2023~2024學(xué)年湖南岳陽岳陽高三第二學(xué)期新高考適應(yīng)性數(shù)學(xué)試題帶解析

2023-2024學(xué)年湖南省岳陽市高三下學(xué)期新高考適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)模擬試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．-3 B．-1 C．1 D．3【正確答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法，將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，所以，解得故實(shí)數(shù)a的值為.故選：A2．已知：，，：，若為真，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】利用基本不等式求出命題為真時(shí)的取值范圍，再解一元二次不等式得到，最后根據(jù)為真，求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：若為真：即，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以；因?yàn)椋?，解得因?yàn)闉檎妫詾檎媲覟檎?，所以解得，即故選：A3．空間中，是三個(gè)互不重合的平面，是一條直線，則下列命題中正確的是A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【正確答案】C【詳解】若l∥α，l∥β，則α與β可能平行也可能相交(此時(shí)交線與l平行)，故A錯(cuò)誤；若，，則l∥α或l?α，故B錯(cuò)誤；若，，則l與β可能平行也可能相交，故D錯(cuò)誤；若l∥β，則存在直線m?β，使得l∥m，又由l⊥α可得m⊥α，故α⊥β，故C正確；本題選擇C選項(xiàng).4．某地病毒爆發(fā)，全省支援，需要從我市某醫(yī)院某科室的名男醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)?名女醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)中分別選派名男醫(yī)生和名女醫(yī)生，則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】設(shè)事件A表示“有一名主任醫(yī)師被選派”，事件B表示“兩名主任醫(yī)師都被選派”，則由題意可知所求為，代入條件概率的公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A表示“有一名主任醫(yī)師被選派”，事件B表示“兩名主任醫(yī)師都被選派”，則“在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派”的概率為.故選：A.5．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，在根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到全局的單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性脫去函數(shù)記號(hào)，解不等式來處理.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．則不等式，即等價(jià)于，解得或．故選：D．6．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)取得最大值時(shí)， D．【正確答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差中項(xiàng)，得到，，，進(jìn)而得到數(shù)列是遞減數(shù)列，作差法比較出，進(jìn)而判斷出答案.【詳解】，所以，，所以，所以且，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，取得最大值.故B正確，AC錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，故D錯(cuò)誤.故選：B.7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，若點(diǎn)M滿足，且∠MAB＝∠MBA，則△AMC的面積是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由正弦定理及誘導(dǎo)公式結(jié)合可得.由，結(jié)合可得，.后由∠MAB＝∠MBA，結(jié)合正弦定理，可得，即可得面積【詳解】由正弦定理及誘導(dǎo)公式，可得：，化簡得：，又，則.又，則，.因，則，，則在MAC中，，解之.則，則MAC中，邊對應(yīng)高，則MAC面積．8．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，由題可知外層橢圓可設(shè)成，再根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系可求出，即可利用求出離心率．【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為,因?yàn)閮?nèi)外橢圓離心率相同，外層橢圓可設(shè)成，設(shè)切線AC的方程為,與聯(lián)立得：，由,則,同理可得,,則,因此．故選：D.二、多選題9．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【正確答案】ABC【分析】利用基本不等式可得A,B,D正誤，利用1的妙用可得C的正誤.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故C正確；對于D，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到等號(hào)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.10．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的最大值是B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到D．若方程在區(qū)間有兩個(gè)實(shí)根，則【正確答案】BCD【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為，利用正弦型函數(shù)的最值可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷C選項(xiàng)；數(shù)型結(jié)合可判斷D選項(xiàng).【詳解】.對于A：函數(shù)的最大值是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B：時(shí)，，是正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，故B選項(xiàng)正確；對于C：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象，C選項(xiàng)正確；對于D：當(dāng)時(shí)，，令，則，由題意可知，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，D對.故選：BCD.11．在長方體中，，E是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)B，E，的平面交棱AD于點(diǎn)F，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)P，使得C．直線PE與平面所成角的正切值的最大值為D．三棱錐外接球表面積的取值范圍是【正確答案】ACD【分析】對于選項(xiàng)A，利用面面平行的性質(zhì)，得到平面，從而可判斷出選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，假設(shè)存在，可推出平面，從而判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，利用線面角的定義，找出線面角為，從而在中，求出的值，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D，利用球的截面圓的幾何性質(zhì)，找出球心在直線上，利用，建立方程，從而求出球的表面積的取值范圍.【詳解】對于A，因?yàn)槠矫嫫矫?，根?jù)面面平行的性質(zhì)，平面與這兩個(gè)平面的交線互相平行，即，因?yàn)槊妫?，所以平面，又點(diǎn)P在線段上,所以三棱錐的體積為定值，故A正確；對于B，若存在點(diǎn)P，使得，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，平?所以平面，與題意矛盾，故B錯(cuò)誤；對于C，如圖1所示，取BC的中點(diǎn)Q，連接，則點(diǎn)P在平面內(nèi)的射影在上，直線PE與平面所成角即，且有由已知可得，最小為，所以的最大值為，故C正確．對于D，如圖2，取的中點(diǎn)G，連接AG，分別取BE，AG的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以三棱錐外接球的球心O在直線上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為R，則，所以，設(shè)，則，所以,當(dāng)點(diǎn)P與F重合時(shí)，取最小值，此時(shí)，三棱錐外接球的表面積為，當(dāng)點(diǎn)P與重合時(shí)，取最大值，此時(shí)，三棱錐外接球的表面積為，故D正確．故選：ACD12．已知雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn).若，則下列說法正確的有（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．過點(diǎn)存在兩條直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)C．點(diǎn)在變化過程中，面積的取值范圍是D．若，則的內(nèi)切圓面積為【正確答案】AC【分析】結(jié)合雙曲線的定義、圓的切線長定理求得，從而求得雙曲線的方程，結(jié)合雙曲線的漸近線、直線和雙曲線的交點(diǎn)、焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓面積等知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題可得，因?yàn)榈膬?nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于，如圖，由切線長定理可知，，所以，，所以雙曲線的方程為，對A，由題可得雙曲線的漸近線方程為，故A正確；對B，由雙曲線的性質(zhì)可知過點(diǎn)的直線與漸近線平行時(shí)與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，又過點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，即與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，故過點(diǎn)的直線存在三條直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.對C，因?yàn)槊娣e為，因此只需求的范圍即可，可取臨界位置，當(dāng)與漸近線平行時(shí)，不妨設(shè)，令可得，當(dāng)與另一條漸近線平行時(shí)，不妨設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，解得，即，所以，令可得，所以，，故C正確；對D，當(dāng)時(shí)，則，，解得，故的內(nèi)切圓的周長為，的面積為，由題可知，故，，即，所以，，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則，即，的內(nèi)切圓的面積為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法有：（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．三、填空題13．已知向量，滿足，，，則___________．【正確答案】【分析】由得，展開可得關(guān)于的方程，解方程即得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)椋钥山獾?故14．的展開式中，的系數(shù)為______．【正確答案】30【分析】建立組合模型求解【詳解】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的3個(gè)因式中有一個(gè)選，剩下的兩個(gè)因式選，即可得到含的項(xiàng)，即可算出答案．表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有2個(gè)因式選，其余的3個(gè)因式中有一個(gè)選，剩下的兩個(gè)因式選，即可得到含的項(xiàng)，故含的項(xiàng)系數(shù)是.故3015．如圖，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在拋物線和圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且總是平行于軸，則周長的取值范圍是_______.【正確答案】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，三角形周長轉(zhuǎn)化為，求出范圍可解.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，圓的圓心，三角形周長為：周長的取值范圍是故利用拋物線的定義解決問題時(shí)，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與其到準(zhǔn)線距離間的等價(jià)轉(zhuǎn)化．“看到準(zhǔn)線應(yīng)該想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)應(yīng)該想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線距離有關(guān)問題的有效途徑．四、雙空題16．我國民間剪紙藝術(shù)在剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對稱軸把紙對折.現(xiàn)有一張半徑為的圓形紙，對折次可以得到兩個(gè)規(guī)格相同的圖形，將其中之一進(jìn)行第次對折后，就會(huì)得到三個(gè)圖形，其中有兩個(gè)規(guī)格相同，取規(guī)格相同的兩個(gè)之一進(jìn)行第次對折后，就會(huì)得到四個(gè)圖形，其中依然有兩個(gè)規(guī)格相同，以此類推，每次對折后都會(huì)有兩個(gè)圖形規(guī)格相同.如果把次對折后得到的不同規(guī)格的圖形面積和用表示，由題意知，，則________；如果對折次，則________.【正確答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，再計(jì)算即可；根據(jù)題意得到，再利用分組求和法求和即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?.故；五、解答題17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求的最小正周期及解析式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【正確答案】(1)，(2).【分析】（1）由圖象可知，相鄰的對稱中心和對稱軸距離相差，再代入關(guān)鍵點(diǎn)可得解析式；（2）根據(jù)圖象的變換得到解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得其在區(qū)間上最值.【詳解】（1）由圖象可知的最大值為1，最小值-1，故；又∴，將點(diǎn)代入，∴，∵∴故，.（2）由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到函數(shù)∵∴∴當(dāng)時(shí)，即，；當(dāng)時(shí)，即，故18．已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前20項(xiàng)和.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到，然后兩式相減得到，最后驗(yàn)證時(shí)是否成立，即可得到；（2）分奇偶項(xiàng)求和，奇數(shù)項(xiàng)用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項(xiàng)用裂項(xiàng)相消的方法求和，最后相加即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，，上述兩式作差可得，因?yàn)闈M足，所以的通項(xiàng)公式為.（2），所以，.所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為.19．如圖，在四棱錐P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB上一點(diǎn)．(1)求證：平面EAC⊥平面PBC；(2)若E是PB的中點(diǎn)，且二面角P—AC—E的余弦值是，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG，易得四邊形ADCG為邊長為1的正方形，得到，再由，從而證得平面PBC，再利用面面垂直的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)，設(shè)，易知為平面PAC的一個(gè)法向量，再求得平面EAC的一個(gè)法向量，由，求得，從而得到求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：因?yàn)镻C⊥底面ABCD，AC底面ABCD，所以，又，在中，，設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG，則四邊形ADCG為邊長為1的正方形，所以，且，則，所以，又，所以平面PBC，又平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以平面PAC，則為平面PAC的一個(gè)法向量，設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，解得，則，設(shè)直線PA與平面EAC所成的角為，則，所以直線PA與平面EAC所成的角的正弦值為.20．汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素．我國近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷量萬輛1012172026(1)統(tǒng)計(jì)表明銷量與年份代碼有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)心隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)200位購車車主的購車情況作為樣本其中男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有名，購置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統(tǒng)燃油汽車．①若，將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體，試用（1）中的線性回歸方程預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設(shè)每位車主只購買一輛汽車，結(jié)果精確到千人）；②設(shè)男性車主中購置新能源汽車的概率為，將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有男性車主中隨機(jī)抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，最大．附：為回歸方程，，．【正確答案】(1)，2028年(2)①萬人；②【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合線性回歸的公式求解方程，再令求解即可；（2）①計(jì)算該地區(qū)購置新能源汽車的車主中女性車主的頻數(shù)與總?cè)藬?shù)求解即可；②根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可得，再求導(dǎo)分析的最大值即可.【詳解】（1）解：由題意得，，，．所以，．所以關(guān)于的線性回歸方程為，令，得，所以最小的整數(shù)為12，，所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．（2）解：①由題意知，該地區(qū)200名購車者中女性有名，故其中購置新能源汽車的女性車主的有名．所購置新能源汽車的車主中，女性車主所占的比例為．所以該地區(qū)購置新能源汽車的車主中女性車主的概率為．預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的銷量為33萬輛，因此預(yù)測該地區(qū)2020年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)為萬人②由題意知，，則當(dāng)時(shí)，知所以函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，知所以函數(shù)單調(diào)遞減所以當(dāng)取得最大值．此時(shí)，解得，所以當(dāng)時(shí)取得最大值．21．已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為上的一點(diǎn).(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的面積；(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且直線與交于不同的兩點(diǎn)A、B，求證：為定值，并求出該定值；(3)如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點(diǎn)P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時(shí)圓M的方程.【正確答案】(1)；(2)證明見解析，0；(3)，圓M的方程為或.【分析】（1）將點(diǎn)代入求出，再求出左、右焦點(diǎn)即可求解.（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.（3）設(shè)出直線:，直線:，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得、是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，根據(jù)題意為定值，可得，，設(shè)，，將直線:，直線:與橢圓聯(lián)立，求出，即求.【詳解】（1）由已知條件得，因?yàn)椋瑒t，又，因