2023~2024學(xué)年黑龍江哈爾濱高考數(shù)學(xué)押題試題五模帶解析_第1頁
2023~2024學(xué)年黑龍江哈爾濱高考數(shù)學(xué)押題試題五模帶解析_第2頁
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2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題(五模)一、單選題1.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的虛部為(

)A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題目條件可得,即,然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn).【詳解】因?yàn)?,所以,則故復(fù)數(shù)的虛部為.故選:A.本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可,較簡(jiǎn)單.2.已知集合,則的子集個(gè)數(shù)為(

)A.8 B.16 C.32 D.64【正確答案】C【分析】求出,即可求解.【詳解】由題得,.因?yàn)椋?所以.所以的子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選:C.3.若,則(

)A. B. C. D.【正確答案】D【分析】切化弦,結(jié)合得出,然后根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式求解.【詳解】因?yàn)?,所以,即,所以,即,所以,故選:D.4.為了解學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間,某市教育部門對(duì)全市高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)抽取1000名學(xué)生每天進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,按照時(shí)長(單位:分鐘)分成6組:第一組,第二組,第三組,第四組,第五組,第六組.對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖,則可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)約為(

)A.43.5分鐘 B.45.5分鐘 C.47.5分鐘 D.49.5分鐘【正確答案】C【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】由頻率之和為1得:,解得,由,,故第25百分位數(shù)位于內(nèi),則第25百分位數(shù)為.可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)約為47.5,故選:C.5.如圖1,在高為的直三棱柱容器中,現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水,水深為2,然后固定容器底面的一邊于地面上,再將容器傾斜,當(dāng)傾斜到某一位置時(shí),水面恰好為(如圖2),則容器的高為(

A. B.3 C.4 D.6【正確答案】B【分析】利用兩個(gè)幾何體中的裝水的體積相等,列出方程,即可求解.【詳解】解:在圖(1)中的幾何體中,水的體積為,在圖(2)的幾何體中,水的體積為:,因?yàn)椋傻?,解?故選:B.6.已知某摩天輪的半徑為,其中心到地面的距離為,摩天輪啟動(dòng)后按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng),每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈.已知當(dāng)游客距離地面超過時(shí)進(jìn)入最佳觀景時(shí)間段,則游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過程中最佳觀景時(shí)長約有(

)A.分鐘 B.分鐘 C.分鐘 D.分鐘【正確答案】B【分析】求出游客到地面的距離為關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間(單位:分鐘)的函數(shù)關(guān)系式,然后解不等式,可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)游客到地面的距離為,設(shè)關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間(單位:分鐘)的函數(shù)關(guān)系式為,則,,可得,函數(shù)的最小正周期為,則,當(dāng)時(shí),游客位于最低點(diǎn),可取,所以,,由,即,可得,所以,,解得,因此,游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過程中最佳觀景時(shí)長約有分鐘.故選:B.7.若過第一象限的點(diǎn)可以作曲線的兩條切線,則(

)A. B. C. D.【正確答案】D【分析】首先設(shè)切點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,列式,并轉(zhuǎn)化為函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì),即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)切點(diǎn),則,得,設(shè),由條件可知,函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),,得,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得最小值,若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),則.故選:D8.已知平面上兩定點(diǎn)、,則所有滿足(且)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在上,半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱作阿氏圓.已知棱長為3的正方體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡長度為(

)A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)阿氏圓性質(zhì)求出阿氏圓圓心O位置及半徑,P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心的球,球與面,,交線為圓弧,求出截面圓的半徑及圓心角,求出在截面內(nèi)的圓弧的長度即可.【詳解】在平面中,圖①中以B為原點(diǎn)以AB為x軸建系如圖,設(shè)阿氏圓圓心,半徑為,,設(shè)圓O與AB交于M,由阿氏圓性質(zhì)知,,,P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心半徑為2的球,若P在四邊形內(nèi)部時(shí)如圖②,截面圓與分別交于M,R,所以P在四邊形內(nèi)的軌跡為,在中,,所以,當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長為,同理,當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長為,當(dāng)P在面時(shí),如圖③所示,面,平面截球所得小圓是以B為圓心,以BP為半徑的圓,截面圓與分別交于,且,所以P在正方形內(nèi)的軌跡為,所以,綜上:P的軌跡長度為.故選:C方法點(diǎn)睛:求球與平面公共點(diǎn)軌跡長度時(shí)先求出平面截球所得圓面的半徑,當(dāng)截面為完整的圓時(shí)可直接求圓周長,當(dāng)截面只是圓的一部分時(shí)先求圓心角的大小再計(jì)算弧長.二、多選題9.下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是(

)A.已知,點(diǎn)在直線上,且,則的坐標(biāo)為;B.若是的外接圓圓心,則C.若,且,則D.若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則是的垂心.【正確答案】BD【分析】對(duì)于A,設(shè),由題意可得或,再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可;對(duì)于B,如圖,設(shè)為的中點(diǎn),根據(jù)數(shù)量積的定義即可得解;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷;根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷D.【詳解】對(duì)于A,設(shè),則,因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,且,所以或,則或,所以或,解得或,所以或,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,如圖,設(shè)為的中點(diǎn),則,則,故B正確;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,滿足,則與不一定相等,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,因?yàn)椋?,所以,同理可得,所以是的垂心,故D正確.故選:BD.10.在一次黨建活動(dòng)中,甲?乙?丙?丁四個(gè)興趣小組舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽,每個(gè)小組各派10名同學(xué)參賽,記錄每名同學(xué)失分(均為整數(shù))情況,若該組每名同學(xué)失分都不超過7分,則該組為“優(yōu)秀小組”,已知甲?乙?丙?丁四個(gè)小組成員失分?jǐn)?shù)據(jù)信息如下,則一定為“優(yōu)秀小組”的是(

)A.甲組中位數(shù)為2,極差為5B.乙組平均數(shù)為2,眾數(shù)為2C.丙組平均數(shù)為1,方差大于0D.丁組平均數(shù)為2,方差為3【正確答案】AD【分析】結(jié)合中位數(shù),平均數(shù),眾數(shù),方差,極差的定義,分析判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì),因?yàn)橹形粩?shù)為2,極差為5,故最大值小于等于7,故正確;對(duì),如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為,則滿足平均數(shù)為2,眾數(shù)為2,但不滿足每名同學(xué)失分都不超過7分,故B錯(cuò)誤;對(duì),如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為,則滿足平均數(shù)為1,方差大于0,但不滿足每名同學(xué)失分都不超過7分,故C錯(cuò)誤;對(duì),利用反證法,假設(shè)有一同學(xué)失分超過7分,則方差大于,與題設(shè)矛盾,故每名同學(xué)失分都不超過7分.故D正確.故選:AD.11.剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款元購買一臺(tái)筆記本電腦,然后上學(xué)的時(shí)候通過勤工儉學(xué)來分期還款.小明與銀行約定:每個(gè)月還一次款,分次還清所有的欠款,且每個(gè)月還款的錢數(shù)都相等,貸款的月利率為,設(shè)小明每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為元,則下列說法正確的是(

)A.小明選擇的還款方式為“等額本金還款法” B.小明選擇的還款方式為“等額本息還款法C.小明第一個(gè)月還款的現(xiàn)值為元 D.【正確答案】BCD【分析】AB根據(jù)還款特點(diǎn),得到還款方式;C選項(xiàng),設(shè)出第一個(gè)月還款的現(xiàn)值為,列出方程,求出答案;D選項(xiàng),表達(dá)出第12個(gè)月末所欠銀行貸款數(shù),因?yàn)榉执芜€清所有的欠款,故得到方程,求出答案.【詳解】AB選項(xiàng),由于每個(gè)月還款的錢數(shù)都相等,故小明選擇的還款方式為“等額本息還款法,A錯(cuò)誤,B正確;C選項(xiàng),設(shè)小明第一個(gè)月還款的現(xiàn)值為,則,解得,故C正確;D選項(xiàng),根據(jù)等額本息還款法可得,第一個(gè)月末所欠銀行貸款為,第二個(gè)月末所欠銀行貸款為,第三個(gè)月末所欠銀行貸款為,……第12個(gè)月末所欠銀行貸款為,由于分次還清所有的欠款,故,解得,D正確.故選:BCD12.已知,若,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則(

)A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】由得,由得,構(gòu)造函數(shù),易知函數(shù)為上的增函數(shù),可得,,對(duì)于A,依據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷;對(duì)于B,依據(jù)條件進(jìn)行判斷即可;對(duì)于C,利用當(dāng)時(shí),判斷即可;對(duì)于D,利用在上的單調(diào)性判斷即可.【詳解】由得,①由得,即,②令,易知函數(shù)為上的增函數(shù),又①式化為:,所以,②式化為:,所以,對(duì)于A,令,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)在上為增函數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則由零點(diǎn)存在性定理可知,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)?,所以,則,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上為增函數(shù),所以函數(shù),即,所以,故C正確;對(duì)于D,由A知,,在上遞減,當(dāng)時(shí),,故D正確.故選:ACD.將轉(zhuǎn)化為,轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性得到,是解本題的關(guān)鍵.三、填空題13.若2、a、b、c、9成等差數(shù)列,則c﹣a=___________.【正確答案】【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b=2+9,解得b=,又可得2a=2+b=2+=,解之可得a=,同理可得2c=9+=,解得c=,故c﹣a=﹣==14.不等式的解集為__________.【正確答案】【分析】構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合,解不等式即可.【詳解】由,得,令,則,因?yàn)椋?,所以,所以函?shù)為增函數(shù),又,則不等式即為,所以,即不等式的解集為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.15.將數(shù)列中的項(xiàng)排成下表:,,,,,,,,,,,…已知各行的第一個(gè)數(shù),,,,…構(gòu)成數(shù)列,且的前項(xiàng)和滿足(且),從第三行起,每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等差數(shù)列,且公差為同一個(gè)常數(shù).若,則第6行的所有項(xiàng)的和為______.【正確答案】1344【分析】根據(jù)所滿足的條件,求出數(shù)列,由在表中的位置,得,所以每行等差數(shù)列公差,即可求第6行所有項(xiàng)的和.【詳解】解:∵(且),∴,即,∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為,(且),觀察表中各行規(guī)律可知,第n行的最后一項(xiàng)是數(shù)列的第項(xiàng),,∴在表中第8行第3列,∵,且,∴公差;∴第6行共有32個(gè)元素,則第6行所有項(xiàng)的和為故1344.思路點(diǎn)睛:由的前項(xiàng)和滿足,構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,觀察數(shù)列的規(guī)律,找到在表中的位置,結(jié)合的通項(xiàng)公式可求得表中每一行的公差,繼而可求第6行所有項(xiàng)的和.16.已知實(shí)數(shù),滿足,,,則的最小值是________.【正確答案】/【分析】根據(jù)給定條件,求出各等式表示的幾何意義,及所求最值的表達(dá)式的幾何意義,再把問題轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值作答.【詳解】依題意,方程、分別表示以原點(diǎn)為圓心,2、3為半徑的圓,令,即點(diǎn)分別在、上,如圖,

顯然,,即有,,取線段中點(diǎn),連接,則,因此點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓上,而,即表示點(diǎn)到直線的距離和的倍,過分別作直線的垂線,垂足分別為,過作垂直于直線于點(diǎn),于是,,,原點(diǎn)到直線的距離,顯然,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線,且點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào),所以.故思路點(diǎn)睛:涉及與圓相離的圖形F上的點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離最值問題,轉(zhuǎn)化為圖形F上的點(diǎn)與圓心距離加或減圓半徑求解.四、解答題17.已知數(shù)列滿足,數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式依次寫出,即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律;(2)由(1)可寫出數(shù)列的表達(dá)式,根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法可求出前n項(xiàng)和.【詳解】(1)由題意知,,,,,,…,,,從而.(2)由(1),所以.18.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知(1)求角A;(2)若為銳角三角形,且的面積為S,求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到,再結(jié)合,即可得到;(2)根據(jù)和三角形面積公式將整理為,再根據(jù)銳角三角形和正弦定理得到的范圍,最后用換元法和函數(shù)單調(diào)性求范圍即可.【詳解】(1),所以,所以,又,所以,因?yàn)?,所以.?)由(1)可知,.則.因?yàn)殇J角三角形,所以,整理得.因?yàn)椋裕?,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,故的取值范圍為.19.如圖,已知四棱錐,底面是平行四邊形,且,是線段的中點(diǎn),.(1)求證:平面;(2)下列條件任選其一,求二面角的余弦值.①與平面所成的角為;②到平面的距離為.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按一個(gè)解答計(jì)分.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)平行四邊形中的幾何關(guān)系可得再根據(jù)勾股定理可得,利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)果;(2)選①,取中點(diǎn)為,連接,根據(jù)幾何關(guān)系可得,根據(jù)(1)可得,根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面,則與平面所成的角為,由此計(jì)算出,進(jìn)而計(jì)算得,可得為等邊三角形;選②,取中點(diǎn)為,連接,計(jì)算長度及根據(jù)等體積法可求得,即可得為等邊三角形,建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得平面的法向量及平面的法向量,根據(jù)法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值即為二面角的余弦值絕對(duì)值即可求得結(jié)果.【詳解】(1)證明:因?yàn)椋?,故,在中,,由余弦定理可得:,解得,在中,,所以,即,又因?yàn)槠矫妫矫?,所以平面;?)選①,取中點(diǎn)為,連接,如圖所示:因?yàn)?,故,由?)得平面,因?yàn)槠矫?,所以,因?yàn)?,平面,平面,所以平面,所以為與平面所成的角,即,因?yàn)?,,所以為等邊三角形,且邊長為1,所以,,由可得,因?yàn)椋?,所以,所以為等邊三角形,以為原點(diǎn),為在軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:所以,,設(shè)是平面的法向量,則,即,取,可得,設(shè)為平面的法向量,則,即,取,可得,設(shè)二面角所成的角為,則,所以二面角的余弦值為.選②,取中點(diǎn)為,連接,如圖所示:因?yàn)椋?,由?)得平面,因?yàn)槠矫?,所以,因?yàn)椋矫?,平面,所以平面,設(shè)到平面的距離為,因?yàn)椋?,所以等邊三角形,所以,,設(shè),則,因?yàn)?,所以,因?yàn)?,為中點(diǎn),所以,所以,由,,平面,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所以,即,所以,因?yàn)?,即,即,解得,即,所以,所以為等邊三角形,以為原點(diǎn),為在軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:所以,,設(shè)是平面的法向量,則,即,取,可得,設(shè)為平面的法向量,則,即,取,可得,設(shè)所成的角為,則,所以二面角的余弦值為.20.某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入,其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品分為兩類不同劑型和.現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè),第一次檢測(cè)時(shí)兩類試劑和合格的概率分別為和,第二次檢測(cè)時(shí)兩類試劑和合格的概率分別為和.已知兩次檢測(cè)過程相互獨(dú)立,兩次檢測(cè)均合格,試劑品才算合格.(1)設(shè)經(jīng)過兩次檢測(cè)后兩類試劑和合格的種類數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若地區(qū)排查期間,一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品進(jìn)行檢測(cè),如果有一人檢測(cè)呈陽性,則檢測(cè)結(jié)束,并確定該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽性的概率均為且相互獨(dú)立,該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為,若當(dāng)時(shí),最大,求的值.【正確答案】(1)分布列見解析,1(2).【分析】(1)先得到劑型與合格的概率,求出X的所有可能取值及相應(yīng)的概率,得到分布列,求出期望值;(2)求出,令,得到,利用基本不等式求出最值,得到答案.【詳解】(1)劑型合格的概率為:;劑型合格的概率為:.由題意知X的所有可能取值為0,1,2.則,,,則X的分布列為X012P數(shù)學(xué)期望.(2)檢測(cè)3人確定“感染高危戶”的概率為,檢測(cè)4人確定“感染高危戶”的概率為,則.令,因?yàn)?,所以,原函?shù)可化為.因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.此時(shí),所以.21.如圖,橢圓的離心率為,上的點(diǎn)到直線的最短距離為.(1)求橢圓的方程;(2)過上的動(dòng)點(diǎn)向橢圓作兩條切線、,交軸于,交軸于,交軸于,交軸于,記的面積為,的面積為,求的最小值.【正確答案】(1);(2).【分析】(1)由已知條件求出、的值,即可得出所求橢圓的方程;(2)設(shè)、的方程分別為、,分析可知、是關(guān)于的的兩根,利用韋達(dá)定理可得出關(guān)于的表達(dá)式,令,利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】(1)解:由題意知:,所以,即所求橢圓方程為.(2)解:設(shè)、的方程分別為、,則,,,,,①聯(lián)立,可得,,化簡(jiǎn)得,顯然,、是關(guān)于的的兩根.故,

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