知條件得：m→?n→=0×0+1×(-1)+0×1=-1所以|cos所以兩平面的夾角為45°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．6．（2025春?鹽城月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E為棱A1C1上點(diǎn)并且A1E→=2EC1→．設(shè)A．23a→+b→+13c→ 【考點(diǎn)】空間向量及其線性運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則，將BE→轉(zhuǎn)化為BB1→+B1E→，再結(jié)合已知條件將B【解答】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BE→故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．（2024秋?龍馬潭區(qū)校級(jí)期末）已知|a→|=4，空間向量e→為單位向量，?aA．2 B．﹣2 C．-12 D【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由空間向量a→在向量e→方向上的投影數(shù)量為【解答】解：已知|a→|=4，|則空間向量a→在向量e→方向上的投影數(shù)量為故所求投影向量的模長(zhǎng)為2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量在向量上投影的定義，是基礎(chǔ)題．8．（2024秋?桂林期末）若a→=(1，-2A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（2，0，2） D．（﹣2，﹣1，﹣3）【考點(diǎn)】空間向量的加減運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】應(yīng)用空間向量減法運(yùn)算律計(jì)算即可．【解答】解：a→故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?池州模擬）在三棱錐A﹣BCD中，給定下列四個(gè)條件：①AB→②AB③AB→④AB→下列組合條件中，一定能斷定三棱錐A﹣BCD是正三棱錐的有（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算即可判定各選項(xiàng)．【解答】解：由①﹣②得AB→2=所以cos∠BAC＝cos∠CAD＝cos∠DAB，所以|BC所以由①②一定能斷定三棱錐A﹣BCD是正三棱錐，選項(xiàng)A正確；由①得AD→化簡(jiǎn)即為③，所以由①③未必能斷定三棱錐A﹣BCD是正三棱錐，選項(xiàng)B不正確；由④﹣②得DB→2=由向量的投影可知|AB所以由②④一定能斷定三棱錐A﹣BCD是正三棱錐，選項(xiàng)C正確；由③+④得AB→由選項(xiàng)C可知，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算，屬中檔題．（多選）10．（2025春?成都校級(jí)月考）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有OP→=12OA→+13OBB．已知兩個(gè)向量a→=(1，m，3)，b→C．若a→⊥b→，且a→=(x1，y1，z1)，b→=(xD．a(chǎn)→=(0，1，1)，b【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；空間向量的投影向量與投影；空間向量的共線與共面．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】利用空間中四點(diǎn)共面的推論可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng)．【解答】解：對(duì)于A，若P、A、B、C四點(diǎn)共面，則存在λ、μ∈R，使得AP→即OP→所以O(shè)P→=(1-λ-μ)OA→+λOB→+μ因?yàn)閷?duì)空間中任意一點(diǎn)O，有OP→但12+13+14≠1，故P、A、對(duì)于B，已知兩個(gè)向量a→=(1，由a→∥b→故mn＝﹣3，故B正確；對(duì)于C，a→=(x若a→⊥b→，則對(duì)于D，若a→=(0，則a→在be→=|a故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考空間向量基本定理、空間向量共線定理及空間向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．（多選）11．（2025春?鹽城月考）下列說法正確的是（）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有AB→B．單位正交基底中的基向量模為1，且互相垂直 C．將空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓 D．若空間向量a→，b→【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面；平面向量的相等向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的加法計(jì)算判斷A，再根據(jù)基底定義判斷B，根據(jù)單位向量判斷C，應(yīng)用向量相等判斷D．【解答】解：若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有AB→+BC單位正交基底中的基向量模為1，且互相垂直，B正確；空間中所有的單位向量平移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，故C錯(cuò)誤；a→=b→，故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的概念，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2025?江蘇模擬）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P滿足AP→=xAB→+yAD→+zA．當(dāng)x＝y(tǒng)，y≠0，z≠0時(shí)，B1B∥平面ACP B．當(dāng)x＝y(tǒng)＝z，z≠0時(shí)，異面直線AP與BC所成的角為45° C．當(dāng)x+y＝1，z＝0時(shí)，D1P⊥A1C1 D．當(dāng)x+y+z＝1時(shí)，線段AP的長(zhǎng)度最小值為3【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；異面直線及其所成的角；直線與平面平行．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，A選項(xiàng)由空間向量證明線面平行；B選項(xiàng)由空間向量的夾角公式求得線線角；C選項(xiàng)由空間向量的數(shù)量積為0證明線線垂直；D選項(xiàng)由基本不等式求得AP→的模長(zhǎng)的【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1），因?yàn)锳P→=xAB→+yAD→A選項(xiàng)：AP→=(x所以AP→?BD→=-又BB1→=(0，0，1)，則BB選項(xiàng)：設(shè)x＝y(tǒng)＝z＝a≠0，則AP→=(a設(shè)異面直線AP與BC所成的角為α，則cosα=|AP→?BC→C選項(xiàng)：設(shè)x＝a，則P（a，1﹣a，0），即D1P→則D1P→?A1C1→=a-D選項(xiàng)：|AP因?yàn)閤+y+z＝1，則x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz＝1，則1＝（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz≤x2+y2+z2+x2+y2+x2+z2+y2+z2＝3（x2+y2+z2），即x2+y2+z2所以|AP→|=故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何中的線線關(guān)系和線面關(guān)系，考查利用空間向量求解幾何問題，屬中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?浦東新區(qū)模擬）已知a→、b→、c→為空間中三個(gè)單位向量，且a→?b→=b→?c→【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式；空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】arccos2【分析】由題意可設(shè)a→=(1，0，0)，b→=(0，1，【解答】解：可設(shè)a→=(1，則p→因?yàn)閨p→-所以(x兩式相減可得：x＝y(tǒng)，再代入第一個(gè)式子，可得：2設(shè)向量p→與向量c→夾角為因?yàn)閜→?c→=z，|p→|=x所以cosθ=p易知對(duì)于y=-74x2+此時(shí)1-24即cosθ的最大值為24，x再由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知θ的最小值為arccos2故答案為：arccos2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了空間向量的模長(zhǎng)公式，屬于中檔題．14．（2025春?上海校級(jí)月考）a→=(-2，1，0)，b→=(1，0，1)，則向量a【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（﹣1，0，﹣1）．【分析】由投影向量計(jì)算公式即可直接求解．【解答】解：因?yàn)閍→=(-2，所以a→在b→上的投影向量為故答案為：（﹣1，0，﹣1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的投影向量，屬于基礎(chǔ)題．15．（2025春?普陀區(qū)校級(jí)月考）已知x∈R，空間向量a→=（3，1，2），b→=(1，1，-1)，c→=(5，x，0)【考點(diǎn)】空間向量的共線與共面．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】3．【分析】設(shè)c→=λ【解答】解：因?yàn)閍→，b→，c→共面，所以存在λ，u∈R又因?yàn)閍→=（3，1，2），b→所以（5，x，0）＝λ（3，1，2）+u（1，1，﹣1）＝（3λ+u，λ+u，2λ﹣u），即5=3λ+u所以x＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2025?上海校級(jí)模擬）已知點(diǎn)A（0，1，2）、B（1，3，6）、C（﹣1，2，4），則AB→在AC→方向上的投影為（-32，32【考點(diǎn)】空間向量的投影向量與投影．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（-32，32【分析】由點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)可得AB→，AC【解答】解：A（0，1，2）、B（1，3，6）、C（﹣1，2，4），可得AB→=（1，2，4），AC→=（﹣1，AB→?AC→=1×（﹣1）+2×1+4×2＝9，|AC→故AB→在AC→方向上的投影為AB→?AC→|AC→|?AC→故答案為：（-32，32【點(diǎn)評(píng)】本題考查一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影向量的求法，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?上海校級(jí)月考）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．記向量AB→=a→，向量（1）取B1C1的中點(diǎn)M，用向量a→，b→，c→（2）求|AM【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）AM→=a→+【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°．記向量AB→=a→，向量故：AM→（2）因?yàn)锳B＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，所以a→?b所以AM=1所以|AM【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（2025春?濱?？h校級(jí)月考）如圖，在六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六邊形，設(shè)AB→=a→，AF→=b→，AA1→=（1）A1（2）|A【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解．【答案】（1）23；（2）7．【分析】（1）根據(jù)正六邊形與六棱柱的幾何性質(zhì)，利用向量的線性運(yùn)算，用統(tǒng)一基底表示向量，結(jié)合數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律求解．（2）利用統(tǒng)一基底表示向量，結(jié)合數(shù)量積的定義以及運(yùn)算律，可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，底面ABCDEF為正六邊形，連接對(duì)角線且交點(diǎn)記為O，如圖：由題意，AB→=a→，則A=2ABA1由|a→|=|可得a→a→b→所以A=4|＝16+8+25﹣12﹣8﹣6＝23；（2）由（1）知AE因此|＝4+16+25﹣8+4+8＝49，所以|A【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題．19．（2025春?鹽城月考）已知空間中三點(diǎn)A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，3），C（3，0，1），設(shè)a→=AB（1）若向量a→+kb→（2）若|c→|=3，且c【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）-75；（2）c→【分析】（1）根據(jù)題意，由空間向量垂直的坐標(biāo)表示，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，設(shè)c→【解答】解：（1）由題意可得，a→=AB則a→由向量a→+kb→即（k﹣1）+3（5+3k）＝0，解得k=（2）設(shè)c→=(x0，y0則x02+y0即c→=(2，【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量共線和向量垂直的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，且∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°．（1）用AB→，AD→，AA1→表示AC（2）求異面直線AC與BD1所成角的大?。究键c(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算；異面直線及其所成的角；空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）AC→=AB→+（2）arccos6【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算，及模長(zhǎng)公式即可求解；（2）由異面直線夾角的向量法求解即可；【解答】解：（1）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，且∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，可得AB→AB→?AD→=2×2×cos60°＝2，同理可得AB→?AAAC→=AB所以|B可得|B（2）由（1）可得：AC→2＝（AB→+AD→）2=AB→2+AD→2+2所以|AC所以AC→所以cos＜AC→，設(shè)異面直線AC與BD1所成角為θ，所以cosθ＝|cos＜AC→，BD→所以θ=【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的相等向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】相等向量的定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點(diǎn)撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時(shí)，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個(gè)向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個(gè)限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動(dòng)到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時(shí)候會(huì)與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等其它知識(shí)結(jié)合考察．如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB→=2DC→，點(diǎn)E寫出與AE→解：∵在等腰梯形ABCD中，AB→=2DC→，點(diǎn)E∴與AE→相等的向量為EB→和2．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對(duì)角面是平行四邊形（4）長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．3．異面直線及其所成的角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ＝902、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識(shí)：4．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．5．空間向量及其線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長(zhǎng)度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量：A1（求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量A11．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa→與②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa→與③當(dāng)λ＝0時(shí)，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長(zhǎng)度是a→的長(zhǎng)度的|λ2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±6．空間向量的加減運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量：在空間內(nèi)，我們把具有大小和方向的量叫做向量，用有向線段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的長(zhǎng)度或模．記為|AB→|，|a特別地：①規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量為零向量，記作0→②模為1的向量叫做單位向量；3．相等的向量：兩個(gè)模相等且方向相同的向量稱為相等的向量．4．負(fù)向量：兩個(gè)模相等且方向相反的向量是互為負(fù)向量．如a→的相反向量記為-5．平行的向量：兩個(gè)方向相同或相反的向量稱為平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，規(guī)定0→②單位向量不一定相等，但單位向量的模一定相等且為1；③方向相同且模相等的向量稱為相等向量，因此，在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量；④空間任意兩個(gè)向量都可以通過平移成為共面向量；⑤一般來說，向量不能比較大?。?．加減法的定義：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，它們的加、減法運(yùn)算類似于平面向量的加減法．空間向量和平面向量一樣滿足三角形法則和平行四邊形法則．2．加法運(yùn)算律：空間向量的加法滿足交換律及結(jié)合律．（1）交換律：a（2）結(jié)合律：(a3．推廣：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量：A1（求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為：零向量A1【解題方法點(diǎn)撥】﹣逐分量運(yùn)算：按照向量的分量進(jìn)行加減運(yùn)算．【命題方向】﹣向量運(yùn)算：考查如何進(jìn)行空間向量的加法和減法運(yùn)算．7．空間向量的數(shù)乘及線性運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)λ與空間向量a→的乘積λ①當(dāng)λ＞0時(shí)，λa→與②當(dāng)λ＜0時(shí)，λa→與③當(dāng)λ＝0時(shí)，λa④|λa→|＝|λ|?|aλa→的長(zhǎng)度是a→的長(zhǎng)度的|λ2．運(yùn)算律空間向量的數(shù)乘滿足分配律及結(jié)合律．（1）分配律：①λ②（λ+μ）a（2）結(jié)合律：λ注意：實(shí)數(shù)和空間向量可以進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如λ±【解題方法點(diǎn)撥】﹣標(biāo)量運(yùn)算：進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算時(shí)，將標(biāo)量與向量分量相乘．﹣線性組合：應(yīng)用線性組合公式，計(jì)算向量的線性組合結(jié)果．【命題方向】﹣向量數(shù)乘和線性運(yùn)算：考查如何進(jìn)行空間向量的數(shù)乘和線性組合運(yùn)算．8．空間向量的共線與共面【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x【解題方法點(diǎn)撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使MP→=xMA→+yMB→證明三個(gè)向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個(gè)向量可表示成另兩個(gè)向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共線向量的條件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）與b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線向量的知識(shí)，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?OB解答：由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的，則D正確．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力．是基礎(chǔ)題．9．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a→、b→，在空間中任取一點(diǎn)O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長(zhǎng)度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長(zhǎng)度|b→|與3．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λa（2）分配律：a→4．?dāng)?shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時(shí)，只能用符號(hào)a→?b→（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定．（3）當(dāng)a→≠0→時(shí)，由a→?b→=0不能推出【解題方法點(diǎn)撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系：（1）向量垂直只對(duì)非零向量有意義，在證明或判斷a→⊥b→時(shí)，須指明（2）證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個(gè)方向向量表示為幾個(gè)已知向量a→，b→，c→【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點(diǎn)間的距離、證明垂直關(guān)系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運(yùn)算法則的應(yīng)用，任何有關(guān)數(shù)量積計(jì)算問題都離不開運(yùn)算律的運(yùn)用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1），則分析：通過2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→?b→=1×