2023~2024學(xué)年河南南陽(yáng)聯(lián)考高考數(shù)學(xué)文仿真試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年河南省南陽(yáng)市聯(lián)考高考數(shù)學(xué)（文）仿真模擬試題（一模）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用交集和補(bǔ)集的定義逐一判斷即可.【詳解】集合，，對(duì)于A：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，C正確；對(duì)于D：，D錯(cuò)誤.故選：C.2.已知（其中i為虛數(shù)單位），若是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.1 C. D.i【正確答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可求得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可求得，進(jìn)而求解即可．【詳解】由，則，則，所以．故選：D．3.黨的二十大報(bào)告提出了要全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，其中人才振興是鄉(xiāng)村振興的關(guān)鍵．如圖反映了某縣2017-2022這六年間引入高科技人才數(shù)量的占比情況．已知2017、2018、2020、2021這四年引入高科技人才的數(shù)量逐年成遞增的等差數(shù)列，且這四年引入高科技人才的數(shù)量占六年引入高科技人才的數(shù)量和的一半，2018年與2019年引入人才的數(shù)量相同，2019、2021、2022這三年引入高科技人才的數(shù)量成公比為2的等比數(shù)列，則2022年引入高科技人才的數(shù)量占比為（）．A.30％ B.35％ C.40％ D.45％【正確答案】C【分析】由題可設(shè)2017、2018、2020、2021這四年引入高科技人才的數(shù)量占比為m，，，，結(jié)合條件可得，進(jìn)而即得.【詳解】由題可設(shè)2017、2018、2020、2021這四年引入高科技人才的數(shù)量占比為m，，，，則2019年引入高科技人才的數(shù)量占比為，2022年引入高科技人才的數(shù)量占比為，依題意有，且，解得，所以2022年引入高科技人才的數(shù)量占比為．故選：C.4.若x，y滿足約束條件，則的最小值為（）A. B.0 C.4 D.16【正確答案】A【分析】先畫(huà)出約束條件所示意的圖像，將分為，兩個(gè)部分進(jìn)行討論分析.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出下圖，陰影部分滿足約束條件，，，時(shí)，過(guò)點(diǎn)時(shí)，；時(shí)，過(guò)點(diǎn)時(shí)，；故最小值為故選：A．5.已知，，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用兩角和差的正弦公式和二倍角進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合角的范圍即可求解【詳解】，因?yàn)椋?，所以，所以，故．故選：D6.先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的股子，事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是6”，事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，則（）A.A與互斥 B.與相互獨(dú)立C. D.A與互斥【正確答案】B【分析】根據(jù)互斥的定義和相互獨(dú)立的公式即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：第一次擲出點(diǎn)數(shù)為3，第二次擲出點(diǎn)數(shù)為3，滿足事件A，也滿足事件B,因此A與能夠同時(shí)發(fā)生，所以A與不互斥，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，，，所以，所以與相互獨(dú)立，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：第一次擲出點(diǎn)數(shù)為3，第二次擲出點(diǎn)數(shù)為3，滿足事件A，也滿足事件C,因此A與C能夠同時(shí)發(fā)生，所以A與C不互斥，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：B.7.已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)O為底面的中心，球О與該正四面體的其余三個(gè)面都有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)非該正四面體的頂點(diǎn)，則球O的半徑為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題可知球O與該正四面體的其余三個(gè)面都相切，然后利用，即得.【詳解】因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1，則正四面體的高為，由題可知球O與該正四面體的其余三個(gè)面都相切，設(shè)球O的半徑為，則，所以，所以.故選：B8.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，是的導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B.的一個(gè)周期是4C.是奇函數(shù) D.【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性，對(duì)稱性和奇偶性的公式推導(dǎo)即可求解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，又，所以，所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，所以，故選項(xiàng)A正確；，所以，所以的一個(gè)周期是4，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，所以是偶函?shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；例如，滿足是奇函數(shù)且且，所以，可得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；或根據(jù)得關(guān)于直線軸對(duì)稱，因而在處有極值，所以或不存在，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.9.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法：①的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到；⑧若方程在上有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的最大值為．以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及五點(diǎn)作圖法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】依題意可得，，，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得，解得，．因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故②正確；將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故③錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)時(shí)且，，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，即的最大值為，故④正確；故選：C10.兩個(gè)圓錐有等長(zhǎng)母線，它們的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)圓，若它們的側(cè)面積之比為，則它們的體積比是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，小圓錐半徑為、高為，大圓錐半徑為，高為，根據(jù)側(cè)面積之比可得，再由圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形圓心角的公式得到，利用勾股定理得到關(guān)于的表達(dá)式，從而將兩個(gè)圓錐的體積都表示成的表達(dá)式，求出它們的比值即可.【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，側(cè)面積較小的圓錐半徑為，側(cè)面積較大的圓錐半徑為，它們的高分別為、，則，得，因?yàn)閮蓤A錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)圓，所以，得，再由勾股定理，得，同理可得，所以兩個(gè)圓錐的體積之比為：.故選：A.11.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由條件結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系可得點(diǎn)到直線的距離小于等于2，列不等式求的取值范圍.【詳解】圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)直線上的點(diǎn)滿足條件，則以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，即兩圓相交或相切，所以，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于等于，所以點(diǎn)到直線的距離小于等于2，所以解得所以k的取值范圍為，故選：A.12.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，，若，則的極值情況是（）A.有極大值，無(wú)極小值 B.有極小值，無(wú)極大值C.既有極大值，又有極小值 D.既無(wú)極小值，也無(wú)極大值【正確答案】C【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式由條件求，由此可得，再根據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值即可.【詳解】∵，∴．取可得，，由，令，得，因?yàn)?，可得，∴，則，∴．令，則；令，，易知時(shí)，，在上單調(diào)遞減；時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，又，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，∴存，，使得．不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴既有極大值，又有極小值．故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.計(jì)算的值為_(kāi)_____.【正確答案】8【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】原式.故8.14.若直線與雙曲線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是________．【正確答案】【分析】求得雙曲線的漸近線方程，由雙曲線與直線有公共點(diǎn)，應(yīng)有漸近線的斜率，再由離心率，可得的范圍．【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線與直線有交點(diǎn)，則有，所以，則雙曲線的離心率的取值范圍為．故．15.已知是平面向量，，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是__________.【正確答案】##【分析】根據(jù)平面向量的幾何關(guān)系，可將向量坐標(biāo)化，設(shè)，可得，，由的幾何意義利用圓上點(diǎn)到直線距離最值問(wèn)題即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則由得，可得，由得，因此，表示圓上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離；故其最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，即.故16.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)在數(shù)列中，,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【正確答案】【詳解】試題分析：因?yàn)樗允亲钚№?xiàng)，所以時(shí)遞減，時(shí)遞增，而數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，有即，當(dāng)時(shí)，必有，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為.考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、數(shù)列的增減性及最值.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列的增減性及最值，屬于難題.解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是注意函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列增減性不完全一致，因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)的而數(shù)列不連續(xù)，所以數(shù)列的最值點(diǎn)根函數(shù)的極值點(diǎn)會(huì)有偏差；二是要根據(jù)討論或兩種情況分別列不等式組，求出解集后再找并集即可.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為（1）求角；（2）茬是邊上的點(diǎn)，且，求的值.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）把給定等式切化弦，利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換求解作答.（2）根據(jù)給定條件，求出，在和中分別利用正弦定理、余弦定理列式，求解作答.【小問(wèn)1詳解】在中，由得：，由正弦定理得：，而，即有，又，即，則，有，又，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭沁吷系狞c(diǎn)，且，于是，如圖，在中，由正弦定理得：，即，在中，由余弦定理得：，則有，整理得，解得：，而，所以.18.網(wǎng)絡(luò)直播帶貨助力鄉(xiāng)村振興，它作為一種新穎的銷(xiāo)售土特產(chǎn)的方式，受到社會(huì)各界的追捧.某直播間開(kāi)展地標(biāo)優(yōu)品帶貨直播活動(dòng)，其主播直播周期次數(shù)（其中10場(chǎng)為一個(gè)周期）與產(chǎn)品銷(xiāo)售額（千元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：直播周期數(shù)12345產(chǎn)品銷(xiāo)售額（千元）37153040根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線的周?chē)?，?jù)此他對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理．如下表：5538265978101其中，（1）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到）；（2）①乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線的周?chē)?，并?jì)算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關(guān)指數(shù)，試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰(shuí)的擬合效果更好？（3）由①所得的結(jié)論，計(jì)算該直播間欲使產(chǎn)品銷(xiāo)售額達(dá)到8萬(wàn)元以上，直播周期數(shù)至少為多少？（最終答案精確到1）附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，相關(guān)指數(shù)：．【正確答案】（1）（2）乙建立的回歸模型擬合效果更好（3）10【分析】（1）取對(duì)數(shù)，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程，利用公式求解系數(shù)可得答案；（2）根據(jù)公式求解相關(guān)指數(shù)，比較兩個(gè)方程的相關(guān)指數(shù)的大小可得結(jié)論；（3）利用乙的方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，求解不等式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】將兩邊取對(duì)數(shù)得，令，則;∵，∴根據(jù)最小二乘估計(jì)可知，;∴，∴回歸方程為，即．【小問(wèn)2詳解】①甲建立的回歸模型的．∴乙建立的回歸模型擬合效果更好．【小問(wèn)3詳解】由①知，乙建立的回歸模型擬合效果更好．設(shè)，解得，∴直播周期數(shù)至少為10.19.如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱的長(zhǎng)為，，分別是棱，的中點(diǎn)，平面平面，且．（1）求證：；（2）若三棱柱的側(cè)面積為，求它的體積．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）通過(guò)證明平面來(lái)證得，進(jìn)而求得.（2）通過(guò)求四棱錐的體積來(lái)求得三棱柱的體積.【小問(wèn)1詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面．又平面，∴．∵是正三角形，為的中點(diǎn)，∴．∵，，平面，∴平面．又平面，∴．易知，∴．【小問(wèn)2詳解】由（1）知四邊形為矩形，如圖，過(guò)作，交于，連接．易知四邊形為矩形，．由（1）知平面，所以，又平面，所以平面，由于平面，所以．同理過(guò)作，交于，連接，可證．由，可知．所以三棱柱的側(cè)面積：，所以．在中，，，所以．連接，，四棱錐的體積：，又，所以．20.如圖，M是拋物線上上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB.（1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值；（2）若M為動(dòng)點(diǎn)，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的軌跡方程【正確答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）【分析】（1）可用待定系數(shù)法設(shè)出兩直線的方程，用參數(shù)表示出兩點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式求了過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率，驗(yàn)證其是否與參數(shù)無(wú)關(guān)，若無(wú)關(guān)，則說(shuō)明直線EF的斜率為定值；（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，如（1）用參數(shù)表示出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，再由重心坐標(biāo)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系將其表示出來(lái)，消參數(shù)即可得重心的軌跡方程．【詳解】（1）設(shè)M（y,y0），直線ME的斜率為k(k>0)則直線MF的斜率為－k，方程為∴由，消解得∴(定值)所以直線EF的斜率為定值.（2）直線ME的方程為由得同理可得設(shè)重心G（x,y），則有消去參數(shù)得21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間（2）若函數(shù)在的最小值為，求的最大值．【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為（2）．【分析】（1）求導(dǎo)并判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，進(jìn)一步可得單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)函數(shù)在的最小值為，求得的取值范圍，從而得到的最大值．【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，故，所以恒成立，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，則在取得最小值，符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，因?yàn)樽钚≈禐椋缘?，即；?dāng)時(shí)，由（1）可知單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)無(wú)最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，則有，不合題意；綜上可得，的最大值．難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)的最值，難點(diǎn)在于根據(jù)最小值求參數(shù)時(shí)，要注意討論a的取值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到相應(yīng)的不等式，確定參數(shù)范圍.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題記分.22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，