2023~2024學(xué)年河北高考考前沖刺數(shù)學(xué)試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年河北高考考前沖刺數(shù)學(xué)模擬試題（一模）一、單選題1．設(shè)集合，集合，集合，則（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算性質(zhì)求即可.【詳解】不等式的解集為，所以，故或，又，所以，故選：B．2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算即可求得復(fù)數(shù)，再得共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得答案.【詳解】，，，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D．3．若函數(shù)在點(diǎn)處的切線為直線，若直線l與圓相切，則r的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求，由切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的關(guān)系求，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系列方程求.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)處的切線為直線，所以，解得，，故，切點(diǎn)在直線l上，，解得，直線與圓相切，圓心到直線l的距離為，故選：A．4．已知向量，．若，則（

）A．3 B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，列式即可求得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，解得，故選：B．5．已知數(shù)列的首項(xiàng)，，前n項(xiàng)和滿(mǎn)足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題可得，進(jìn)而可得，然后可得，利用等差數(shù)列的定義及求和公式即得.【詳解】由得，即，所以，所以，兩式作差，得，即，所以，所以或，又，故，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.故選：A.6．如圖，在正四棱臺(tái)中，棱，，的夾角為，，則棱，的夾角為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由棱臺(tái)的定義可知，分別延長(zhǎng)，，，交于點(diǎn)P，連接AC，從而可得，從而可求出答案.【詳解】由棱臺(tái)的定義可知，分別延長(zhǎng)，，，交于點(diǎn)P，連接AC，如圖，在正四棱臺(tái)中，棱，的夾角為，，所以△PAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以.又在正方形中，,則，所以，所以，所以棱，的夾角為，故選：D7．已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】設(shè)再表達(dá)出的坐標(biāo)代入圓方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】設(shè)，則滿(mǎn)足.故.故.又點(diǎn)在圓上.故.故選:C本題主要考查了軌跡方程的求法，屬于基礎(chǔ)題型.8．設(shè)甲乘汽車(chē)?動(dòng)車(chē)前往某目的地的概率分別為，汽車(chē)和動(dòng)車(chē)正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】設(shè)事件A表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件B表示甲乘火車(chē)到達(dá)目的地，事件C表示甲乘汽車(chē)到達(dá)目的地，由全概率公式求解即可.【詳解】設(shè)事件A表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事件B表示甲乘動(dòng)車(chē)到達(dá)目的地，事件C表示甲乘汽車(chē)到達(dá)目的地，由題意知.由全概率公式得。故選：C二、多選題9．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，恒成立；若時(shí)，.下列說(shuō)法正確的是（

）A．時(shí)，B．對(duì)任意，有C．存在，使得D．“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在，使得”【正確答案】ABD【分析】對(duì)于選項(xiàng)，根據(jù)條件求得，可判斷，：直接利用關(guān)系式的變換求出結(jié)果．對(duì)于選項(xiàng)：利用假設(shè)法和關(guān)系式的而變換推出矛盾，進(jìn)一步判定結(jié)果．對(duì)于選項(xiàng)：直接利用函數(shù)的單調(diào)性判定結(jié)果．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：，時(shí)，，，，而，，故正確；對(duì)于選項(xiàng)：（2），而當(dāng)，時(shí)，，所以（2），所以，故正確；取，，其中，，1，，則，；，從而，而，對(duì)于，假設(shè)存在使，，，，，，這與矛盾，所以錯(cuò)誤；對(duì)于：由上面推導(dǎo)可得當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，為減函數(shù)，所以若，，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”，則，，，故正確．故選：．10．下列命題為真命題的是（）A．若，則B．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D．的最小正周期為【正確答案】ACD【分析】利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式可求得，知A正確；根據(jù)三角函數(shù)平移變換可求得，知B錯(cuò)誤；利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)得到解析式，利用整體對(duì)應(yīng)的方式可求得單調(diào)遞增區(qū)間，知C正確；利用二倍角公式化簡(jiǎn)得到，由正切型函數(shù)的周期性可求得結(jié)果知D正確.【詳解】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得：，即，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則由，得：，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，C正確；對(duì)于D，，的最小正周期為，D正確.故選：ACD.11．已知P是橢圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，Q是圓D：上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．C的焦距為 B．C的離心率為C．圓D在C的內(nèi)部 D．|PQ|的最小值為【正確答案】BC【分析】根據(jù)橢圓方程直接判斷A、B的正誤，判斷圓心與橢圓左焦點(diǎn)的距離及圓心橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)橢圓點(diǎn)與圓心的距離，與圓的半徑長(zhǎng)度關(guān)系判斷C的正誤，要使最小，保證P、Q、D共線，即，設(shè)應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式及橢圓方程求最小值，即可判斷D的正誤.【詳解】由橢圓方程知：，故焦距為，故A錯(cuò)誤；C的離心率，故B正確；由圓D的方程知：圓心，半徑為，而且橢圓上的點(diǎn)到D的距離為，故圓D在C的內(nèi)部，故C正確；設(shè)，則，而，又，可知，故，故D錯(cuò)誤.故選：BC12．（多選題）如圖所示的電路中，只箱子表示保險(xiǎn)匣分別為、、、、箱中所示數(shù)值表示通電時(shí)保險(xiǎn)絲被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是（

）A．所在線路暢通的概率為B．所在線路暢通的概率為C．所在線路暢通的概率為D．當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，整個(gè)電路暢通的概率為【正確答案】BD根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式以及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算出各選項(xiàng)中線路暢通的概率，由此可得出結(jié)論.【詳解】由題意知，、、、、保險(xiǎn)閘被切斷的概率分別為，，，，，所以、兩個(gè)盒子暢通的概率為，因此A錯(cuò)誤；、兩個(gè)盒子并聯(lián)后暢通的概率為，因此C錯(cuò)誤；、、三個(gè)盤(pán)子混聯(lián)后暢通的概率為，B正確；根據(jù)上述分析可知，當(dāng)開(kāi)關(guān)合上時(shí)，電路暢通的概率為，D正確.故選：BD.本題考查利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算事件的概率，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、填空題13．如圖，在中，點(diǎn)D在BC邊上，BD的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A，且滿(mǎn)足，，則的大小為_(kāi)_________．

【正確答案】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合正弦定理與、三角形內(nèi)角和定理與兩角和差余弦公式即可求得，從而得的大小.【詳解】因?yàn)锽D的垂直平分線過(guò)點(diǎn)A，所以，則，所以．又因?yàn)樵谥?，，，所以．在中，由正弦定理，得，所?因?yàn)椋詾殇J角，所以，則，又，所以．故答案為.14．已知函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿(mǎn)足，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_________．【正確答案】或【分析】由已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，證明函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)條件列方程求λ的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又函數(shù)有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)為，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，又由可得，所以，所以解得或．故或．15．設(shè)，則的最小值為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】把分子展開(kāi)化為，再利用基本不等式求最值．【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，故所求的最小值為．使用基本不等式求最值時(shí)一定要驗(yàn)證等號(hào)是否能夠成立．16．如圖，三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，平面平面，，，，則球的表面積為_(kāi)_____．【正確答案】【分析】根據(jù)題意以及面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，可得，再由，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，得，取中點(diǎn)，即為外接球的球心，進(jìn)而求出半徑，利用球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖，由，，，得，則，又平面平面，且平面平面，∴平面，則，又，，∴，則，∴平面，得，取中點(diǎn)，則為三棱錐的外接球的球心，則外接球的半徑．∴球的表面積為．故．本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理以及球的表面積公式，考查了多面體的外接球問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題.四、解答題17．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C滿(mǎn)足.(1)求角A；(2)若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC的面積S的最大值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）將，轉(zhuǎn)化為，再由余弦定理求解；（2）根據(jù)△ABC的外接圓半徑為1，得到，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求得，再由求解.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑為1，所以，由余弦定理得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故△ABC的面積S的最大值是.18．已知數(shù)列，滿(mǎn)足.(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明.【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用定義法證明出是公比為2的等比數(shù)列，再求出；（2）先判斷出當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.對(duì)n分奇偶討論，分別分組求和及放縮后可以證明出.【詳解】（1），，即，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.又，，，，，，即.（2）由(1)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，故.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.綜上，.19．如圖，和都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且它們所在平面互相垂直．平面，且．(1)設(shè)P是的中點(diǎn)，證明：AP平面．(2)求二面角的正弦值．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)取的中點(diǎn)O，先求出長(zhǎng)度，再結(jié)合等腰三角形三線合一得出，則有,則得出結(jié)論；(2)在點(diǎn)O建立空間坐標(biāo)系，分別計(jì)算兩個(gè)半平面的法向量，并計(jì)算法向量的余弦值，再求解二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)O，連接．是正三角形，．∵平面平面，平面平面，平面ABC平面．平面，．在中，，．又，為等腰三角形．是的中點(diǎn)，．平面，．平面平面，平面．（2）由（1）知，，∴四邊形為平行四邊形，，．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則,，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．．設(shè)二面角的平面角為，∴二面角的正弦值為．20．已知半橢圓和半圓組成曲線.如圖所示，半橢圓內(nèi)接于矩形，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是半圓上異于，的任意一點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)處時(shí)，的面積最大.（1）求曲線的方程；（2）連，分別交于點(diǎn)，，求證：為定值.【正確答案】(1)和.(2)證明見(jiàn)解析，定值為4【分析】（1）由點(diǎn)在半圓上，求得，再由的面積最大，則與半圓在點(diǎn)處的切線平行，從而可求得，可得曲線方程．（2）設(shè)，寫(xiě)出直線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算即可．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在半圓上，得，∵，∴，當(dāng)半圓在點(diǎn)處的切線與直線平行時(shí)，的面積最大.∵，∴，，，所以曲線的方程和.（2）得，，設(shè)，則：，令，得，：，令，得，又，，，所以.本題考查求曲線的方程，考查解析幾何中的定值問(wèn)題．對(duì)于定值問(wèn)題，直接設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)已知計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算線段長(zhǎng)度等等，再利用動(dòng)點(diǎn)在曲線上的性質(zhì)得出定值是一種基本方法．21．第七次全國(guó)人口普查登記于2020年11月1日開(kāi)始，這是在我國(guó)人口發(fā)展進(jìn)入關(guān)鍵期開(kāi)展的一次重大國(guó)情國(guó)力調(diào)查，可以為編制“十四五”規(guī)劃，為推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略和政策體系?促進(jìn)入口長(zhǎng)期均衡發(fā)展提供重要信息支持，本次普查主要調(diào)查人口和住戶(hù)的基本情況.某校高三一班共有學(xué)生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集體戶(hù)進(jìn)行申報(bào)，所有非住校生(走讀生及半走讀生)按原家庭申報(bào)，已知該班住校生與非住校生人數(shù)的比為，住校生中男生占，現(xiàn)從住校生中采用分層抽樣的方法抽取7名同學(xué)擔(dān)任集體戶(hù)戶(hù)主進(jìn)行人口普查登記.（1）應(yīng)從住校的男生?女生中各抽取多少人？（2）若從抽出的7名戶(hù)主中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行普查登記培訓(xùn)①求這3人中既有男生又有女生的概率；②用表示抽取的3人中女生戶(hù)主的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【正確答案】（1）男生?女生就分別抽取4人，3人；（2）①；②分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望.（1）找到住校生中男女生的比例關(guān)系，即可求出男女生分別抽取的人數(shù).（2）①抽取的3名戶(hù)主中既有男生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有1人兩種情況，分別求出概率再求和即可；②找到變量X的所有可能取值，服從超幾何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可.【詳解】（1）由已知住校生中男生占，則女生占，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此男生?女生就分別抽取4人，3人.（2）①設(shè)事件A為“抽取的3名戶(hù)主中既有男生，又有女生”，設(shè)事件B為“抽取的3名戶(hù)主中男生有1人，女生有2人”；事件C為“抽取的3名戶(hù)主中男生有2人，女生有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，=，=，故，所以，事件A發(fā)生的概率為.②隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，.隨機(jī)變量X的分布列為X0123隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.22．已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【正確答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相等可求a.注意分類(lèi)討論.（2）根據(jù)（1）可得當(dāng)時(shí)，的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù)均為2，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)且可得的大小關(guān)系，根據(jù)存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)可得的取值，再根據(jù)兩類(lèi)方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無(wú)最小值，故.的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無(wú)根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，