2023~2024學(xué)年黑龍江哈爾濱高考數(shù)學(xué)押題試題五模帶解析

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（五模）一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題目條件可得，即，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn).【詳解】因?yàn)?，所以，則故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可，較簡(jiǎn)單.2．已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．16 C．32 D．64【正確答案】C【分析】求出，即可求解.【詳解】由題得，.因?yàn)椋?所以.所以的子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C.3．若，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】切化弦，結(jié)合得出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以，故選：D．4．為了解學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間，某市教育部門對(duì)全市高中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取1000名學(xué)生每天進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，按照時(shí)長（單位：分鐘）分成6組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組.對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)約為（

）A．43.5分鐘 B．45.5分鐘 C．47.5分鐘 D．49.5分鐘【正確答案】C【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】由頻率之和為1得：，解得，由，，故第25百分位數(shù)位于內(nèi)，則第25百分位數(shù)為.可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的第25百分位數(shù)約為47.5，故選：C.5．如圖1，在高為的直三棱柱容器中，現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面恰好為（如圖2），則容器的高為（

）

A． B．3 C．4 D．6【正確答案】B【分析】利用兩個(gè)幾何體中的裝水的體積相等，列出方程，即可求解.【詳解】解：在圖（1）中的幾何體中，水的體積為,在圖（2）的幾何體中，水的體積為：，因?yàn)椋傻?，解?故選：B.6．已知某摩天輪的半徑為，其中心到地面的距離為，摩天輪啟動(dòng)后按逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈．已知當(dāng)游客距離地面超過時(shí)進(jìn)入最佳觀景時(shí)間段，則游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過程中最佳觀景時(shí)長約有（

）A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【正確答案】B【分析】求出游客到地面的距離為關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式，然后解不等式，可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)游客到地面的距離為，設(shè)關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系式為，則，，可得，函數(shù)的最小正周期為，則，當(dāng)時(shí)，游客位于最低點(diǎn)，可取，所以，，由，即，可得，所以，，解得，因此，游客在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的過程中最佳觀景時(shí)長約有分鐘.故選：B.7．若過第一象限的點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】首先設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列式，并轉(zhuǎn)化為函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】設(shè)切點(diǎn)，則，得，設(shè)，由條件可知，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則.故選：D8．已知平面上兩定點(diǎn)、，則所有滿足（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長為3的正方體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)阿氏圓性質(zhì)求出阿氏圓圓心O位置及半徑，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心的球，球與面，，交線為圓弧，求出截面圓的半徑及圓心角，求出在截面內(nèi)的圓弧的長度即可.【詳解】在平面中，圖①中以B為原點(diǎn)以AB為x軸建系如圖，設(shè)阿氏圓圓心,半徑為，，設(shè)圓O與AB交于M,由阿氏圓性質(zhì)知，，，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心半徑為2的球，若P在四邊形內(nèi)部時(shí)如圖②,截面圓與分別交于M，R，所以P在四邊形內(nèi)的軌跡為，在中，，所以，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長為，同理，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長為，當(dāng)P在面時(shí),如圖③所示，面，平面截球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，截面圓與分別交于，且，所以P在正方形內(nèi)的軌跡為，所以，綜上：P的軌跡長度為.故選：C方法點(diǎn)睛：求球與平面公共點(diǎn)軌跡長度時(shí)先求出平面截球所得圓面的半徑，當(dāng)截面為完整的圓時(shí)可直接求圓周長，當(dāng)截面只是圓的一部分時(shí)先求圓心角的大小再計(jì)算弧長.二、多選題9．下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（

）A．已知，點(diǎn)在直線上，且，則的坐標(biāo)為；B．若是的外接圓圓心，則C．若，且，則D．若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則是的垂心.【正確答案】BD【分析】對(duì)于A，設(shè)，由題意可得或，再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示計(jì)算即可；對(duì)于B，如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)數(shù)量積的定義即可得解；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，且，所以或，則或，所以或，解得或，所以或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，則，則，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，滿足，則與不一定相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，同理可得，所以是的垂心，故D正確.故選：BD.10．在一次黨建活動(dòng)中，甲?乙?丙?丁四個(gè)興趣小組舉行黨史知識(shí)競(jìng)賽，每個(gè)小組各派10名同學(xué)參賽，記錄每名同學(xué)失分（均為整數(shù)）情況，若該組每名同學(xué)失分都不超過7分，則該組為“優(yōu)秀小組”，已知甲?乙?丙?丁四個(gè)小組成員失分?jǐn)?shù)據(jù)信息如下，則一定為“優(yōu)秀小組”的是（

）A．甲組中位數(shù)為2，極差為5B．乙組平均數(shù)為2，眾數(shù)為2C．丙組平均數(shù)為1，方差大于0D．丁組平均數(shù)為2，方差為3【正確答案】AD【分析】結(jié)合中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，方差，極差的定義，分析判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)，因?yàn)橹形粩?shù)為2，極差為5，故最大值小于等于7，故正確；對(duì)，如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為，則滿足平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但不滿足每名同學(xué)失分都不超過7分，故B錯(cuò)誤；對(duì)，如失分?jǐn)?shù)據(jù)分別為，則滿足平均數(shù)為1，方差大于0，但不滿足每名同學(xué)失分都不超過7分，故C錯(cuò)誤；對(duì)，利用反證法，假設(shè)有一同學(xué)失分超過7分，則方差大于，與題設(shè)矛盾，故每名同學(xué)失分都不超過7分．故D正確．故選：AD.11．剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款元購買一臺(tái)筆記本電腦，然后上學(xué)的時(shí)候通過勤工儉學(xué)來分期還款.小明與銀行約定：每個(gè)月還一次款，分次還清所有的欠款，且每個(gè)月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為，設(shè)小明每個(gè)月所要還款的錢數(shù)為元，則下列說法正確的是（

）A．小明選擇的還款方式為“等額本金還款法” B．小明選擇的還款方式為“等額本息還款法C．小明第一個(gè)月還款的現(xiàn)值為元 D．【正確答案】BCD【分析】AB根據(jù)還款特點(diǎn)，得到還款方式；C選項(xiàng)，設(shè)出第一個(gè)月還款的現(xiàn)值為，列出方程，求出答案；D選項(xiàng)，表達(dá)出第12個(gè)月末所欠銀行貸款數(shù)，因?yàn)榉执芜€清所有的欠款，故得到方程，求出答案.【詳解】AB選項(xiàng)，由于每個(gè)月還款的錢數(shù)都相等，故小明選擇的還款方式為“等額本息還款法，A錯(cuò)誤，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)小明第一個(gè)月還款的現(xiàn)值為，則，解得，故C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)等額本息還款法可得，第一個(gè)月末所欠銀行貸款為，第二個(gè)月末所欠銀行貸款為，第三個(gè)月末所欠銀行貸款為，……第12個(gè)月末所欠銀行貸款為，由于分次還清所有的欠款，故，解得，D正確.故選：BCD12．已知,若,其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則（

）A． B．C． D．【正確答案】ACD【分析】由得,由得,構(gòu)造函數(shù),易知函數(shù)為上的增函數(shù),可得,,對(duì)于A,依據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷;對(duì)于B,依據(jù)條件進(jìn)行判斷即可;對(duì)于C,利用當(dāng)時(shí),判斷即可;對(duì)于D,利用在上的單調(diào)性判斷即可.【詳解】由得,①由得,即,②令,易知函數(shù)為上的增函數(shù),又①式化為:,所以,②式化為:,所以,對(duì)于A,令,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)在上為增函數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則由零點(diǎn)存在性定理可知,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)?,所以,則,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上為增函數(shù),所以函數(shù),即,所以,故C正確;對(duì)于D,由A知,,在上遞減,當(dāng)時(shí),,故D正確.故選：ACD.將轉(zhuǎn)化為,轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性得到，是解本題的關(guān)鍵.三、填空題13．若2、a、b、c、9成等差數(shù)列，則c﹣a=___________．【正確答案】【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c﹣a=﹣==14．不等式的解集為__________.【正確答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合，解不等式即可.【詳解】由，得，令，則，因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)為增函數(shù)，又，則不等式即為，所以，即不等式的解集為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.15．將數(shù)列中的項(xiàng)排成下表：，，，，，，，，，，，…已知各行的第一個(gè)數(shù)，，，，…構(gòu)成數(shù)列，且的前項(xiàng)和滿足（且），從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為同一個(gè)常數(shù).若，則第6行的所有項(xiàng)的和為______.【正確答案】1344【分析】根據(jù)所滿足的條件，求出數(shù)列，由在表中的位置，得，所以每行等差數(shù)列公差，即可求第6行所有項(xiàng)的和．【詳解】解：∵(且)，∴，即，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（且），觀察表中各行規(guī)律可知，第n行的最后一項(xiàng)是數(shù)列的第項(xiàng)，，∴在表中第8行第3列，∵，且，∴公差；∴第6行共有32個(gè)元素，則第6行所有項(xiàng)的和為故1344．思路點(diǎn)睛：由的前項(xiàng)和滿足，構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，觀察數(shù)列的規(guī)律，找到在表中的位置，結(jié)合的通項(xiàng)公式可求得表中每一行的公差，繼而可求第6行所有項(xiàng)的和．16．已知實(shí)數(shù)，滿足，，，則的最小值是________．【正確答案】/【分析】根據(jù)給定條件，求出各等式表示的幾何意義，及所求最值的表達(dá)式的幾何意義，再把問題轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值作答.【詳解】依題意，方程、分別表示以原點(diǎn)為圓心，2、3為半徑的圓，令，即點(diǎn)分別在、上，如圖，

顯然，，即有，，取線段中點(diǎn)，連接，則，因此點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，而，即表示點(diǎn)到直線的距離和的倍，過分別作直線的垂線，垂足分別為，過作垂直于直線于點(diǎn)，于是，，，原點(diǎn)到直線的距離，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)共線，且點(diǎn)在線段上時(shí)取等號(hào)，所以.故思路點(diǎn)睛：涉及與圓相離的圖形F上的點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離最值問題，轉(zhuǎn)化為圖形F上的點(diǎn)與圓心距離加或減圓半徑求解.四、解答題17．已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式依次寫出，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；（2）由（1）可寫出數(shù)列的表達(dá)式，根據(jù)裂項(xiàng)求和的方法可求出前n項(xiàng)和．【詳解】（1）由題意知，，，，，，…，，，從而．（2）由（1），所以．18．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知(1)求角A；(2)若為銳角三角形，且的面積為S，求的取值范圍．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理和和差公式整理即可得到，再結(jié)合，即可得到；（2）根據(jù)和三角形面積公式將整理為，再根據(jù)銳角三角形和正弦定理得到的范圍，最后用換元法和函數(shù)單調(diào)性求范圍即可.【詳解】（1），所以，所以，又，所以，因?yàn)?，所以．?）由（1）可知，．則．因?yàn)殇J角三角形，所以，整理得．因?yàn)椋裕?，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，故的取值范圍為.19．如圖，已知四棱錐，底面是平行四邊形，且，是線段的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)下列條件任選其一，求二面角的余弦值.①與平面所成的角為；②到平面的距離為.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按一個(gè)解答計(jì)分.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形中的幾何關(guān)系可得再根據(jù)勾股定理可得，利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)果；（2）選①，取中點(diǎn)為，連接，根據(jù)幾何關(guān)系可得，根據(jù)（1）可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，則與平面所成的角為，由此計(jì)算出，進(jìn)而計(jì)算得，可得為等邊三角形；選②，取中點(diǎn)為，連接，計(jì)算長度及根據(jù)等體積法可求得，即可得為等邊三角形，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面的法向量及平面的法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值即為二面角的余弦值絕對(duì)值即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，故，在中，，由余弦定理可得：，解得，在中，，所以，即，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）選①，取中點(diǎn)為，連接，如圖所示：因?yàn)?，故，由?）得平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以為與平面所成的角，即，因?yàn)?，，所以為等邊三角形，且邊長為1，所以，，由可得，因?yàn)椋?，所以，所以為等邊三角形，以為原點(diǎn)，為在軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：所以，，設(shè)是平面的法向量，則，即，取，可得，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，可得，設(shè)二面角所成的角為，則，所以二面角的余弦值為.選②，取中點(diǎn)為，連接，如圖所示：因?yàn)椋?，由?）得平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)椋?，所以等邊三角形，所以，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，所以，由，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，即，所以，因?yàn)?，即，即，解得，即，所以，所以為等邊三角形，以為原點(diǎn)，為在軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：所以，，設(shè)是平面的法向量，則，即，取，可得，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，可得，設(shè)所成的角為，則，所以二面角的余弦值為.20．某公司在一種傳染病毒的檢測(cè)試劑品上加大了研發(fā)投入，其研發(fā)的檢驗(yàn)試劑品分為兩類不同劑型和．現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行兩次檢測(cè)，第一次檢測(cè)時(shí)兩類試劑和合格的概率分別為和，第二次檢測(cè)時(shí)兩類試劑和合格的概率分別為和．已知兩次檢測(cè)過程相互獨(dú)立，兩次檢測(cè)均合格，試劑品才算合格．(1)設(shè)經(jīng)過兩次檢測(cè)后兩類試劑和合格的種類數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若地區(qū)排查期間，一戶4口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員逐一使用試劑品進(jìn)行檢測(cè)，如果有一人檢測(cè)呈陽性，則檢測(cè)結(jié)束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測(cè)呈陽性的概率均為且相互獨(dú)立，該家庭至少檢測(cè)了3個(gè)人才確定為“感染高危戶”的概率為，若當(dāng)時(shí)，最大，求的值．【正確答案】(1)分布列見解析，1(2)．【分析】（1）先得到劑型與合格的概率，求出X的所有可能取值及相應(yīng)的概率，得到分布列，求出期望值；（2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，得到答案.【詳解】（1）劑型合格的概率為：；劑型合格的概率為：．由題意知X的所有可能取值為0，1，2．則，，，則X的分布列為X012P數(shù)學(xué)期望．（2）檢測(cè)3人確定“感染高危戶”的概率為，檢測(cè)4人確定“感染高危戶”的概率為，則．令，因?yàn)?，所以，原函?shù)可化為．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．此時(shí)，所以．21．如圖，橢圓的離心率為，上的點(diǎn)到直線的最短距離為.(1)求橢圓的方程；(2)過上的動(dòng)點(diǎn)向橢圓作兩條切線、，交軸于，交軸于，交軸于，交軸于，記的面積為，的面積為，求的最小值.【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）由已知條件求出、的值，即可得出所求橢圓的方程；（2）設(shè)、的方程分別為、，分析可知、是關(guān)于的的兩根，利用韋達(dá)定理可得出關(guān)于的表達(dá)式，令，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】（1）解：由題意知：，所以，即所求橢圓方程為.（2）解：設(shè)、的方程分別為、，則，，，，，①聯(lián)立，可得，，化簡(jiǎn)得，顯然，、是關(guān)于的的兩根.故，