四川省涼山州西昌市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

西昌市2024—2025學(xué)年度下期期中檢測高二數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，試題卷4頁，答題卡2頁.全卷滿分為150分，考試時間120分鐘.答題前考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置；選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，其他試題用0.5毫米簽字筆書寫在答題卡對應(yīng)題框內(nèi)，不得超越題框區(qū)域.考試結(jié)束后將答題卡收回.第Ⅰ卷選擇題（共58分）一、單項選擇題（本題有8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一個選項正確）1.已知數(shù)列的通項公式為，在下列各數(shù)中，不是的項的是（）A.1 B. C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)通項公式，逐項判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因為，若，則，即是的項；若，則，即是的項；若，則，即是的項；若，則，即不是的項；故選D【點睛】本題主要考查數(shù)列中的項，熟記等差數(shù)列的通項公式即可，屬于常考題型.2.下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計算公式與求導(dǎo)法則計算即得．【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤；故選：B．3.已知等差數(shù)列、的前項和分別為、，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為等差數(shù)列、的前項和分別為、，且，因為.故選：C.4.已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的導(dǎo)函數(shù)圖象，確定函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性，進(jìn)而確定其圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象，得當(dāng)或時，；當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，選項ABC錯誤，D正確.故選：D5.已知，則曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，可求得，求導(dǎo)可得，令，可求得，可求切線方程.【詳解】令，可得，即，解得，由，可得，令，可得，解得，所以曲線在點處的切線方程為，即.故選：D.6.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出的導(dǎo)函數(shù)，因為有單調(diào)遞減區(qū)間，所以；再根據(jù)與，求出的單調(diào)遞減區(qū)間為，最后根據(jù)題目給出的條件得出最后答案即可.【詳解】由題可知f′x=4x?ax令，則，又，故，即單調(diào)遞減區(qū)間是，可得.故選：A.7.已知數(shù)列滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得到，再利用等比數(shù)列的定義求解.【詳解】因為，所以．因為，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，故．故選：C8.已知定義域為的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由得，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項不等式.【詳解】依題意令，則，因為在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，，故A不正確；所以，即，即，故B不正確；又，即，即，故C錯誤；因為，即，即，故D正確；故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可比較函數(shù)值的大小.二、多項選擇題（本題有3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中有多個選項正確，全部選對得6分，選對但不全得3分，有選錯或不選得0分）9.數(shù)列前n項和為，已知，，則下列說法正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)時， D.當(dāng)或4時，取得最大值【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)即可判斷A；由等差數(shù)列通項公式求得，即可判斷B；令求解即可判斷C；根據(jù)等差數(shù)列的函數(shù)特性即可判斷D．【詳解】對于A，由得，，所以是遞減數(shù)列，故A錯誤；對于B，由得，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，所以，故B錯誤；對于C，令，即，解得，故C正確；對于D，，對稱軸為，所以當(dāng)或4時，取得最大值，故D正確；故選：CD．A.函數(shù)的切線與函數(shù)的圖象可以有兩個公共點B.若，則函數(shù)在處無切線C.曲線在處的切線方程為，則D.已知函數(shù)，則是函數(shù)的極值點【答案】AC【解析】【分析】利用切線的概念可判斷A選項；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷B選項；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的概念可判斷C選項；利用函數(shù)極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷D選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)的切線與函數(shù)的圖象可以有兩個公共點，例如函數(shù)在處的切線，由得，且，則函數(shù)在處的切線方程為，由可得，解得或，所以，函數(shù)在處的切線與函數(shù)的圖象還有一個公共點，函數(shù)在處的切線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，A對；對于B選項，若，則函數(shù)在處的切線斜率為，B錯；對于C選項，曲線在處的切線方程為，則，，C對；對于D選項，已知函數(shù)，則對任意的恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點，D錯.故選：AC.11.已知函數(shù)有且僅有三個不同的零點分別為，，，則（）A.a的范圍是 B.a的范圍是 C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求出，分、討論，利用導(dǎo)數(shù)求出極值可判斷AB；利用可判斷CD．【詳解】，令，解得或，當(dāng)時，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，所以，，此時函數(shù)只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，所以，要使有三個不同的零點，則，解得，即的取值范圍是，故A錯誤，B正確；因為函數(shù)有且僅有三個不同零點分別為，則，即有，，，則，故CD正確；故選：BCD．第Ⅱ卷非選擇題（共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)即可求解．【詳解】，則，故答案為：4．13.已知曲線，則曲線過原點的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】首先求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點以及斜率，根據(jù)點斜式即可求解.【詳解】由，則，設(shè)切點為，所以，解得，所以切點為，切線的斜率所以過原點的切線方程為：，即.故答案為：14.已知，，若對，，使得成立，則a取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對，，使得成立，只需求解即可.【詳解】因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，因為開口方向向下，所以在區(qū)間上的最小值的端點處取得，所以要使對，，使得成立，只需，即或，即或，解得，所以a的取值范圍是，故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和，若，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，根據(jù)已知列出方程組求解，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式即可求解；（2）由等差數(shù)列的求和公式求得，由得，求解即可．【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為d，由得：，∴，由得：，解得（舍）或，∴，數(shù)列的通項公式為：．【小問2詳解】由等差數(shù)列的前n通項公式可得：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又n為正整數(shù)，故n的最小值為5．16.已知函數(shù)，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若任意，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）分類討論時和時，的正負(fù)即可求解單調(diào)區(qū)間；（2）由題得在恒成立，進(jìn)而得出恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)即可求解．【小問1詳解】因為，且定義域為，所以，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，得到，令，得到，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】由（1）得，因為對于任意，恒成立，所以恒成立，化簡得恒成立，故恒成立，令，則恒成立，，令，則，得到在單調(diào)遞增，即，故，在單調(diào)遞增，而，即，故．17.已知正項等比數(shù)列滿足，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，根據(jù)條件求出公比q，然后求的通項公式即可；（2），用分組求和法結(jié)合錯位相減法，即可求的前n項和【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，所以，整理可得，因為，解得，故．【小問2詳解】由（1）知，……①……②由①②得：,所以．18.已知關(guān)于的函數(shù)，其圖象與直線相切.（1）求的值；（2）證明：；（3）設(shè)數(shù)列，的前項和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由可求出切點的橫坐標(biāo)，即可得出切點的坐標(biāo)，由此可求得實數(shù)的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出，即可證得結(jié)論成立；（3）由（2）得出，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)得出，由此得出，然后利用放縮法可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】函數(shù)的圖象與軸相切，則，得，代入可得，所以，切點坐標(biāo)為，所以.【小問2詳解】由（1）知，則，得，，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，得證.【小問3詳解】由（2）知，當(dāng)時，，所以，，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，，則，，所以，即，累加得，所以故對任意的，.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)，時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時，若有兩個極值點．（ⅰ）求b的取值范圍；（ⅱ）證明：．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解不等式求出單調(diào)遞減區(qū)間.（2）（?。┌汛耄蟪鰧?dǎo)數(shù)并換元，借助一元二次