2023~2024學(xué)年上海浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試題（三模）一、填空題1.已知平面向量，，若，則___．【正確答案】1【分析】利用向量平行充要條件列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】由，，，可得，解之得.故12.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)______．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)合復(fù)數(shù)的概念求解作答.【詳解】復(fù)數(shù)，，依題意，，解得，所以實數(shù).故3.已知拋物線：上，則拋物的準線方程為______.【正確答案】．【分析】由拋物線方程，求出，可求準線方程【詳解】拋物線：，所以，準線方程為，故答案為.4.已知陳述句：所有的滿足性質(zhì)p，則的否定形式為______．【正確答案】存在不滿足性質(zhì)p.【分析】用全稱量詞命題的否定形式即得結(jié)果.【詳解】陳述句是全稱量詞命題，故其否定形式是：存在不滿足性質(zhì)p.故存在不滿足性質(zhì)p.5.在△ABC中，角A、B、C所對的邊記作a、b、c．已知，，則______．【正確答案】##【分析】由正弦定理邊化為角，結(jié)合兩角和與差的正弦公式即可求解.【詳解】由，應(yīng)用正弦定理，得，即，整理得：，即，因為，，所以.故答案為.6.北京時間2022年6月5日，搭載神舟十四號載人飛船的長征二號F遙十四運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，某中學(xué)為此舉行了“講好航天故事”演講比賽．現(xiàn)從報名的40位學(xué)生中利用下面的隨機數(shù)表抽取10位同學(xué)參加演講比賽，將40位學(xué)生按01、02、、40進行編號，假設(shè)從隨機數(shù)表第1行第3個數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，重復(fù)的跳過，則選出來的第7個號碼所對應(yīng)的學(xué)生編號為______．062743132636154709412512631763232616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179301423102118219137263890014005232617【正確答案】25【分析】利用隨機數(shù)表法，按照給定條件依次選取符合要求的號碼作答.【詳解】從隨機數(shù)表第1行第3個數(shù)字開始由左向右依次選取兩個數(shù)字，去掉超過40和重復(fù)的號碼，選取的號碼依次為：27，13，26，36，15，09，25，12，17，23，所以選出來的第7個號碼所對應(yīng)的學(xué)生編號為25.故257.在中，，，的平分線交BC于點D，若，則______．【正確答案】##【分析】根據(jù)給定條件，探求出線段與的倍分關(guān)系，再結(jié)合平面向量基本定理求解作答.【詳解】在中，，，則，又平分，即有，因此，即有，，整理得，而，且不共線，于是，所以.故8.設(shè)有兩個罐子，A罐中放有2個白球，1個黑球，罐中放有3個白球，這些球的大小與質(zhì)地相同.現(xiàn)從這兩個罐子中各摸1個球進行交換，那么這樣交換2次后，黑球還在A罐中的概率為___________.【正確答案】【分析】分兩種情況，利用獨立事件乘法公式計算，再相加即可.【詳解】分兩種情況，若第一次交換時從A罐中拿到黑球，則第二次交換時從B罐中也拿到黑球，其概率為，若第一次交換時從A罐中拿到的是白球，則第二次交換時，從A罐中拿到的仍然是白球，其概率為，故這樣交換2次后，黑球還在A罐中的概率為.故9.已知，，若，則滿足條件的x的取值范圍是______．【正確答案】【分析】由絕對值等式可知，，代入函數(shù)后，即可求解不等式.【詳解】若滿足條件，當且僅當，即，即或，解得：或.故10.南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個，第二層放3個，第三層放6個，第四層放10個第n層放個物體堆成的堆垛，則______．【正確答案】##【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出通項，再利用裂項相消法求和作答.【詳解】依題意，在數(shù)列中，，當時，，滿足上式，因此，，數(shù)列的前項和為，則，所以.故11.已知正方形ABCD的邊長是1，將沿對角線AC折到的位置，使（折疊后）A、、C、D四點為頂點的三棱錐的體積最大，則此三棱錐的表面積為______．【正確答案】【分析】首先確定三棱錐體積最大時，二面角為，再根據(jù)邊長求三棱錐的表面積.【詳解】在翻折過程中，三棱錐的底面始終是，故當二面角為時，三棱錐的體積最大，如圖，取的中點，連結(jié)，由題意可知，，，則，且，所以，所以和是邊長為1的等邊三角形，,和等腰直角三角形，所以三棱錐的表面積為.故12.若a、b為實數(shù)，且，函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值的差為1，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】討論的取值，結(jié)合三角函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】（?。┊敽瘮?shù)在閉區(qū)間內(nèi)無最值，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)，不妨取，可知，在內(nèi)單調(diào)遞增，可知，且，則，則，所以，即，可得，即①若，，則最大值和最小值的差為，符合題意；②若，，則，因為，則，可得，故，可得，且，，則，可得；③若，，則，因為，則，可得，故，可得，且，，則，可得；綜上所述：；（ⅱ）當函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)有最值，不妨取最大值1，最小值為0，由圖象可知：不妨取，當時，取到最大值；當時，取到最小值；可得；綜上所述：的取值范圍是.故答案為.方法點睛：數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題．它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個方面．一般來說，涉及函數(shù)、不等式、確定參數(shù)取值范圍、方程等問題時，可考慮數(shù)形結(jié)合法．運用數(shù)形結(jié)合法解題一定要對有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、幾何圖形較熟悉，否則，錯誤的圖象反而導(dǎo)致錯誤的選擇．二、選擇題13.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；由的圖象可判斷B；舉反例可判斷不滿足在上單調(diào)遞增可判斷C；利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義可判斷D；進而可得正確選項.【詳解】對于A：定義域是，是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選項A不正確；對于B：的圖象如圖：圖象不關(guān)于軸對稱，不是偶函數(shù)，故選項B不正確；對于C：定義域為關(guān)于原點對稱，，所以是偶函數(shù)，當時，，當時，，由，，所以在不滿足單調(diào)遞增，故選項C不正確；對于D：的定義域是，，所以是偶函數(shù)，任取，，因為，所以，，，所以即，所以在上單調(diào)遞增，故選項D正確；故選：D.14.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為．若，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)，可得，，從而可判斷AB，舉出反例即可判斷C，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合基本不等式即可判斷D.【詳解】解：因為，所以，故A錯誤；，所以，則公差，故B錯誤；所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列，則，，則，所以，所以，故D正確；對于C，當時，，。此時，故C錯誤.故選：D.15.如圖所示，正方體中，分別為棱的中點，則在平面內(nèi)與平面平行的直線A.不存在 B.有1條 C.有2條 D.有無數(shù)條【正確答案】D【分析】根據(jù)已知可得平面與平交，兩平面必有唯一的交線，則在平面內(nèi)與交線平行的直線都與平面平行，即可得出結(jié)論.【詳解】平面與平面有公共點，由公理3知平面與平面必有過的交線，在平面內(nèi)與平行的直線有無數(shù)條，且它們都不在平面內(nèi)，由線面平行的判定定理可知它們都與平面平行.故選：D.本題考查平面的基本性質(zhì)、線面平行的判定，熟練掌握公理、定理是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16.曲線：，下列兩個命題：命題甲：當時，曲線與坐標軸圍成的面積小于128；命題乙：當k=2n，時，曲線圍成的面積總大于4；下面說法正確是（）A.甲是真命題，乙是真命題 B.甲是真命題，乙是假命題C.甲是假命題，乙是真命題 D.甲是假命題，乙是假命題【正確答案】A【分析】把代入，變形等式并確定圖形在直線的下方（除點外）判斷命題甲；當取正偶數(shù)時，分析曲線的性質(zhì)，判斷點與曲線的位置關(guān)系判斷乙命題作答.【詳解】命題甲：當時，曲線：是端點為，在第一象限的曲線段，由，得，，而，當且僅當或時取等號，即有，則曲線除兩個端點外均在直線下方，因此曲線除端點外，在直線與坐標軸圍成的區(qū)域內(nèi)，直線交軸分別于點，，所以當時，曲線與坐標軸圍成的面積小于128，甲是真命題；命題乙：當k=2n，時，曲線：，顯然，即曲線關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱，且在平行直線和平行直線所圍成矩形及內(nèi)部，曲線是封閉曲線，其面積是曲線與x軸的非負半軸、y軸的非負半軸所圍面積的4倍，顯然，即點在曲線內(nèi)，而以點為頂點的正方形面積為1，曲線上的點，當x在0到1間任意取值時，y均大于1，當y在0到1間任意取值時，x均大于1，因此，所以曲線圍成的面積恒成立，乙是真命題.故選：A結(jié)論點睛：曲線C的方程為，(1)如果，則曲線C關(guān)于y軸對稱；(2)如果，則曲線C關(guān)于x軸對稱；(3)如果，則曲線C關(guān)于原點對稱.三、解答題（本大題滿分78分）17.如圖，直三棱柱中，，，，D為BC的中點，E為上的點，且．（1）求證：BE⊥平面；（2）求二面角的大?。菊_答案】（1）證明見解析.（2）.【分析】（1）以點為原點，建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理作答.（2）由（1）中坐標系，利用空間向量求二面角大小作答.【小問1詳解】在直三棱柱中，，顯然射線兩兩垂直，以點為原點，射線的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖，因為，，D為BC的中點，E為上的點，且，則，，于是，即，而平面，所以BE⊥平面.【小問2詳解】由（1）知，平面的一個法向量，而平面的一個法向量，顯然二面角的平面角為銳角，設(shè)其大小為，于是，則，所以二面角的大小為.18.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，且，求點的坐標.【正確答案】(1)(2)【詳解】試題分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和的正弦公式將函數(shù)化為，當時，則，只需令即可得結(jié)果；（2）若函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，則，即（），結(jié)合，取特殊值即可得結(jié)果.試題解析：（1），當時，則，又函數(shù)在上遞增，則，即，則實數(shù)的取值范圍為.（2）若函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，則，即（），則，由得，則點的坐標為.19.網(wǎng)購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費的新選擇．某小區(qū)物業(yè)對本小區(qū)三月份參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭的網(wǎng)購次數(shù)進行調(diào)查，從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取10戶，分別記為A組和B組，這20戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜的次數(shù)如下圖：假設(shè)用頻率估計概率，且各戶網(wǎng)購生鮮蔬菜的情況互不影響．（1）從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取1戶，記這兩戶中三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的戶數(shù)為X，估計X的數(shù)學(xué)期望；（2）從A組和B組中分別隨機抽取2戶家庭，記為A組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的戶數(shù)，為B組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20戶數(shù)，比較方差與的大?。菊_答案】（1）1；（2）.【分析】（1）利用古典概率求出每個單元抽取的概率，再求出的可能值及各個值對應(yīng)的概率，并求出期望作答.（2）分別求出、的可能值，再求出各個值對應(yīng)的概率，利用方差公式計算并比較大小作答.【小問1詳解】由莖葉圖知，A組三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的有3戶，從A組隨機抽取1戶，網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的概率，B組三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的有7戶，從B組隨機抽取1戶，網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的概率，的可能值為0，1，2，，，所以X的數(shù)學(xué)期望.【小問2詳解】由（1）知，的可能值為0，1，2；的可能值0，1，2，顯然、均服從超幾何分布，，，；，，，所以.20.如圖，已知橢圓：的離心率為，點為其左頂點．過A的直線交拋物線于B、C兩點，C是AB的中點．（1）求橢圓的方程；（2）求證：點C的橫坐標是定值，并求出該定值；（3）若直線m過C點，其傾斜角和直線l的傾斜角互補，且交橢圓于M，N兩點，求p的值，使得的面積最大．【正確答案】（1）；（2）證明見解析，定值為1；（3）.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出a，b得橢圓的方程作答.（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合中點問題推理計算作答.（3）利用（2）中信息求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出面積的函數(shù)關(guān)系，借助均值不等式求解作答.【小問1詳解】令橢圓的半焦距為c，依題意，，，解得，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】顯然直線不垂直于坐標軸，設(shè)的方程為，設(shè)，由消去x得：，，則，而C是AB的中點，即有，于是，滿足，因此，所以點C的橫坐標是定值，該定值為1.【小問3詳解】由直線過C點，其傾斜角和直線l的傾斜角互補，得直線和直線l的斜率互為相反數(shù)，則由（1）得直線的方程為，即，由消去x得：，，設(shè)，則，，點到直線：的距離，由C是AB的中點得的面積，令，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，的面積取得最大值，此時.思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線