2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納專題8-1立體幾何中的軌跡問(wèn)題(解析版)

專題8-1立體幾何中軌跡問(wèn)題

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】由動(dòng)點(diǎn)保持平行性求軌跡

【典例分析】

如圖，在邊長(zhǎng)為。的正方體A3CD-A心Cid中，E、F、G、H、N分別是CG、CiDuDDi、CD、3c的

中點(diǎn)，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),若MN〃面小5。，則點(diǎn)M軌跡的長(zhǎng)度是（）

75an叵a

1J?

2---------------------------2

【答案】D

【分析】

連接G“、HN,有GH//BA1,"N//BQ,證得面48?！鍳”N,由已知得點(diǎn)M須在線段G”上運(yùn)動(dòng)，即

滿足條件，由此可得選項(xiàng).

【詳解】

解：連接G”、HN、GN,???在邊長(zhǎng)為。的正方體ABCD-A向GDi中，E、&G、”分別是CG、CiDuDDU

CD的中點(diǎn)，N是8。的中點(diǎn)，

則GH//BAi,HN//8。，又G〃（Z面AiB。，84u面AIBO,所以G〃〃面4BO,同理可證得NH〃面AiBD,

又GHcHN=H，，面AiBO〃面GHN,

又丁點(diǎn)M在四邊形EFGH上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，MN〃面43。，

則點(diǎn)M須在線段GH上運(yùn)動(dòng)，即滿足條件，GH=^-a,則點(diǎn)M軌跡的長(zhǎng)度是￡a

22

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行得軌跡

2.平行時(shí)可利用法向量垂直關(guān)系求軌跡

【變式演練】

1.在三棱臺(tái)Ag-ABC中，點(diǎn)。在4線上，且M〃8。，點(diǎn)M是三角形AB￡內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

且有平面6QM//平面八/CG,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）

A.三角形A4G邊界的一部分B.一個(gè)點(diǎn)

C.線段的一部分D.圓的一部分

【答案】C

【分析】

過(guò)。作。E〃AG交4G于E，連接鴕，證明平面皿宏〃平面AACC,得MwOE,即得結(jié)論.

H播］

如圖，過(guò)。作。E//AC交8c于E，連接BE,

BDHAA,,8。2平面，AAu平面AAG。，所以8。//平面人人。。，

同理OE〃平面AAGC,又BDcDE=D,8。,Z）Eu平面BOE,

所以平面4九,〃平面AAGC,所以MwOE,（M不與。重合，否則沒(méi)有平面）,

2.已知正方體ABC。-AMGR的棱長(zhǎng)為2,E、E分別是棱AA、AA的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面ABC。內(nèi)（包括

邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線RP與平面無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

C.x/2+孝

D.，6

【答案】B

【分析】

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，QA、DC.所在直線分別為J九二軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)外。力，°)，

計(jì)算出平面B所的一個(gè)法向量/〃的坐標(biāo)，由已知條件得出力/〃〃=0，可得出“、力所滿足的等式，求出點(diǎn)

P的軌跡與線段AD、BC的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得結(jié)果.

[i鏘]

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC.。。所在直線分別為J)'、二軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則用2,2,0)、E(2,0,l)x尸(1,0,2)、卬0,0,2),設(shè)點(diǎn)P(a也0),

一一

BE=(0,-2,1),EF=(-l,0,l),設(shè)平面8所的法向量為，〃=(x,y,z),

由‘廠廠八，取2=2,可得"?=(2,1,2),

EF=-x+z=0

DtP=(a,b-2),由題意可知，DJ〃平面BE/；,則。尸加=2。+〃-4=0,

令b=0,可彳導(dǎo)a=2;令b=2,可得a=l.

所以，點(diǎn)P的軌跡交線段A。于點(diǎn)八(2,0,0),交線段AC的中點(diǎn)M(l,2,0),

所以，點(diǎn)產(chǎn)的軌跡長(zhǎng)度為|=7(2-1)2+(0-2)2=石.

故選：B.

3.在棱長(zhǎng)為2的正方體"CO-A瓦GR中，點(diǎn)分別是棱GQ,8G的中點(diǎn)，尸是上底面內(nèi)一

點(diǎn)(含邊界)，若AP〃平面BDEF,則尸點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為()

A.1B.V2C.2D.2V2

【答案】B

【分析】

由分別取棱A/、AR的中點(diǎn)M、N,連接MN,由線面平行得面面平行，得動(dòng)點(diǎn)軌跡，從而可計(jì)算其長(zhǎng)度.

(W1

如圖所示，分別取棱4片、AQ的中點(diǎn)M、N,連接MN,連接優(yōu)R,

???M、M反尸為所在棱的中點(diǎn)，組A,EFUBQ-：.MN“EF,

又MN(Z平面BDEF,Wu平面8OEF,??.MV//平面8OEF,

連接NV,由NF//AB一NF=AB-ABJIAB,=AB,可得NF//A8,NF=AB,則四邊形ANFB

為平行四邊形，則,

而AVer平面BDEF,fBu平面BDEF,則/UV〃平面BDEF.

又AMNM=N,：.平面AMN//平面BDEF.

又。是上底面AQCR內(nèi)一點(diǎn)，且AP//平面BDEF,

???。點(diǎn)在線段MN上.又MN=34。一??.P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為及.

【題型二】動(dòng)點(diǎn)保持垂直性求軌跡

【典例分析】

在正方體ABCD-A,BCR中，Q是正方形反BCC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，A。，8C一則。點(diǎn)的軌跡是()

A.點(diǎn)4B.線段4CC.線段8cD.平面43CG

【答案】B

【分析】

如圖,連接A。，證明8GJ-B、。,又BQ1B}C,即得解.

6播］

如圖，連接AC,

因?yàn)?C|_LAQ,BG_LAM,A。44=4,4。，4耳＜3平面4￡。,所以861.平面4瓦。，又4。＜=平面

A4。，

所以8G1BiQ,又BG-L用C.所以點(diǎn)。在線段BC上.故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.可利用線線線面垂直，轉(zhuǎn)化為面面垂直，得交線求軌跡

2.利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡

3.利用垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡

【變式演練】

1.在正方體中，點(diǎn)/＞在側(cè)面BCG4及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且保持,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為

A.線段2B.線段8G

c.BBI的中點(diǎn)與CG的中點(diǎn)連成的線段I).8c的中點(diǎn)與星G的中點(diǎn)連成的線段

【答案】A

【分析】

利用直線與平面垂直的判定可得。八T面人，又點(diǎn)產(chǎn)在側(cè)面RCC由及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持，針與

垂直,得到點(diǎn)。的軌跡為面ACB,與面8CG4的交線.

H鏘］

如圖，連接AC,M,B￡,在正方體人88-A4GA中，有叫_L平面AC8,,

又點(diǎn)尸在側(cè)面BCG4及其邊界上運(yùn)動(dòng)，

?.故點(diǎn)〃的軌跡為平面八C優(yōu)與平面BCC畫(huà)的交線段C優(yōu).故選：A.

2.在犢長(zhǎng)為1的正方體'BCD-/\BGD曲，M,N分別為他，B￡的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，

且滿足MP工CN.給出下列說(shuō)法：

①點(diǎn)尸可以是棱84的中點(diǎn)；

3

②線段MP的最大值為了；

4

③點(diǎn)尸的軌跡是正方形；

④點(diǎn)。軌跡的長(zhǎng)度為2+石.

其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是________.

【部】②④

【分析】

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。4,。。，OR為x軸，）?軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出MP的坐標(biāo)，從而

得到MP的最大值，即可判斷選項(xiàng)②,通過(guò)分析判斷可得點(diǎn)P不可能是棱8%的中點(diǎn)，從而判斷選項(xiàng)①，又

EF=GH=\,EH=FG=^~，可判斷選項(xiàng)③和選項(xiàng)④.

2

［i鏘］

解：在正方體A3CZ5-A4CQ中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0G為X軸”軸，

???該正方體的棱長(zhǎng)為I.M.N分別為叫，8C的中點(diǎn)，

.??0（000）,M（卜［g）,心1,1）,C（0,l.0）

???MP1GV,???g(x-g)+z-T=O，即2x+4z—3=0

當(dāng)x=l時(shí)，z=J,當(dāng)工=0時(shí)，z=],

44

取小,5),尸(1,用,G(0,4).的詞,

連結(jié)EA?，/G,GH,HE,

則所=G〃=(O,1,O),EH=FG=f-l,0,1'),

二四邊形為矩形，貝！JE尸CV=0,EHCN=0,

即EF1CN,EH1CN,

又EF和EH為平面EFGH中的兩條相交直線，

...GV，平面EFGH,

又EM=MG=

，M為EG的中點(diǎn)，則Me平面EFGH,

為使MP1CN,必有點(diǎn)Pe平面EFGH,

又點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，?二點(diǎn)P的軌跡為四邊形EFGH,

因此點(diǎn)P不可能是棱的中點(diǎn)，故選項(xiàng)①錯(cuò)誤；

又EF=GH=\,EH=FG=—,

2

??■EF*EH,則點(diǎn)P的軌跡不是正方形且矩形EFGH周長(zhǎng)為2+2x*=2+后,

故選項(xiàng)③錯(cuò)誤，選項(xiàng)④正確；

??。=仁,0,1MP=\x——,y——，z——

I222

+z-g=0,即2x+4z-3=0,

又MP_LCN,則2x——

2

.*.^=|-2z,點(diǎn)尸在正方體表面運(yùn)動(dòng),

313

貝1」。4產(chǎn)《1,解尸方，

:?MP=

133

故當(dāng)z=］或z=7，產(chǎn)?；?,MP取得最大值為了，故②正確.

444

故答案為：②④.

3.如圖，在正方體A88-A4CQ中，E是棱（匕的中點(diǎn)，尸是側(cè)面3CG片內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A”與平面AAE

的垂線垂直，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.A廠與不可能平行

B?AF與爾.是異面直線

C,點(diǎn)/；的軌跡是一條線段

D.三棱錐F-A他的體積為定值

【答案】A

【分析】

設(shè)平面Q4E與直線8C交于G,連接AG,EG,則G為8C的中點(diǎn)，分別取用8,8c的中點(diǎn)M,N,

連接4附，MN,AN，證明平面AMN//平面。/￡，即可分析選項(xiàng)ABC的正誤;再由MN//EG，得點(diǎn)F

到平面O/E的距離為定值,可得三棱錐尸-八8。的體積為定值判斷D.

G播］

解：設(shè)平面AAE與直線AC交于G,連接AG,EG,

則G為AC的中點(diǎn)，分別取,8c的中點(diǎn)M,N,

連接AM,MN,AN,

如圖，?:AM〔/D\E,4"危平面。|AE,/)|Eu平面。4E,

??.AM〃平面RAE,同理可得MN〃平面RAE,

又AM、MN是平面AMN內(nèi)的兩條相交直線,

平面AA/N〃平面RAE,而AF〃平面。①E一?.4/u平面AMN,

得點(diǎn)〃的軌跡為一條線段，故C正確；

并由此可知，當(dāng)尸與M重合時(shí)，A/與平行，故A錯(cuò)誤；

???平面AMM/平面。/E,昭和平面。/E相交一??A/與比是異面直線，故B正確；

???MNMEG,則點(diǎn)F到平面RAE的距離為定值一三棱錐歹-的體積為定值，故D正確.

【題型三】由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或者定距）求軌跡

【典例分析】

已知正方體A3CD-A山Ci"的棱長(zhǎng)為1,尸為底面A3CQ內(nèi)一點(diǎn)，若P到棱CD,4G距離相等的點(diǎn),則

點(diǎn)尸的軌跡屋（）

A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

【答案】D

【分析】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。一,求出點(diǎn)P的軌跡方程艮何判斷.

H播］

如圖示，過(guò)尸作PE_LA3與E,過(guò)產(chǎn)作"LW于〃，過(guò)尸作廠G〃A山交八孫于G,連結(jié)尸G,由題意可

知PE=PG

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,設(shè)P（x,y,O）,由PE=PG得:

|l-X=廳+/,平方得：（41）2—、，2=］即點(diǎn)p的軌跡是雙曲線故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.距離，可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助于圓錐曲線定義或者球和圓的定義等知識(shí)求解軌跡

2.利用空間坐標(biāo)計(jì)算求軌跡

【變式演練】

1.如圖，在四棱錐P-A8CQ中，側(cè)面PA。為正三角形，底面A8CQ為正方形，側(cè)面小。上底面A8CQ,M

為正方形包88內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足=.則點(diǎn)M在正方形448內(nèi)的軌跡為（）

【統(tǒng)A

【分析】

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)M（X，F(xiàn)。）,正方形八8C。的邊長(zhǎng)為J求出MC,MP的

坐標(biāo)，利用|MP|=|M4可得x與y的關(guān)系，即可求解.

（WJ

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,。。所在的直線分別為1,）'軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形

A8CQ的邊長(zhǎng)為。，M(.",0)JI]O<x<?,0<y<?,P?0,浮,c(o,?,o)，則卜-,

.由,用=陷4,得x=2y,

所以點(diǎn)M在正方形A8C7）內(nèi)的軌跡為一條線段y=；x（0<x<a）,

故選：A.

2.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體向8-A0C77中，E、產(chǎn)分別是八仄4。的中點(diǎn)，長(zhǎng)為2的線段MN的一

個(gè)端點(diǎn)M在線段仃上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面AEC7）'上運(yùn)動(dòng)，則線段MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）

與正方體（各個(gè)面）所圍成的幾何體的體積為（）

【霹】D

【分析】

連接PF、NF,分析得出FP=\,可知點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F為球心，半徑長(zhǎng)為1的球面，作出圖形，結(jié)合

球體的體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】

連接的、NF,因?yàn)锳Q//AD,AO=AZ）,且￡、〃分別為A。、4。的中點(diǎn)，

故AE//A'尸且A￡=A/,

所以，四邊形A4'正為平行四邊形，故瓦7//W且所=A4'=4,

???AAL平面AB'Ciy，則瓦'_L平面AB'CTX,

因?yàn)?,Wu平面A'B'CTX,所以，EF1FN,

P為MN的中點(diǎn)，故"=g"N=l,

所以，點(diǎn)2的軌跡是以點(diǎn)F為球心，半徑長(zhǎng)為I的球面，如下圖所示：

所以，線段MN的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）與正方體（各個(gè)面）所圍成的幾何體為球尸的J,

4

1A萬(wàn)

故所求幾何體的體積為V==

433

故選：D.

3.四棱鍵P-0A3C中，底面OABC是正方形，OP上0A,04=OP=Q.O是棱”上的一動(dòng)點(diǎn)，E是正方

形OABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，DE的中點(diǎn)為。，當(dāng)OE=〃時(shí)，。的軌跡是球面的一部分，其表面積為3乃,則。的值

是（）

A.245B.276C.376D.6

【分】B

【分析】

由題意結(jié)合選項(xiàng)可特殊化處理,即取0P與底面垂直，求得Q的軌跡，結(jié)合球的表面積求解.

6播］

解：不妨令OPLOC,則。尸底面OABC,

如圖，

D是0P上的動(dòng)點(diǎn)，二0/）_L底面OABC,可得。。_1_0E,

又。為。E的中點(diǎn)，，即。的軌跡是以0為球心，以；。為半徑的6球面，

LZZO

其融積為SAXE'S"

,得“=2#.故選：B.

【題型四】由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡

【典例分析】

正方體ABCQ-A5CR中，M.N分別為A8,A4的中點(diǎn)，尸是邊C0上的一個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），。是

平面P股用上一動(dòng)點(diǎn)，滿足直線M/V與直線4N夾角與直線MN與直線V。的夾角相等，則點(diǎn)。所在軌跡

為（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.拋物線或雙曲線

【答案】D

【分析】

根據(jù)題設(shè)分析可知：Q點(diǎn)軌跡為以A/V為母線，M/V為軸，AB為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于八蜴反向?qū)?/p>

稱的推體與平面尸加4的交線，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合平面與雙錐面相交所成曲線的性質(zhì)判斷。所在軌跡的形

狀.

[i播]

由題設(shè)，。點(diǎn)軌跡為以4N為母線，/WV為軸，AB為底面直徑的圓錐體，及其關(guān)于A4反向?qū)ΨQ的錐體與

平面awq的交線，如下圖示：

當(dāng)〃是邊a。上移動(dòng)過(guò)程中,只與下方錐體有相交，。點(diǎn)軌跡為拋物線；

當(dāng)P是邊CQ上移動(dòng)過(guò)程中，與上方錐體也有相交，。點(diǎn)軌跡為雙曲線；

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.直線與面成定角，可能是圓錐側(cè)面。

2.直線與定直線成等角，可能是圓錐側(cè)面

3.利用空間坐標(biāo)系計(jì)算求軌跡

【變式演練】

1.如圖，斜線段A8與平面。所成的角為60°,A為斜足，平面。上的動(dòng)點(diǎn)P滿足“八8=30。，則點(diǎn)。的軌

跡是（）

C?橢圓D.雙曲線的一支

【答案】C

【分析】

由題可知點(diǎn)〃在以A8為軸的圓錐的側(cè)面上，再結(jié)合條件可知〃的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義，即得.

G鏘】

用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面和圓錐的一條母線平

行時(shí)，得到拋物線.

此題中平面a上的動(dòng)點(diǎn)。滿足/尸八8=3（）。，可理解為〃在以A8為軸的圓錐的側(cè)面上，

再由斜線段A3與平面。所成的角為60。，可知，的軌跡符合圓錐曲線中橢圓定義.

故可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是橢圓.

故選：C.

2.如圖所示，ABC。-AMCQ為長(zhǎng)方體，且八3=3C=2,M=4,點(diǎn)尸為平面A4G。上一動(dòng)點(diǎn)，若

“EG=NBC、C,則P點(diǎn)的軌跡為（）

A.拋物線B?橢圓C.雙曲線D.圓

【答案】B

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和軌跡方程思想求得〃的軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)方程判定軌跡

類型.

【詳解】_______________

如圖，建立直角坐標(biāo)系，則8（0,0,勺直（020）,忸CbjBd+cc；―3+42=2石.

設(shè)P",y,o）,則向量加=（x,y,-4）,向量8G=（0,2,-4）,

小”BP.BG2y+l6|CC1|42

cosNPBC、=-------~—=,.（-----------==-f==—j=

I研，町|次+9+的次+㈠）?忸。2>/5舁

???（），+8『=4（丁+）戶+16），即4犬+3），2_]6），=0,4/+3卜，一/=竺，

=1，這方程表示的軌跡是平面AB?Q上的橢圓，故選：B.

16

39

3.在長(zhǎng)方體A8C。-A8CQ中，人8=八。=6,44=2,M為棱8c的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，滿足ZAPO=NCPM,

則點(diǎn)P的軌跡與長(zhǎng)方體的側(cè)面OCG4的交線長(zhǎng)等于.

【統(tǒng)】y

【分析】

由題意畫(huà)出圖形，由角的關(guān)系得到邊的關(guān)系,然后再在平面OCGD內(nèi)建系，求出P的軌跡方程，確定點(diǎn)P

的軌跡與長(zhǎng)方體的面。CG。的交線，進(jìn)而求得交線長(zhǎng).

G鏘］

如下圖所示：

當(dāng)〃在面。CCQ內(nèi)時(shí)，面。CC1。，CM工面DCCR;

又ZAPD=NMPC,在Rt./DA與RtPCM中，V>4D=6,則MC=3,

1.lanZAPO=^=tan/MPC=^，貝=言?即0力=?巾

在平面DCCQ中，以O(shè)C所在直線為A軸，以DC的垂直平分線為>'軸建立平面直角坐標(biāo)系，則Q(TO),

C(3,0),

設(shè)P("V),由PQ=2PC,得J(x+W+y2=2j(f"2,

整理得：/一10人+/+9=0,即(x-5y+)?=]6.

???點(diǎn)P的軌跡是以F(5,0)為圓心，半徑為4的圓.

設(shè)圓F與面QCGA的交點(diǎn)為E、M,作EK垂直X軸于點(diǎn)K,如圖，

sirZEFK=—=-=-;ZEFK=-;

EF42'6'

TTx4_2力

故點(diǎn)P的軌跡與長(zhǎng)方體的面DCGR的交線為劣弧ME,所以劣弧ME的長(zhǎng)為6X=T.故答案為：

【題型五】投影求軌跡

【典例分析】

1822年，比^時(shí)數(shù)學(xué)家〃利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐,可以得到橢圓

(其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn))，實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性.在生活中，有一個(gè)

常見(jiàn)的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓.這是由于光線形成的圓錐被地面腌

產(chǎn)生了橢圓的截面.如圖，在地面的某個(gè)占A正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使得八人與小球相

切.若AA=5,小球半徑為2,則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為()

A

Al

Bi

-Ic-5D?

【部】A

【分析】

設(shè)&￡=x,從而可得4A=5,AA2=A-+2,A&=.r+3,利用勾股定理可得K=1(),再由離心率的定義

即可求解.

【i鏘】

在R/.A%A?中，設(shè)&"=x,DA2

222

AA,=5,AyA2=x+2,AAy=x+3,5+(A*+2)=(x+3),

C7

.??E。長(zhǎng)軸長(zhǎng)A4=2"I2,-6'c—?jiǎng)t離心率。丁”嫡：A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

I?球的非正投影，可能是橢圓面

2.多面體的投影，多為多邊形。

【變式演練】

1.如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球球心為。’在平行光線的照射下其投影的邊緣軌跡為橢圓C如

圖橢圓中心為0球與地面的接觸點(diǎn)為E,OE=4若光線與地面所成角為。橢圓的離心率6=.

【箭】3

【分析】

根據(jù)平行投影計(jì)算出橢圓。的短半軸長(zhǎng)〃，再求出光線與水平面所成銳角的正弦，進(jìn)而求得橢圓C的長(zhǎng)軸

長(zhǎng)2tf而得解.

【i例

連接，則NO'OE=e,因?yàn)??！?3,OE=4,如圖：

________________(yp3

所以。。=，。/+0石2=用+42=5,^rlUsin<9=—=-

在照射過(guò)程中，橢圓的短半軸長(zhǎng)〃是球的半徑R,即〃=3,

過(guò)球心與橢圓長(zhǎng)軸所在直線確定的平面截球面所得大圓及對(duì)應(yīng)光線，如圖：

橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)加是AC,過(guò)人向8C做垂線，垂足是8,則"_LO'0,0'E1AC,

3AH

由題意得：4S=2R=6,sinZACB=sinJ="又sin/ACB=——,

5fAC

An3

則=;=彳,AC=10,即為=10,a=5,

AC5

所以橢圓的離心率為e，=近三=立亙=±故答案為：7

aa553

【題型六】翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡（難點(diǎn)）

【典例分析】

如圖，將四邊形A8CQ中，"DC沿著AC翻折到ARC,則翻折過(guò)程中線段QB中點(diǎn)M的軌跡是（）

A.橢圓的一段B.拋物線的一段

C.雙曲線的一段D.一段圓弧

【答案】D

【分析】

過(guò)點(diǎn)。作AC的垂線，垂足為尸，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為E,連接。氏8"，再分別分析翻折前、

后的變化量與不變量，在翻折后的圖形中取命中點(diǎn)。，進(jìn)而可得答案.

［聊］

解：在四邊形ABC。中，過(guò)點(diǎn)。作4C的垂線，垂足為尸，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)B作AC的垂線，垂足為E，連接?！?尸，

如圖1,

所以當(dāng)四邊形A8CD確定時(shí)，。所和三邊長(zhǎng)度均為定值，

當(dāng)_AQC沿著AC翻折到八"，形成如圖2的幾何體，并取腔中點(diǎn)。，連接。w,

由于在翻折過(guò)程中,DE=1E,所以由中位線定理可得。例=3。波為定值，

所以線段中點(diǎn)W的軌跡是以宓中點(diǎn)。為圓心的圓弧上的部分.故選：D

【提分秘籍】

基本現(xiàn)律

1.翻折過(guò)程中尋找不變的垂直的關(guān)系求軌跡

2.翻折過(guò)程中尋找不變的長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡

3.可以利用空間坐標(biāo)運(yùn)算求軌跡

【變式演練】

1.已知△ABC的邊長(zhǎng)都為2,在邊A3上任取一點(diǎn)。，沿C&將△BCD折起,使平面8CD_L平面ACD.在

平面BCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作3尸_1_平面ACD,垂足為P,那么隨著點(diǎn)D的變化,點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

【統(tǒng)】C

【分析】

根據(jù)題意，先確定點(diǎn)夕軌跡的形狀，進(jìn)而求出軌跡的長(zhǎng)度即可.

H鏘］

由題意，在平面BCD內(nèi)作BQLCD，交。。于Q,因?yàn)槠矫嫫矫鍭CD,平面BCD與平面ACD交于

CD,所以8Q1.平面ACD,又平面ACD,所以PQ兩點(diǎn)重合,于是隨著點(diǎn)。的變化，BPLCD始終

成立，可得在平面A8C中，3PLCP始終成立,即得點(diǎn)P的軌跡是以BC為直徑的圓的一部分,由題敲口

隨著點(diǎn)D的變化，/BCD的范圍為臉,可得點(diǎn)P的軌跡是以BC為直徑（半徑為I）的圓的I,即得點(diǎn)

10

P的凱跡長(zhǎng)度為§x2;rxl2=31.故選：C.

2.如圖，等腰梯形八BCD中，八B//CQ，人8=2,AD=BC=\,AB>CD，沿著AC把AAC。儂至乙4。。，

使。在平面A8C上的射影恰好落在A8上.當(dāng)邊長(zhǎng)C。變化時(shí),點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為（）

D

D.

*2*36

【答案】B

【分析】

根據(jù)。I的射影在邊"上，且AQ固定長(zhǎng)度為1,所以。的軌跡在以A為原點(diǎn)半徑為1的圓上，因此考慮CO

的長(zhǎng)度縮短到0時(shí)和變長(zhǎng)到AB的長(zhǎng)度兩種情況，從而求出夾角大小，進(jìn)而求出弧長(zhǎng).

【詳解】

因?yàn)?。的射影在邊上，且人A固定長(zhǎng)度為1,所以。的軌跡在以A為原點(diǎn)半徑為I的圓上.考慮極端情

況：當(dāng)C。的長(zhǎng)度縮短到0時(shí)，。，DA都匯聚到線段AB的中點(diǎn)（◎）；當(dāng)C。變長(zhǎng)到AB的長(zhǎng)度時(shí)（"的

射影為6），如圖，設(shè)A。,=J則映=27,

22

.-,4-[1+（2-/）]=1-/=>/=1,即"在線段A8上的投影與點(diǎn)A的距離為3,從而A"與AB夾角為今，

故點(diǎn)"的軌跡為?,1二鼻.故選：B.

3.已知矩形ABC。中，AB=1,AE=>/2,如圖，將“既沿著虛曲亍翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)S重合，若點(diǎn)S

在平面BCDE上的射影在四邊形8CQE內(nèi)部（包含邊界）,則動(dòng)點(diǎn)S的軌跡長(zhǎng)度是（）

s

【答案】C

【分析】

過(guò)點(diǎn)A作人于點(diǎn)M，交8C于點(diǎn)G，則點(diǎn)S在平面上的射影N落在線段MG上.由翻折過(guò)程可

知，SM=AM=*,判斷出S的軌跡是以點(diǎn)M為圓心，*為半徑的一段圓弧，求出圓心角，利用弧長(zhǎng)公

33

式求出弧長(zhǎng).

G鏘】

圖（2）

如圖（I）,過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)G,則點(diǎn)S在平面BCDE上的射影N落在線段上.

在RtZXABE中,AB=1,AE=應(yīng)，則BE=6,由等面積法得AM=-~-

V33

翻折的過(guò)程中，動(dòng)點(diǎn)S滿足SM=手,則動(dòng)點(diǎn)S的軌跡是以點(diǎn)例為圓心，半為半徑的一段圓弧易得

BM=—,EM=冬@,△AMES^GMB,所以二f=：，貝UMG=—<SM，如圖（2）,在圓M中，

33AMME26

S°M14G,SQ14G,所以點(diǎn)S的軌跡是S°S「且8s"MG=^=],貝」/15豳三,"MS。=看,

從而點(diǎn)S的軌跡長(zhǎng)度為Jxg=容.

6318

故選：C

最新模考題組練

1.（多選題）（海南省?？谑斜本煼洞髮W(xué)海口附屬學(xué)校2021-2022學(xué)年12月月考）如圖,已知正方體

48（刀-八陽(yáng)6口的棱長(zhǎng)為2,,%,。//的中點(diǎn)，N為正方形人BCD所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

A.若N到直線Bq與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線

B.若MN=2,則MN的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為江

C.若RN與A3所成的角為60，則V的軌跡為雙曲線

D.若MN與平面A5CQ所成的角為6。，則N的軌跡為橢圓

【輜ABC

【分析】

A：由陰，平面ABCD,可得NB即為N到直線網(wǎng)的距離，由拋物線的定義即可判斷;

B：由題意可得中點(diǎn)的軌跡為以M。中點(diǎn)為圓心，乎為半徑且平行于平面A8CD的圓，計(jì)算可判斷；

C：建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)NO,V,0）,由功V與A3所成的角為60°,可得點(diǎn)N的軌跡方程，從而可

判斷；

口：由MN與平面448所成的角為WMND,計(jì)算可得DN為定值，可判斷點(diǎn)N的軌跡為以D為圓心，DN

為半徑的圓，從而可判斷.

H鏘］

對(duì)于A,陰_L平面A8CQ,N3即為N到直線網(wǎng)的距離，

在平面ABC。內(nèi)，點(diǎn)N到定點(diǎn)8的距離與到定直線。。的距離相等，

，點(diǎn)N的軌跡就是以8為焦點(diǎn)，。。為準(zhǔn)線的拋物線，故A正確；

對(duì)于B,叫，平面ABC。，N8即為N到直線網(wǎng)的距離，

在平面ABCQ內(nèi)，點(diǎn)N到定點(diǎn)B的距離與到定直線DC的距離相等，

???點(diǎn)N的軌跡就是以B為焦點(diǎn)，OC為準(zhǔn)線的拋物線，故B正確；

對(duì)于C,如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)Mx,>'，O),貝l」/),N=(r,y,-2),4/?=(Or2,0),

|￡)1沖0,Jx2+，+4x22

化簡(jiǎn)得3)，2_/=4,即歹T-1,N的軌跡為雙曲線，故c正確；

34

對(duì)于D,MN與平面A8CQ所成的角為NWNO，.二NMVQ=6(r,

則DV=中，，點(diǎn)N的軌跡為以。為圓心，堂為半徑的圓，故D錯(cuò)浜.

33

故選：ABC.

2.(廣東省六校2022屆高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)(多選題)如圖的正方體八伙”一人4cM中，棱

長(zhǎng)為2,點(diǎn)￡是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)F在正方體表面上運(yùn)動(dòng).以下命題正確的有()

A.側(cè)面a)4G上不存在點(diǎn)尸，使得，CD,

B.點(diǎn)。到面ABE的距離與點(diǎn)C,到面\BE的距離之比為；

C.若點(diǎn)尸滿足4H平面ABE,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為2石

D.若點(diǎn)/到點(diǎn)A的距離為零,則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為26兀

【答案】BD

【分析】

先找到點(diǎn)尸滿足4戶〃平面A8E的軌跡,可判斷選項(xiàng)AC,將平面八中補(bǔ)全，利用比例判斷選項(xiàng)B,找到

滿足點(diǎn)F到點(diǎn)A的距離為半的軌跡，可判斷選項(xiàng)D

H的

取GQ中點(diǎn)M,CC中點(diǎn)N,連接8眼，BN,MN,

易證與N〃AE,又用N<z平面AAE,A?u平面ABE,所以B/V〃平面ABE,

又MNHAB,同理得到MN//平面ABE,

所以平面用MN〃平面ABE,

所以若點(diǎn)尸滿足叱〃平面A8E,則點(diǎn)尸在△與MN的三邊上運(yùn)動(dòng)，

MN=4i、B,M=B,N=M,所以動(dòng)點(diǎn)廠的軌跡長(zhǎng)度為2百+0,所以C錯(cuò)誤；

當(dāng)點(diǎn)F在側(cè)面CDQG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN,

當(dāng)/；運(yùn)動(dòng)到MN中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)椤?MN是等腰三角形，所以8尸上MN,又因?yàn)镸N//CQ,

所以瓦F_LC",故A錯(cuò)誤；

取CD中點(diǎn)G,連接8G,EG,

易證A8//EG,則A，氏￡G共面,令C、DcEG=H,貝IJ易得O〃=gq〃，

所以點(diǎn)D到面ABE的距離與點(diǎn)G到面ABE的距離之比為；，故B正確；

因?yàn)轵荩?友,所以若點(diǎn)/；到點(diǎn)A的距離為平,

則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡在正方形用BCC,和正方形ccpp及正方形AUG〃上,

若在正方形耳Beg上，則滿足8尸+BA：（半了=打'=坐＜2,所以在正方形ABCQ上，動(dòng)點(diǎn)尸的

33

軌跡為以4為圓心，崢為半徑的四分之一圓弧，所以周長(zhǎng)為攣冗，

33

同理點(diǎn)廠在正方形A4G2及正方形CCQQ面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌跡分別為以A,。為圓心，竽為半徑的四分

之T1弧,所以動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為手幾＞＜3=26兀，所以D正確；

故選：BD

3.（多選題）（2022年全國(guó)著名重點(diǎn)中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺試卷（六））如圖，在正方體4He。一A4GQ中，E

為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AD\上運(yùn)動(dòng)，仃為底面ARCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.C.FICfi)

B.若/G//C",則點(diǎn)G在線段AC上

C.當(dāng)點(diǎn)f?從4向"運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱椎。-8FG的體積由小變大

I).若G2,GE與底面ABCD所成角相等，則動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為圓的一部分

【答案】ABD

【分析】

結(jié)合線面垂直的知識(shí)來(lái)判斷A選項(xiàng)的正確性.結(jié)合平面的知識(shí)來(lái)判斷B選項(xiàng)的正確性.結(jié)合錐體體積的求法來(lái)

確定C選項(xiàng)的正確性.結(jié)合阿波羅尼斯圓的知識(shí)來(lái)判斷D選項(xiàng)的正確性.

H播］

連接A。，???6”在平面八。/)人內(nèi)的射影為。尸，c與〃4。，且/，則4QJL平面GQ尸,

AO1G",.??CLJLC/,故A正確；

，???"G與CA確定唯一的平面a，而平面ACR與a有F,。一。三個(gè)不在一條直線上的公共

點(diǎn)，；.平面ACq與a重合，又G為底面48C。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)G必在平面Ag與平面48C。的交線AC

上，故B正確；

AR〃BC-ARa平面DBC-BGu平面DBC},：.ADt//平面DBC1,故當(dāng)點(diǎn)F在AR上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F

到平面DBG的距離不變，于是三棱世F-BD&的體積不變，即三棱錐D-BFQ的體積不變，故C錯(cuò)誤；

連接G。，GA,當(dāng)GR,GE與底面ABC。所成角相等時(shí)，易得GD=2GA,?.?八￡）為定值，由阿波羅尼斯圓

易知點(diǎn)G的軌跡為圓的一部分，故D正確.

阿波羅尼斯圓：已知平面上兩點(diǎn)A,8,則所有滿足強(qiáng)=k（Q0且E）的點(diǎn)尸的軌跡是一個(gè)以定比用：

〃內(nèi)分和外分定線段48的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓.

故選：ABD

4.（吉林省梅河口市第五中學(xué)2021-2022上學(xué)期第一次月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A4GR中，乂，

N分別為4A,CG的中點(diǎn),。為底面A8C。的中心，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng),且滿足NP_LMO,則下

列說(shuō)法正確的是（）

B.線段"的最大值為當(dāng)

A.點(diǎn)P可以是棱網(wǎng)的中點(diǎn)

C.點(diǎn)P的軌跡是平行四邊形D.點(diǎn)。軌跡的長(zhǎng)度為1+五

【舒】B

【分析】

在正方體"CO-ABCQ中，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4、DC、DQ方向?yàn)閄軸、）'軸、z軸正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)NP_LMO,確定點(diǎn)。的軌跡，在逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

H鏘］

在正方體ABCD-ABCR中,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4、DC、叫方向?yàn)槎S、），軸、z軸正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為1,M,N分別為AA,CG的中點(diǎn)，

則a0,0,0),M卜得，N?,0號(hào)，。)，

所以/，設(shè)P(x，)'，z),貝=,

因?yàn)镹P±MO,所以NPOM=0

所以;*-*』1)+能一1=0,gp2x-2y+2z=-l,

令z=o,當(dāng)戈=；時(shí)，y=\;當(dāng)x=0時(shí)，y=g;

取嗎JO),「(吟'

連接EF,FN,NE,貝^科二卜；,-［。)，￡W=(-；,0,；),

則EF.OM=_；xg+1;)x(_g)+0x；=0,

E/VO/W=--x-!-+Oxf—!-|+-!-xl=0

22122f

所以所_LOM,ENLOM,

又EFcEN=E,且杯u平面EFN,ENu平面EFN,

所以O(shè)M_L平面EFN,

所以，為使NPLQM,必有點(diǎn)Pw平面￡/W,又點(diǎn)。在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，

所以點(diǎn)P的軌跡為正三角形E/W,故C錯(cuò)誤；

因此點(diǎn)一不可能是棱BBI的中點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

線段NP的最大值為NF=當(dāng)，故B正確；

點(diǎn)尸軌跡的長(zhǎng)度為*+*+*=￥，故D錯(cuò)誤；

2222

故選：B

5.（廣東省深圳市平岡高級(jí)中學(xué)2021屆高三上學(xué)期9月第一次月考）如圖所示，在棱長(zhǎng)為?的正方體ABCD

?ABG必中，E是棱DDi的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面CDDC上的動(dòng)點(diǎn)，且外尸〃平面A.BE,則F在側(cè)面CD5G

上的軌跡的長(zhǎng)度是（）