2025屆貴州省部分校高三下學(xué)期4月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1貴州省部分校2025屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，，，，，，且，所以集合.集合，由于指數(shù)函數(shù)的值域是，所以集合.那么.故選：B.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.3.直線：的一個(gè)方向向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線的斜率為設(shè)直線的方向向量為，則，只有A項(xiàng)滿足故選：A4.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其訓(xùn)練算力需求為1000PetaFLOPS（千億億次浮點(diǎn)運(yùn)算/秒）．根據(jù)技術(shù)規(guī)劃，DeepSeek的算力每年增長(zhǎng)．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并計(jì)劃繼續(xù)保持這一增長(zhǎng)率．問：DeepSeek的算力預(yù)計(jì)在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.年 B.年C.年 D.年【答案】C【解析】由題意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，到年，其算力提升至PetaFLOPS，到年，其算力提升至PetaFLOPS，，以此類推可知，從年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，由，可得，所以，，所以，DeepSeek的算力預(yù)計(jì)在年首次突破PetaFLOPS，故選：C.5.在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若，則（）A.18 B.33C.36 D.40【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)椋傻?，所以，解?故選：B.6.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，則，因在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，即且且，若，則不等式組的解集為空集；若，則；若，則不等式組的解集為空集，則的最大值為.故選：C7.在中，．將分別繞直角邊，直角邊和斜邊旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，，則，以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，所形成的幾何體為圓錐，此圓錐的底面半徑為，高為，則，以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，所形成的幾何體為圓錐，此圓錐的底面半徑為，高為，則，以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，所形成的幾何體為兩個(gè)圓錐拼接而成的組合體，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為，由等面積法可得，即圓錐的底面圓的半徑為，所以，，所以，，所以，，故選：D.8.若函數(shù)有零點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.C. D.2【答案】B【解析】由函數(shù)，令，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即；當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，所以，要使得有零點(diǎn)，即在有實(shí)數(shù)根，令，即在上有零點(diǎn)，則滿足或，即或，作出不等式或所表示的平面區(qū)域，如圖所示，又由，即可看出坐標(biāo)原點(diǎn)到平面區(qū)域的最短距離的平方，設(shè)原點(diǎn)到直線或的距離分別為，則，所以的最小值為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某校研究學(xué)生每周自習(xí)時(shí)間（小時(shí)）與數(shù)學(xué)成績(jī)（分）的關(guān)系，計(jì)算得相關(guān)系數(shù)，并建立線性回歸模型，得到?jīng)Q定系數(shù)．對(duì)殘差進(jìn)行分析時(shí)，發(fā)現(xiàn)殘差與預(yù)測(cè)值的散點(diǎn)圖（是以預(yù)測(cè)值為橫軸，殘差為縱軸）呈現(xiàn)明顯的先負(fù)后正的分布趨勢(shì)，則（）A.，說明該模型的擬合效果較差B殘差平方和等于0.64C.相關(guān)系數(shù)為負(fù)，說明自習(xí)時(shí)間與成績(jī)無(wú)關(guān)D.殘差圖顯示模型可能不符合線性假設(shè)，建議改用非線性模型【答案】AD【解析】決定系數(shù)的取值范圍在0到1之間，其值越接近1擬合效果越好，其值遠(yuǎn)小于1，故其擬合效果較差，故A正確；因，則，但因未給出總平方和，故無(wú)從得知?dú)埐畹钠椒胶?，故B錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)為負(fù)，說明隨著自習(xí)時(shí)間的增加，數(shù)學(xué)成績(jī)有下降趨勢(shì)，但不意味著它們無(wú)關(guān)，故C錯(cuò)誤；若符合線性模型，則殘差與預(yù)測(cè)值的散點(diǎn)圖應(yīng)該在零周圍隨機(jī)分布，而殘差與預(yù)測(cè)值的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)先負(fù)后正的分布趨勢(shì)，這表明殘差不是隨機(jī)分布的，而是遵循某種模式，故不符合線性回歸模型，因此建議改用非線性模型，故D正確.故選：AD10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.若，則直線的斜率等于B.若，則C.設(shè)的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則D.是鈍角【答案】CD【解析】易知，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，則，由韋達(dá)定理可得，，對(duì)于A選項(xiàng)，，解得，故直線的斜率為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋驗(yàn)?，即，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，易知，、、三點(diǎn)不共線，則，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，為鈍角，D對(duì).故選：CD.11.在中，，，則（）A.B.C.D.在上的投影向量為【答案】ABC【解析】已知，將代入可得：，即，則可得：因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，?對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)正弦定理，可得.若，則，即.因?yàn)?，所以?由及正弦定理可得.，則.若，即，代入可得：，等式成立，所以，A選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)B，由上述分析可知，B選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，為三角形?nèi)角，則，.，則，C選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)D，在上的投影向量為.因?yàn)?，，所以投影向量為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)滿足，則________．【答案】【解析】由復(fù)數(shù)滿足，可得.故答案為：.13.2025的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為________．【答案】15【解析】由題意知，則可設(shè)2025的正因數(shù)為，其中，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得2025的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為，故答案為：1514.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．則________旋轉(zhuǎn)函數(shù)（填：“是”或者“不是”）；若是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】①.是②.【解析】在旋轉(zhuǎn)后所曲線上任取一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，不妨設(shè)，設(shè)點(diǎn)，即，，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，可得，即點(diǎn)，即，，因?yàn)?，可得變形可得，曲線為函數(shù)，所以，是旋轉(zhuǎn)函數(shù)；若函數(shù)是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，將函數(shù)的圖象繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，不存在與軸垂直的直線，使得直線與旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象個(gè)以上的交點(diǎn)．故不存在直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即對(duì)任意的，方程至多一解，即至多一解，令為單調(diào)函數(shù)，則，因?yàn)?，故?duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的恒成立，合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，且函數(shù)無(wú)最大值，所以此時(shí)不合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：共5個(gè)小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖所示，三棱柱中，，，點(diǎn)在線段上，四邊形是正方形，平面平面．（1）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，證明平面；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖1所示，連接交于，四邊形是正方形，則是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中位線，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）解：因?yàn)?，，即，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以．因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以．故，，兩兩垂直．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，所以，，，因?yàn)?，所以．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則，，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成的角的正弦值為．16.已知數(shù)列中，，．（1）求，的值；（2）設(shè)，證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（3）證明：．（1）解：由數(shù)列中，，，可得，.（2）解：由，可得，，所以，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，可得，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（3）證明：由（1）知且，可得，所以，又由，因?yàn)轱@然成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以，因此.17.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為、．（1）求的方程．（2）設(shè)過的直線與交于、兩點(diǎn)，且．（i）求直線的斜率；（ii）設(shè)為上異于、的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．解：（1）由題意得，解得，，，所以的方程為．（2）（i）由（1）點(diǎn)，若直線與軸重合，則，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，聯(lián)立，則Δ=72m2+723所以，可得，即．所以直線的斜率為．（ii））由（i）知直線的方程為，根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮其中一種情況即可．不妨取直線的方程為．因?yàn)樵谏希士稍O(shè)，則點(diǎn)到直線的距離為，其中為銳角，且，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值為．故面積的最大值為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，，．故切線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，則，令，則．令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．因?yàn)?，所以．（或者，因?yàn)椋┕?，因此，從而在上單調(diào)遞增．（3）當(dāng)時(shí)，顯然成立．當(dāng)時(shí)，．令，則．令，則．所以在上單調(diào)遞增，故，即．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．于是．因此，取值范圍是.19.某在線教育平臺(tái)現(xiàn)有兩種數(shù)學(xué)課程和，其課程完成率與用戶占比如下表所示．為測(cè)試新課程的效果，平臺(tái)將其開放給名學(xué)生學(xué)習(xí)，設(shè)課程的完成率為，且每位學(xué)生是否完成課程相互獨(dú)立．課程類型（舊課）（舊課）（新課）完成率用戶占比待調(diào)整（1）記學(xué)習(xí)新課程的這名學(xué)生中恰有人完成課程的概率為，求的最大值點(diǎn);（2）以（1）中確定的作為的值．當(dāng)新課程的用戶占比達(dá)到多少時(shí)，能保證從完成課程的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其使用課程的概率為？（課程、用戶減少的占比，均為課程增加占比的一半）（3）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，課程的用戶占比的概率分布為：時(shí)概率，時(shí)概率，時(shí)概率．某在線教育平臺(tái)計(jì)劃增加新課程，但新課程的智能輔導(dǎo)系統(tǒng)配置套數(shù)受用戶占比的影響，關(guān)系如下表：用戶占比最多配置數(shù)每套系統(tǒng)運(yùn)行年收益萬(wàn)元，未運(yùn)行的系統(tǒng)每年需維護(hù)費(fèi)萬(wàn)元．為使總收益期望最大，應(yīng)配置幾套系統(tǒng)？解：（1）記名學(xué)生中恰有人完成課程的人數(shù)為，則．所以，則．令，得．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．所以的最大值點(diǎn)為．（2）由（1）知，，設(shè)新課的用戶占比達(dá)到時(shí)滿足要求．事件“從完成課程的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生”，事件“該學(xué)生使用課程”，事件“該學(xué)生使用課程”，事件“該學(xué)生使用課程”．則由全概率公式，有，因此．由條件概率公式，得，所以，解得．所以用戶占比需達(dá)到．（3）設(shè)隨機(jī)變量為新課程產(chǎn)生的利潤(rùn)．①若配置套系統(tǒng)．由于新課程的用戶占比總大于，所以運(yùn)行一套系統(tǒng)即可，無(wú)維護(hù)成本．此時(shí)對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)，，所以收益期望（萬(wàn)元）．②若配置套系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)，運(yùn)行套系統(tǒng)，維護(hù)一套系統(tǒng)，年利潤(rùn)，．當(dāng)時(shí)，運(yùn)行兩套系統(tǒng)，年利潤(rùn)，．所以收益期望（萬(wàn)元）．③當(dāng)時(shí)，運(yùn)行套系統(tǒng)，維護(hù)套系統(tǒng)，年利潤(rùn)，．當(dāng)時(shí)，運(yùn)行套系統(tǒng)，維護(hù)套系統(tǒng)，年利潤(rùn)，．當(dāng)時(shí)，運(yùn)行兩套系統(tǒng)，年利潤(rùn)，．所以收益期望（萬(wàn)元）．比較結(jié)果：配置套系統(tǒng)時(shí)收益的期望最大（為萬(wàn)元）．綜上，為使總收益期望最大，應(yīng)配置套智能輔導(dǎo)系統(tǒng)貴州省部分校2025屆高三下學(xué)期4月適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，，，，，，且，所以集合.集合，由于指數(shù)函數(shù)的值域是，所以集合.那么.故選：B.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.3.直線：的一個(gè)方向向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線的斜率為設(shè)直線的方向向量為，則，只有A項(xiàng)滿足故選：A4.2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其訓(xùn)練算力需求為1000PetaFLOPS（千億億次浮點(diǎn)運(yùn)算/秒）．根據(jù)技術(shù)規(guī)劃，DeepSeek的算力每年增長(zhǎng)．截止至2025年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并計(jì)劃繼續(xù)保持這一增長(zhǎng)率．問：DeepSeek的算力預(yù)計(jì)在哪一年首次突破7500PetaFLOPS？（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.年 B.年C.年 D.年【答案】C【解析】由題意可知，截止至2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PetaFLOPS，到年，其算力提升至PetaFLOPS，到年，其算力提升至PetaFLOPS，，以此類推可知，從年起，到第年，DeepSeek的算力提升至PetaFLOPS，由，可得，所以，，所以，DeepSeek的算力預(yù)計(jì)在年首次突破PetaFLOPS，故選：C.5.在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若，則（）A.18 B.33C.36 D.40【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，可得，所以，解?故選：B.6.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，則，因在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，，即且且，若，則不等式組的解集為空集；若，則；若，則不等式組的解集為空集，則的最大值為.故選：C7.在中，．將分別繞直角邊，直角邊和斜邊旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，，，則，以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，所形成的幾何體為圓錐，此圓錐的底面半徑為，高為，則，以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，所形成的幾何體為圓錐，此圓錐的底面半徑為，高為，則，以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，所形成的幾何體為兩個(gè)圓錐拼接而成的組合體，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為，由等面積法可得，即圓錐的底面圓的半徑為，所以，，所以，，所以，，故選：D.8.若函數(shù)有零點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.C. D.2【答案】B【解析】由函數(shù)，令，則，所以，即，當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即；當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，所以，要使得有零點(diǎn)，即在有實(shí)數(shù)根，令，即在上有零點(diǎn)，則滿足或，即或，作出不等式或所表示的平面區(qū)域，如圖所示，又由，即可看出坐標(biāo)原點(diǎn)到平面區(qū)域的最短距離的平方，設(shè)原點(diǎn)到直線或的距離分別為，則，所以的最小值為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某校研究學(xué)生每周自習(xí)時(shí)間（小時(shí)）與數(shù)學(xué)成績(jī)（分）的關(guān)系，計(jì)算得相關(guān)系數(shù)，并建立線性回歸模型，得到?jīng)Q定系數(shù)．對(duì)殘差進(jìn)行分析時(shí)，發(fā)現(xiàn)殘差與預(yù)測(cè)值的散點(diǎn)圖（是以預(yù)測(cè)值為橫軸，殘差為縱軸）呈現(xiàn)明顯的先負(fù)后正的分布趨勢(shì)，則（）A.，說明該模型的擬合效果較差B殘差平方和等于0.64C.相關(guān)系數(shù)為負(fù)，說明自習(xí)時(shí)間與成績(jī)無(wú)關(guān)D.殘差圖顯示模型可能不符合線性假設(shè)，建議改用非線性模型【答案】AD【解析】決定系數(shù)的取值范圍在0到1之間，其值越接近1擬合效果越好，其值遠(yuǎn)小于1，故其擬合效果較差，故A正確；因，則，但因未給出總平方和，故無(wú)從得知?dú)埐畹钠椒胶?，故B錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)為負(fù)，說明隨著自習(xí)時(shí)間的增加，數(shù)學(xué)成績(jī)有下降趨勢(shì)，但不意味著它們無(wú)關(guān)，故C錯(cuò)誤；若符合線性模型，則殘差與預(yù)測(cè)值的散點(diǎn)圖應(yīng)該在零周圍隨機(jī)分布，而殘差與預(yù)測(cè)值的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)先負(fù)后正的分布趨勢(shì)，這表明殘差不是隨機(jī)分布的，而是遵循某種模式，故不符合線性回歸模型，因此建議改用非線性模型，故D正確.故選：AD10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.若，則直線的斜率等于B.若，則C.設(shè)的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則D.是鈍角【答案】CD【解析】易知，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，若直線與軸重合，此時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，則，由韋達(dá)定理可得，，對(duì)于A選項(xiàng)，，解得，故直線的斜率為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，因?yàn)?，即，所以，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，易知，、、三點(diǎn)不共線，則，則，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，為鈍角，D對(duì).故選：CD.11.在中，，，則（）A.B.C.D.在上的投影向量為【答案】ABC【解析】已知，將代入可得：，即，則可得：因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，?對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)正弦定理，可得.若，則，即.因?yàn)?，所以?由及正弦定理可得.，則.若，即，代入可得：，等式成立，所以，A選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)B，由上述分析可知，B選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋瑸槿切蝺?nèi)角，則，.，則，C選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)D，在上的投影向量為.因?yàn)?，，所以投影向量為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)滿足，則________．【答案】【解析】由復(fù)數(shù)滿足，可得.故答案為：.13.2025的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為________．【答案】15【解析】由題意知，則可設(shè)2025的正因數(shù)為，其中，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得2025的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為，故答案為：1514.在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．則________旋轉(zhuǎn)函數(shù)（填：“是”或者“不是”）；若是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】①.是②.【解析】在旋轉(zhuǎn)后所曲線上任取一點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，不妨設(shè)，設(shè)點(diǎn)，即，，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，可得，即點(diǎn)，即，，因?yàn)?，可得變形可得，曲線為函數(shù)，所以，是旋轉(zhuǎn)函數(shù)；若函數(shù)是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，將函數(shù)的圖象繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，不存在與軸垂直的直線，使得直線與旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象個(gè)以上的交點(diǎn)．故不存在直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即對(duì)任意的，方程至多一解，即至多一解，令為單調(diào)函數(shù)，則，因?yàn)椋蕦?duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，則對(duì)任意的恒成立，合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以，，且函數(shù)無(wú)最大值，所以此時(shí)不合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：共5個(gè)小題，滿分77分.解答應(yīng)寫出相應(yīng)的文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖所示，三棱柱中，，，點(diǎn)在線段上，四邊形是正方形，平面平面．（1）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，證明平面；（2）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：如圖1所示，連接交于，四邊形是正方形，則是的中點(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中位線，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）解：因?yàn)椋?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫?，所以平面，所以．因?yàn)樗倪呅问钦叫危裕剩瑑蓛纱怪保渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正方向建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，所以，，，因?yàn)?，所以．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則，，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成的角的正弦值為．16.已知數(shù)列中，，．（1）求，的值；（2）設(shè)，證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（3）證明：．（1）解：由數(shù)列中，，，可得，.（2）解：由，可得，，所以，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋傻?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（3）證明：由（1）知且，可得，所以，又由，因?yàn)轱@然成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以，因此.17.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為、．（1）求的方程．（2）設(shè)過的直線與交于、兩點(diǎn)，且．（i）求直線的斜率；（ii）設(shè)為上異于、的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．解：（1）由題意得，解得，，，所以的方程為．（2）（i）由（1）點(diǎn)，若直線與軸重合，則，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，聯(lián)立，則Δ=72m2+723所以，可得，即．所以直線的斜率為．（ii））由（i）知直線的方程為，根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮其中一種情況即可．不妨取直線的方程為．因?yàn)樵谏希士稍O(shè)，則點(diǎn)到直線的距離為，其中為銳角，且，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值為．故面積的最大值為.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．解：（1）