2025中考數(shù)學(xué)-題型歸納講練熱點(diǎn)題型·專題04二次函數(shù)與二次函數(shù)中的代幾綜合問題(原卷版+解析)

/專題04二次函數(shù)與二次函數(shù)中的代幾綜合問題目錄TOC\o"1-3"\h\u熱點(diǎn)題型歸納 1題型01二次函數(shù)圖形性質(zhì)的應(yīng)用之判斷函數(shù)值的大小關(guān)系 1題型02二次函數(shù)小綜合（判斷序號正誤關(guān)系） 3題型03動點(diǎn)圖象問題 7題型04二次函數(shù)與線段及周長問題 10題型05二次函數(shù)與面積問題 15題型06二次函數(shù)與角度問題 18題型07二次函數(shù)與特殊三角形 23題型08二次函數(shù)與特殊四邊形 27題型09二次函數(shù)與三角形相似問題 32題型10二次函數(shù)與定值定點(diǎn)定直線問題 36中考練場 40題型01二次函數(shù)圖形性質(zhì)的應(yīng)用之判斷函數(shù)值的大小關(guān)系二次函數(shù)圖形性質(zhì)的應(yīng)用之判斷函數(shù)值的大小關(guān)系是初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊中的重要內(nèi)容，在中考數(shù)學(xué)整體分值中占比約5%-8%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對二次函數(shù)圖象特征與性質(zhì)的理解，通過圖象開口方向、對稱軸位置等判斷函數(shù)值大小。2.高頻題型：常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，給定二次函數(shù)解析式或圖象，比較不同自變量對應(yīng)的函數(shù)值大小。3.高頻考點(diǎn)：涉及二次函數(shù)對稱軸、增減性，利用函數(shù)圖象的對稱性判斷函數(shù)值大小。4.能力要求：要求學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合能力，能將函數(shù)解析式與圖象相互轉(zhuǎn)化，通過圖象分析函數(shù)值變化。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易忽略二次函數(shù)對稱軸位置對函數(shù)增減性的影響，在對稱軸兩側(cè)判斷函數(shù)值大小時(shí)出錯(cuò)?！咎岱置丶科饰龊瘮?shù)解析式巧用函數(shù)圖象根據(jù)圖象直接觀察：當(dāng)題目給出二次函數(shù)圖象時(shí)，我們可以通過觀察圖象上各點(diǎn)的高低位置來比較函數(shù)值大小。對于開口向上的圖象，離對稱軸越近的點(diǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值越??；而對于開口向下的圖象，離對稱軸越近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值越大。利用圖象對稱性和增減性即可【典例分析】例1．（2024·廣東·中考真題）若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．例2．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【變式演練】1．（2025·陜西西安·一模）已知點(diǎn)，，均在二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象上，則，，三者之間的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測）點(diǎn)，，均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．3．（2024·云南曲靖·一模）設(shè)，，是拋物線圖象上的三點(diǎn)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無法確定題型02二次函數(shù)小綜合（判斷序號正誤關(guān)系）二次函數(shù)小綜合（判斷序號正誤關(guān)系）是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識體系中綜合性突出的關(guān)鍵內(nèi)容，在中考分值占比約3%-8%。1.考查重點(diǎn)：著重考查對二次函數(shù)性質(zhì)、圖象特征、解析式及知識間內(nèi)在聯(lián)系的深度剖析，以判別多個(gè)二次函數(shù)相關(guān)結(jié)論的對錯(cuò)。2.高頻題型：多以選擇題、填空題出現(xiàn)，題干羅列多個(gè)涉及二次函數(shù)不同層面的序號式結(jié)論，要求判斷正誤。3.高頻考點(diǎn)：涉及二次函數(shù)對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性、最值、圖象與系數(shù)關(guān)系，以及運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題等要點(diǎn)。4.能力要求：學(xué)生需具備綜合整合二次函數(shù)各知識點(diǎn)的能力，能從多元視角思考并邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)嘏袛嘟Y(jié)論準(zhǔn)確性。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易在二次函數(shù)不同性質(zhì)應(yīng)用條件上混淆，對復(fù)雜結(jié)論分析不全面，忽視隱含條件，導(dǎo)致判斷序號正誤失誤。【提分秘籍】1.剖析題干結(jié)論2.巧用函數(shù)基本性質(zhì)3.結(jié)合圖象輔助思考4.注意隱藏條件【典例分析】例1．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點(diǎn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：①；②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個(gè)根在和之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例3．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)解；④點(diǎn)，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號）．例4．（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③多項(xiàng)式可因式分解為；④當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式演練】1．（2025·陜西西安·一模）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）個(gè)．①；②；③；④若方程兩根為，則．A．1 B．2 C．3 D．42．（2025·湖北恩施·一模）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)，對稱軸為，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，；⑤若，是拋物線上兩點(diǎn)，且，，則．其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（2024·湖北隨州·二模）已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直線，以下結(jié)論中：①；②若點(diǎn)，，均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實(shí)數(shù)，則；④方程的兩實(shí)數(shù)根為，，且，則，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)4．（2025·山東臨沂·一模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，與x軸分別交于，且．下列結(jié)論：①；②直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)；③；④．正確的有（填序號）．5．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。虎坳P(guān)于x的不等式的解集為或；④．其中正確的結(jié)論是．（填寫序號）題型03動點(diǎn)圖象問題二次函數(shù)動點(diǎn)圖象問題是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識領(lǐng)域中綜合性與動態(tài)性兼具的內(nèi)容，在中考中分值占比約為3%-7%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查如何將動點(diǎn)的運(yùn)動過程與二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)建立聯(lián)系，分析因動點(diǎn)位置改變引發(fā)的函數(shù)關(guān)系變化。2.高頻題型：多以選擇題、填空題以及簡答題部分出現(xiàn)，給出動點(diǎn)在圖形中的運(yùn)動情境，要求判斷對應(yīng)的二次函數(shù)圖象或求解相關(guān)函數(shù)表達(dá)式。3.高頻考點(diǎn)：涵蓋動點(diǎn)運(yùn)動路徑分析、根據(jù)幾何圖形性質(zhì)確定二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)、函數(shù)圖象與動點(diǎn)運(yùn)動階段的對應(yīng)關(guān)系等。4.能力要求：學(xué)生需具備較強(qiáng)的動態(tài)分析能力，能夠把幾何圖形中動點(diǎn)的運(yùn)動轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)問題，還要有良好的數(shù)形結(jié)合思維以及邏輯推理能力。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易在動點(diǎn)運(yùn)動過程的分段分析上出錯(cuò)，忽略不同階段函數(shù)關(guān)系的變化，對復(fù)雜幾何圖形中動點(diǎn)與函數(shù)圖象對應(yīng)關(guān)系把握不準(zhǔn)確?！咎岱置丶?.確定動點(diǎn)軌跡2.分段分析運(yùn)動過程3.建立函數(shù)表達(dá)式4.分析函數(shù)關(guān)鍵特征5.結(jié)合圖象與選項(xiàng)（針對選擇填空題）若題目是選擇或填空題，給出多個(gè)函數(shù)圖象選項(xiàng)。根據(jù)前面分析的動點(diǎn)運(yùn)動階段、函數(shù)關(guān)鍵特征，排除明顯不符合的選項(xiàng)。例如，已知函數(shù)開口向下，可排除開口向上的圖象選項(xiàng)；若函數(shù)在某區(qū)間增減性，不符合此增減性性的圖象也可排除，以此提高解題效率?！镜淅治觥坷?．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，水平放置的矩形中，，，菱形的頂點(diǎn)，在同一水平線上，點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，，，現(xiàn)將菱形以的速度沿方向勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到上時(shí)停止，在這個(gè)運(yùn)動過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運(yùn)動時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（

）A． B．C． D．例2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖1，在菱形中，，連接，點(diǎn)M從B出發(fā)沿方向以的速度運(yùn)動至D，同時(shí)點(diǎn)N從B出發(fā)沿方向以的速度運(yùn)動至C，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，的面積為，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形的邊長為（

）

A． B． C． D．【變式演練】1．（2023·江蘇南通·二模）如圖，在中，，，，為的中點(diǎn)，是邊上一個(gè)動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)．設(shè)的長為，的面積為，，則與的函數(shù)圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（2024·河北石家莊·三模）如圖1，，在矩形中，是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，圖2是點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)的過程中，關(guān)于的函數(shù)圖象，則的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2024·廣東深圳·三模）如圖，在中，，，，和分別是和的中點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)出發(fā)，沿著方向運(yùn)動，運(yùn)動速度都是每秒個(gè)單位長度，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)的面積為，運(yùn)動時(shí)間為，則與之間的函數(shù)圖像大致為（

）A． B．C． D．題型04二次函數(shù)與線段及周長問題二次函數(shù)與線段及周長問題（解答題）是初中數(shù)學(xué)函數(shù)與幾何知識融合的關(guān)鍵內(nèi)容，在中考里分值占比約8%-10%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查運(yùn)用二次函數(shù)知識解決線段長度計(jì)算、周長最值探究以及建立函數(shù)模型描述線段和周長隨動點(diǎn)變化的規(guī)律。2.高頻題型：以解答題形式呈現(xiàn)，常設(shè)定幾何圖形中有動點(diǎn)，圍繞求線段長度、構(gòu)建周長關(guān)于某變量的二次函數(shù)并求最值等進(jìn)行設(shè)問。3.高頻考點(diǎn)：涉及二次函數(shù)解析式求解、線段長度公式（如兩點(diǎn)間距離公式）、幾何圖形性質(zhì)（相似、全等）用于線段關(guān)系推導(dǎo)、二次函數(shù)最值求解。4.能力要求：學(xué)生需要具備綜合運(yùn)用代數(shù)與幾何知識的能力，能把幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算和推理。5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)出錯(cuò)，忽視幾何圖形中的隱含條件，計(jì)算線段長度和函數(shù)最值時(shí)出現(xiàn)運(yùn)算失誤?！咎岱置丶?.準(zhǔn)確分析圖形標(biāo)注已知信息：拿到題目后，仔細(xì)觀察幾何圖形，將已知的線段長度、角度、點(diǎn)的坐標(biāo)等信息清晰標(biāo)注在圖上。比如在一個(gè)給定的三角形中，若已知某條邊的長度信息，就在這條邊上明確標(biāo)記。挖掘隱含條件：留意圖形中的特殊關(guān)系，像直角三角形的勾股定理關(guān)系、等腰三角形兩腰相等、平行四邊形對邊平行且相等。例如，若圖形中有一個(gè)平行四邊形，其隱含條件就是對邊長度相等，可據(jù)此建立線段之間的等式。2.構(gòu)建函數(shù)模型3.求解函數(shù)最值4.檢查答案合理性【典例分析】例1．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長度的最大值．例2．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其中，是方程的兩個(gè)根，拋物線與軸相交于點(diǎn)．(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)已知直線與，軸分別相交于點(diǎn)，．①設(shè)直線與相交于點(diǎn)，問在第三象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；②過拋物線上一點(diǎn)作直線的平行線．與拋物線相交于另一點(diǎn)．設(shè)直線，相交于點(diǎn)．連接，．求線段的最小值．例3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C．(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)一個(gè)二次函數(shù)的圖像經(jīng)過B、C、三點(diǎn)，其中，該函數(shù)圖像與x軸交于另一點(diǎn)D，點(diǎn)D在線段上（與點(diǎn)O、B不重合）．①若D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則_________；②求t的取值范圍：③求的最大值．【變式演練】1．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，且對稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是直線l下方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，垂足為C，交直線l于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，過點(diǎn)P作，垂足為M．求的最大值．2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，作交線段于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，延長線段交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)是邊中點(diǎn)，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求出點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖2，為射線上一點(diǎn)，且，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接，，問：是否存在最小值，若存在，請求出這個(gè)最小值，若不存在，請說明理由．3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交軸于，兩點(diǎn)，，為拋物線頂點(diǎn)．(1)求，的值；(2)點(diǎn)為直線下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，是否存在？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，以為圓心，2為半徑作圓，為圓上任一點(diǎn)，求的最小值．4．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求直線和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作軸的平行線，與直線交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；①若點(diǎn)在軸上方，當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形；②若點(diǎn)在軸下方，設(shè)的周長為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)為何值時(shí)，的周長最大，最大值是多少？題型05二次函數(shù)與面積問題二次函數(shù)與面積問題（解答題）是初中數(shù)學(xué)里函數(shù)知識和幾何面積知識相互滲透的關(guān)鍵內(nèi)容，在中考中分值占比大約為5%-10%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查利用二次函數(shù)構(gòu)建面積模型，通過函數(shù)性質(zhì)分析圖形面積的變化規(guī)律，以及求解面積的最值或特定面積值對應(yīng)的條件。2.高頻題型：常以解答題形式出現(xiàn)，在給定的二次函數(shù)圖象與幾何圖形背景下，設(shè)置動點(diǎn)或動圖形，圍繞求圖形面積、面積與變量的函數(shù)關(guān)系及面積最值等問題展開。3.高頻考點(diǎn)：涵蓋二次函數(shù)解析式的確定、幾何圖形面積公式的運(yùn)用（如三角形、四邊形面積公式）、利用函數(shù)性質(zhì)（如增減性、最值）求解面積相關(guān)問題，以及通過相似、全等關(guān)系轉(zhuǎn)化面積。4.能力要求：學(xué)生需具備將幾何圖形中的面積問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題的能力，熟練運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行計(jì)算，還要能靈活運(yùn)用幾何知識分析圖形關(guān)系。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易在構(gòu)建面積與函數(shù)關(guān)系時(shí)出錯(cuò)，忽略圖形中隱含的限制條件，計(jì)算面積過程中因公式運(yùn)用不當(dāng)或計(jì)算失誤導(dǎo)致錯(cuò)誤。【提分秘籍】1.精準(zhǔn)剖析題意，明確變量關(guān)系標(biāo)記關(guān)鍵信息：確定自變量：2.靈活選用面積公式，構(gòu)建函數(shù)模型基本圖形面積公式運(yùn)用：分割與拼接圖形求面積：用自變量表示圖形邊長或高：3.借助函數(shù)性質(zhì)，求解面積最值4.全面檢查，規(guī)避易錯(cuò)點(diǎn)【典例分析】例1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，A、B為一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的公共點(diǎn)，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為0、4．P為二次函數(shù)的圖像上的動點(diǎn)，且位于直線的下方，連接、．(1)求b、c的值；(2)求的面積的最大值．例2．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)為；拋物線，頂點(diǎn)為．(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，連接，點(diǎn)是拋物線對稱軸右側(cè)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若四邊形是面積為12的平行四邊形，求的值；(3)如圖2，連接，點(diǎn)是拋物線對稱軸左側(cè)圖像上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，連接，求面積的最小值．例3．（2024·山東東營·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，的長為，請寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量的取值范圍；(3)連接，交于點(diǎn)，求的最大值．【變式演練】1．（2024·青海西寧·一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線方程為．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)直線上方的拋物線上有一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？的最大面積是多少？2．（2024·云南昆明·一模）如圖，拋物線與x軸交于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且滿足．(1)求拋物線的解析式；(2)M是線段上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)M作軸交拋物線于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)D，連接，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，是否存在點(diǎn)M，使的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．3．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，已知，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖2，拋物線的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)P，與線段相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)N是拋物線的對稱軸上的點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．(3)如圖3，連接，點(diǎn)D是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接．當(dāng)面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．4．（2024·甘肅·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是直線下方拋物線上一動點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖2，連接，，并把沿翻折，得到四邊形，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)線段的長．題型06二次函數(shù)與角度問題二次函數(shù)與角度問題（解答題）是初中數(shù)學(xué)中函數(shù)知識與幾何角度知識深度融合的重要內(nèi)容，在中考里分值占比約5%-10%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)及圖象特征，結(jié)合幾何圖形中的角度關(guān)系，通過構(gòu)建方程或函數(shù)模型來求解角度大小、探究角度變化規(guī)律以及基于角度條件確定函數(shù)相關(guān)參數(shù)。2.高頻題型：主要以解答題形式呈現(xiàn)，給定二次函數(shù)圖象與幾何圖形，設(shè)置動點(diǎn)引發(fā)角度變化，圍繞求特定角度值、判斷角度之間的關(guān)系（如相等、互余等）、依據(jù)角度條件求二次函數(shù)解析式等進(jìn)行設(shè)問。3.高頻考點(diǎn)：涵蓋二次函數(shù)的基本性質(zhì)（如對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)）、三角函數(shù)知識（正弦、余弦、正切在求角度中的應(yīng)用）、幾何圖形（三角形、四邊形）內(nèi)角和定理、相似三角形對應(yīng)角相等性質(zhì)以及利用角度相等構(gòu)建方程求解函數(shù)參數(shù)。4.能力要求：學(xué)生需要具備跨知識模塊的綜合運(yùn)用能力，能將幾何圖形中的角度問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程或函數(shù)問題，熟練運(yùn)用三角函數(shù)公式、幾何圖形性質(zhì)進(jìn)行推理計(jì)算，同時(shí)具備較強(qiáng)的邏輯思維和分析問題能力。5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易在將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系時(shí)出錯(cuò)，忽視幾何圖形中隱含的角度條件，對三角函數(shù)知識的運(yùn)用不夠熟練，導(dǎo)致在計(jì)算角度和求解函數(shù)參數(shù)過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤?！咎岱置丶?.剖析題目，挖掘信息標(biāo)記關(guān)鍵元素：分析角度關(guān)系：2.建立角度與函數(shù)的橋梁借助三角函數(shù)：利用幾何圖形性質(zhì)：3.構(gòu)建方程或函數(shù)模型求解4.檢查與驗(yàn)證【典例分析】例1．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），連接．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是射線上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)．點(diǎn)是線段上一動點(diǎn)，軸，垂足為，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接．當(dāng)線段長度取得最大值時(shí)，求的最小值；(3)將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段長度取得最大值時(shí)的點(diǎn)，且與直線相交于另一點(diǎn)．點(diǎn)為新拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．例2．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)是直線上方拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)，請?zhí)骄渴欠裼凶畲笾担咳粲凶畲笾?，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒有最大值，請說明理由．(3)點(diǎn)為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．例3．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，，對稱軸為直線，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到新拋物線，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對稱軸為直線．(1)分別求拋物線和的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作軸與直線交于點(diǎn)，連接，．求的最小值；(3)如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，動點(diǎn)在拋物線上，試探究是否存在點(diǎn)，使？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例4．（2024·四川資陽·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)K．記，的面積分別為，，求的最大值；(3)如圖2，連接，點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作交x軸于點(diǎn)F．拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【變式演練】1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，并且經(jīng)過，兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D為直線下方拋物線上的一動點(diǎn)，直線交線段于點(diǎn)E，請求出的最大值；(3)探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）定義：若拋物線沿軸向右平移個(gè)單位長度得到拋物線，那么我們稱拋物線是的“友好拋物線”，稱為“友好值”．如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，拋物線是的“友好拋物線”，“友好值”為2，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，作直線，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)．(1)拋物線的表達(dá)式為_________；(2)若點(diǎn)在第四象限，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長；(3)是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)Q為拋物線上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），當(dāng)?shù)拿娣e等于面積的2倍時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)在軸下方的拋物線上，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，探究拋物線上是否存在點(diǎn)，使，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，，頂點(diǎn)為D(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)P為直線上方拋物線上一點(diǎn)，求面積最大值及P點(diǎn)坐標(biāo)；(3)P為第四象限拋物線上一點(diǎn)，且，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；題型07二次函數(shù)與特殊三角形二次函數(shù)與特殊三角形（解答題）是初中數(shù)學(xué)中函數(shù)知識與幾何特殊三角形知識深度融合的重要內(nèi)容，在中考中分值占比約為6%-10%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)與圖象特征，結(jié)合等腰三角形、直角三角形等特殊三角形的性質(zhì)，通過建立方程或函數(shù)模型來求解三角形的邊長、角度、探究三角形存在性及相關(guān)位置關(guān)系。2.高頻題型：多以解答題形式呈現(xiàn)，給定二次函數(shù)圖象與幾何圖形背景，設(shè)置動點(diǎn)，圍繞構(gòu)建特殊三角形（如判定是否存在等腰三角形、直角三角形）、求特殊三角形的邊長或頂點(diǎn)坐標(biāo)等進(jìn)行設(shè)問。3.高頻考點(diǎn)：涵蓋二次函數(shù)的基本性質(zhì)（如對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)解析式求解）、特殊三角形（等腰三角形兩腰相等、三線合一；直角三角形勾股定理、銳角三角函數(shù)）的性質(zhì)與判定、利用幾何圖形中的線段關(guān)系和角度關(guān)系建立方程或函數(shù)。4.能力要求：學(xué)生需具備綜合運(yùn)用代數(shù)與幾何知識的能力，能將幾何中的特殊三角形問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推理和計(jì)算，還要有較強(qiáng)的邏輯思維和分類討論意識。5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易在分類討論特殊三角形的不同情況時(shí)有所遺漏，忽視幾何圖形中的隱含條件，在建立方程或函數(shù)模型以及求解過程中出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤?！咎岱置丶?.快速識別關(guān)鍵條件標(biāo)記函數(shù)信息：鎖定三角形條件2.運(yùn)用知識建立等式利用特殊三角形性質(zhì)：等腰三角形：若已知等腰三角形，根據(jù)兩腰相等，設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)表示出三邊長度，列等式求解。直角三角形：依據(jù)勾股定理，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。若已知直角頂點(diǎn)，設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)后表示出三邊，代入勾股定理等式。結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)：把特殊三角形的邊或角與二次函數(shù)聯(lián)系起來。若動點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，將動點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式。3.分類討論不重不漏等腰三角形分類：分腰和底的情況討論。當(dāng)確定某三角形為等腰三角形時(shí)，分別假設(shè)不同的邊為腰，列出相應(yīng)方程求解。直角三角形分類：分不同頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)討論。對于可能是直角三角形的情況，分別假設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，利用勾股定理列方程。4.檢查答案確保正確【典例分析】例1．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對稱軸上位于點(diǎn)上方的一動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例2．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)，且的面積為3時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例3．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線，求拋物線的表達(dá)式，并判斷點(diǎn)是否在拋物線上；(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式演練】1．（2024·廣東·模擬預(yù)測）綜合運(yùn)用如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A．C(點(diǎn)A在點(diǎn)C的右側(cè))．與y軸交于點(diǎn)B．直線經(jīng)過點(diǎn)A，B．(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的表達(dá)式．(2)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交直線于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．的長為L．①求L與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍；②若與交于點(diǎn)D，求m的值．(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，問在y軸上是否存在一點(diǎn)N，使得為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2024·山西·模擬預(yù)測）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．已知點(diǎn)，．(1)求該拋物線的表達(dá)式及直線的表達(dá)式．(2)是直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值．(3)在（2）的條件下，將該拋物線向左平移5個(gè)單位長度，為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后拋物線的對稱軸上的任意一點(diǎn)．直接寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2024·山東青島·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使為以為底的等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；若不存在，請說明理由．題型08二次函數(shù)與特殊四邊形二次函數(shù)與特殊四邊形（解答題）是初中數(shù)學(xué)里函數(shù)知識與特殊四邊形幾何性質(zhì)深度融合的重要內(nèi)容，在中考中分值占比大約為6%-10%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查綜合運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征，結(jié)合平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊四邊形的性質(zhì)，建立方程或函數(shù)模型來探究特殊四邊形的存在性、邊長、角度以及相關(guān)位置關(guān)系。2.高頻題型：多以解答題形式呈現(xiàn)，在給定二次函數(shù)圖象及幾何圖形背景下，設(shè)置動點(diǎn)，圍繞判定是否能構(gòu)成特殊四邊形、求特殊四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)、探究特殊四邊形面積最值等問題展開。3.高頻考點(diǎn)：涵蓋二次函數(shù)的基本性質(zhì)（如對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、解析式求解）、特殊四邊形（平行四邊形對邊平行且相等、矩形對角線相等且互相平分、菱形四條邊相等且對角線互相垂直平分、正方形兼具矩形與菱形所有性質(zhì)）的判定與性質(zhì)，以及利用幾何圖形中的線段關(guān)系、角度關(guān)系建立方程或函數(shù)。4.能力要求：學(xué)生需具備較強(qiáng)的代數(shù)與幾何綜合運(yùn)用能力，能夠?qū)缀沃械奶厥馑倪呅螁栴}轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推理和運(yùn)算，還要有敏銳的邏輯思維與全面的分類討論意識。5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易在分類討論特殊四邊形不同情況時(shí)出現(xiàn)遺漏，忽視幾何圖形中的隱含條件，在建立方程或函數(shù)模型以及求解過程中因運(yùn)算復(fù)雜而出現(xiàn)錯(cuò)誤【提分秘籍】1.透徹分析已知條件梳理函數(shù)信息提取四邊形條件：仔細(xì)研讀題目中關(guān)于特殊四邊形的已知內(nèi)容，若是平行四邊形，留意已知的邊的關(guān)系、頂點(diǎn)坐標(biāo)；若是矩形，關(guān)注直角相關(guān)信息、對角線特征；菱形則注意邊長、對角線性質(zhì)；正方形綜合了矩形和菱形的特性。把這些關(guān)鍵信息在幾何圖形上清晰標(biāo)注，方便后續(xù)分析。2.靈活運(yùn)用特殊四邊形性質(zhì)構(gòu)建等式平行四邊形性質(zhì)運(yùn)用：利用平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)。矩形性質(zhì)運(yùn)用：依據(jù)矩形對角線相等且互相平分。菱形性質(zhì)運(yùn)用：菱形四條邊相等，設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)表示出各邊長度，根據(jù)邊長相等列方程。正方形性質(zhì)運(yùn)用：正方形兼具矩形和菱形性質(zhì)。既可以利用四條邊相等、對角線相等且互相垂直平分，也可以利用直角關(guān)系來建立方程。3.合理進(jìn)行分類討論按特殊四邊形類型分類：當(dāng)題目未明確特殊四邊形具體類型時(shí)，需分別討論平行四邊形、矩形、菱形、正方形的情況。例如，已知四個(gè)點(diǎn)，判斷能否構(gòu)成特殊四邊形，就依次按照平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定條件去分析。按動點(diǎn)位置分類：若存在動點(diǎn)，根據(jù)動點(diǎn)在不同線段、不同區(qū)域運(yùn)動進(jìn)行分類。比如動點(diǎn)在一個(gè)矩形的四條邊上運(yùn)動，分別討論動點(diǎn)在每條邊上時(shí)，如何構(gòu)成特殊四邊形，建立相應(yīng)方程求解。4.檢查答案的準(zhǔn)確性與合理性【典例分析】例1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，．(1)求該拋物線的函數(shù)解析式．(2)過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，連接，在拋物線上是否存在點(diǎn)使．若存在，請求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（提示：依題意補(bǔ)全圖形，并解答）(3)將該拋物線向左平移個(gè)單位長度得到，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為原拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．例2．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在直線上方拋物線上有一動點(diǎn)C，連接交于點(diǎn)D，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)作拋物線F關(guān)于直線上一點(diǎn)的對稱圖象，拋物線F與只有一個(gè)公共點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸右側(cè)），G為直線上一點(diǎn)，H為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，若以B，E，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．例3．（2024·寧夏·中考真題）拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，過作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值；(3)如圖點(diǎn)，連接并延長交直線于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上方拋物線上的一點(diǎn)，在（2）的條件下，軸上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式演練】1．（2024·山西·模擬預(yù)測）綜合與探究如圖1，拋物線的圖象是一條拋物線，圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，點(diǎn)P為直線下方拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)M，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖3，將拋物線先向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度得到新的拋物線，在的對稱軸上有一點(diǎn)D，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．2．（2024·甘肅·模擬預(yù)測）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)在直線下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)E，使的面積最大，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和的最大面積；(3)P為拋物線上的一動點(diǎn)，Q為對稱軸上的動點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中，，．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)為直線下方拋物線上一點(diǎn)，，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將沿直線平移，平移后的三角形為（其中點(diǎn)與點(diǎn)不重合），點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2024·山東泰安·二模）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，與拋物線交于點(diǎn)，作直線，連接．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)是拋物線上的點(diǎn)，求滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)在軸上，且位于點(diǎn)的上方，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)為直線上方拋物線上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使四邊形為菱形，如果存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．如果不存在，請說明理由．題型09二次函數(shù)與三角形相似問題二次函數(shù)與三角形相似問題（解答題）是初中數(shù)學(xué)中函數(shù)知識與三角形相似幾何性質(zhì)相互融合的重要內(nèi)容，在中考里分值占比約5%-10%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查綜合運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征，結(jié)合三角形相似的判定定理和性質(zhì)，通過建立方程或函數(shù)模型來求解三角形的邊長、角度、探究相似三角形的存在性以及相關(guān)線段的比例關(guān)系。2.高頻題型：多以解答題形式呈現(xiàn)，給定二次函數(shù)圖象與幾何圖形背景，設(shè)置動點(diǎn)，圍繞判定三角形相似、求相似三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角、利用相似關(guān)系求二次函數(shù)的參數(shù)或動點(diǎn)坐標(biāo)等問題展開。3.高頻考點(diǎn)：涵蓋二次函數(shù)的基本性質(zhì)（如對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、解析式求解）、三角形相似的判定（兩角對應(yīng)相等、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等、三邊對應(yīng)成比例）與性質(zhì)（對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等），以及利用相似三角形對應(yīng)邊的比例關(guān)系建立方程或函數(shù)。4.能力要求：學(xué)生需具備將代數(shù)函數(shù)與幾何相似三角形問題相互轉(zhuǎn)化的能力，熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推理和運(yùn)算，還要有較強(qiáng)的邏輯思維與分類討論意識，能準(zhǔn)確分析題目中的幾何關(guān)系和函數(shù)關(guān)系。5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易在分類討論相似三角形的不同對應(yīng)情況時(shí)有所遺漏，忽視幾何圖形中的隱含條件，在建立方程或函數(shù)模型以及求解過程中出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤，對相似三角形判定定理和性質(zhì)的運(yùn)用不夠準(zhǔn)確?！咎岱置丶?.全面剖析已知條件深挖函數(shù)信息：梳理三角形條件：對于題目中涉及的三角形，標(biāo)記已知的邊長、角度信息。若有多個(gè)三角形，關(guān)注它們之間可能存在的關(guān)聯(lián)，比如是否有公共角、平行關(guān)系等暗示相似的線索。2.精準(zhǔn)判定三角形相似運(yùn)用判定定理：分類討論對應(yīng)關(guān)系：由于相似三角形對應(yīng)頂點(diǎn)不確定，需分情況討論。借助相似性質(zhì)建立方程利用對應(yīng)邊成比例：結(jié)合函數(shù)關(guān)系：仔細(xì)求解并檢驗(yàn)答案【典例分析】例1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)．經(jīng)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①為何值時(shí)線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點(diǎn)，使得與相似．若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式演練】1．（2024·廣東惠州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)且與軸的正半軸交于點(diǎn)．(1)求的值及拋物線的解析式．(2)如圖①，若點(diǎn)為直線上方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖②，若是線段的上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸交直線和拋物線分別于點(diǎn)、，連接．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)為何值時(shí)，線段有最大值，并寫出最大值為多少；②是否存在以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．2．（2024·海南?？凇ひ荒＃┮阎谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、三點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)G．(1)求該拋物線的解析式；(2)連接、，求的面積；(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一點(diǎn)M，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使得C、G、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；(4)連接、，將拋物線向下平移后，點(diǎn)D落在平面內(nèi)一點(diǎn)E處，過B、E兩點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，直接寫出平移后拋物線的解析式．3．（2024·青海西寧·三模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連接與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E．(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．(2)若點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)三角形的面積為60時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)Q是對稱軸右側(cè)拋物線上的動點(diǎn)，試探究在射線上是否存在一點(diǎn)H，使以H，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與相似．若存在，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2024·安徽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，求的值及直線的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)為直線上方拋物線上一動點(diǎn)，連接，設(shè)直線交線段于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于2，在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似，如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．題型10二次函數(shù)與定值定點(diǎn)定直線問題二次函數(shù)與定值定點(diǎn)定直線問題（解答題）是初中數(shù)學(xué)中函數(shù)知識與幾何特定要素深度融合的關(guān)鍵內(nèi)容，在中考里分值占比約3%-7%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查綜合運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)、圖象特征以及代數(shù)運(yùn)算方法，探究幾何圖形中與二次函數(shù)相關(guān)的量為定值、點(diǎn)為定點(diǎn)、直線為定直線的情況，以及證明相關(guān)結(jié)論。2.高頻題型：多以解答題形式出現(xiàn)，在給定二次函數(shù)解析式及幾何圖形背景下，設(shè)置動點(diǎn)或參數(shù)，圍繞探究某線段長度、圖形面積等為定值，某點(diǎn)坐標(biāo)不隨動點(diǎn)或參數(shù)變化為定點(diǎn)，某直線方程固定不變?yōu)槎ㄖ本€等問題展開。3.高頻考點(diǎn)：涵蓋二次函數(shù)的基本性質(zhì)（如對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、解析式求解）、代數(shù)式的恒等變形、利用特殊值法或參數(shù)法確定定點(diǎn)坐標(biāo)，以及通過幾何圖形性質(zhì)與函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)定直線方程和定值的計(jì)算。4.能力要求：學(xué)生需具備較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力、邏輯推理能力以及將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的能力，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對動態(tài)變化中的定值、定點(diǎn)、定直線進(jìn)行分析和證明。5.易錯(cuò)點(diǎn)：容易在復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算中出錯(cuò)，對參數(shù)的處理不當(dāng)，在探究過程中遺漏特殊情況，難以準(zhǔn)確找到證明定值、定點(diǎn)、定直線的關(guān)鍵思路和方法?！咎岱置丶?.定值問題求解思路設(shè)參表示相關(guān)量：面對定值問題，先設(shè)出與動點(diǎn)或圖形變化相關(guān)的參數(shù)?；喯麉⒌枚ㄖ担簩Ρ硎境龅拇鷶?shù)式進(jìn)行化簡，通過代數(shù)運(yùn)算技巧，如合并同類項(xiàng)、因式分解、分式化簡等，嘗試消去參數(shù)。若化簡后得到一個(gè)不含有參數(shù)的常數(shù)，即證明該量為定值。2.定點(diǎn)問題突破方法特殊值法初探定點(diǎn)：先考慮特殊情況，給參數(shù)取特殊值，得到不同情況下的函數(shù)表達(dá)式或幾何圖形狀態(tài)整理含參式子確定定點(diǎn)：將含參數(shù)的函數(shù)或方程進(jìn)行整理，把參數(shù)分離出來。定直線問題解決策略設(shè)直線方程代入條件：設(shè)所求定直線方程為y=kx+b（k、b為待求系數(shù)）。根據(jù)題目中給出的與二次函數(shù)和幾何圖形相關(guān)的條件，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程，或者利用直線與二次函數(shù)的位置關(guān)系等條件，得到關(guān)于k、b的方程或方程組。消元化簡得定直線：通過對得到的方程或方程組進(jìn)行消元化簡，消除與動點(diǎn)相關(guān)的變量，求出k、b的值，從而確定定直線方程?！镜淅治觥坷?．（2024·浙江溫州·一模）已知二次函數(shù)．(1)若它的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求該函數(shù)的對稱軸．(2)若時(shí)，y的最小值為1，求出t的值．(3)如果，兩點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，直線與該二次函數(shù)交于，兩點(diǎn)，則是否為定值？若是，請求出該定值：若不是，請說明理由．例2．（2024·湖北·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，拋物線與軸交于點(diǎn)，交軸于、兩點(diǎn)（在的左邊），為拋物線第一象限上一動點(diǎn)．(1)直接寫出，兩點(diǎn)坐標(biāo)；(2)連接，過作軸交于，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)連接，平移至，使，對應(yīng)，使，分別與，對應(yīng)，且，均落在拋物線上，連接，判斷并證明直線是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．【變式演練】1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)圖（1），B是拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，將線段繞地物線頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，若平分交拋物線于點(diǎn)Q．求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖（2），過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)P，E，F(xiàn)為拋物線上量兩動點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)P左側(cè)，點(diǎn)F在點(diǎn)P右側(cè)），直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．若，求證：直線過一個(gè)定點(diǎn)．2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知拋物線關(guān)于y軸對稱，且過點(diǎn)和點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接拋物線上兩點(diǎn)，N，若，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)如圖2，過點(diǎn)作與y軸不垂直的直線交拋物線于點(diǎn)A和點(diǎn)B，線段的垂直平分線交y軸于點(diǎn)M，交于P，試探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．(1)直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖（1），P是拋物線上異于A，B的一點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q恰好在直線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(3)如圖（2），M，N是拋物線上異于B，C的兩個(gè)動點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)T，若直線經(jīng)過定點(diǎn)，求證：點(diǎn)T的運(yùn)動軌跡是一條定直線．4．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知拋物線與軸交于A，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，已知點(diǎn)為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線平移到以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，點(diǎn)在新拋物線上，過點(diǎn)作分別交新拋物線于，兩點(diǎn)，求直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)．一、單選題1．（2024·云南昆明·一模）若點(diǎn)，，都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B．C． D．2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，，三點(diǎn)，且，，則，，的大小關(guān)系是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，已知開口向下的拋物線與x軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線．則下列結(jié)論正確的有（

）①；②；③方程的兩個(gè)根為；④拋物線上有兩點(diǎn)和，若且，則A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)4．（2024·新疆烏魯木齊·三模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間，其部分圖像如圖所示．則下列結(jié)論①點(diǎn)，，是該拋物線上的點(diǎn)，則；②；③；④；⑤（為實(shí)數(shù)），其中正確的是（

）

A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤5．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）已知直線與拋物線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．下列說法：①拋物線的頂點(diǎn)一定在直線上；②直線始終在拋物線的下方；③線段長度的最小值為3；④當(dāng)時(shí)，若的長度隨的增大而減小，則．其中正確的說法是（

）A．①②③ B．①②④ C．23④ D．①②③④二、填空題6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知，點(diǎn)，,在函數(shù)的圖像上，則，，的大小關(guān)系是．7．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在拋物線對稱軸上，且在點(diǎn)B下方，將線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，直線與拋物線交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．8．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）如圖是拋物線的部分圖象，圖象過點(diǎn)，對稱軸為直線，下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④(m為任意實(shí)數(shù))；⑤．其中，正確結(jié)論的序號是．9．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在B左側(cè)），拋物線的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)，且在對稱軸右側(cè)，若的面積為3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，其對稱軸為，且當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值．下列結(jié)論：①；②關(guān)于x的方程的正實(shí)數(shù)根在1和之間；③若拋物線經(jīng)過點(diǎn)和，則點(diǎn)在直線的下方；④和在該二次函數(shù)的圖象上，則僅當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，其中正確的結(jié)論是．（填序號）三、解答題11．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知拋物線：交x軸于，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．(1)寫出拋物線的解析式；(2)如圖1，E是第四象限拋物線上一點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，若，求直線的解析式；(3)如圖2，平移拋物線得到拋物線，使其頂點(diǎn)為，Q為x軸上一點(diǎn)，直線和與拋物線都只有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別與y軸交于點(diǎn)F，G，P為y軸上點(diǎn)F，G上方一點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．12．（2024·廣東汕頭·模擬預(yù)測）綜合運(yùn)用．如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，且點(diǎn)，，剛好在拋物線的圖圖象上，連接并延長交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)若與關(guān)于軸對稱，連接，，猜想四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；(3)把拋物線沿射線的方向平移個(gè)單位長度后得到新拋物線，，分別是兩拋物線的頂點(diǎn)，為直線上的一動點(diǎn)．當(dāng)是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．13．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上．(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在該拋物線上，與交于點(diǎn)，直線為，直線為．①求的值；②記的面積為，四邊形的面積為，若，，求的最小值．14．（2024·湖南·模擬預(yù)測）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，并與軸有另一交點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)在直線下方的拋物線上有一點(diǎn)，求四邊形面積的最大值；(3)在軸上有一個(gè)動點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．直接寫出線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍．15．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其對稱軸為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在的下方，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，為線段上的動點(diǎn)，射線與線段交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，求當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)圍成的三角形的面積．

專題04二次函數(shù)與二次函數(shù)中的代幾綜合問題目錄TOC\o"1-3"\h\u熱點(diǎn)題型歸納 1題型01二次函數(shù)圖形性質(zhì)的應(yīng)用之判斷函數(shù)值的大小關(guān)系 1題型02二次函數(shù)小綜合（判斷序號正誤關(guān)系） 4題型03動點(diǎn)圖象問題 17題型04二次函數(shù)與線段及周長問題 27題型05二次函數(shù)與面積問題 46題型06二次函數(shù)與角度問題 65題型07二次函數(shù)與特殊三角形 98題型08二次函數(shù)與特殊四邊形 116題型09二次函數(shù)與三角形相似問題 140題型10二次函數(shù)與定值定點(diǎn)定直線問題 156中考練場 173題型01二次函數(shù)圖形性質(zhì)的應(yīng)用之判斷函數(shù)值的大小關(guān)系二次函數(shù)圖形性質(zhì)的應(yīng)用之判斷函數(shù)值的大小關(guān)系是初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊中的重要內(nèi)容，在中考數(shù)學(xué)整體分值中占比約5%-8%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對二次函數(shù)圖象特征與性質(zhì)的理解，通過圖象開口方向、對稱軸位置等判斷函數(shù)值大小。2.高頻題型：常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，給定二次函數(shù)解析式或圖象，比較不同自變量對應(yīng)的函數(shù)值大小。3.高頻考點(diǎn)：涉及二次函數(shù)對稱軸、增減性，利用函數(shù)圖象的對稱性判斷函數(shù)值大小。4.能力要求：要求學(xué)生具備數(shù)形結(jié)合能力，能將函數(shù)解析式與圖象相互轉(zhuǎn)化，通過圖象分析函數(shù)值變化。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易忽略二次函數(shù)對稱軸位置對函數(shù)增減性的影響，在對稱軸兩側(cè)判斷函數(shù)值大小時(shí)出錯(cuò)。【提分秘籍】剖析函數(shù)解析式巧用函數(shù)圖象根據(jù)圖象直接觀察：當(dāng)題目給出二次函數(shù)圖象時(shí)，我們可以通過觀察圖象上各點(diǎn)的高低位置來比較函數(shù)值大小。對于開口向上的圖象，離對稱軸越近的點(diǎn)，其對應(yīng)的函數(shù)值越??；而對于開口向下的圖象，離對稱軸越近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值越大。利用圖象對稱性和增減性即可【典例分析】例1．（2024·廣東·中考真題）若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，再比較即可．【詳解】解∶二次函數(shù)的對稱軸為y軸，開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，且，∴，故選∶A．例2．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點(diǎn)，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由拋物線可知：開口向上，對稱軸為直線，該二次函數(shù)上所有的點(diǎn)滿足離對稱軸的距離越近，其對應(yīng)的函數(shù)值也就越小，∵，，，而，，，∴點(diǎn)離對稱軸最近，點(diǎn)離對稱軸最遠(yuǎn)，∴；故選：D．【變式演練】1．（2025·陜西西安·一模）已知點(diǎn)，，均在二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象上，則，，三者之間的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對稱性，增減性，圖象的開口方向．先求出該二次函數(shù)的對稱軸，開口方向，點(diǎn)的對稱點(diǎn)，根據(jù)對稱性增減性即可進(jìn)行分析解答．【詳解】解：∵，∴函數(shù)圖象開口向下，∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為，∵當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，，∴．故答案為：B．2．（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測）點(diǎn)，，均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，同時(shí)考查了函數(shù)的對稱性及增減性．根據(jù)函數(shù)解析式，求出對稱軸，根據(jù)函數(shù)對稱性進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，對稱軸，開口向下，，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，，，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性可知，與關(guān)于對稱軸對稱，故，故選：D．3．（2024·云南曲靖·一模）設(shè)，，是拋物線圖象上的三點(diǎn)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)，先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可．【詳解】解：∵拋物線的開口向上，對稱軸是直線，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴關(guān)于稱軸是直線的對稱點(diǎn)是，∵，∴，故選：A．題型02二次函數(shù)小綜合（判斷序號正誤關(guān)系）二次函數(shù)小綜合（判斷序號正誤關(guān)系）是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識體系中綜合性突出的關(guān)鍵內(nèi)容，在中考分值占比約3%-8%。1.考查重點(diǎn)：著重考查對二次函數(shù)性質(zhì)、圖象特征、解析式及知識間內(nèi)在聯(lián)系的深度剖析，以判別多個(gè)二次函數(shù)相關(guān)結(jié)論的對錯(cuò)。2.高頻題型：多以選擇題、填空題出現(xiàn)，題干羅列多個(gè)涉及二次函數(shù)不同層面的序號式結(jié)論，要求判斷正誤。3.高頻考點(diǎn)：涉及二次函數(shù)對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性、最值、圖象與系數(shù)關(guān)系，以及運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題等要點(diǎn)。4.能力要求：學(xué)生需具備綜合整合二次函數(shù)各知識點(diǎn)的能力，能從多元視角思考并邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)嘏袛嘟Y(jié)論準(zhǔn)確性。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易在二次函數(shù)不同性質(zhì)應(yīng)用條件上混淆，對復(fù)雜結(jié)論分析不全面，忽視隱含條件，導(dǎo)致判斷序號正誤失誤。【提分秘籍】1.剖析題干結(jié)論2.巧用函數(shù)基本性質(zhì)3.結(jié)合圖象輔助思考4.注意隱藏條件【典例分析】例1．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點(diǎn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：①；②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵；由當(dāng)時(shí)，，可判斷①，由函數(shù)的最小值，可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線，且，可判斷③，由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可判斷④，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷⑤；【詳解】解：①拋物線開口向上，，，∴當(dāng)時(shí)，，故①不符合題意；②∵拋物線過點(diǎn)，∴函數(shù)的最小值，∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故②符合題意；③∵，，∴拋物線的對稱軸為直線，且，∴，而，∴，∴，故③不符合題意；④∵拋物線過點(diǎn)，∴，∵時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，故④符合題意；⑤∵，，∴，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，∴∴，∴，故⑤符合題意；故選：C．例2．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個(gè)根在和之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查的是圖象法求一元二次方程的近似值、拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況、二次函數(shù)與方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴,∴，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2、3之間，∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在、0之間，∴方程一定有一個(gè)根在和0之間，故②錯(cuò)誤；∵拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；∵拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在，0之間，∴，∵圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，∴，∴，∴．故④錯(cuò)誤．綜上，①③正確，共2個(gè)．故選：B．例3．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)解；④點(diǎn)，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號）．【答案】②③④【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對稱軸，即可判斷①，根據(jù)，兩點(diǎn)之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過得出，代入頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，求得縱坐標(biāo)的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對稱軸，解不等式，即可求解．【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．∴對稱軸為直線，，∵，∴，故①錯(cuò)誤，∵∴，即，兩點(diǎn)之間的距離大于又∵∴時(shí)，∴若，則，故②正確；③由①可得，∴，即，當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為設(shè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，∴∴∴∵，，對稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，而，∴關(guān)于x的一元二次方程無解，故③正確；④∵，拋物線開口向下，點(diǎn)，在拋物線上，，，總有，又，∴點(diǎn)離較遠(yuǎn)，∴對稱軸解得：，故④正確．故答案為：②③④．例4．（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③多項(xiàng)式可因式分解為；④當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)圖像分別判斷，，的符號即可；②將點(diǎn)代入函數(shù)即可得到答案；③根據(jù)題意可得該函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，即可得到；④由，得到，，將代入函數(shù)得，從而推出當(dāng)時(shí)，該拋物線與直線的圖象無交點(diǎn)，即可判斷．【詳解】解：由題圖可知，，，故①正確；當(dāng)時(shí)，，即，故②正確；二次函數(shù)與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，對稱軸為直線，二次函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，多項(xiàng)式，故③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有最大值，即，當(dāng)時(shí)，拋物線與直線的圖象無交點(diǎn)，即關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根，故④正確．綜上，①②④正確．故選：C．【變式演練】1．（2025·陜西西安·一模）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（

）個(gè)．①；②；③；④若方程兩根為，則．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與軸的交點(diǎn)，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸位置，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根與系數(shù)的關(guān)系等知識逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：由圖可知拋物線開口向上，，對稱軸為直線，符號相同，，與y軸的交點(diǎn)在之間（不含端點(diǎn)），，，故①不正確；對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，故②不正確；由題意可得方程的兩個(gè)根為，，，，，，故③正確；若方程兩根為，則直線與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線過第一、二、三象限且過點(diǎn)，直線與拋物線的交點(diǎn)在第一，三象限，如圖所示，由圖象可知，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論是③④，有個(gè)，故答案為：B.2．（2025·湖北恩施·一模）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)，對稱軸為，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，；⑤若，是拋物線上兩點(diǎn)，且，，則．其中正確的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線得出，即可判斷①；由圖象可得當(dāng)時(shí)，，即可判斷②；由圖象得出，，從而可得，即可判斷③；求出圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，即可判斷④；由，是拋物線上兩點(diǎn)，且，，得出，即可判斷⑤；采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，∴，∴，∴，故①正確；由圖象可得：當(dāng)時(shí)，，∴，故②錯(cuò)誤；∵函數(shù)圖象開口向下，與軸交于正半軸，∴，，∴，∴，故③正確；∵圖象過點(diǎn)，對稱軸為，∴圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，或，故④錯(cuò)誤，∵，是拋物線上兩點(diǎn)，且，，∴，∴，故⑤正確；綜上所述，正確的有①③⑤；共個(gè)，故選：B．3．（2024·湖北隨州·二模）已知二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直線，以下結(jié)論中：①；②若點(diǎn)，，均在該二次函數(shù)圖象上，則；③若為任意實(shí)數(shù)，則；④方程的兩實(shí)數(shù)根為，，且，則，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．將代入得，可判斷①；根據(jù)拋物線的對稱軸及增減性可判斷②；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可判斷③；根據(jù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的位置可判斷④．解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．【詳解】解：將代入，可得，故①正確；二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，點(diǎn)到對稱軸的距離分別為：4，1，3，，圖象開口向下，離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，，故②錯(cuò)誤；二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，，又，，，當(dāng)時(shí)，y取最大值，最大值為，即二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若m為任意實(shí)數(shù)，則，故③正確；二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，的圖象向上平移一個(gè)單位長度，即為的圖象，的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)在的左側(cè)，另一個(gè)在的右側(cè)，若方程的兩實(shí)數(shù)根為，且，則，，故④正確；綜上可知，正確的有①③④，共3個(gè)故選：B．4．（2025·山東臨沂·一模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，與x軸分別交于，且．下列結(jié)論：①；②直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)；③；④．正確的有（填序號）．【答案】①②③④【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，開口方向，對稱軸，與軸的交點(diǎn)，判斷①，圖象法判斷②，最值判斷③，平方差公式結(jié)合對稱性判斷④．【詳解】解：由圖象可知：，∴，∴，故①正確；∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)；故②正確；∵時(shí)，函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，，∴，即：，故③正確；∵拋物線與x軸分別交于，且，∴，∴，∴，故④正確；故答案為：①②③④．5．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且．下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；③關(guān)于x的不等式的解集為或；④．其中正確的結(jié)論是．（填寫序號）【答案】①③④【分析】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及不等式的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，拋物線開口向下，經(jīng)過，拋物線與軸交點(diǎn)必然在點(diǎn)上方，當(dāng)時(shí)，，故①正確，符合題意；拋物線過點(diǎn)，得到，拋物線對稱軸，因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，，且，設(shè)拋物線與軸另外一個(gè)交點(diǎn)為，則，得到拋物線對稱軸，拋物線對稱軸所在范圍是：，故②錯(cuò)誤；將不等式，變形為，拋物線與直線都經(jīng)過點(diǎn)和，數(shù)形結(jié)合可得到不等式解集或，故③正確，符合題意；結(jié)合圖象，將代入可得，，將代入，得到，化簡得，故④正確，符合題意．【詳解】解：拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點(diǎn)，且，如圖所示，，拋物線開口向下，經(jīng)過，拋物線與軸交點(diǎn)必然在點(diǎn)上方，當(dāng)時(shí)，，故①正確，符合題意，拋物線過點(diǎn)，，即，拋物線對稱軸，，，，，又拋物線過點(diǎn)，，且，設(shè)拋物線與軸另外一個(gè)交點(diǎn)為，則，拋物線對稱軸，拋物線對稱軸所在范圍是：，故②錯(cuò)誤，不符合題意；，，拋物線與直線都經(jīng)過點(diǎn)和，如圖，結(jié)合圖象可知，不等式的解集即對應(yīng)拋物線在直線圖象的下方時(shí)，對應(yīng)自變量的取值范圍，由圖象可知此時(shí)或，原不等式的解集為或，故③正確，符合題意；結(jié)合圖象，當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值大于零，可得，，，即，，故④正確，符合題意；故答案為：①③④.題型03動點(diǎn)圖象問題二次函數(shù)動點(diǎn)圖象問題是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識領(lǐng)域中綜合性與動態(tài)性兼具的內(nèi)容，在中考中分值占比約為3%-7%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查如何將動點(diǎn)的運(yùn)動過程與二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)建立聯(lián)系，分析因動點(diǎn)位置改變引發(fā)的函數(shù)關(guān)系變化。2.高頻題型：多以選擇題、填空題以及簡答題部分出現(xiàn)，給出動點(diǎn)在圖形中的運(yùn)動情境，要求判斷對應(yīng)的二次函數(shù)圖象或求解相關(guān)函數(shù)表達(dá)式。3.高頻考點(diǎn)：涵蓋動點(diǎn)運(yùn)動路徑分析、根據(jù)幾何圖形性質(zhì)確定二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)、函數(shù)圖象與動點(diǎn)運(yùn)動階段的對應(yīng)關(guān)系等。4.能力要求：學(xué)生需具備較強(qiáng)的動態(tài)分析能力，能夠把幾何圖形中動點(diǎn)的運(yùn)動轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)問題，還要有良好的數(shù)形結(jié)合思維以及邏輯推理能力。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易在動點(diǎn)運(yùn)動過程的分段分析上出錯(cuò)，忽略不同階段函數(shù)關(guān)系的變化，對復(fù)雜幾何圖形中動點(diǎn)與函數(shù)圖象對應(yīng)關(guān)系把握不準(zhǔn)確。【提分秘籍】1.確定動點(diǎn)軌跡2.分段分析運(yùn)動過程3.建立函數(shù)表達(dá)式4.分析函數(shù)關(guān)鍵特征5.結(jié)合圖象與選項(xiàng)（針對選擇填空題）若題目是選擇或填空題，給出多個(gè)函數(shù)圖象選項(xiàng)。根據(jù)前面分析的動點(diǎn)運(yùn)動階段、函數(shù)關(guān)鍵特征，排除明顯不符合的選項(xiàng)。例如，已知函數(shù)開口向下，可排除開口向上的圖象選項(xiàng)；若函數(shù)在某區(qū)間增減性，不符合此增減性性的圖象也可排除，以此提高解題效率?！镜淅治觥坷?．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，水平放置的矩形中，，，菱形的頂點(diǎn)，在同一水平線上，點(diǎn)與的中點(diǎn)重合，，，現(xiàn)將菱形以的速度沿方向勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到上時(shí)停止，在這個(gè)運(yùn)動過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運(yùn)動時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，先求得菱形的面積為，進(jìn)而分三種情形討論，重合部分為三角形，重合部分為五邊形，重合部分為菱形，分別求得面積與運(yùn)動時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，∵菱形，，∴又∵，∴是等邊三角形，∵，，∴∴∴當(dāng)時(shí)，重合部分為，如圖所示，依題意，為等邊三角形，運(yùn)動時(shí)間為，則，∴當(dāng)時(shí)，如圖所示，依題意，，則∴∴∵∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，同理可得，當(dāng)時(shí)，同理可得，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為一條線段，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向下的一段拋物線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象為開口向上的一段拋物線；故選：D．例2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖1，在菱形中，，連接，點(diǎn)M從B出發(fā)沿方向以的速度運(yùn)動至D，同時(shí)點(diǎn)N從B出發(fā)沿方向以的速度運(yùn)動至C，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，的面積為，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形的邊長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可知，，結(jié)合菱形的性質(zhì)得，過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，則，那么，設(shè)菱形的邊長為a，則，那么點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)到達(dá)點(diǎn)D和點(diǎn)C，此時(shí)的面積達(dá)到最大值為，利用最大值即可求得運(yùn)動時(shí)間，即可知菱形邊長．【詳解】解：根據(jù)題意知，，，∵四邊形為菱形，，∴，過點(diǎn)M作于點(diǎn)H，連接交于點(diǎn)O，如圖，

則，那么，的面積為，設(shè)菱形的邊長為a，∴，∴點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)到達(dá)點(diǎn)D和點(diǎn)C，此時(shí)的面積達(dá)到最大值為，∴，解得，（負(fù)值舍去），∴．故選：C．【變式演練】1．（2023·江蘇南通·二模）如圖，在中，，，，為的中點(diǎn)，是邊上一個(gè)動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)．設(shè)的長為，的面積為，，則與的函數(shù)圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出，則，，，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，延長到，使，連接，，則，，設(shè)，則，，，證和全等得，再利用勾股定理得，，再證，進(jìn)而求得，，根據(jù)列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的解析式及題目中的選項(xiàng)即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，由勾股定理得：，為的中點(diǎn)，，又，，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，延長到，使，連接，，如圖：在中，，，，，設(shè)，則，在中，，，，在和中，，，，在中，，，由勾股定理得：，在中，，，由勾股定理得：，，，為線段的垂直平分線，，，，，，，，而，，即，整理得：，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，該函數(shù)圖象是拋物線，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，且過點(diǎn)，故選：A