2023~2024學年安徽區(qū)域高考數(shù)學5月聯(lián)考試題三模帶解析

2023-2024學年安徽省區(qū)域高考數(shù)學5月聯(lián)考模擬試題（三模）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】解方程得到，從而得到補集.【詳解】，故.故選：A2.若復數(shù)，實數(shù)a，b滿足，則（）A.2 B.4 C. D.【正確答案】B【分析】法一：化簡得到，得到，，；法二：化簡得到，由韋達定理進行求解.【詳解】法一：∵，∴，∴,解得，，.法二：∵，∴，因為，故也滿足，由韋達定理可得，，故.故選：B3.已知非零向量，，滿足，，，.則向量與的夾角（）A.45° B.60° C.135° D.150°【正確答案】C【分析】由向量的數(shù)量積運算公式，再應用向量夾角公式求夾角，最后結合向量反向共線求出夾角即可.【詳解】∵，，

∴.∵，∴，，則，設向量與的夾角為，與反向,則.故選：C.4.圖1是世界上單口半徑最大、靈敏度最高的射電望遠鏡“中國天眼”——口徑拋物面射電望遠鏡，反射面的主體是一個拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉所形成的曲面稱為拋物面），其邊緣距離底部的落差約為156.25米，它的一個軸截面開口向上的拋物線C的一部分，放入如圖2所示的平面直角坐標系內，已知該拋物線上點P到底部水平線（x軸）距離為，則點到該拋物線焦點F的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設拋物線為且，根據在拋物線上求p，利用拋物線定義求P到該拋物線焦點F的距離.【詳解】令拋物線方程為且，由題設在拋物線上，則，得，又且，則P到該拋物線焦點F的距離為米.故選：A5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，在上單調遞減，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用函數(shù)的單調性以及函數(shù)的奇偶性，判斷各選項的正負即可.【詳解】因為，在上單調遞減，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以在上單調遞減，在上單調遞增，對于A，，但無法判斷的正負，故A不正確；對于B，，但無法判斷的正負，故B不正確；對于C，，在上單調遞減，所以，故C不正確；對于D，，在上單調遞減，，故D正確.故選：D6.若兩條直線：，：與圓的四個交點能構成矩形，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】A【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等，得到等量關系求解即可.【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個交點構成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以，故選：A.7.已知事件A，B，C的概率均不為0，則的充要條件是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據和事件的概率公式判斷A、C，根據積事件的概率公式判斷D，根據相互獨立事件的概率公式判斷B.【詳解】對于A，因為，由，只能得到，并不能得到，故A錯誤；對于B，由于不能確定，，是否相互獨立，若，，相互獨立，則，，則由可得，故由無法確定，故B錯誤；對于C，因為，，由，只能得到，由于不能確定，，是否相互獨立，故無法確定，故C錯誤；對于D，因為，，又，所以，故D正確；故選：D.8.若，對于恒有，則的最大值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】把不等式化簡可得m的范圍，求出b-a最大值即可.【詳解】由，得，即,由幾何意義可知，函數(shù)的圖像在函數(shù)，的圖像之間，如下圖所示，，要使達到最大，僅需要或，此時.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，，若（），則n可能值為（）A.6 B.8 C.11 D.13【正確答案】BC【分析】根據二項式展開式的通項公式以及二項式系數(shù)最大值的知識求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，依題意，，其中，化簡得，繼續(xù)化簡得，即，依題意，，所以，解得.故選：BC10.如圖，楊輝三角形中的對角線之和1，1，2，3，5，8，13，21，…構成的斐波那契數(shù)列經常在自然中神奇地出現(xiàn)，例如向日葵花序中央的管狀花和種子從圓心向外，每一圈的數(shù)字就組成這個數(shù)列，等等.在量子力學中，粒子糾纏態(tài)、量子臨界點研究也離不開這個數(shù)列.斐波那契數(shù)列的第一項和第二項都是1，第三項起每一項都等于它前兩項的和，則（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】由已知且，利用及累加法判斷A；利用及累加法判斷B；利用及累加法判斷C；利用及累加法判斷D.【詳解】由題設且，由，，，...，，所以，則，A錯誤；由，，，...，，所以，則，B正確；由，則，所以，C正確；由，所以，D正確.故選：BCD.11.如圖，正三棱錐和正三棱錐的側棱長均為，.若將正三棱錐繞旋轉，使得點E，P分別旋轉至點A，處，且A，B，C，D四點共面，點A，C分別位于BD兩側，則（）A. B.C.多面體的外接球的表面積為 D.點P與點E旋轉運動的軌跡長之比為【正確答案】AD【分析】由線面垂直的判定定理和性質定理結合正三棱錐的性質可判斷A，B；由已知可得，正三棱錐側棱兩兩互相垂直，放到正方體中，借助正方體研究線面位置關系和外接球表面積可判斷C；由題意轉動的半徑長為，轉動的半徑長為可判斷D.【詳解】取的中點為，連接，由，所以，又，平面，所以平面，將正三棱錐繞旋轉，使得點E，P分別旋轉至點A，處，所以平面，所以，故A正確；因為平面，所以，故B不正確；因為A，B，C，D四點共面，，可得：，，所以平面，所以平面，同理平面，由已知為正方形，所以可將多面體放入邊長為的正方體，則多面體的外接球即棱長為的正方體的外接球，外接球的半徑為，表面積為，選項C不正確；由題意轉動的半徑長為，轉動的半徑長為，所以點P與點E旋轉運動的軌跡長之比為，故D正確.故選：AD.12.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】AB【分析】分別繪制函數(shù)，通過三個函數(shù)的圖像彼此之間的位置關系逐項分析.【詳解】設，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，，，當時，單調遞減，；單調遞增，并且，；的大致圖像如下：又，并且，是減函數(shù)，，是增函數(shù)，，，不是單調的函數(shù)，對于，對應和，并且，又設，，當時，單調遞增，時，單調遞減，，即當時，，，AB正確；對于選項CD，由于不能確定對應的自變量是還是，所以不能確定其正確性.故選：AB.畫出函數(shù)圖像，大致確定三條曲線彼此之間的位置是解題的關鍵三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在某地A、B、C三個縣區(qū)爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別3%，2%，4%的人患了流感.若A、B、C三個縣區(qū)的人數(shù)比分別為4：3：3，先從這三個地區(qū)中任意選取一個人，這個人患流感的概率是______.【正確答案】0.03【分析】患流感的人可能來自三個地方，利用條件概率公式求解.【詳解】設事件D為此人患流感，，，分別代表此人來自A、B、C三個地區(qū)，根據題意可知：，，，，，，.故14.如圖，一個棱長6分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水（沒有盛滿），若將該容器任意放置均不能使容器內水平面呈三角形，寫出的一個可能取值：______.【正確答案】37（答案不唯一）【分析】如圖，在正方體中，若要使液面形狀不可能為三角形，則平面EHD平行于水平面放置時，液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC,據此計算即可得解.【詳解】如圖，在正方體中，若要使液面形狀不可能三角形，則平面EHD平行于水平面放置時，液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC若滿足上述條件，則任意轉動正方體，液面形狀都不可能為三角形，設正方體內水的體積為V，而，而（升），（升）所以V的取值范圍是.故

15.已知，分別是雙曲線：左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓：，直線與圓O相交于A，C兩點，直線與圓O相交于B，D兩點.若四邊形的面積為，則的離心率為______.【正確答案】【分析】由弦長公式可得，，四邊形的面積為，再由勾股定理結合雙曲線的定義解得，可求雙曲線的離心率.【詳解】因為四邊形的面積為，因為，所以，設分別為到直線的距離，所以，，所以，∴①，∵，，且，∴，由雙曲線的定義可得：，平方可得：，所以代入①，可得：，即，令，則，，，雙曲線的離心率為.故答案為.16.完美數(shù)（Perfectnumber）是一類特殊的自然數(shù)，它的所有真因數(shù)（除自身之外的正因數(shù)）的和恰好等于它本身，尋找“完美數(shù)”用到函數(shù)，為n的所有真因數(shù)之和，如，28是一個“完美數(shù)”，則再寫出一個“完美數(shù)”為______；______.【正確答案】①.6（或496，8128，等）②.5280【分析】根據為n的所有真因數(shù)之和，第一空直接計算即可，分析的正因素的特點，求解即可.【詳解】，，2160的所有真因數(shù)的個數(shù)為，，故6；5280四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“勾股方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，類比“趙爽弦圖”.類比趙爽弦圖，用3個全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊，若，.（1）求；（2）求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）在中，由及求得；（2）在中，設（），則，由正弦定理求得，然后利用余弦定理即可求解.【小問1詳解】由知，，為正三角形，，∵.∴，，.【小問2詳解】設（），則，由正弦定理：，即，則，中，，即，則，，所以.18.已知棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點.（1）求多面體的體積；（2）求直線和平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）運用棱臺體積公式計算；（2）建立空間直角坐標系，運用數(shù)量積計算.【小問1詳解】∴，，∴，∴A，E，F(xiàn)，四點共面，易知多面體是一個三棱臺，；【小問2詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標系如上圖，則，，設平面的一個法向量為，則有，即，令，則，設直線與平面的夾角為，則；綜上，多面體的體積為，直線與平面的夾角的正弦值為.19.甲、乙、丙三個小學生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個人中的任何一個，設第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，在丙手中的方法數(shù)為.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項；（2）求證：當n為偶數(shù)時，.【正確答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【分析】（1）首先確定第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，再結合條件列出關于數(shù)列的遞推公式，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，并且變形后，利用累加求和，即可求解數(shù)列的通項公式；（2）首先由條件確定，再根據（1）的結果，確定數(shù)列的通項公式，再比較大小.【小問1詳解】由題意知：第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，第次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，若第n次拋沙包后沙包在甲手中，則第次拋沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次拋沙包后沙包在乙或丙手中，故，且故，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，由，得，，，，……………，以上各式相加，可得；【小問2詳解】由題意知：第n次拋沙包后沙包在乙、丙手中的情況數(shù)相等均為，則，∵當n為偶數(shù)時，，∴.20.為調查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動物數(shù)量y的關系，某研究小組將該地區(qū)等面積花分為400個區(qū)塊，從中隨機抽取40個區(qū)塊，得到樣本數(shù)據（），部分數(shù)據如下：x…2.73.63.23.9…y…50.663.752.154.3…經計算得：，，，.（1）利用最小二乘估計建立y關于x的線性回歸方程；（2）該小組又利用這組數(shù)據建立了x關于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標系下，橫坐標x，縱坐標y的意義與植被覆蓋面積x和野生動物數(shù)量y一致.設前者與后者的斜率分別為，，比較，的大小關系，并證明.附：y關于x的回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，【正確答案】（1）（2），證明見解析【分析】（1）根據最小二乘法計算公式求解；（2）根據相關系數(shù)證明.【小問1詳解】，，，，故回歸方程為；【小問2詳解】x關于y的線性回歸方程為，，，則，r為y與x的相關系數(shù)，又，，，故，即，下證：，若，則，即恒成立，代入表格中的一組數(shù)據得：，矛盾，故.綜上，y關于x的回歸方程為.21.已知橢圓C：（）的左焦點與圓的圓心重合，過右焦點的直線與C交于A，B兩點，的周長為8.（1）求橢圓C的方程；（2）若C上存在M，N兩點關于直線l：對稱，且（O為坐標原點），求k的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據圓心求出焦點坐標再根據定義求出a，可得標準方程；（2）先由M，N兩點關于直線l：對稱設出直線方程，再由垂直得出最后結合點差法求值即可.

【小問1詳解】由，得，∴，根據橢圓定義，又因的周長為8，∴，，∴，橢圓C的方程為；【小問2詳解】設線段的中點，，，由直線，且，設，則聯(lián)立得，∵∴，即∴①得，即，∴，∵，，∴，