2023~2024學(xué)年廣東深圳高考數(shù)學(xué)沖刺押題試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年廣東省深圳市高考數(shù)學(xué)沖刺押題模擬試題（一模）一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】解一元二次不等式得集合，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】因?yàn)?，，所?故選：B．2．若復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模為A． B． C． D．2【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為a+bi的形式，然后利用復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算即可．【詳解】復(fù)數(shù)＝2i+＝2i+1﹣i＝1+i,則|z|＝．故選C．本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模的求法，屬于基礎(chǔ)題．3．如圖，在四棱錐中，，其余的六條棱長(zhǎng)均為2，則該四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】先證明，從而可證平面平面，則有頂點(diǎn)的射影在上，從而可得，即有是直角三角形，再求出底面積和高即可求出體積.【詳解】連接，交點(diǎn)為，如圖所示：，且是公共邊，，，易得，，即，又，，，平面，平面，又平面，平面平面.過(guò)點(diǎn)作平面，垂足為，連接，，，平面，，，由是公共邊，，即有，三點(diǎn)在以為直徑的圓周上，，，，，，.故選：C4．若，則三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)結(jié)果是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】利用三角函數(shù)的升冪公式易知，結(jié)合，可得，，再利用升冪公式即可求得答案．【詳解】解：若，所以，則，，又，．故選：D5．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，則P(0<X<1)的值為()A．p B．1－p C．1－2p D．－p【正確答案】D【分析】由，得正態(tài)分布概率密度曲線關(guān)于對(duì)稱，又由，根據(jù)對(duì)稱性，可得，進(jìn)而可得，即可求解．【詳解】由隨機(jī)變量，可知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其中是圖象的對(duì)稱軸，又由，所以，又因?yàn)?，根?jù)正態(tài)分布概率密度曲線的對(duì)稱性，可得，所以，故選D．本題主要考查了正態(tài)分布曲線性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布概率密度曲線的對(duì)稱性，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為A． B． C． D．【正確答案】A【詳解】試題分析：由，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又漸近線方程為：．則由點(diǎn)到直線的距離公式得拋物線與雙曲線的性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離算法.7．若等邊的邊長(zhǎng)為2，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解與合成，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】，，.故選：C.8．已知函數(shù)f（x）＝，滿足對(duì)任意的x1≠x2都有＜0成立，則a的取值范圍是（

）A． B．（0，1） C． D．（0，3）【正確答案】A由已知可得函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，則分段函數(shù)的每一段均為減函數(shù)，且在分界點(diǎn)左段函數(shù)不小于右段函數(shù)的值，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍，依題意對(duì)任意的，都有成立，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，即可得到不等式組，解得即可；【詳解】∵f（x）對(duì)任意的x1≠x2都有成立，∴f（x）＝為R上的減函數(shù)，∴解得0＜a≤.故選：A.已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍要注意以下幾點(diǎn)：（1）若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；（2）分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值；（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，不僅要注意內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且要注意內(nèi)外函數(shù)對(duì)應(yīng)自變量取值范圍.二、多選題9．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）﹒A．對(duì)任意點(diǎn)，平面B．三棱錐的體積為C．線段長(zhǎng)度的最小值為D．存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為【正確答案】AB【分析】根據(jù)平面平面，可判斷A;根據(jù)三棱錐體積公式，計(jì)算三棱錐的體積，可判斷B；求出線段長(zhǎng)度的最小值可判斷C;作出與平面所成角，計(jì)算其正切值范圍，結(jié)合題設(shè)可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：如圖所示，連接，，，和，∵,∴四邊形為平行四邊形，∴，平面平面,所以平面，同理可知平面，∵平面，∴平面平面，∵平面，∴對(duì)任意點(diǎn)，平面，故A正確；B選項(xiàng)：如圖所示，連接，和，由A知，，∵平面，平面，∴平面，∵，∴到平面的距離為定值，即，∴，故B正確；C選項(xiàng)：由題意正方體可知，∵為正三角形，∴當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，∴此時(shí)最小，為，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：如圖所示，連接，在上取一點(diǎn)使，連接,由可知，故四邊形為平行四邊形，∴，由于平面,則平面，∴即為直線與平面所成角，∴，∵在線段上，∴，∴，∴，若，則，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10．下列說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)的最小值為2B．若，則C．函數(shù)的值域?yàn)镈．函數(shù)與函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)【正確答案】BC【分析】根據(jù)基本不等式、比較法，結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)、同一函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】A：，若，顯然該方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故，所以，因此最小值不是2，所以本選項(xiàng)不正確；B：因?yàn)?，所以，即，因此本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)?，所以，因此函?shù)的值域?yàn)?，所以本選項(xiàng)正確；D：由可知：，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋珊瘮?shù)可知，或，所以函數(shù)的定義域?yàn)榛颍驗(yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)的定義域不同，所以兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)，因此本選項(xiàng)不正確，故選：BC11．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心； B．是函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間；C．是圖象的一條對(duì)稱軸； D．最大值是2，最小值是．【正確答案】AD【分析】應(yīng)用整體代入法，驗(yàn)證對(duì)稱中心、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱軸即可判斷A、B、C的正誤，由正弦函數(shù)的值域判斷D的正誤.【詳解】A：將代入，得，正確；B：，則，而上單調(diào)增，上單調(diào)減，錯(cuò)誤；C：時(shí)，，顯然不是的對(duì)稱軸，錯(cuò)誤；D：由解析式知，正確；故選：AD.12．已知，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【正確答案】AB【分析】A選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)研究其單調(diào)性得到證明；B選項(xiàng)，構(gòu)造，通過(guò)求導(dǎo)研究其單調(diào)性，進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，構(gòu)造，通過(guò)求導(dǎo)研究其單調(diào)性，進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，利用中間值比大小.【詳解】令在內(nèi)單調(diào)遞增.時(shí)，，即A選項(xiàng)正確；令在內(nèi)單調(diào)遞增，，即，B選項(xiàng)正確；令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，與大小不確定，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤故選：AB三、填空題13．對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是_________【正確答案】【分析】時(shí)恒成立，時(shí)，不等式變形為，只要求得的最小值即可得結(jié)論，這可由函數(shù)的單調(diào)性求得．【詳解】時(shí)，不等式為恒成立，時(shí)，不等式變形為，，設(shè)，，，由對(duì)勾函數(shù)知該函數(shù)在上遞減，在上遞增，∴時(shí)，取得最小值2．∴．故．本題考查不等式恒成立問(wèn)題，常用方法是用分離參數(shù)法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值．四、雙空題14．定義表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如：，；定義．（1）______；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，______．【正確答案】【分析】（1）利用新定義求出，利用二項(xiàng)展開式求、的值，然后根據(jù)規(guī)律求出的值，代入所求的式子求解即可；（2）由（1）歸納出規(guī)律，利用此規(guī)律求出所求的式子的值．【詳解】解：（1）由題意得，，，，，，由二項(xiàng)式定理同理可得，，；（2）由（1）可歸納出當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則有個(gè)偶數(shù)，個(gè)奇數(shù)，.故2；.五、填空題15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，外接圓的圓心為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為______.【正確答案】【分析】根據(jù)向量的加法法則和向量垂直的表示，結(jié)合均值不等式代入即可.【詳解】，取線段的中點(diǎn)，則，所以，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為.故答案為.16．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若且則的通項(xiàng)公式_______．【正確答案】【詳解】時(shí)，由可得化為是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，，時(shí)，，又因?yàn)?，故答案?六、解答題17．已知等差數(shù)列滿足，．(1)求；(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件建立方程組，即可求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求；（2）利用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式即可求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋畡t，解得，所以．（2）由（1）可得，則，所以.18．某學(xué)校為了了解高一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài),從期中考試成績(jī)中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),按成績(jī)分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)由頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);(2)該校高一年級(jí)共有1000名學(xué)生,若本次考試成績(jī)90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).【正確答案】（1）中位數(shù)為，平均數(shù)為（2）(1)設(shè)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為,因?yàn)榍?組的頻率之和為,因?yàn)榍?組的頻率之和為,所以,求出即可求得答案;(2)因?yàn)闃颖局?0分及以上的頻率為,所以該校高一年級(jí)1000名學(xué)生中,根據(jù)頻率分布直方圖,即可估計(jì)該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到人數(shù).“優(yōu)秀”等次的人數(shù)【詳解】(1)設(shè)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為因?yàn)榍?組的頻率之和為,因?yàn)榍?組的頻率之和為,所以,由,得.所以,這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為,(2)因?yàn)闃颖局?0分及以上的頻率為,

所以該校高一年級(jí)1000名學(xué)生中,根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù)為人.本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是根據(jù)頻率分布直方圖提供的數(shù)據(jù),求出頻率.再求出學(xué)生數(shù),屬于基礎(chǔ)題.19．如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以海里小時(shí)的速度沿著正東方向直線追去，1小時(shí)后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)D處，此時(shí)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以海里小時(shí)的速度沿著直線追擊(1)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距多少海里(2)問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【正確答案】(1)兩船相距海里.(2)巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.【分析】（1）在中，解三角形得，，在中，由余弦定理求得.（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，結(jié)合圖形知巡邏艇的追趕方向.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時(shí)，由題意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時(shí)，兩船相距海里.（2）當(dāng)巡邏艇經(jīng)過(guò)小時(shí)經(jīng)方向在處追上走私船，則在中，由正弦定理得：則所以，在中，由正弦定理得：則，故（舍）故巡邏艇應(yīng)該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.20．在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求直線與所成角的正弦值．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)棱長(zhǎng)為，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明平面平面．（2）由，平面的法向量，利用向量法求出直線與所成角的正弦值．【詳解】（1）設(shè)棱長(zhǎng)為，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，所以，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，所以，則平面平面．（2）設(shè)直線與平面所成角的為，而，平面的法向量，所以．直線與所成角的正弦值．21．已知拋物線：的焦點(diǎn)為.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)拋物線在軸上方一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作兩條傾斜