2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：12 正余弦定理與解三角形小題歸類2（解析版）

12正余弦定理與解三角形小題歸類2

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納................................................................................1

【題型一】圖形5：“擴(kuò)展線”................................................................I

【題型二】向量與正余弦定理................................................................4

【題型三】四心1：外心.....................................................................7

【題型四】四心2：內(nèi)心.....................................................................9

【題型五】四心3：重心...................................................................13

【題型六】?jī)?nèi)心4：垂心....................................................................16

【題型七】解三角形應(yīng)用題.................................................................18

【題型八】壓鈾小題1.............................................................................22

【題型九】壓軸小題2.............................................................................25

二、最新?？碱}組練.............................................................................28

【題型一】圖形5：“擴(kuò)展線”

【典例分析】

在4ABe中，。是邊8c上的一點(diǎn)，ZC=40°,ZC4￡>=60°,BD=AC,則NO3A=（）

A.20°B.25°C.3（尸D.35°

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，可得出ZADC=80°,利用正弦定現(xiàn)可知A?AC=sin40o：sin800.設(shè)ND/M=a（0<a<90）,在△AB。

中由正弦定理得：黑，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式、兩角和與弟正弦和余弦公式、二倍角正弦公式進(jìn)

sina1sinn（篇oU二—a）、

行化簡(jiǎn)，求出a的值，從而得出NDBA.

在-AO。中，ZC=40°,NC4O=60。，所以

ZA￡)C=8(F,由正弦定理知AD:4C=sir.40°:sin800,設(shè)4)=&sin40。，AC=&sin800,k>0,所以BD=AC=Asin800.

ADBD

設(shè)ND8A=a（0<a<90'）,在△ABQ中，由正弦定理得:

sinasin(8()o-a)

?,.,sin40°sin80°sin4002sin40cos4012cos40,擊攵由俎

則sina-sin(80°-a),即sinasin[w-(100+a)],所以sina-85(10。+。)'整理得

2cos^30+1())sina,=cos(100+a),

即cos10sina-sin10sina=cos10cosa—sin10sina，即Gsina=cosa，所以lana=s*na=—,

cosa3

k0<a<90\則a=30。，所以N。陰=30°.故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

“擴(kuò)展線”型，多選擇合適的角度作為變量，構(gòu)造等量或者函數(shù)關(guān)系。

【變式演練】

1.在二ABC中，N84C=60,8C=3,旦有CO=2OB，則線段40長(zhǎng)的最大值為（）

A.巫B.2C.6+1D.2右

2

【答案】C

【分析】

在二ABC中，設(shè)角A、8、C的對(duì)邊分別為。、b、c,利用正弦定理得出〃=26sin8,c=2>/3sinC,利

用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得出9,。（=從+》”+4/,利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)得出

|4Q1=26sin28+4,利用正弦型函數(shù)的有界性可得出線段AO長(zhǎng)的最大值.

【詳解】

在4ABe中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,

?_。_3.2一萬

由正弦定理可得sin3sinC.乃，則b=2Gsin8.c=2>/3sinC,

sin—

3

AO=4A+BO=48+g/?C=AB+；（4C一叫=?2>48+ACj,即3/W=2AB+AC，

所以，9卜42=（3=（2八8+AC）：=AC2+4AB。+4AB?AC=6+4c2+4cbeosy

I—cos2R1—cos2C

=b2+4c2+2/?c=12sin2B+48sin2c+24sinBsinC=12------------+48------------+24sinHsinC

22

=24sin3sin卜+?）—6cos28_24cos［2（3）］+30

=24sinB\—sinBH■--cosB-6cos2^+24|—cos2/J+—sin28+30

2222

=I2.1z￡2^+1273sinHeos?-6cos2/?+l2cos2/?+1273sin2^+30=18>/3sin2B+36,

所以，,0（=2萬$皿28+4,zOeB〈笄，則0<28v與，當(dāng)2B=］時(shí)，即當(dāng)8=（時(shí)，,”取最大值,

即刖L="+26=6+1.故選:C.

2.如圖，O為AZSC的邊AC上?點(diǎn)，|AO|=2|“，NASC=60,卜目+2忸C|=4,當(dāng)忸力取最小值時(shí)，AA0C

的面積為（）

D號(hào)

c也

2

【答案】C

【分析】

設(shè)CD=x,BD=y,BC=m,WlAD=2x,AB=4—2〃］，在AABC中，運(yùn)用余弦定理可得9f=7//-20m+16,

再由N4QB+N8QC=/r,cosNAO4=—cosNB￡）C,得丁=-2x2+2/?r-y/n+y,代入根據(jù)二次函數(shù)的最值

可求得當(dāng)m=1時(shí)，）3有最小值，從而求得此時(shí)三角形的面積.

【詳解】

設(shè)CD=x,BD=y,BC=m,則八0=21，AB=4-2fn,

(4—niY+nr—(3A,VI

在4吹中，WC=6。'，.?.eosZ^C.?.9/=7/-2。，〃+⑹

=；/zH4_2/??；-

又??/ADB+/BDC=萬,...cosZADi?=-cos/BDC，

4A2+y2-(4-2m)2_x1+y2-m~2C2r21616

y=-2x~+2m~m+—

22x-y2XV*33

4駟

rJl,2016、r22

16小16

-+-+16一

y'=-2—m~------m+—+2m~339--99

(999)

當(dāng)m=1時(shí)，V有最小值，此時(shí)怛力取最小值，此時(shí)BC=1.A8=2,

所以S="!■x2x1xsin60=.

?八”(.22

故選：C.

3.在MBC中,A>B,BC=10,sinC=半.cos(A—B)=，，若點(diǎn)P是AABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，貝”尸人卜卜。|

328

的取值范圍是()

A.|-5,5]B.[-6,6]C.[-7,7]D.[-8,8]

【答案】D

利用正弦定理和余弦定理解三角形，求得4c,由此求得|姑卜|04的取值范圍.

【詳解】

由于A>3,設(shè)。是8c上一點(diǎn)，且皮>=心，所以3=NZM3.NC4B-8=/C4。.由cos(A—8)=j,得

O

cosZC4D=1,sinNC4￡>=Jl-cos?NCA〉=地.設(shè)8Z)=x,在三角形4QC中，

88

4O=x,CO=l()-x,sin/C4O=±且,sinC="\由正弦定理得-^；=—即3療一3",解得

832sinCsinZ.CAD――――

328

x=2,所以AD=2,C7)=8.在三角形/IQC中，由余弦定理得cos/CAO="尤』=’,化簡(jiǎn)得

4AC8

2AC2-AC-l20=0,解得從。=8.|戶4卜戶4表示平面內(nèi)的點(diǎn)P到AC兩點(diǎn)的距離之差，所以

|PA|-|PC||<|CA|=8,所以-8W叫一|PC|"8.

故選：D

【題型二】向量

【典例分析】

UUUULUUcnCACB

在二ABC中，已知ABAC=9,sin8=cos4sinC,S詆=6,2為線段AB上的一點(diǎn)，且。產(chǎn)=工..同j+)'.網(wǎng),

則L+L的最小值為

x)'

A.二+巫B.12C.1D.，走

1233124

【答案】A

在4ABe中，設(shè)從8=。，BC=a,AC=b,結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求cosC=0,可

得。=/，再由已知條件求得a=4,b=3,c=5,考慮建立以4c所在的直線為x軸，以BC所在的直線

為丁軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得4x+3y=12,然后利用基本不等式可求得

」的最小值.

xy

【詳解】

在&A8C中，設(shè)AB=c,BC=a,AC=h,

sinB=cosAsinC.iNsin（A+C）=cosAsinC,[l[JsinAcosC+cosAsinC=cosAsinC,.'.sin/\cosC=0,

.?0<A<^r,/.sin4>0,/.cosC=0,,.0<C<^?

2

，，besinA4a

ABAC=9.即c〃cosA=9,乂S.A9C=—1/?csm.A=6,,「.tanA=---------=—=一,

2hecosA3b

a4

1—=—4=4

S,WC=5“0=6,則而=12,所以，,h3,解得，6=3，'-c=^cr+b2=5-

岫=12

則C(0,0)、A(3,0)、8(0,4),

產(chǎn)為線段人B上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)X使得AP=/M3=/l(—3,4)=(—344/l)(0W/lWl),

:.CP=CA+CB=(3-3AAA),

CACBIIIIu

設(shè)。=血，e'=M,則k卜同=i,.y=(i,o),s=(o,i),

C…P"向CA+）同CB=yg,'、）,d|x尸=34」-32消一去久,得4心二口

當(dāng)IL僅當(dāng)1=且），時(shí)，等號(hào)成立，因比，1+L的最小值為立+工.故選:

A.

2xy312

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.適當(dāng)選擇“基底”進(jìn)行進(jìn)行線性拆分

2.利用等和線、均值不等式等知識(shí)。

3.常用的計(jì)算思維：〃=動(dòng)+售兩邊平方

【變式演練】

1.在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,(?4-c)(sinA-sinC)+/?sinfl=asinfi,b+2a=4,點(diǎn)

D在邊48上，口入。=2/加，則線段C。長(zhǎng)度的最小值為()

A.空B.也C.3D.2

33

【答案】A

【分析】

由已知條件和正弦定現(xiàn)，得+再由余弦定理得，C=?.由向量的線性運(yùn)算得

CD=1CA+|CB,兩邊平方，可得8'=^他+2a『一^心，運(yùn)用基4不等式可得選項(xiàng).

【詳解】

222

由(a+c)(sinA-sinC)+〃sin8=asin8及正弦定理，得(a+c)(a-c)+/=ab,gpa+f)-c=時(shí),

由余弦定理得，cosC=a'+b~~C~VCe(O^),???(？=￡.

2ab23

由于AO=2￡>6，,,.CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-(AC+CB)=-CAi--CB,兩邊平方，得

CD--b~+—a2+—abcosC=-b2+-a2+—ab=-(b+2a}1--ab>-(b+2a\i--[^^\,當(dāng)且僅當(dāng)

9999999、799Vf2)

〃=2a=2時(shí)取等號(hào)，即+2a)2-1,.?.線段c”長(zhǎng)度的最小值為氈做選：A.

1.33

AB2ADAAC,「hQ

2.在平行四邊形ABC。中，網(wǎng),^e|_V2,2jt則cos48。的范圍是()

伸B-[44]C忤用口.忤哈

【答案】D

【分析】

AB2ADAAC

利用E+E=E可得邊之間的關(guān)系，結(jié)合余弦定理可得COSN/1BO的表達(dá)式，然后可得范圍?

AB\AD\\AC\

【詳解】

AB2ADAAC?I?I?I

因?yàn)槟显~二研所以網(wǎng)：|阿國=1⑵2

不妨設(shè)限=1，則同=2,國=2,

AB2AD2AC

把1而十|4八1=1"1兩邊同時(shí)平方可得5+4COSA=/^,即cosA=--

\AB\\AD\\AC\4

在AAH）中，C0"r5T叫J2—5,所以,O『=]C

?-r：

44

2

1+BQ1-47_2

cos￡ABD=—LI,—=/；

2眼|2V10-22

尸—3r3

令1="10-分,rGl而2向,則COS/A8Q=F—=:----9

21422t

易知y=/e［而2夜］為增函數(shù)，所以cos/人8。6［正,士芻.

22148

故選：D.

3.設(shè)。是443。的外心，滿足人O=M8+g—g，)人C,(，w/T),若|八8RAC|=4,則A45C的而枳是

A.4B.473C.8D.6

【答案】B

【分析】

取AC中點(diǎn)D,由AO=AQ+/)。以及題設(shè)條件得到AOMC=8,AO-AC^lAB-AC+(^-^f)AC-AC,

得至hiu/￡4C=且，由二角形面積公式求解即可.

2

【詳解】

取AC中點(diǎn)D,因?yàn)?是A48。的外心，所以DOJ.AC

AO4C=(4D+DO)-4C=4D-4C=-|AC|2=8

-AO=tAB+(---t)AC

22

.?.40.AC=LAC+(g-gr)4CAC=d呵困cos/B4C+(g-g“4C1=8

則16/cos/班C+d-'/)xl6=8,能得：COS/3AC=L

222

所以sin/84C=立

2

即S.M8c=陽。卜吊8八C=；創(chuàng)44?與46

【題型三】四心1:外心

【典例分析】

在-ABC中，。也。分別為A8.C的對(duì)邊，。為二ABC的外心，且有4B+8C=逑AC,

3

sinC(cos4-x/3)+cosCsinA=0,若AO=xA8+yAC,x,yeR,則“一)'=

A.-2B.2C.6D.-V3

【答案】A

【分析】

由AB+8C==^4C，利用正弦定理得到c+a=名叵8,再由sinC(cosA-J5)+cosCsinA=0,運(yùn)用三角函

33

數(shù)的和角公式和正弦定理得到力=小，進(jìn)而得到。=。，然后利用余弦定理，求得角3,月，C,再由

AO=XAB+F4C的兩邊點(diǎn)乘AB.AC,運(yùn)用平面向量數(shù)量枳的定義和性質(zhì)，得到小)，的方程組求解.

【詳解】因?yàn)锳B+8C=竿AC，所以0+〃=犯3方，又因?yàn)閟inC(cosA-JJ)+cosCsin/l=0>

3

所以sinCcosA+cosCsinA=\/JsinC,所以sin(C+4)=>/5sinC,所以sin8=GsinC,即%=\/5c,

所以"=c,所以cosB=―—-..-=-―——,=—■-?所以8=120,A=C=30,

lac2c~2

1c

如圖所示:由正弦定理得：Rm?！比?/p>

l^^jAO=xAB+yAC,AO-AB=JAB：+yAB-AC?所以^。2=比2+冬缶2,

即2_r+3y=1，則AO.AC=XA8AC+*C2，所以3/=耳口?+y3c工，

即x+2y=l,x=-l,y=1,x-y=-2.故選：A.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

L向量表示：在-A3c中，若10八日°3日℃|或。］=。后=。。：則點(diǎn)。是A8C的外心

2.三角形中垂線的交點(diǎn)。

3.正弦定理

【變式演練】

1.在A48C中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若用5&sin(8+f),c=5且。為△ABC的外心,

4

G為△z^C的重心，則OG的最小值為

A.72-1B.WC.G+lD,止逆

66

【答案】D

首先根據(jù)條件解^ABC可得:C=三和AABC外接圓的半徑R=延，曰此建立直角坐標(biāo)系,可得:加-g,

422

0),80),外心。為(0,1),重心G]fcos。,+~+sin。.從而求得QG「

=(平。/尸+弓-平s"治了=1-2^如歷之25(3；夜),即可得解.

【詳解】4=5應(yīng)sin(8+f),c=5,JIcsin(8+1),由正弦定理可得：sinA=&sin?！?sinfi+cosfi),

442

sin(B+C)=sinficosC+cosBsinC=sinCsinfi+sinCcosB,化為：sinficosC=sinC,sin^,sinB*0,

cosC=sinC,即lanC=l,CG(0,7r).，△48。外接圓的半徑R=2=

42Sinc2

則G(半c。g+羋癡.|。5=：也C+(2一也si1例2T一生腦孫史上生

(666J6366918

???1。。的最小值為：吐逑.故選：D.

6

2.在A4c中，a,b,。分別為內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊，。為6ABe的外心，且有AB+3C=2叵AC，

3

sinC(cosA-+cosAsinA=0,若AO=xAB+yAC,x,yeR,J|1ljx-2y=.

43

【答案1-3或-不

【分析】

2[%

由邊角互化可得c+“=二^Ac?(cosA-73)+acosA=0,所以22?cosA=女，

即b2=a2+2c2,聯(lián)立解得a=c,b=&,或〃=5c、b=3瘋,.分兩種情況將AO=xAB+yAC兩邊分別同乘以

向量得方程組，解得結(jié)果.

【詳解】由正弦定理得c(cos/l-6)+acosA=0,所以2/?cosA=3c,3P/>2=?2+2c2?

由條件得c+o=^^〃，聯(lián)立解得a=c、b=百c,或a=5c,〃=3x/5c.

3

當(dāng)a=c,Z>=辰時(shí)，ABAC=bccosA=^c2[1|AO=xAB+yAC,AO-AB=xAB+yAC-AB?

i3

即:5=v.c2+),.：/,所以2x+3y=1.---------------------------------------------①

同理，由AO=xAA+)/C，AO-AC=xAB-AC+yAC

即Lb?=x?二/+y〃，即g//=x?L/+y,//，所以x+2y=1.②

聯(lián)立①@解得A_l，y=l.故x-2y=_3.

當(dāng)。=533任時(shí)，同理可得2x+3y=l——③，.v+18y=9——@

43G

解得x-2y=-￡.故答案為：-3或-三

33，3

3.已知。是三角形A8C的外心，若空A8AO+警ACAO=2"?(NO『，且sin8+sinC=6，則實(shí)數(shù)》的

/\BAC'9

最大值為

373

A.3B.-C.-D.—

552

【答案】D

【分析】

設(shè)人B=c,AC=〃，=NC4O=a,由題設(shè)條件得到〃、c\a>祝、/〃的關(guān)系：〃cose+ccosa=2〃CO,

由。是三角形A8c的外心可得cose=k；,cosa=-對(duì)/)+C=26A。，消去AO,利用基本不等式

2AO2AO

求得/〃的范圍.

【詳解】如圖所示:

ijiAB=c,AC=h,Z.BAO=0.Z.CAO=a,

由-AI3AO+—ACAO=2m

ABAC(A可

b?*

得一cAOcos0+-b-AOcosa=2m-AO2,

cb

化簡(jiǎn)得0cos0+ccosa=2niAO,

ch

由。是三角形46C的外心可知，0是三邊中垂線交點(diǎn)，^cos^=——,cosa=——

2AO2AO

代入上式得慶=2〃達(dá)。2,???〃?=練.

2A0'

hc

根據(jù)題意知，4。是三角形ABC外接圓的半徑，可得sinA=F，sinC=$,

2AO2AO

代入sin8+sinC=6得〃+c=2x/l4O,

當(dāng)且僅當(dāng)*=c”時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.

【題型四】四心2:內(nèi)心

【典例分析】

已知的內(nèi)角分別為ABC,cos2-A=l-J^a-sinA,且；ABC的內(nèi)切圓面積為打，則AUliuBAuu<Cl的最小值

26

為()

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】

利用三角恒等變換可得A=。，由題設(shè)有內(nèi)切圓半徑，=1,進(jìn)而可得。+c=〃+26,由三角形而積公式

|IUWbeEBIKIU2(。+肉

sAK=-r(a^-b+c)=-bcsinA.向量數(shù)量積的定義A?AC=w，可得AC=絲黑？,再由余弦定理

222V3

IIgl111111

及基本不等式求。的范圍，進(jìn)而可得人9AC的最小值.

2

【詳解】由題設(shè)，sin—=—sinA=—sin—cos—>y.sin-^#0/.sin—=—^-cos—>乂0<g<￡，故

26322223222

tand=立.則A=g,又二ABC的內(nèi)切圓面積為開,若內(nèi)切圓半徑為A8.C對(duì)應(yīng)邊分別為a./rc.

233

,7rr2=冗,則r=l,易知：b+c=a+2J5，

B

仁1/,、a+b+c1,..

5人*=5/(。+8+￡)=---=-bcs\nA,

l1宜UU?be,nnlnm2(a+yP>}

???a+/，+c=2(a+G)=^■，又ABAC=cbcosA=<，^AB-AC={：')

226r

Ver=b2+c2-2/7CCOSA=(〃+c)2-3任>如￡匚，當(dāng)且僅當(dāng)b=。時(shí)等號(hào)成立,

4

A4C2>(?+2N/3)2,即2a2a+26,可得a226,

,ABACN6,在b=c=26時(shí)等號(hào)成立.詫的最小值為6.故選:A

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.角平分線的交點(diǎn)。

OP=OA+雙產(chǎn)j+產(chǎn)［）（2>0）

2.向量表示：在」A8C中，若\AB\l4Cl,則直線AP通過二ABC的內(nèi)心

3.角平分線定理

4.面積法

【變式演練】

B+「

L.已知△A8C的內(nèi)角ARC所對(duì)的邊分別為a"c若〃sin1—="sin8,RAABC內(nèi)切圓面積為9%,則4

ABC面枳的最小值為（）

A.gB.373C.96D.27G

【答案】D

【分析】

根據(jù)已知條件及正弦定理可得4=］，由內(nèi)切圓的面積可得內(nèi)切網(wǎng)半彳1了=3,最后根據(jù)

S枷=必苦±°=g〃csinA及余弦定理，并結(jié)合基木不等式求兒?的范圍，進(jìn)而求△ABC面積的最小值.

【詳解】

由題設(shè)，sin5sin=sinAsinB,而sinS.0且

2222

ccs-=sinA=2sin—cos—,0<—<—,則sin4=,，

2222222

???A=g，由題設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑，=3,又5.'c='（/+；T）=；Wsin4,

工2百（a+b+c）=be,而6=b2+c2-2bccosA=b2+c2-be>be,即a>yfbc，

:?bci6瓜瓜,可得加?NIOS,當(dāng)且僅當(dāng)a=%=c=6G時(shí)等號(hào)成立.

???5人席=」/兀311>4之27G.故選：D

2.設(shè)AABC的三邊長(zhǎng)為BC=a,CA=b,AB=c，若lan±=J—,tan《=’一》S48。是（）.

2b+c2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】

若三角形各邊長(zhǎng)為〃、從c且內(nèi)切圓半徑為r,

法一：由內(nèi)切圓的性質(zhì)有l(wèi)ang=/L、lan與=」一，根據(jù)邊角關(guān)系可得?！盎?+從M,注意討論所

得關(guān)系驗(yàn)證所得關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系：

法二：由半角正切公式、正弦定理可得A=B或4+8=1,結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)討論所得關(guān)系判斷三角

形的形狀.

【詳解】

設(shè)P=:（〃+力+c）,△ABC的內(nèi)切圓半徑為〃如圖所示,

AraBrb

叱?①…片kL

air-/?'+be'=a~b-a3+ac2,(?一人)+//一/)=0,從而得a=/?或a2+b2=c1?

??.4=/8或/。=90。.故^A8c為等腰三角形或直角三角形，

（1）當(dāng)°=方時(shí),

=—ABCD=—.a-c，從而得2S

224=-------

a+b+c

_J即正三=，_

又〃-4=5（〃+°_4）=5°,代入①式，得

(2a+c)\cb+ca+c2a+ca+c

上式兩邊同時(shí)平方，得：崇^=次于，化簡(jiǎn)。2一2/=0,即。=&”.即△A6C直角三角形,

???△A8C為等腰直角三角形.

；（。+〃-c）h

（2）當(dāng)/+/=/時(shí)，易得c）.代入②式，得^---------=——,此式恒成立，

29+。叫…

綜上,△A5c為直角三角形.

淅人①,

法二：利用lan?=l=及正弦定理和題設(shè)條件，得曾三

21+cosA21+cosB1+cosAsinB+sinC

sin8sinB

----------=---------------②.

1+cosBsinA+sinC

1+cosA=sin8+sinC③;1+cos8=sinA+sin。④.

由③和④得：1+cos/l-sinB=l+cos5-sinA,即sinA+cosA=sin8+cosB,sin(4+：)=sin(8+：),

因?yàn)锳8為三角形內(nèi)角，J+r或4+二=九一3-；，即A=6或A+8=5.

44442

(I)若A=3,代入③得：l+cos/l=sin5+sinC⑤

>CC=n-A-B=n-2A,將其代入⑤，得：I+cosA=sinA+sin2A.變形得(sinA-cos一(sinA-cosA)=0,

即(sinA-cosA)(sinA-cosA-l)=0⑥，

由A=8知A為銳角，從而知sinA-cosA-l工0....山⑥,得：sinA-cosA=0,即A=f,從而5，C=J.

442

因此，△A5C為等腰直角三角形.(2)若八+8=],即。=],此時(shí)③④恒成立,

綜上，△ABC為直角三角形.故選：B

3.已知3ABe內(nèi)接于半徑為2的QO,內(nèi)角A,B,C的角平分線分別與8相交于。，E,廠三點(diǎn)，若

ARC

ADcon—FBEcos—+CFcos—=x(sinA+sinB+sinC),則2二

222

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

ARC

分別求得AO.coS]=2(sinC+sin/?)、BEcos—=2(sin4+sinC)CFcos—=2(sin4+sinZ?),結(jié)合已知

條件，求得義的值.

A。

=4u-、A..(A]人

【詳解】連接BO.在三角形八HQ中，由正弦定理得,AD-cos—=4sinlSn+yIcosy

sin|/?+y22

nB_CnBC

=4sincos一+一

2+?-7222

4sm紇。，Jc。占三]3紇居山4in?f+COs2f)sin^4.2[sin:—4-cos2—|sinC

I2222JI22222

=2(sin8+sinC).

同理可得=2(sinA+sinC)、CFcos^-=2(sinA+sinB),故

ABC

ADcos—+BE-cos—+CF-cos—=4(sinA+sin/?+sinC),故尤=4.

222

故選D.

R

【題型五】四心3：重心

【典例分析】

在鈍角.A3C中，4〃,。分別是.ABC的內(nèi)角A&C所對(duì)的邊，點(diǎn)G是ABC的重心，若AG_LBG,則cos。

的取值范圍是()

【答案】C

【分析】

3

延長(zhǎng)CG交ABfD，由重心性質(zhì)和直角二角形特點(diǎn)可求得CO=；c,lllcosNWX?=-cosNA/X?.利用余弦

2222

定理可構(gòu)造等量關(guān)系得到a+從=5。2,由此確定C為銳角,則可假設(shè)A為鈍角,得到護(hù)+/</,a+c>b,

a>b,由此可構(gòu)造不等式組求得的取值范圍，在4ABe利用余弦定理可得COSC=3(2+2］，利用2的范

a5\baJa

用，結(jié)合C為銳角可求得cosC的取值范圍.

【詳解】

延長(zhǎng)CG交ABF。，如下圖所示：

,;G為h/WC的重心，」.O為A8中點(diǎn)且CQ=3Z)G,

133

.-AG1BG,：.DG=-AB,:.CD=-AB=-c；

222

AD，+CD，-AC25c2-26

在4Aoe中,cosZ.ADC=

2人￡)?S-3?-

BD2+CD2-BC-

在eMC中,cosZfiDC=

2BDCD

;/BDC+NADC=7r,cos^BDC=-cosZADC,

815c2—2/5c2—26

E1P——=———r—，整理可得:』+加=5。2>42,.?.(7為銳角;

設(shè)A為鈍角，則加+/<°2,a2+c2>b2,a>b,

2,a-+b-

cT>b~2+------

5

,22(I2+b2

Ir<(r+------

5

乂C為銳角，.,.當(dāng)<cosC<l,即co$C的取值范圍為［當(dāng)故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.中線交點(diǎn)。中線段的三等分點(diǎn)。

2.分割成三個(gè)形狀不同面積相等的三角形。

OP-OA=A(AB+-BC),Ae[0,”)

3.向量表示：在“8C中,若2則直線的過“8C的重心

【變式演練】

1.已知AABC的內(nèi)角A,4,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且acosB+6asin8=c+l,h=1,點(diǎn)G是AA8C的

重心，且4G=@，則MBC的面積為()

3

A.巫B.73C.3D.2石

2

【答案】B

【詳解】

分析：有正弦定理可得sinAcos8+J5sinAsinB=sinC+sinB,則J5sinA=cosA+l,由此可得

cosA=',s%4=立，由AG=@可得AO=@，由余弦定理可得J則AABC的面積可求.

2232

洋解：由題acosB+Gasin8=c+l=c+〃，根據(jù)正弦定理可得則

sinZcosB+>/3sinAsin5=sin(A+B)-sinB

=sinAcos8+sinficosA+sinB

J5sinA=cosA+1,jsin」A+cos,A=1

...cos/l=—,sinA=x/3

2T

“向而

AG=---AD=---,cosZ.ADB=-cosZ.ADC,

32

4

22bc

5=—besinA=6.

cL

2.設(shè)MBC的內(nèi)角4叢C