2023~2024學(xué)年全國新高考高三第二學(xué)期4月數(shù)學(xué)押題試題帶解析

2023-2024學(xué)年全國新高考高三下學(xué)期4月數(shù)學(xué)押題模擬試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則()A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則()A.1 B. C. D.3.已知，，，則a與b的夾角為()A. B. C. D.4.設(shè)某芯片制造廠有甲、乙兩條生產(chǎn)線均生產(chǎn)5nm規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙生產(chǎn)的芯片分別為12塊，8塊，且乙生產(chǎn)該芯片的次品率為，現(xiàn)從這20塊芯片中任取一塊芯片，若取得芯片的次品率為0.08，則甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為()A. B. C. D.5.圓錐的母線長為4，側(cè)面積是底面積的倍，過圓錐的兩條母線作圓錐的截面，則該截面面積的最大值是()A.8 B. C. D.6.已知的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且對任意，都有成立，當(dāng)時(shí)，，則().A.-8B.-B.-2 C.0 D.27.《九章算術(shù)》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數(shù)學(xué)專著.《九章算術(shù)》內(nèi)容十分豐富，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.其中卷第五《商功》中記載了如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈.問積幾何?”其意思為“現(xiàn)在有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈，無寬，上棱長2丈，高1丈，問它的體積是多少?”(1丈為10尺).該問題中涉及的幾何體如圖所示，在多面體中，平面的中點(diǎn)G在底面上的射影為矩形的中心，則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.8.已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A，若，，則橢圓C的方程為()

A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9.若，且，則下列不等式中，恒成立的是()A. B.C. D.10.已知函數(shù)（為正整數(shù)，）的最小正周期，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是()A.是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.方程在上有三個(gè)解D.函數(shù)在上單調(diào)遞減11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是()A.若實(shí)數(shù)，是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且滿足，則或B.函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件是C.若函數(shù)在R上單調(diào)，則D.若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則12.正四面體中，點(diǎn)分別滿足，其中，則下列說法正確的有()A.當(dāng)時(shí)，平面B.不存在λ使得C.異面直線與所成角的余弦值D.若正四面體的棱長為，則該正四面體的外接球的體積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則________.14.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為_________.（用數(shù)字作答）15.已知雙曲線的實(shí)軸長為4，離心率為，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，則的取值范圍為________.16.已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________.四、解答題：本題共6題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）若，，證明：；（2）在（1）的條件下，若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證.18.（12分）已知菱形ABCD的邊長為2，，E是邊BC上一點(diǎn)，線段DE交AC于點(diǎn)F.(1)若的面積為，求DE的長.(2)若，求.19.（12分）某工廠統(tǒng)計(jì)了某產(chǎn)品的原材料投人x(萬元)與利潤y(萬元)間的幾組數(shù)據(jù)如下：原材料投入x(萬元)8284858688利潤y(萬元)770800830850900(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知原材料投人x(萬元)與利潤y(萬元)間具有線性相關(guān)關(guān)系，求利潤y(萬元)關(guān)于原材料投人x(萬元)的線性回歸方程.(2)當(dāng)原材料投人為100萬元時(shí)，預(yù)估該產(chǎn)品的利潤為多少萬元?附：，.20.（12分）如圖，PO是三棱錐的高，，，E是PB的中點(diǎn).（1）求證：平面PAC；（2）若，，，求二面角正余弦值.21.（12分）已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且的重心G在曲線上.(1)求拋物線C的方程；(2)記曲線與y軸的交點(diǎn)為D，且直線AB與x軸相交于點(diǎn)E，弦AB的中點(diǎn)為M，求四邊形DEMG面積的最小值.22.（12分）已知函數(shù)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求證.

答案以及解析1.答案：D解析：集合，所以，所以.故選D.2.答案：D解析：由，所以，故選D.3.答案：B解析：由，解得，所以，則a與b的夾角為，故選B.4.答案：B解析：設(shè)，分別表示取得的這塊芯片是由甲廠、乙廠生產(chǎn)的，B表示取得的芯片為次品，甲廠生產(chǎn)該芯片的次品率為p，則，，，，則由全概率公式得：，解得，故選：B.5.答案：A解析：本題考查圓錐的側(cè)面積、底面積、截面面積的求解.設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為l，軸截面頂角為，則，得，所以，因?yàn)闉殇J角，所以，即，則θ為純角，所以當(dāng)圓錐兩條母線互相垂直時(shí)，截面面積最大，最大值為.故選A.6.答案：B解析：因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以，又對任意，都有成立，所以，所以，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，故選B.7.答案：D解析：本題考查數(shù)學(xué)文化、異面直線所成角.如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，則，所以(或其補(bǔ)角)為異面直線與所成角..由題意知四邊形為等腰梯形，則由等腰梯形的性質(zhì)知，所以，所以在中，由余弦定理，得，故選D.8.答案：A解析：因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以，把該等式兩邊同時(shí)平方，得.又，所以，則，即，所以.因?yàn)槭侵苯侨切?，，且O為的中點(diǎn)，所以.不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則，所以，所以，即，故，所以橢圓C的方程為，故選A.9.答案：AD解析：對于A，因?yàn)?，所以，因此A項(xiàng)正確；對于B，取，此時(shí)，因此B項(xiàng)不正確；對于C，取，此時(shí)，因此C項(xiàng)不正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，因此D正確.10.答案：ABD解析：由題意得，，解得，又為正整數(shù)，所以，所以.函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后所得圖象對應(yīng)的函數(shù).由題意，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故，即.又，所以，，所以.A選項(xiàng)，故A正確；B選項(xiàng)：，所以B正確；選項(xiàng)：令，因?yàn)?，所以，，顯然在內(nèi)只有，兩個(gè)解，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，D正確.11.答案：ABD解析：A選項(xiàng)，由題意知實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，所以，且，，由，得，所以，解得或，所以A正確.B選項(xiàng)：若函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，故充分性成立；反之，若，則，故函數(shù)的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)，必要性成立.故B正確.選項(xiàng)：若函數(shù)在R上單調(diào)，則恒成立，所以，即，故C不正確.D選項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，即，整理得，所以，所以D正確.12.答案：AD解析：對于A，如圖1，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，.又平面，平面，所以平面，故選項(xiàng)A正確；對于B，如圖2，將正四面體放在正方體內(nèi)，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，所以當(dāng)分別是的中點(diǎn)時(shí)，，即存在λ使得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C，如圖1，取的中點(diǎn)E，連接，則，異面直線與所成角即為.在中，設(shè)，則，由余弦定理得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，如圖2，把正四面體放入正方體中，由正四面體的棱長為，得正方體的邊長為2，所以正方體的外接球的直徑為，則該正方體的外接球的體積，即該正四面體的外接球的體積為，故選項(xiàng)D正確，故選AD.13.答案：解析：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，，化簡得，即，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以.14.答案：182解析：因?yàn)?，其中展開式的通項(xiàng)為，令得的常數(shù)項(xiàng)為，令，即得展開式中的系數(shù)為.所以的常數(shù)項(xiàng)為.故182.15.答案：解析：由題知解得所以雙曲線.設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立消去y并整理得，所以，所以，設(shè)，，，所以，，所以，，又，所以，所以，易知直線l與雙曲線左、右兩支各交于一點(diǎn)，所以，所以，所以，所以16.答案：解析：由題可知，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，設(shè)，則在上是增函數(shù)，則在上恒成立，即在上恒成立.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以，所以.17.答案：（1）見解析（2）見解析解析：（1）因?yàn)?，，所以，，所以?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以，所以成立.（2）由（1）知，，所以，則，所以，所以成立.18.答案：(1)(2)解析：(1)依題意，得.因?yàn)榈拿娣e，所以，解得.在中，由余弦定理得.(2)方法一：連接BD.依題意，得，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以，所?方法二：連接BD.依題意，得，，設(shè)，則，設(shè)，因?yàn)?，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，或.又因?yàn)椋?，所以，所以，在中，由正弦定理得，所?19.答案：(1)(2)1160萬元解析：(1)由題中數(shù)據(jù)可得，所以所以，所以線性回歸方程為.(2)當(dāng)時(shí)，(萬元)，即當(dāng)原材料投人為100萬元時(shí)，預(yù)估該產(chǎn)品的利潤為1160萬元20.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接DP，DO，DE.

因?yàn)?，所?因?yàn)镻O為三棱錐的高，所以平面ABC，

因?yàn)槠矫鍭BC，所以.又平面POD，且，所以平面POD.因?yàn)槠矫鍼OD，所以，

又，所以，因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，所以平面PAC.

因?yàn)镈，E分別為BA，BP的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，所以平面PAC.

又平面ODE，，

所以平面平面PAC.

又平面ODE，所以平面PAC.

（2）連接OA，

因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，

所以，，

所以.易得在中，，

所以，，

又，

所以在中，.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x，y軸，以過A且垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，

設(shè)平面AEC的法向量為，

則，即，

令，則.

設(shè)平面AEB的法向量為，

則，即，令，則.

所以.

設(shè)二面角的大小為，

則.21.答案：(1)(2)(1)焦點(diǎn)，顯然直線AB的斜率存在，設(shè)，與聯(lián)立，消去y得，設(shè)，，，則，所以，所以且，故，即，整理得對任意的k恒成立，故，所求拋物線C的方程為.(2)由題知，，，，，，則.又弦AB的中點(diǎn)為M，的重心為G，則，故，所以.點(diǎn)D到直線AB的距離，，所以四邊形DEMG的面積當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)四邊形DEMG面積的