2023~2024學(xué)年黑龍江哈爾濱高考數(shù)學(xué)押題試題一模帶解析

2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（一模）一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．R【正確答案】A【分析】根據(jù)直線位置關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以.故選：A2．已知是關(guān)于方程的一個(gè)根，則（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】將代入方程，然后利用復(fù)數(shù)相等列方程組可解.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于方程的一個(gè)根，所以，即，所以，解得.故選：B3．如圖，已知的半徑為2，，則（

）

A．1 B．-2 C．2 D．【正確答案】C【分析】判斷形狀可得，然后根據(jù)數(shù)量積定義直接求解即可.【詳解】由題知，為正三角形，所以，所以.故選：C4．已知，則（

）A．－ B．－3 C．1 D．【正確答案】A【分析】根據(jù)二倍角公式，將齊次分式轉(zhuǎn)化為的方程，再利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】，解得：，.故選：A5．若曲線在原點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值是（

）A．3 B． C．1 D．0【正確答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出在原點(diǎn)處的切線斜率，然后根據(jù)直線的垂直關(guān)系可得.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€在原點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以直線的斜率不存在，即.故選：D6．如圖甲（左），圣索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球?圓柱?棱柱于一體，極具對(duì)稱之美.為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高約為40，如圖乙（右），在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂?教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則估算索菲亞教堂的高度約為（

）A．50 B．55 C．60 D．70【正確答案】C【分析】在，由邊角關(guān)系得出，再由正弦定理計(jì)算出中的，最后根據(jù)直角三角形算出即可.【詳解】由題意知：，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，所以，在中，故選：C7．將一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐形工件切割成一個(gè)圓柱體，能切割出的圓柱最大體積為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，利用三角形相似求得與的關(guān)系式，寫(xiě)出圓柱的體積，利用不等式，即可求解.【詳解】解：設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，體積為，由與相似，可得，則，所以圓柱的體積為，所以圓柱的最大體積為，此時(shí).故選：C.8．已知是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】由圓的性質(zhì)可得，設(shè)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)求的最小值，可得結(jié)論.【詳解】圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，因?yàn)槭菆A上一點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)槭菕佄锞€上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：C.二、多選題9．已知函數(shù)，其中x和的部分值如下表所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）x0A． B． C． D．【正確答案】BC【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)代入三角函數(shù)解析式，由余弦函數(shù)性質(zhì)先求出，再求出判斷AB，由解析式求值判斷CD.【詳解】，，，，，，或，（無(wú)解舍去），由，解得，故B正確；，故A錯(cuò)誤；，，故C正確；，故D錯(cuò)誤．故選：BC10．有3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為，第2，3臺(tái)加工的次品率均為，加工出來(lái)的零件混放在一起，第1，2，3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，．隨機(jī)取一個(gè)零件，記“零件為次品”，“零件為第臺(tái)車(chē)床加工”，，，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【正確答案】BC【分析】由全概率公式和條件概率依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可．【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，所以，故C正確；對(duì)于D：由上可得，又因?yàn)?，故D錯(cuò)誤，故選：BC．11．如圖，在矩形AEFC中，，EF=4，B為EF中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿AB、BC將△ABE、△BCF翻折，使點(diǎn)E、F重合，記為點(diǎn)P，翻折后得到三棱錐P-ABC，則（

）A．三棱錐的體積為 B．直線PA與直線BC所成角的余弦值為C．直線PA與平面PBC所成角的正弦值為 D．三棱錐外接球的半徑為【正確答案】BD【分析】證明平面，再根據(jù)即可判斷A；先利用余弦定理求出，將用表示，利用向量法求解即可判斷B；利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，再根據(jù)直線PA與平面PBC所成角的正弦值為即可判斷C；利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再利用勾股定理求出外接球的半徑即可判斷D.【詳解】由題意可得，又平面，所以平面，在中，，邊上的高為，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在中，，，所以直線PA與直線BC所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，解得，所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為，故C錯(cuò)誤；由B選項(xiàng)知，，則，所以的外接圓的半徑，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，又因?yàn)槠矫?，則，所以，即三棱錐外接球的半徑為，故D正確.故選：BD.12．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，當(dāng)時(shí)，.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為C．為奇函數(shù)D．方程僅有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解【正確答案】BC【分析】根據(jù)，推導(dǎo)出，所以的周期為8，可判斷A；根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出，，當(dāng)時(shí)，，從而確定的取值范圍，可判斷B；根據(jù)得到關(guān)于中心對(duì)稱，從而關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，即為奇函數(shù)，可判斷C；畫(huà)出與的圖象，數(shù)形結(jié)合求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求出方程的根的個(gè)數(shù)，可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，故，所以，即，所以，所以，所以的周期?，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，因?yàn)闀r(shí)，，所以，故，A錯(cuò)誤；當(dāng)，，所以，當(dāng)，，，所以，綜上：當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，B正確；因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱，故關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，C正確；畫(huà)出與的圖象，如下：顯然兩函數(shù)圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，其中，所以方程僅有4個(gè)不同實(shí)數(shù)解，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題13．設(shè)公比為5的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.【正確答案】504【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故14．若，，則______.【正確答案】【分析】根據(jù)賦值法，分別令，求解可得.【詳解】令可得：，再令可得：，所以.故四、雙空題15．高三年級(jí)267位學(xué)生參加期末考試，某班37位學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)、數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)?cè)谌昙?jí)中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班的3位學(xué)生．從這次考試成績(jī)看，①在甲、乙兩人中，其語(yǔ)文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是___；②在語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是___.【正確答案】乙數(shù)學(xué)【詳解】①由圖可知，甲的語(yǔ)文成績(jī)排名比總成績(jī)排名靠后；而乙的語(yǔ)文成績(jī)排名比總成績(jī)排名靠前，故填乙.②由圖可知，比丙的數(shù)學(xué)成績(jī)排名還靠后的人比較多；而總成績(jī)的排名中比丙排名靠后的人數(shù)比較少，所以丙的數(shù)學(xué)成績(jī)的排名更靠前，故填數(shù)學(xué).五、填空題16．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，.若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P恰好在橢圓C上，則橢圓C的離心率為_(kāi)_____.【正確答案】/【分析】根據(jù)，，利用斜率公式列方程組求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程構(gòu)造齊次式可解.【詳解】由題知，，，設(shè)，記直線與交于點(diǎn)Q，由題知Q為的中點(diǎn)，又O為的中點(diǎn)，所以，所以...①，又，所以...②，聯(lián)立①②解得，代入橢圓方程得，將代入上式，整理可得，即，解得或（舍去），所以.故

六、解答題17．在△中，角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且，．(1)求證：△為等腰三角形；(2)從條件①、條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求AC邊上的高h(yuǎn)．條件①：△的面積為；條件②：△的周長(zhǎng)為20．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)余弦定理，結(jié)合，求得，通過(guò)判斷，即可證明；（2）選擇①，根據(jù)結(jié)合面積公式，求得；再根據(jù)等面積法即可求得；選擇②，根據(jù)三角形周長(zhǎng)結(jié)合等量關(guān)系，求得，再根據(jù)等面積即可求得.【詳解】（1）因?yàn)?，由余弦定理可得：，又，設(shè)，則，解得（舍）或，故△為等腰三角形，即證.（2）選①：△的面積為，由，可得，又，故，則，又，故可得，又，則，因?yàn)锳C邊上的高為h，故，故可得；選②：△的周長(zhǎng)為20，則，即，結(jié)合可得，由，可得，又，故，則，即，解得.綜上所述，選擇①②作為條件，均有.18．如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，平面平面ABC．(1)證明：；(2)若E為的中點(diǎn)，直線與平面所成的角為45°，求直線與平面所成的角的正弦值．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）取AC的中點(diǎn)D，連接BD，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定證明平面ABC即可推理作答.（2）由給定的線面角求出，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面的正弦作答.【詳解】（1）如圖，在三棱柱中，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，因?yàn)槭堑冗吶切?，則，又平面ABC，平面平面ABC，平面平面，則平面，而平面，于是，又，，平面ABC，因此平面ABC，又平面ABC，則，于是，所以.（2）取AB的中點(diǎn)F，連接CF．由（1）得平面ABC，又，所以是直線與平面ABC所成的角，即，，由（1）知，CF，AB兩兩互相垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CF為x軸，過(guò)點(diǎn)C且平行于AB的直線為y軸，直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，于是，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為.19．在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號(hào)為的三個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一個(gè)金蛋，再將三個(gè)箱子關(guān)閉.主持人知道金蛋在哪個(gè)箱子里.游戲規(guī)則是主持人請(qǐng)抽獎(jiǎng)人在三個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若金蛋在此箱子里，抽獎(jiǎng)人得到元獎(jiǎng)金；若金蛋不在此箱子里，抽獎(jiǎng)人得到元參與獎(jiǎng).無(wú)論抽獎(jiǎng)人是否抽中金蛋，主持人都重新隨機(jī)放置金蛋，關(guān)閉三個(gè)箱子，等待下一個(gè)抽獎(jiǎng)人。(1)求前位抽獎(jiǎng)人抽中金蛋人數(shù)的分布列和方差；(2)為了增加節(jié)目效果，改變游戲規(guī)則.當(dāng)抽獎(jiǎng)人選定編號(hào)后，主持人在剩下的兩個(gè)箱子中打開(kāi)一個(gè)空箱子.與此同時(shí)，主持人也給抽獎(jiǎng)人一個(gè)改變選擇的機(jī)會(huì).如果抽獎(jiǎng)人改變選擇后，抽到金蛋，獎(jiǎng)金翻倍；否則，取消參與獎(jiǎng).若僅從最終所獲得的獎(jiǎng)金考慮，抽獎(jiǎng)人該如何抉擇呢？【正確答案】(1)分布列見(jiàn)解析；(2)抽獎(jiǎng)人應(yīng)改變選擇【分析】（1）利用二項(xiàng)分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式可求得方差；（2）分別計(jì)算改變選擇和不改變選擇所獲得獎(jiǎng)金數(shù)的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)數(shù)學(xué)期望值的大小關(guān)系可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：抽中金蛋人數(shù)服從于二項(xiàng)分布，即，即所有可能的取值為，；；；；的分布列為：中獎(jiǎng)人數(shù)的方差.（2）若改變選擇，記獲得獎(jiǎng)金數(shù)為，則可能的取值為，則，，改變選擇時(shí)，獲得獎(jiǎng)金數(shù)的數(shù)學(xué)期望；若不改變選擇，記獲得獎(jiǎng)金數(shù)為，則可能的取值為，則，，不改變選擇時(shí)，獲得獎(jiǎng)金數(shù)的數(shù)學(xué)期望；，抽獎(jiǎng)人應(yīng)改變選擇.20．已知Q：,,…,為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m,若對(duì)任意的,在Q中存在,,,…,,使得,則稱Q為m連續(xù)可表數(shù)列.(1)判斷是否為7連續(xù)可表數(shù)列？是否為8連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若Q：,,…,為8連續(xù)可表數(shù)列,求證：k的最小值為4.【正確答案】(1)Q是7連續(xù)可表數(shù)列,但不是8連續(xù)可表數(shù)列,理由見(jiàn)詳解.(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)連續(xù)可表數(shù)列的定義逐一檢驗(yàn)即可；（2）當(dāng)時(shí),利用定義確定數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng),然后根據(jù)定義證明即可,當(dāng)時(shí),取.然后驗(yàn)證其為8連續(xù)可表數(shù)列可證.【詳解】（1）若.因?yàn)?所以對(duì)任意的,在Q中存在,,,…,,使得,故Q為7連續(xù)可表數(shù)列；因?yàn)?,所以不存在連續(xù)項(xiàng)之和等于8,故Q不是8連續(xù)可表數(shù)列.（2）若Q：,,…,為8連續(xù)可表數(shù)列,則數(shù)列Q中必存在元素1,顯然不滿足；若,因?yàn)楸卮嬖谶B續(xù)項(xiàng)之和等于8（包括1項(xiàng)）,所以Q中另一個(gè)元素必為7或8,顯然此時(shí)不存在連續(xù)項(xiàng)之和等于2,不滿足；若,因?yàn)楸卮嬖谶B續(xù)項(xiàng)之和等于2（包括1項(xiàng)）,所以Q中必含兩個(gè)1或一個(gè)1一個(gè)2,又因?yàn)楸卮嬖谶B續(xù)項(xiàng)之和等于8（包括1項(xiàng)）,所以Q中另一個(gè)元素必為5或6或7或8,此時(shí)不存在連續(xù)項(xiàng)之和等于4（包括1項(xiàng)）,不滿足；若,可取.此時(shí),所以Q為8連續(xù)可表數(shù)列,綜上,若Q：,,…,為8連續(xù)可表數(shù)列,k的最小值為4.21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，斜率不為0的直線過(guò)點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，橢圓的離心率．(1)求橢圓的方程；(2)在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【正確答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率、通徑長(zhǎng)、列方程即可求得的值，從而求得橢圓方程；（2）設(shè)，，，直線，聯(lián)立直線與橢圓得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，檢驗(yàn)是否為定值.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，①將代入橢圓方程得：，解得，所以，②又，③綜合①②③解得：，，，所以橢圓M的方程為．（2）存在．設(shè)，，，直線，

聯(lián)立方程：，得，所以，，，，，當(dāng)，即時(shí)，為定值，所以存在點(diǎn)，使得為定值．22．已知函數(shù)，.(1