專題11《盈虧問題》解析

`20222023學年五年級奧數(shù)舉一反三典型題檢測專題11盈虧問題試卷滿分：100分考試時間：100分鐘一．選擇題（共7小題，滿分21分，每小題3分）1．（3分）某市對城區(qū)主干道進行綠化，計劃把某一段公路的一側(cè)全部栽上銀杏樹，要求道路兩端各栽一棵，并且每兩棵樹的間隔相等。如果每隔5米栽1棵樹，則樹苗缺21棵，如果每隔6米栽一棵樹，則樹苗正好用完，原有樹苗_____棵。（）A．56 B．72 C．94 D．106【思路引導】我們不妨把“每兩個樹之間的間隔稱為一段”，每多出一段就多種1棵樹，每少一段就少種1棵樹；那么根據(jù)“每隔5米栽1棵，則樹苗缺21棵，每隔6米栽1棵，則樹苗正好用完”可得出：6米一段的間隔比5米一段的間隔每5÷（6﹣5）＝5段就少一段，即少種一棵樹；這樣就可算出這段公路可分成6米間隔得段數(shù)有21×5＝105段，則能種樹105+1＝106棵，故原有樹苗為106棵。【完整解答】解：6﹣5＝1（米）5÷1＝5（段）21×5＝105（段）105+1＝106（棵）答：原有樹苗106棵。故選：D?！究疾熳⒁恻c】解題的關鍵是讀懂題意，知道”間隔6米的比5米的，每5段就少種1棵樹“那么少種21棵就意味著6米間隔的有多少個5段了，再之后就可輕松得出答案.2．（3分）某次考試有50道試題，答對一道題得3分，答錯一道題扣1分，不答題不得分．小龍得分120分，那么小龍最多答對了（）道試題．A．40 B．42 C．48 D．50【思路引導】首先分析如果正好得120分最低需要對40題，剩余的10題需要得分和扣分平衡即可．【完整解答】解：依題意可知：當小龍答對40題時，得分正好為40×3＝120分．那么需要剩余的10題得分和扣分相等．當小龍再答對1題時可以錯3題剩余6題不答．當小龍再答對2題時可以錯6題剩余2題不答．當小龍再答對3題時最多錯7題，不能平衡分數(shù)．那么小龍最多答對42題．故選：B。【考察注意點】本題考查對盈虧問題的理解和運用，關鍵問題是找到得分和扣分平衡的數(shù)字，問題解決．3．（3分）學校給參加夏令營的同學租了幾輛大轎車，如果每輛轎車乘28人則有13名同學上不了車，如果每輛車乘32人則還有3個座位空著.參加夏令營有_____名同學。（）A．100 B．143 C．125 D．137【思路引導】如果每輛轎車乘28人則有13名同學上不了車，如果每輛車乘32人則還有3個座位空著，那么總差額是13+3＝16（名），每份的差額是32﹣28＝4（名），那么有車16÷4＝4（輛），然后進一步解答即可?！就暾獯稹拷猓海?3+3）÷（32﹣28）＝16÷4＝4（輛）28×4+13＝112+13＝125（名）答：參加夏令營有125名同學。故選：C。【考察注意點】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數(shù)，一是總差額，二是每份的差額，將這兩個差相除，就可求出總份數(shù)，然后再求物品數(shù)；基本關系式為：總差額÷每份的差額＝總份數(shù)。4．（3分）動物園的飼養(yǎng)員把一堆桃子分給若干只猴子，如果每只猴子分6個，剩57個桃子；如果每只猴子分9個，就有5只猴子一個也分不到，還有一只猴子只分到3個．那么，有（）個桃子．A．216 B．324 C．273 D．301【思路引導】首先分析如果每只猴子分6個，剩57個桃子．如果每只猴子分9個，就有5只猴子一個也分不到，還有一只猴子只分到3個轉(zhuǎn)換成每個猴子分9個就少51個即可求解．【完整解答】解：依題意可知：如果每只猴子分6個，剩57個桃子．如果每只猴子分9個，就有5只猴子一個也分不到，還有一只猴子只分到3個證明少了5×9+6＝51；猴子共有（57+51）÷（9﹣6）＝36（只）；桃子共有36×6+57＝273．故選：C?！究疾熳⒁恻c】本題考查對盈虧問題的理解和運用，關鍵問題是找到轉(zhuǎn)換之后的量進行比較，問題解決．5．（3分）有一些糖，每人分5塊多10塊；如果現(xiàn)有的人數(shù)增加到原來的1.5倍，則每人4塊就少2塊．那么這些糖在（）塊之間．A．80﹣90 B．68﹣73 C．56﹣62 D．95﹣102【思路引導】根據(jù)題意，若人數(shù)不變，每人4×1.5＝6塊就少2塊，所以原來人數(shù)（10+2）÷（5﹣4）＝12人，這些糖共有12×5+10＝70塊．【完整解答】解：原來人數(shù)：（10+2）÷（5﹣4），＝12÷1，＝12（人）；這些糖共有：12×5+10，＝60+10，＝70（塊）．即這些糖共有70塊．故選：B?！究疾熳⒁恻c】此題運用了盈虧問題的解法，關鍵是求出人數(shù)不變時，每人4×1.5＝6塊就少2塊，進一步解決問題．6．（3分）若干個同學參加了一個測試（逐一測試），張錚是最后一個考試的，考試前他想，如果要使整體的平均分為90，他就得考95分：如果平均分為86，則他考71分就可以。那么參加測試的這些同學的人數(shù)是（）A．4 B．6 C．8 D．10【思路引導】張錚兩種想法分數(shù)的總差額是95﹣71＝24分，每份的差額是90﹣86＝4分，然后用除法即可求出參加測試的人數(shù)。【完整解答】解：（95﹣71）÷（90﹣86）＝24÷4＝6（人）答：參加測試的同學共有6人。故選：B?！究疾熳⒁恻c】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數(shù)，一是總差額，二是每份的差額，將這兩個差相除，就可求出總份數(shù)，然后再求物品數(shù)；基本關系式為：總差額÷每份的差額＝總份數(shù)。7．（3分）劉老師給錢讓小明去買每本1.4元的練習本，正好可以找回1元．但是小明在途中不小心弄丟了5元，又來不及回家取錢，小明就買回了同樣本數(shù)的每本1.2元的練習本，并找回3元，劉老師當時給小明的錢數(shù)是（）A．50元 B．36元 C．22元 D．15元【思路引導】根據(jù)“買每本1.4元的練習本，可以找回1元”可知：買每本1.4元的練習本余1元；同理，買同樣多的每本1.2元的練習本，余3+5＝8元，兩次購買的總差額是：8﹣1＝7（元），兩次購買的單價的差額是：1.4﹣1.2＝0.2（元），那么買練習本的本數(shù)是：7÷0.2＝35（本）；則共有了：1.4×35+1＝50（元）；據(jù)此解答．【完整解答】解：買練習本的本數(shù)：（3+5﹣1）÷（1.4﹣1.2）＝7÷0.2＝35（千克）；總錢數(shù)：1.4×35+1＝50（元）；答：劉老師當時給小明的錢數(shù)是50元．故選：A。【考察注意點】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數(shù)，一是總差額，二是每份的差額，將這兩個差相除，就可求出總份數(shù)，然后再求物品數(shù)；基本關系式為：總差額÷每份的差額＝總份數(shù)．二．填空題（共14小題，滿分42分，每小題3分）8．（3分）學校給小朋友們分發(fā)聰明果，吃了能讓人變得更聰明。當把所有的聰明果平均分給同學們后，發(fā)現(xiàn)還剩下12個聰明果分不出去了；如果再拿來8個聰明果，則可以使得最終每名同學分得10個。那么聰明果共有192個?！舅悸芬龑А扛鶕?jù)題意，我們可推測出：參與分聰明果的小朋友人數(shù)是多于12人的，剩下的12個與又拿來的8個正好能分下去，這說明小朋友有12+8＝20人，之后用20×10﹣8＝192便求出了問題答案?！就暾獯稹拷猓?2+8＝20（個）20÷1×10﹣8＝192（個）答：聰明果共有192個。故答案為：192.【考察注意點】解此題的關鍵是：根據(jù)當把所有的聰明果平均分給同學們后，發(fā)現(xiàn)還剩下12個聰明果分不出去了；如果再拿來8個聰明果，則可以使得最終每名同學分得10個，推算出小朋友的人數(shù)是12+8＝20，之后即可輕松得到答案。9．（3分）外國語學校買來一批英文打字機，分給外語各班學習英語用．如果其中兩個班每班分到4臺，其余每班分兩臺，則多4臺；如果有一個班分6臺，其余每班分4臺，則不足12臺．學校買來的英文打字機26臺，共有9個外語班．【思路引導】假設每個班都分2臺，則多8臺，假設每個班都分4臺，則少10臺；這樣相差（10+18）臺，每班相差（4﹣2）臺，用）（8+10）÷（4﹣2）＝9，即求出班數(shù)，然后根據(jù)題意，即可得出打字機的總臺數(shù)為4×2+2×（9﹣2）+4＝26（臺）．【完整解答】解：（4﹣2）×2+4＝2×2+4＝8（臺）12﹣（6﹣4）＝10（臺）（8+10）÷（4﹣2）＝18÷2＝9（個）4×2+2×（9﹣2）+4＝8+2×7+4＝8+14+4＝26（臺）答：這個學校買來的英文打字機共有26臺，共有9個外語班．【考察注意點】此題較難，要認真分析，先用假設法求出盈和虧了多少臺，再根據(jù)（盈+虧）÷兩次分的臺數(shù)差，可求出班數(shù)，進而求出臺數(shù)．10．（3分）學校安排學生到會議室聽報告，如果每3人坐一條長椅，就會剩下16人沒有座位；如果每5人坐一條長椅，就會空出1條長椅，還有一條長椅上坐了2個人。一共有52名學生去聽報告。【思路引導】如果每3人坐一條長椅，那么剩下16人沒有坐；若每5人坐一條長椅，則剛好空出1條長椅，還有一條長椅上只坐了2個人，這是因為每條長椅多坐（5﹣3）人，就少了（16+5×1+5﹣2）人；然后用總差額除以每條的差額即可。【完整解答】解：（16+5×1+5﹣2）÷（5﹣3）＝24÷2＝12（條）12×3+16＝36+16＝52（人）答：一共有52名學生去聽報告。故答案為：52?！究疾熳⒁恻c】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數(shù)，再根據(jù)盈虧問題的基本數(shù)量關系：一次有余（盈），一次不夠（虧），可用公式：（盈+虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）＝人數(shù)解答。11．（3分）某校一年級有新生若干人，如果每個班40人，則余20人；如果每個班48人，則缺12人，問“有4個班，共180人．【思路引導】兩次的總差額是：20+12＝32（人），兩次每班的差額是：48﹣40＝8（個），那么班數(shù)是：32÷8＝4（個）；則總?cè)藬?shù)：40×4+20＝180（個）；據(jù)此解答．【完整解答】解：（20+12）÷（48﹣40）＝32÷8＝4（個）；40×4+20＝180（人）；答：有4個班，共180人．故答案為：4；180．【考察注意點】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數(shù)，一是總差額，二是每份的差額，將這兩個差相除，就可求出總份數(shù)，然后再求物品數(shù)；基本關系式為：總差額÷每份的差額＝總份數(shù)．12．（3分）學校打算組織同學們?nèi)デ镉?，每輛大巴車有39個座位，每輛公交車有27個座位，大巴車比公交車少2輛，如果所有學生和老師都乘坐大巴，每輛大巴車上有2位老師，則多出3個座位；如果都乘坐公交車，每輛公交車都坐滿并且各有1位老師，則多出3位老師，那么共有10位老師，182名同學參加這次秋游．【思路引導】首先分析大巴車比公交車少2輛，如果都是大巴車則每輛車上有2名老師，如果都是公交車則每車1人多出3名老師．可以轉(zhuǎn)換成則每車1人多出5名老師即可．【完整解答】解：依題意可知：大巴車比公交車少2輛，如果都是大巴車則每輛車上有2名老師，如果都是公交車則每車1人多出3名老師．（2×1+3）÷（2﹣1）＝5（輛）大巴車．老師人數(shù)2×5＝10．學生人數(shù)37×5﹣3＝182（人）故答案為：10，182【考察注意點】本題考查對分配盈虧問題的理解和運用，關鍵是找到轉(zhuǎn)換的量，問題解決．13．（3分）學校買來一批故事書，若每班發(fā)20本，則多12本：若每班發(fā)22本。則少38本，學校共買來512本故事書?！舅悸芬龑А靠偛铑~12+38＝50本，每份的差額是22﹣20＝2本，將這兩個差相除，就可求出班級數(shù)，然后再求故事書的本數(shù)；據(jù)此解答即可?！就暾獯稹拷猓海?2+38）÷（22﹣20）＝50÷2＝25（個）25×20+12＝512（本）答：學校共買來512本故事書。故答案為：512?！究疾熳⒁恻c】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數(shù)，一是總差額，二是每份的差額，將這兩個差相除，就可求出總份數(shù)，然后再求物品數(shù)；基本關系式為：總差額÷每份的差額＝總份數(shù)。14．（3分）小明去買水果。如果買7斤蘋果，還剩21元；如果買5斤橙子，還差1元。已知每斤橙子比蘋果貴6元，那么每斤橙子10元?！舅悸芬龑А咳绻I5斤橙子，改為買5斤蘋果，則還剩下6×5﹣1＝29元；這樣總差額就是29﹣21＝8元，每份的差額是7﹣5＝2斤，所以每斤蘋果8÷2＝4元，則每斤橙子4+6＝10元；據(jù)此解答即可?！就暾獯稹拷猓?×5﹣1＝29（元）（29﹣21）÷（4+6）＝8÷2＝4（元）4+6＝10（元）答：每斤橙子10元。故答案為：10?！究疾熳⒁恻c】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數(shù)，一是總差額，二是每份的差額，將這兩個差相除，就可求出總份數(shù)，然后再求物品數(shù)；基本關系式為：總差額÷每份的差額＝總份數(shù)。15．（3分）小明每天早晨6：50從家出發(fā)，7：20到校．老師要求他明天提早6分鐘到校．如果小明明天早晨還是6：50從家出發(fā)，那么，每分鐘必須比往常多走25米，才能按老師的要求準時到校．小明家距學校3千米．【思路引導】由題意可知：每天小明到學校需要30分鐘，而明天需要用30﹣6＝24分鐘到校；這樣可求出小明明天24分鐘比往常能多走24×25＝600米，這也就是說這多走的600米是小明往常用6分鐘走的路程，至此可得到小明往常的速度為600÷6＝100米/分鐘；之后用“路程＝時間×速度”便可求得問題答案．【完整解答】解：6：50到7：20之間是30分鐘25×（30﹣6）＝600（米）600÷6＝100（米/分鐘）100×30＝3000（米）＝3千米故答案為：3．【考察注意點】解此題的關鍵是小明明天24分鐘比往常能多走24×25＝600米，就是小明往常用6分鐘走的路程．16．（3分）老師給同學們分水果，其中蘋果若每位同學分10個，結(jié)果還會剩下8個；桃子若每位同學分11個，結(jié)果就會少4個，已知蘋果比桃子共多5個，那么蘋果、桃子共有151個．【思路引導】把兩次都轉(zhuǎn)化為分蘋果，根據(jù)“桃子若每位同學分11個，結(jié)果就會少4個，已知蘋果比桃子共多5個”轉(zhuǎn)化為桃子若每位同學分11個，結(jié)果就會還剩下5﹣4＝1個，這樣總差額是8﹣1＝7個，每份的差額是11﹣10＝1個，所以人數(shù)是7÷1＝7人，然后再進一步解答即可．【完整解答】解：5﹣4＝1（個）（8﹣1）÷（11﹣10）＝7（位）10×7+8＝78（個）11×7﹣4＝73（個）73+78＝151（個）故答案為：151．【考察注意點】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數(shù)，一是總差額，二是每份的差額，將這兩個差相除，就可求出總份數(shù)，然后再求物品數(shù)；基本關系式為：總差額÷每份的差額＝總份數(shù)．17．（3分）艾迪從家出發(fā)去學校，原計劃20分后到達．如果艾迪每分鐘多走30米，可以提前4分鐘到達．那么，艾迪家到學校的路程是2400米．【思路引導】按原定時間，假設艾迪現(xiàn)在繼續(xù)行走，那么比原來多走30×20＝600米，即總差額是600米，然后除以時間差4分鐘，就是現(xiàn)在的速度，然后再乘現(xiàn)在的時間即可．【完整解答】解：30×20÷4＝150（米/分鐘）150×（20﹣4）＝2400（米）故答案為：2400．【考察注意點】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數(shù)，一是總差額，二是每份的差額，將這兩個差相除，就可求出總份數(shù)，然后再求物品數(shù)；基本關系式為：總差額÷每份的差額＝總份數(shù)．18．（3分）若干個同學去劃船，若每船4人，則多5人；若每船5人，則船上有4個空位．有41名同學．【思路引導】由“每船5人則船上有4個空位”，可知少了4人，兩次數(shù)量差為5+4＝9（人），因此船的數(shù)量為：9÷（5﹣4）＝9（條）．然后求人數(shù)，列式為4×9+5或5×9﹣4，解決問題．【完整解答】解：船的數(shù)量：（5+4）÷（5﹣4）＝9÷1＝9（條）；共有學生：4×9+5＝41（人）或：5×9﹣4＝41（人）；答：共有41名同學．故答案為：41．【考察注意點】此題屬于盈虧問題，在求船的數(shù)量時，運用了下列關系式：（盈數(shù)+虧數(shù)）÷兩次分物差＝份數(shù)（船數(shù)）．19．（3分）李華從家里去機場，第一個小時走了6千米，按此速度他覺得要遲到45分鐘，便以每小時10千米的速度趕路．結(jié)果提前15分鐘到達機場，則李華家到機場的距離等于21千米．【思路引導】以剩下的按時到達的時間為標準，第一個小時走了6千米，按此速度他覺得要遲到45分鐘，即少行6×千米；以每小時10千米的速度趕路．結(jié)果提前15分鐘到達機場，即多行10×，那么路程差是6×+10×，然后除以速度差10﹣6千米，就是剩下的按時到達的時間，再加上1+小時求出以每小時6千米的速度行駛的時間，然后進一步解答即可．【完整解答】解：（6×+10×）÷（10﹣6）＝7÷4＝1.75（小時）（1.75++1）×6＝3.5×6＝21（千米）故答案為：21．【考察注意點】盈虧問題的解答思路是：通過比較已知條件，找出兩個相關的差數(shù)，一是總差額，二是每份的差額，將這兩個差相除，就可求出總份數(shù)，然后再求物品數(shù)；基本關系式為：總差額÷每份的差額＝總份數(shù)．20．（3分）學校老師舉行拔河比賽；如果每隊3位男老師、4位女老師，將會多出2個女老師；如果每隊4位男老師、5位女老師，將會多出6位女老師；那么女老師一共有66位．【思路引導】根據(jù)題意我們知道：比賽的男、女教師的人數(shù)是一定的；所以我們不妨把兩種分配方案所分的組數(shù)設出來，便可得到一方程組，然后解出其中的任意一分配方案中的組數(shù)，就可求出問題答案了．【完整解答】解：設第一種分配方案有x組，第二種分配方案有y組，則得整理得等量代換得16y+6＝15y+18y＝1212×5+6＝66（人）故答案為：66．【考察注意點】解此題的關鍵是抓住“無論怎樣分配，男、女教師的人數(shù)是一定的”，即可輕松列方程組求解．21．（3分）洋洋從家出發(fā)去學校，若每分鐘走60米，則它6：53到達學校，若每分鐘走75米，則她6：45到達學校，洋洋從家里出發(fā)的時刻是6：13．【思路引導】6時53分﹣6時45分＝8分鐘，設從家到學校若每分鐘走60米，x分鐘到學校，則若每分鐘走75米，x﹣8分鐘到學校，因為從家到學校的距離一定，根據(jù)“速度×時間＝路程”列方程解答即可．【完整解答】解：設從家到學校若每分鐘走60米，x分鐘到學校，6時53分﹣6時45分＝8分鐘60x＝（x﹣8）×7560x＝75x﹣60015x＝600x＝40；6時53分﹣40分＝6時13分；答：洋洋從家里出發(fā)的時刻是6：13．故答案為：6：13．【考察注意點】此題考查列方程解應用題，本題關鍵是根據(jù)題意找出基本數(shù)量關系，設未知數(shù)為x，由此列方程解決問題．三．解答題（共7小題，滿分37分）22．（5分）有一群小朋友分一堆蘋果，如果減少1人，每人可分得8個；如果增加2人，每人可分得6個，求實際有多少個小朋友？【思路引導】求出兩次分配的人數(shù)差、分得的數(shù)量差，即可得出結(jié)論．【完整解答】解：兩次分配的人數(shù)差是2+1＝3（人），分得的數(shù)量差是8﹣6＝2（個），所以減少1人后，共有3×6÷2＝9（人），實際有小朋友9+1＝10（人）．【考察注意點】本題考查分配盈虧問題，考查學生的計算能力，求出兩次分配的人數(shù)差、分得的數(shù)量差是關鍵．23．（5分）學校規(guī)定上午8時到校，小明去上學，如果每分鐘走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時幾分離家？由家到學校的路程是多少？【思路引導】小明每分鐘走60米，可提早10分鐘到校，即到校后還可多走60×10＝600（米）；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，即到校后還可多走50×8＝400（米），第一種情況比第二種情況每分鐘多走60﹣50＝10（米），就可以多走600﹣400＝200（米），從而可以求出小明由家到校所需時間．【完整解答】解：①10分鐘走的路程：60×10＝600（米），②8分鐘走的路程：50×8＝400（米），③需要時間：（600﹣400）÷（60﹣50），＝200÷10，＝20（分鐘），④由家到校的路程：60×（20﹣10），＝60×10，＝600（米），答：小明7點40分離家；小明的家離校有600米．【考察注意點】此題解答的關鍵是根據(jù)路程差與速度差求出小明上學所用的時間，其他問題迎刃而解．24．（5分）小明從家到學校上課，開始時每分鐘走50米，走了2分鐘，根據(jù)以往經(jīng)驗，按照這個速度走下去，將要遲到2分鐘，于是他立即加快速度，每分鐘多走10米，結(jié)果小明早到了5分鐘．小明家到學校的路程有多遠？【思路引導】遲到2分鐘，少走50×2＝100（米），早到了5分鐘，多走5×（50+10）＝300（米）；前后路程差為300+100＝400（米），速度差為每分鐘10米，所以到校時間為：（300+100）÷10+2＝42（分）；小明家到學校的路程有：50×（42+2）＝2200（米）．【完整解答】解：到校時間為：[5×（50+10）+50×2]÷10+2，＝[5×60+100]÷10+2，＝400÷10+2，＝40+2，＝42（分）；小明家到學校的路程為：50×（42+2），＝50×44，＝2200（米）．答：小明家到學校的路有2200米．【考察注意點】此題屬于盈虧問題，在求到校時間時，運用了下列關系式：（虧數(shù)+盈數(shù)）÷兩次分物差（速度差）＝分物份數(shù)（時間）．25．（5分）小麗從家去學校，如果每分走60米，則要遲到5分，如果每分走90米，則能提前4分，小麗家到學校的距離是多少米？【思路引導】本題考查行程問題在盈虧問題中的應用．盈虧問題常用“（盈+虧）÷分配差＝人數(shù)”進行求解．【完整解答】解：（90×4+60×5）÷（90﹣60）＝22（分鐘）（22﹣4）×90＝1620（米）答：小麗家到學校的距離是1620米．【考察注意點】本題關鍵在于計算出現(xiàn)在距離上課還有多少分鐘，再求路程．26．（5分