2025屆河北省滄州市運(yùn)東五校高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省滄州市運(yùn)東五校2025屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故選：A2.若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】由已知可得，則，所以的最小值，應(yīng)選答案C．3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為與均在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，，，又∵f1函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是．故選：B．4.已知角的終邊過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為角的終邊過點(diǎn)，所以，.故選：D.5.已知向量＝(1，1)，＝(0，2)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于，1×2－0×1≠0，所以該選項錯誤；對于B，＝(2，0)，＝(0，2)，則2×0＋0×2＝0，所以，所以該選項正確；對于C，，，所以該選項錯誤；對于D，＝1×0＋1×2＝2，所以該選項錯誤．故選：B6.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，所以.故選：A.7.三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，，直線AC與BD所成角為，則三棱錐外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，因為為等邊三角形，所以，又，且所以，所以,取的中點(diǎn)，易得,又所以平面，又平面，所以平面平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，令，所以，因為，所以，所以，所以，因為直線AC與BD所成角為，所以，解得，即，如圖，為外接球的球心，為等邊三角形的重心，設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)的投影為，作，所以,所以在中，,,所以在中，，解得，所以，三棱錐外接球表面積為，故選：A8.設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點(diǎn)，故D正確；故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知公差為的等差數(shù)列中，前項和為，且，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】在等差數(shù)列中，，解得，而，則，B正確；于是得公差，A正確；，則，C不正確；，D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.有最大值B.當(dāng)時，的圖象在點(diǎn)處的切線方程是C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.關(guān)于方程有兩個不等實(shí)根，則的取值范圍是【答案】BD【解析】因為，選項A，當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有最小值，無最大值，故A錯誤；選項B，當(dāng)時，，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，故B正確；選項C，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤；選項D，方程，即，令，而，當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，且，如圖，的范圍是，故D正確.故選：BD11.在長方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)，則（）A.異面直線與所成角的余弦值是B.點(diǎn)到平面的距離是C.三棱錐的體積為D.四面體外接球的表面積是【答案】ACD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，故，故異面直線所成角的余弦值為，故A正確；因為，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，而，故點(diǎn)到平面的距離是，故B錯誤；又，設(shè)，則因為共線，所以，故，即，故，且在軸上，故，故C正確；設(shè)四面體外接球的球心為，則，即；；，整理得到：，故，故外接球半徑為，故外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在上的最大值為________.【答案】【解析】因為，所以所以，函數(shù)的最大值為．故答案為：.13.如圖所示，制作某回旋飛梭的飛行翅膀時，需從一個直角三角形的塑料板上裁去一個以其斜邊為一邊且對角為150°的三角形(圖中的陰影部分)再加工而成為游戲者安全考慮，具體制作尺寸為，，，則___________.【答案】【解析】由題意可得，.又，，所以.設(shè)，則.因為，且，所以.又，且，所以.在中，由正弦定理可得，即，解得.故.故答案為：.14.已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為___.【答案】【解析】設(shè)橢圓的長半軸為a，雙曲線的實(shí)半軸為a1，（a＞a1），半焦距為c，由橢圓和雙曲線的定義可知，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2,∵∠F1PF2=，則∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在橢圓中，①化簡為即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在雙曲線中，①化簡為即4c2=4a12+r1r2…③，，由柯西不等式得（1+）（）≥（）2故答案為四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)．（1）求，，；（2）化簡并求值．解：（1）由已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，得，則，所以，；（2）.16.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．證明：（1）由于分別是的中點(diǎn)，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A的大??；（2）若，，求邊c及的值.解：（1）根據(jù)正弦定理，由可得.即，即，因為，所以.所以，即.（2）由正弦定理，可得，解得，根據(jù)余弦定理可得，即，，解得或（舍去）故.因為，所以，所以，所以，，所以.18.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率.解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.（2）由題意，設(shè).設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率，在中，令，得.由題意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡得，從而.所以，直線的斜率為或.19.已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．解：（1）[方法一]:判別式法由可得在R上恒成立，即和，從而有即，所以，因此，．所以．[方法二]【最優(yōu)解】：特值+判別式法由題設(shè)有對任意的恒成立.令，則，所以因此即對任意的恒成立，所以，因此.故.（2）[方法一]令，.又.若，則在上遞增，在上遞減，則，即，不符合題意.當(dāng)時，，符合題意.當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，則，即，符合題意.綜上所述，.由當(dāng)，即時，在為增函數(shù)，因為，故存在，使，不符合題意.當(dāng)，即時，，符合題意.當(dāng)，即時，則需，解得.綜上所述，的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：特值輔助法由已知得在內(nèi)恒成立；由已知得，令，得，∴(*)，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時在內(nèi)恒成立；由在內(nèi)恒成立，由(*)知，∴，∴，解得.∴的取值范圍是.（3）[方法一]：判別式+導(dǎo)數(shù)法因為對任意恒成立，①對任意恒成立，等價于對任意恒成立.故對任意恒成立.令，當(dāng)，，此時，當(dāng)，，但對任意的恒成立.等價于對任意恒成立.的兩根為，則，所以.令，構(gòu)造函數(shù)，，所以時，，遞減，.所以，即.[方法二]：判別式法由，從而對任意的有恒成立，等價于對任意的①，恒成立．（事實(shí)上，直線為函數(shù)的圖像在處的切線）同理對任意的恒成立，即等價于對任意的恒成立．②當(dāng)時，將①式看作一元二次方程，進(jìn)而有，①式的解為或（不妨設(shè)）；當(dāng)時，，從而或，又，從而成立；當(dāng)時，由①式得或，又，所以．當(dāng)時，將②式看作一元二次方程，進(jìn)而有．由，得，此時②式的解為不妨設(shè)，從而．綜上所述，．[方法三]【最優(yōu)解】：反證法假設(shè)存在，使得滿足條件的m，n有．因為，所以．因為，所以．因為對恒成立，所以有．則有，③，④解得．由③+④并化簡得，．因為在區(qū)間上遞增，且，所以，．由對恒成立，即有⑤對恒成立，將⑤式看作一元二次方程，進(jìn)而有．設(shè)，則，所以在區(qū)間上遞減，所以，即．設(shè)不等式⑤的解集為，則，這與假設(shè)矛盾．從而．由均為偶函數(shù)．同樣可證時，也成立．綜上所述，．河北省滄州市運(yùn)東五校2025屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故選：A2.若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】由已知可得，則，所以的最小值，應(yīng)選答案C．3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為與均在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，，，又∵f1函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是．故選：B．4.已知角的終邊過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為角的終邊過點(diǎn)，所以，.故選：D.5.已知向量＝(1，1)，＝(0，2)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于，1×2－0×1≠0，所以該選項錯誤；對于B，＝(2，0)，＝(0，2)，則2×0＋0×2＝0，所以，所以該選項正確；對于C，，，所以該選項錯誤；對于D，＝1×0＋1×2＝2，所以該選項錯誤．故選：B6.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，所以.故選：A.7.三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，，直線AC與BD所成角為，則三棱錐外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，因為為等邊三角形，所以，又，且所以，所以,取的中點(diǎn)，易得,又所以平面，又平面，所以平面平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，令，所以，因為，所以，所以，所以，因為直線AC與BD所成角為，所以，解得，即，如圖，為外接球的球心，為等邊三角形的重心，設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)的投影為，作，所以,所以在中，,,所以在中，，解得，所以，三棱錐外接球表面積為，故選：A8.設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則的中點(diǎn)，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點(diǎn)，故D正確；故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知公差為的等差數(shù)列中，前項和為，且，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】在等差數(shù)列中，，解得，而，則，B正確；于是得公差，A正確；，則，C不正確；，D正確.故選：ABD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.有最大值B.當(dāng)時，的圖象在點(diǎn)處的切線方程是C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.關(guān)于方程有兩個不等實(shí)根，則的取值范圍是【答案】BD【解析】因為，選項A，當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以有最小值，無最大值，故A錯誤；選項B，當(dāng)時，，所以的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，故B正確；選項C，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤；選項D，方程，即，令，而，當(dāng)時，，當(dāng)時，.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，且，如圖，的范圍是，故D正確.故選：BD11.在長方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)，則（）A.異面直線與所成角的余弦值是B.點(diǎn)到平面的距離是C.三棱錐的體積為D.四面體外接球的表面積是【答案】ACD【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，故，故異面直線所成角的余弦值為，故A正確；因為，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，而，故點(diǎn)到平面的距離是，故B錯誤；又，設(shè)，則因為共線，所以，故，即，故，且在軸上，故，故C正確；設(shè)四面體外接球的球心為，則，即；；，整理得到：，故，故外接球半徑為，故外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)在上的最大值為________.【答案】【解析】因為，所以所以，函數(shù)的最大值為．故答案為：.13.如圖所示，制作某回旋飛梭的飛行翅膀時，需從一個直角三角形的塑料板上裁去一個以其斜邊為一邊且對角為150°的三角形(圖中的陰影部分)再加工而成為游戲者安全考慮，具體制作尺寸為，，，則___________.【答案】【解析】由題意可得，.又，，所以.設(shè)，則.因為，且，所以.又，且，所以.在中，由正弦定理可得，即，解得.故.故答案為：.14.已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為___.【答案】【解析】設(shè)橢圓的長半軸為a，雙曲線的實(shí)半軸為a1，（a＞a1），半焦距為c，由橢圓和雙曲線的定義可知，設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2,∵∠F1PF2=，則∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在橢圓中，①化簡為即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在雙曲線中，①化簡為即4c2=4a12+r1r2…③，，由柯西不等式得（1+）（）≥（）2故答案為四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)．（1）求，，；（2）化簡并求值．解：（1）由已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，得，則，所以，；（2）.16.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是AC，B1C的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面AB1C1；（2）求證：平面AB1C⊥平面ABB1．證明：（1）由于分別是的中點(diǎn)，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A的大小；（2）若，，求邊c及的值.解：（1）根據(jù)正弦定理，由可得.即，即，因為，所以.所以，即.（2）由正弦定理，可得，解得，根據(jù)余弦定理可得，即，，解得或（舍去）故.因為，所以，所以，所以，，所以.18.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若（為原點(diǎn)），且，求直線的斜率.解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1.所以，橢圓方程為.（2）由題意，設(shè).設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率，在中，令，得.由題意得，所以直線的斜率為.由，得，化簡得，從而.所以，直線的斜率為或.19.已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有．（1）若，求h(x)的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍；（3）若求證：．解：（1）[方法一]:判別式法由可得在R上恒成立，即和，從而有即，所以，因此，．所以．[方法二]【最優(yōu)解】：特值+判