2023~2024學(xué)年上海區(qū)域高考數(shù)學(xué)沖刺試題三模帶解析

2023-2024學(xué)年上海市區(qū)域高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試題（三模）一、填空題1．已知一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4，則其總體方差為___________．【正確答案】【分析】先利用中位數(shù)的定義求出，然后由方差的計(jì)算公式求解即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的中位數(shù)為4，所以，故，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故方差為，故答案為.2．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)值集合為______．【正確答案】【分析】由得到，則的子集有，，，，分別求解即可.【詳解】因?yàn)?，故；則的子集有，，，，當(dāng)時(shí)，顯然有；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；當(dāng)，不存在，所以實(shí)數(shù)的集合為；故答案為．3．已知向量，則在方向上的投影向量是______________．【正確答案】【分析】在方向上的投影向量是:，先求出，代入即可.【詳解】因?yàn)?則在方向上的投影向量是:故答案為.4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足對一切正整數(shù)成立.則__________.【正確答案】4【分析】由與的關(guān)系公式，得到是一個(gè)等比數(shù)列，再求其，利用極限即可【詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，，所以數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，所以，所以故45．已知是關(guān)于的方程的兩根，則__________.【正確答案】【分析】先通過根與系數(shù)的關(guān)系得到的關(guān)系，再通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可解得.【詳解】由題意：，所以，所以，即，解得.故答案為.6．如圖是甲?乙兩在5次技能測評中的成績莖葉圖，其中乙的一個(gè)成績數(shù)據(jù)被污損.假設(shè)被污損數(shù)據(jù)取到任何可能值的概率相等，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是__________.

【正確答案】/【分析】識別莖葉圖，利用平均數(shù)和古典概型求概率公式求解即可.【詳解】設(shè)被污損的數(shù)字為，則，且，甲的平均成績?yōu)?，乙的平均成績?yōu)椋驗(yàn)?，解得，故的可能值有個(gè)，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為.故7．已知，若，則______．【正確答案】先由指數(shù)式化為對數(shù)式可得，，再利用即可求的值.【詳解】由，可得：，，所以，則，故8．若，則__________.【正確答案】【分析】對兩邊同時(shí)取導(dǎo)數(shù)，再令，即可得出答案.【詳解】由可得：①，對①兩邊同時(shí)取導(dǎo)可得：，令，可得，所以.故答案為.9．現(xiàn)有一倒置圓錐形窗口，深24米，底面直徑6米.以的速度向容器中注水，則當(dāng)水深8米時(shí)，水面上升的速度為__________.【正確答案】5【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得水面半徑和高關(guān)系，再由圓錐的體積公式求出水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)水深求出時(shí)間，對其求導(dǎo)即可的到水面上升的速度.【詳解】設(shè)注入水后水面高度為，水面所在圓的半徑為，

，即：，因?yàn)樗捏w積為，即，當(dāng)時(shí)，，令，則，故，即當(dāng)水深8米時(shí)，水面上升的速度為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：瞬時(shí)速度是運(yùn)動(dòng)物體的位移對于時(shí)間的瞬時(shí)變化率，可以精確刻畫物體在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢，故解決本題的關(guān)鍵是求出水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，水流入時(shí)間為時(shí)的瞬時(shí)變化率，即此時(shí)的導(dǎo)數(shù)值.10．一艘漁船航行到A處看燈塔B在A的北偏東75°，距離為海里，燈塔C在A的北偏西45°，距離為海里，該船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東45°方向，則______海里.【正確答案】【分析】利用方位角求出B的大小，利用正弦定理直接求解AD的距離，直接利用余弦定理求出CD的距離即可．【詳解】如圖，在△ABD中，因?yàn)樵贏處看燈塔B在貨輪的北偏東75°的方向上，距離為海里，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東45°方向上，所以B＝180°?75°?45°＝60°由正弦定理，所以海里；在△ACD中，AD＝，AC＝，∠CAD＝45°，由余弦定理可得：，所以CD＝海里；故答案為.11．已知復(fù)數(shù)，其中.則的最小值為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)所表示的幾何意義得，再利用絕對值不等式即可得到答案.【詳解】在圖中作出復(fù)數(shù)，和的位置，分別為點(diǎn),令復(fù)數(shù)所在復(fù)平面上的點(diǎn)為，易得，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，，，所以?fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在線段上（包括端點(diǎn)），因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以垂直平分，所以?于是由三角不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí).故4.

12．已知，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且直線的斜率為.若，則__________.【正確答案】【分析】依題意求出，由直線的斜率為求出，設(shè)，，再由雙曲線的定義，余弦定理及正弦定理計(jì)算可得.【詳解】雙曲線，即，所以，所以，又直線的斜率為，即，所以，顯然為銳角，所以，，設(shè)，，則，另一方面，在中，由正弦定理，即，解得，代入上述方程組，解得，（負(fù)值舍去）.

故二、單選題13．已知是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是（

）A． B．C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量的基底性質(zhì)——基底向量由三個(gè)不共面的非零向量構(gòu)成，即不共線，以此作為判斷依據(jù).【詳解】對于A.,故A錯(cuò)誤；對于B.不共面，故B正確；對于C.,故C錯(cuò)誤對于D.,故D錯(cuò)誤故選:B三、解答題14．下列說法正確的是（

）A．甲、乙兩人做游戲；甲、乙兩人各寫一個(gè)數(shù)字，若是同奇數(shù)或同偶數(shù)則甲勝，否則乙勝，這個(gè)游戲公平B．做次隨機(jī)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率就是事件發(fā)生的概率C．某地發(fā)行福利，回報(bào)率為47%，某人花了100元買該福利，一定會有47元的回報(bào)D．試驗(yàn)：某人射擊中靶或不中靶，這個(gè)試驗(yàn)是古典概型【正確答案】A【詳解】對于A，兩人各寫一個(gè)數(shù)字，則同奇數(shù)或同偶數(shù)的概率為，可知甲勝的概率為，反之乙勝的概率為，故游戲公平，故正確；對于B，概率為頻率的趨近值；故錯(cuò)誤對于C，中獎(jiǎng)幾率為隨機(jī)事件發(fā)生的概率，具有隨機(jī)性，所以不一定會有47元的回報(bào)；故錯(cuò)誤對于D，古典概型的特點(diǎn)是：（1）實(shí)驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.中靶與不中靶不是等可能的，故錯(cuò)誤.故選：A四、單選題15．兩個(gè)平面與相交但不垂直，直線在平面內(nèi)，則在平面內(nèi)（

）A．一定存在直線與平行，也一定存在直線與垂直；B．一定存在直線與平行，不一定存在直線與垂直；C．不一定存在直線與平行，一定存在直線與垂直；D．不一定存在直線與平行，也不一定存在直線與垂直【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得分兩種情況：和，然后對選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則有兩種情況：和，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)不存在直線與平行，故AB錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)一定存在直線與平行，也一定存在直線與垂直，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)不存在直線與平行，由三垂線定理可知，一定存在直線與垂直，綜上：不一定存在直線與平行，但一定存在直線與垂直，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：C16．對于無窮數(shù)列和正整數(shù)，若對一切正整數(shù)成立，則稱具有性質(zhì).設(shè)無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，有兩個(gè)命題：①若是等比數(shù)列且對一切正整數(shù)，數(shù)列都具有性質(zhì)，則具有性質(zhì)；②若是等差數(shù)列且存在無數(shù)個(gè)正整數(shù)，使得數(shù)列不具有性質(zhì)，則的公差.那么（

）A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題C．①?②都是真命題 D．①?②都是假命題【正確答案】C【分析】通過分析兩種不同情況下數(shù)列時(shí)和的大小關(guān)系，分析數(shù)列是否具有性質(zhì)，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，對命題①，設(shè)數(shù)列的公比為.因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，所以對任意，也即.因此數(shù)列嚴(yán)格增，故①是真命題.對命題②，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為.對每個(gè)使得數(shù)列不具有性質(zhì)的正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得則，從而因?yàn)槭嵌ㄖ?，所以?dāng)無限增大時(shí)，得到.故②是真命題.故選.五、解答題17．某高校為增加應(yīng)屆畢業(yè)生就業(yè)機(jī)會，每年根據(jù)應(yīng)屆畢業(yè)生的綜合素質(zhì)和學(xué)業(yè)成績對學(xué)生進(jìn)行綜合評估，已知某年度參與評估的畢業(yè)生共有2000名．其評估成績近似的服從正態(tài)分布．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名畢業(yè)生的評估成績作為樣本，并把樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行了分組，繪制了如下頻率分布直方圖：（1）求樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若學(xué)校規(guī)定評估成績超過82.7分的畢業(yè)生可參加三家公司的面試．用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值．請利用估計(jì)值判斷這2000名畢業(yè)生中，能夠參加三家公司面試的人數(shù)；附：若隨機(jī)變量，則，．【正確答案】（1）70，161；（2）317.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)和方差的計(jì)算公式即可容易求得；（2）利用正態(tài)分布的概率求解，求得，再乘以，即可容易求得.【詳解】（1）由所得數(shù)據(jù)繪制的頻率直方圖，得：樣本平均數(shù)；樣本方差；（2）由（1）可知，，，故評估成績服從正態(tài)分布，所以．在這2000名畢業(yè)生中，能參加三家公司面試的估計(jì)有人．本題考查由頻率分布直方圖求平均數(shù)和方程，正態(tài)分布的概率求解，屬綜合基礎(chǔ)題.18．在中，分別是角的對邊.設(shè)，已知(1)求角的大??；(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.【正確答案】(1)(2)最小值【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和正弦定理即可求解；（2）先利用兩角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化簡，再用輔助角公式化為，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出最小值及其取得最小值時(shí)的x值.【詳解】（1）由題意可得：，由正弦定理得：，則，可得，因?yàn)?，則，可得，即，又因?yàn)?，所?（2）由（1）可得，則，由題意可得：，因?yàn)?，則，可得，所以當(dāng)，即時(shí)，有最小值.19．如圖，直三棱柱內(nèi)接于圓柱，，平面平面(1)證明：是圓柱下底面的直徑；(2)若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求平面與平面所成二面角的正弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，利用平面平面可得到平面，繼而得到，結(jié)合可得到平面，所以，即可求證；（2）以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面和平面的法向量，然后用夾角公式進(jìn)行求解即可【詳解】（1）連接，在直三棱柱中，，四邊形為正方形，，又平面平面，平面平面平面，平面，又平面又平面平面，又平面，平面，又平面，為圓柱底面的直徑.（2）由已知平面，以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，，為中點(diǎn)，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，又，，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，又，，取，得，，所以平面與平面所成二面角的余弦值為，對應(yīng)的正弦值為20．設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)為橢圓上異于點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線的斜率之積為.①證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)；②求面積的最大值.【正確答案】(1)(2)①證明見解析，定點(diǎn)；②【分析】（1）由題意可得，，再結(jié)合，可求出，從而可求得橢圓的方程，（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合化簡可得，從而可得或進(jìn)而可求出定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，若直線過定點(diǎn)，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，求解即可，②設(shè)直線過定點(diǎn)為，則的面積，直線的方程為，代入橢圓方程中，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示出，化簡換元后利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】（1）由于，①又，②由①②解得，橢圓的方程為.（2）①在（1）的條件下，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，消去得：，設(shè)，則，.又，由題知，則，且，則.，則，或當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過定點(diǎn)，顯然不適合題意，當(dāng)時(shí)，直線的方程為.此時(shí)直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，若直線過定點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.滿足.綜上，直線過定點(diǎn).②不妨設(shè)直線過定點(diǎn)為.則的面積，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程消去得，則所以.令，則因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)即），所以，即面積的最大值為.21．設(shè)是定義域均為的三個(gè)函數(shù).是的一個(gè)子集.若對任意，點(diǎn)與點(diǎn)都關(guān)于點(diǎn)對稱，則稱是關(guān)于的“對稱函數(shù)”.(1)若和是關(guān)于的“對稱函數(shù)”，求；(2)已知是關(guān)于的“對稱函數(shù)”.且對任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：對任意，存在唯一的，使得和是關(guān)于的“對稱函數(shù)”.【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）通過定義即可得出的解析式，即可求出；（2）求出的解析式，根據(jù)即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）將證明轉(zhuǎn)化為證任意，關(guān)于的方程有唯一解，通過求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意，和是關(guān)于的“對稱函數(shù)”，∴，∴.（2）由題意及（1）得，是關(guān)于的“對稱函數(shù)”，∴，設(shè)，則，∴.另一方面，由于，∴函數(shù)在上恰有一個(gè)駐點(diǎn)，從而當(dāng)時(shí)，比較和處的函數(shù)值得，.因此，，故，即.（3）由題意，（1）及（2