2023~2024學(xué)年陜西高三第二學(xué)期高考數(shù)學(xué)文試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年陜西省高三下學(xué)期高考數(shù)學(xué)（文）模擬試題（三模）一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】利用解絕對值不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得集合，根據(jù)集合的交集運算即得答案.【詳解】由題意可得集合，，故，故選：A2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的值為（

）A． B．5 C． D．2【正確答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則求出復(fù)數(shù)，從而可求得，再用乘法運算即可得出結(jié)果.【詳解】,,則,.故選：B.3．函數(shù)在上的圖像大致為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)解析式和圖象，結(jié)合特殊值，判斷選項.【詳解】因為函數(shù)，，故排除AD，，故排除B，只有C滿足條件.故選：C4．如圖，一組數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為5，方差為，去除，這兩個數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為，方差為，則（

）A．， B．， C．， D．，【正確答案】D【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.【詳解】由題意可得：，則，故，∵是波幅最大的兩個點的值，則去除，這兩個數(shù)據(jù)后，整體波動性減小，故.故選：D.5．已知向量，滿足同向共線，且，，則（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15【正確答案】D【分析】先根據(jù)題意確定向量，的倍數(shù)關(guān)系，然后可直接求解.【詳解】因為向量，滿足同向共線，所以設(shè)，又因為，，所以，所以或，即或.①當(dāng)時，；②當(dāng)時，；所以的值為3或15.故選：D.6．國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京年冬奧會的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場館、綠色場館.并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量）.如果前小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（

）小時.A． B． C． D．【正確答案】C【分析】分析可得出，設(shè)，求出的值，由此可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，可得，設(shè)，可得，解得.因此，污染物消除至最初的還需要小時.故選：C.7．已知實數(shù)，，滿足，則下列不等式中不可能成立的是（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由，得到，所以，，分別令，和，結(jié)合選項，得到正確，即可求解.【詳解】由題意，實數(shù)滿足，可得，所以，，當(dāng)時，，，此時，故B可能成立；當(dāng)時，，，此時，故A可能成立；當(dāng)時，，，此時，故C可能成立；所以由排除法得D不可能成立．故選：D.8．已知球與圓臺的上下底面和側(cè)面都相切．若圓臺的側(cè)面積為；上、下底面的面積之比為，則球的表面積為（

）．A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)題的描述，球內(nèi)切于圓臺，畫出圓臺的軸截面圖，根據(jù)圓臺的側(cè)面積，和上下底面的面積關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)而即得.【詳解】依據(jù)題意，球內(nèi)切與圓臺，畫出兩者的軸截面，球的截面為圓，圓臺的軸截面為等腰梯形，如圖所示，過點作的垂線，垂足為，設(shè)球的半徑為，則，設(shè)圓臺的母線為，即，上、下底面的面積之比為，即，，由圓的切線長定理可知，，圓臺的側(cè)面積為，解得，則，即，則球的表面積.故選：A.9．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，，在內(nèi)有且只有兩個最值點，且最大值點大于最小值點，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【正確答案】B【分析】由題意畫出函數(shù)的圖像，然后結(jié)合圖像以及題目的條件，利用特殊點代入，結(jié)合參數(shù)范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】

根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像大致如上，因為，由圖可知，，又，所以，所以，因為，由圖可知，，解得，又因為，可得，所以當(dāng)時，.故選：B10．圓上任意一點到直線的距離大于的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】試驗發(fā)生包含的事件是從這個圓上隨機的取一個點，對應(yīng)的圓上整個圓周的弧長，根據(jù)題意做出符合條件的弧長對應(yīng)的圓心角是，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果.【詳解】設(shè)圓心為，圓心到直線的距離，如圖，取，過做交圓于，可知滿足條件的點在劣弧上（不包括A，B），在中，,所以，，即,因為符合條件的點所在弧長所對圓心角為，由幾何概型可知,故選：C11．如圖，正四棱錐的高為12，，，分別為，的中點，過點，，的截面交于點，截面將四棱錐分成上下兩個部分，規(guī)定為主視圖方向，則幾何體的俯視圖為（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)主視圖所給方向即可知俯視圖中底面正方形，計算可知點投影位置，即可得出答案.【詳解】研究平面DPB，設(shè)AC與BD的交點為O，BM與EF交點為N,為的中點，為的中點，，，又因為,過點作，設(shè)，，，又，，,,為4個格，為8個格，故選：C關(guān)鍵點點睛：研究并計算平面,確定點在底面上的投影的位置，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12．在棱長為的正四面體中，點為所在平面內(nèi)一動點，且滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由題意可知，點在所在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，且該橢圓的焦點為、，長軸長為，然后以線段的中點為坐標(biāo)原點，直線所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出橢圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】如圖所示，在平面內(nèi)，，所以點在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，取的中點為點，連接，以直線為軸，直線為建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則橢圓的半焦距，長半軸，該橢圓的短半軸為，所以，橢圓方程為.點在底面的投影設(shè)為點，則點為的中心，，故點正好為橢圓短軸的一個端點，，則，因為，故只需計算的最大值.設(shè)，則，則，當(dāng)時，取最大值，即，因此可得，故的最大值為.故選：B.關(guān)鍵點點睛：本題考查線段長度最值的求解，根據(jù)橢圓的定義得知點的軌跡是橢圓，并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解的最大值是解題的關(guān)鍵，在求解時也要注意橢圓有界性的應(yīng)用.二、填空題13．已知實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為_________.【正確答案】【分析】根據(jù)約束條件作出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)表示的一簇直線畫出向可行域平移即可求解.【詳解】作出可行域，如圖所示

目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在軸上的截距為，轉(zhuǎn)化為，令，則，作出直線并平移使它經(jīng)過可行域的點，經(jīng)過時，，解得，所以.此時取得最小值，即．故答案為.14．已知等比數(shù)列的公比為2，前項和為，且6，，成等差數(shù)列，則______.【正確答案】【分析】利用等差中項的定義及等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項為，因為6，，成等差數(shù)列，所以，即，又，所以，解得，所以.故答案為.15．“一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如圖所示，月牙泉由兩段在同一平面內(nèi)的圓弧形岸連接圍成.兩岸連接點間距離為米.其中外岸為半圓形，內(nèi)岸圓弧所在圓的半徑為60米.某游客繞著月牙泉的岸邊步行一周，則該游客步行的路程為_______米.【正確答案】如圖，作出月牙湖的示意圖，由題意可得，可求的值，進(jìn)而由圖利用扇形的弧長公式可計算得解.【詳解】如圖，是月牙湖的示意圖，是的中點，連結(jié)，可得，由條件可知，所以，所以，，所以月牙泉的周長.故關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題抽象出圖象，再根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析問題.16．已知直線，拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，點關(guān)于軸對稱的點為.若過點的圓與直線相切，且與直線交于點，則當(dāng)時，直線的斜率為___________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理即可得到結(jié)果.【詳解】如圖，易知過點且與直線相切的圓就是以為直徑的圓，設(shè)，則，由有，設(shè)直線的方程為，代入有，所以，結(jié)合，得.故答案為:三、解答題17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A的大??；(2)若，，求的面積.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換即可得角A的大??；（2）由余弦定理可得的值，結(jié)合面積公式即可得面積.【詳解】（1）在中，由正弦定理得.又，所以，.所以，，即，即，又，所以，所以，即.（2）由（1）及題意知中，，，.由余弦定理得，即.所以，所以.18．如圖，已知三棱柱，，，為線段上的動點，．

(1)求證：平面平面；(2)若，為線段的中點，，求與平面所成角的正弦值．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，結(jié)合，再利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明即可；（2）由（1），根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求解.【詳解】（1）因為，，，，平面，所以平面．又平面，所以，又，即，而，，平面，所以平面．又因為平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面平面，又平面平面，，平面，所以平面，又，所以平面，所以CA，CB，兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x軸、y軸、x軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

因為，所以四邊形為矩形，又因為，所以四邊形為正方形.因為，，所以，所以，，，.由D是線段的中點，得，所以，，.設(shè)平面的一個法向量為，則即取，則，所以，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19．為弘揚奧林匹克精神，普及冰雪運動知識，助力2022年冬奧會和冬殘奧會，某校組織全體學(xué)生參與“激情冰雪—相約冬奧”冰雪運動知識競賽．從參加競賽的學(xué)生中，隨機抽取若干名學(xué)生的競賽成績，均在50到100之間，將樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，，并將成績繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知成績在區(qū)間70到90的有60人．

(1)求樣本容量，并估計該校本?競賽成績的中位數(shù)及平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)全校學(xué)生有1000人，抽取學(xué)生的競賽成績的標(biāo)準(zhǔn)差為11，用頻率估計概率，記全校學(xué)生的競賽成績的標(biāo)準(zhǔn)差為，估計全校學(xué)生中競賽成績在內(nèi)的人數(shù)．【正確答案】(1)樣本容量為100；中位數(shù)，平均數(shù)；(2)621人【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)分析公式可得.（2）先計算區(qū)間為，根據(jù)頻率分布直方圖求其對應(yīng)頻率再乘以總數(shù)1000即得.【詳解】（1）設(shè)樣本容量為，則，得，樣本容量為100．設(shè)本次競賽成績的中位數(shù)為，則，得抽取的學(xué)生競賽成績的平均數(shù)．（2），，則抽取學(xué)生在內(nèi)的頻率為全校學(xué)生有1000人，競賽成績在內(nèi)的人數(shù)20．已知雙曲線：的右頂點為A，О為原點，點在的漸近線上，的面積為.(1)求的方程；(2)過點Р作直線交于M，N兩點，過點N作x軸的垂線交直線AM于點G，H為NG的中點，證明：直線AH的斜率為定值.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】根據(jù)點在的漸近線上，可得，再根據(jù)的面積求出即可；（2）易得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，求出的方程，令，可得點的坐標(biāo)，從而可得點的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式計算即可.【詳解】（1）因為點在的漸近線上，所以，，則，所以，故，所以的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與雙曲線只有一個交點，不符題意，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消得，則，解得且，，直線的方程為，令，得，即，因為H為NG的中點，所以，所以，因為，所以，所以直線AH的斜率為定值.方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21．已知函數(shù)，其中，設(shè)為導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）設(shè)，若恒成立，求的范圍；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的零點為，函數(shù)的極小值點為，當(dāng)時，求證.【正確答案】（1）（2）見解析【分析】（I）計算的導(dǎo)函數(shù)，計算最小值，結(jié)合恒不等式，建立不等關(guān)系，計算a的范圍，即可．（II）構(gòu)造函數(shù)，判定極小值點，進(jìn)而得到的單調(diào)性，得到，結(jié)合單調(diào)性，即可．【詳解】（Ⅰ）由題設(shè)知，，，.當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在處取到最小值，且.由于恒成立，所以.（Ⅱ）設(shè)，則.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增.因為，所以，,故存在，使得，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故是的極小值點，因此.由（Ⅰ）可知，當(dāng)時，.因此，即單調(diào)遞增.由于，即，即，所以.又由（Ⅰ）可知，在單調(diào)遞增，因此.本道題考查了利用導(dǎo)函數(shù)判定原函數(shù)的單調(diào)性以及極值問題，難度較大．22．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程，在以極點為原點，極軸為軸正半軸的平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線交于、兩點；(1)求曲線的參數(shù)方程與的普通方程；(2)若，求實數(shù)的值.【正確答案】(1)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的普通方程為(2)【分析】（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，再將普通方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程即可，在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)，可得出直線的普通方程；（2）利用直線與曲線相交求出的取值范圍，求出以及原點到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合可得出關(guān)于實數(shù)的方程，即可解得實數(shù)的值.【詳解】（1）解：將曲線的極坐標(biāo)方程變形可得由，得，即，所以，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得，所以，直線的普通方程為.（2）解：由（1）知曲線