2024-2025學(xué)年山西省太原市某校高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1山西省太原市某校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，，∴.故選：B.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，所以.故選：C.4.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程中，常用函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)的圖像特征，函數(shù)在的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)在上，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以A不正確，B正確.故選：B.5.中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長為，的長為，若，，則扇環(huán)的面積為（）A.128 B. C. D.192【答案】D【解析】因?yàn)榈拈L為，的長為，，，則，如圖，設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為，，的弧度數(shù)為，則，解得，則扇環(huán)的面積.故選：D.6.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因?yàn)樗裕?故選：C.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所?故選：D.8.若定義在上的函數(shù)滿足，是奇函數(shù)，，設(shè)函數(shù)，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】因?qū)τ?，，則，故函數(shù)為周期函數(shù)，4是函數(shù)的一個(gè)周期，又是上的奇函數(shù)，則，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，于是，，在，取，得，因，則.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】CD【解析】對(duì)于A，由可得，所以，即，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨取，，此時(shí)，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得，所以，即，因此C正確；對(duì)于D，由可得，又，所以，即D正確.故選：CD.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.該圖象向左平移個(gè)單位長度可得圖象C.該圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短到原來倍可得圖象D.函數(shù)上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】由圖可知，由得，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，可得，則，因?yàn)?，所以，得，?duì)于A，將代入，得到，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，圖象向左平移個(gè)單位，則，故B正確；對(duì)于C，對(duì)于，如果橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，則；同時(shí)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，得，故C正確；D.由于，則，而在不單調(diào)故函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)時(shí)，則()A.點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面1米C.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)P在水面下方，距離水面2米D.點(diǎn)P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數(shù)解析式為【答案】ACD【解析】設(shè)點(diǎn)距離水面的高度為（米和（秒的函數(shù)解析式為，，，由題意，，，，解得，，，則．當(dāng)時(shí)，，，則，又，則．綜上，，故D正確；令，則，若，得秒，故A正確；當(dāng)秒時(shí)，米，故B不正確；當(dāng)秒時(shí)，，故C正確．故選：ACD．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，則＝______.【答案】【解析】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得或1，又的圖象與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)，故，故，所以．13.函數(shù)的減區(qū)間是_______________.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，即或，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減．∵函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的遞減區(qū)間為.14.若，，且，則的最小值為__________.【答案】【解析】，即，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為.四、解答題（本題共5小題，共77分.）15.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知關(guān)于的不等式的解集為或.（1）求的值；（2）解關(guān)于的不等式解：（1）根據(jù)題意，得方程的兩個(gè)根為1和，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解之得.（2）由（1）得關(guān)于的不等式，即，因式分解得．①當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.17.已知.（1）若，求的值；（2）若，且，求的值.解：（1），.（2），

，，，，.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期.（2）由，解得，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是.（3）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為.19.著名的“懸鏈線拱橋問題”與數(shù)學(xué)中的雙曲函數(shù)相關(guān).函數(shù)叫做雙曲正弦函數(shù)，函數(shù)叫做雙曲余弦函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).已知函數(shù).（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由；（2）求不等式解集；（3）當(dāng)時(shí)，求的最大值.解：（1）由，可得，即是定值，定值為1.（2）易知的定義域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，由不等式可得，又因是上的增函數(shù)，所以，所以，所以不等式的解集為.（3）令，因在上單調(diào)遞增，故得，又因?yàn)椋?，則，，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最大值為；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值為；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)取最大值；綜上可得：.山西省太原市某校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，，∴.故選：B.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，所以.故選：C.4.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究過程中，常用函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)的圖像特征，函數(shù)在的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)在上，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)?，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以A不正確，B正確.故選：B.5.中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長為，的長為，若，，則扇環(huán)的面積為（）A.128 B. C. D.192【答案】D【解析】因?yàn)榈拈L為，的長為，，，則，如圖，設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為，，的弧度數(shù)為，則，解得，則扇環(huán)的面積.故選：D.6.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因?yàn)樗?，?故選：C.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所?故選：D.8.若定義在上的函數(shù)滿足，是奇函數(shù)，，設(shè)函數(shù)，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】因?qū)τ?，，則，故函數(shù)為周期函數(shù)，4是函數(shù)的一個(gè)周期，又是上的奇函數(shù)，則，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，于是，，在，取，得，因，則.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】CD【解析】對(duì)于A，由可得，所以，即，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨取，，此時(shí)，即B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可得，所以，即，因此C正確；對(duì)于D，由可得，又，所以，即D正確.故選：CD.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.該圖象向左平移個(gè)單位長度可得圖象C.該圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短到原來倍可得圖象D.函數(shù)上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】由圖可知，由得，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，可得，則，因?yàn)椋?，得，?duì)于A，將代入，得到，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，圖象向左平移個(gè)單位，則，故B正確；對(duì)于C，對(duì)于，如果橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，則；同時(shí)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍，得，故C正確；D.由于，則，而在不單調(diào)故函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)P0)開始計(jì)時(shí)，則()A.點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要20秒B.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)155秒時(shí)，點(diǎn)P距離水面1米C.當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，點(diǎn)P在水面下方，距離水面2米D.點(diǎn)P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數(shù)解析式為【答案】ACD【解析】設(shè)點(diǎn)距離水面的高度為（米和（秒的函數(shù)解析式為，，，由題意，，，，解得，，，則．當(dāng)時(shí)，，，則，又，則．綜上，，故D正確；令，則，若，得秒，故A正確；當(dāng)秒時(shí)，米，故B不正確；當(dāng)秒時(shí)，，故C正確．故選：ACD．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有公共點(diǎn)，則＝______.【答案】【解析】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得或1，又的圖象與坐標(biāo)軸無公共點(diǎn)，故，故，所以．13.函數(shù)的減區(qū)間是_______________.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，即或，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減．∵函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的遞減區(qū)間為.14.若，，且，則的最小值為__________.【答案】【解析】，即，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為.四、解答題（本題共5小題，共77分.）15.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知關(guān)于的不等式的解集為或.（1）求的值；（2）解關(guān)于的不等式解：（1）根據(jù)題意，得方程的兩個(gè)根為1和，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解之得.（2）由（1）得關(guān)于的不等式，即，因式分解得．①當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.17.已知.（1）若，求的值；（2）若，且，求的值.解：（1），.（2），

，，，，.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期.（2）由，解得，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是.（3）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為.19.著名的“懸鏈線拱橋問題”與數(shù)學(xué)中的雙曲函數(shù)相關(guān).函數(shù)叫做雙曲正弦函數(shù)，函數(shù)