2025屆河南省焦作市普通高中高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省焦作市普通高中2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得，所以，由，得，解得，所以，所以.故選：A.2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于軸上，則實數(shù)（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于軸上，所以，此時滿足題設(shè).故選：C.3.已知向量，則在上的投影向量的長度為（）A. B. C.10 D.20【答案】B【解析】由題可知，，則在上的投影向量的長度為.故選：B4.如圖.曲線是拋物線的一部分，且曲線關(guān)于軸對稱，，則點到的焦點的距離為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由題可知的焦點坐標(biāo)為，點，所以點到的焦點的距離為2.故選：C.5.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，則，又，所以，所以.故選：D.6.在直三棱柱中，，若該棱柱外接球的表面積為，則側(cè)面繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知三棱柱兩個底面三角形的外接圓的圓心分別為的中點，.設(shè)外接球的半徑為，則，所以，解得.側(cè)面旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體是底面半徑為，高為2的圓柱，其體積為.故選：B7.為了抒寫鄉(xiāng)村發(fā)展故事?展望鄉(xiāng)村振興圖景?演繹民眾身邊日常?唱出百姓幸福心聲，某地組織了2025年“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目匯演，共有舞蹈?歌曲?戲曲?小品?器樂?非遺展演六個節(jié)目，則歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】六個節(jié)目總的排序有，當(dāng)器樂在第三個位置演出時，共有種不同的演出順序，當(dāng)器樂在第四個位置演出時，共有種不同的演出順序，當(dāng)器樂在第五個位置演出時，共有種不同的演出順序，當(dāng)器樂在第六個位置演出時，共有種不同的演出順序，所以共有種不同的演出順序，則所求概率為.故選：A8.已知且，若函數(shù)與在區(qū)間上都單調(diào)遞增，則實數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)時，有，即，不成立，當(dāng)時，有，則成立，所以；又在區(qū)間上都單調(diào)遞增，所以在，時恒成立，所以在時恒成立，因為，所以，所以或，又，所以，故選：D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合是目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中，由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)為，則（）A.兩組數(shù)據(jù)的極差一定相等B.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等D.兩組數(shù)據(jù)的方差不可能相等【答案】BC【解析】對于A，假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為，則新樣本數(shù)據(jù)為，兩組數(shù)據(jù)的極差不相等，錯誤；對于B，因為，所以兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等，正確；對于C，由A中的數(shù)據(jù)可知兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等，正確；對于D，假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為，則新樣本數(shù)據(jù)為，這兩組數(shù)據(jù)一樣，故方差可能相等，錯誤.故選：BC10.已知分別是雙曲線的左、右焦點，斜率為且過點的直線交的右支于兩點，在第一象限，且，則（）A.點到的漸近線的距離為B.C.的離心率為2D.分別以為直徑的圓的公共弦長為【答案】ACD【解析】雙曲線，則，對于，連接，由題意得，為銳角，所以，解得，由于，所以，又，故，設(shè)，在中，由余弦定理可得，即，解得（負(fù)值舍去），故離心率為，點到的漸近線的距離，即，故A，C正確；對于B，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，解得，故，故B錯誤；對于D，因為，所以為等腰三角形，過點作于點，因為，所以為中點，易知分別以，為直徑的圓的公共弦為，且，故D正確.故選：ACD.11.塌縮函數(shù)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信號處理和數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域經(jīng)常用到.常見的塌縮函數(shù)有，設(shè)的值域為的值域為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.方程的所有實根之和為1D.若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以在上為增函數(shù)，且的值域為，又，所以，故正確；對于B，因為，所以，故正確；對于C，因為，所以，由B知圖象關(guān)于點對稱，又圖象也關(guān)于點對稱，所以兩函數(shù)圖象的交點也關(guān)于點對稱，則方程的所有實根之和為0，故錯誤；對于D，易知為增函數(shù)，由題得，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是，故正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一圓錐的表面積與底面積的比值為3，則該圓錐的母線與底面所成的角為__________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，母線與底面所成的角為.由題可知，則，所以，因為，所以，故答案為：.13.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若的平分線交于點，且，則__________.【答案】【解析】由面積相等，可得，即，化簡得，又.由余弦定理可得.故答案為：.14.記表示不超過的最大整數(shù).若正項數(shù)列滿足，則數(shù)列的前101項和為__________.【答案】【解析】因為，所以，因為正項數(shù)列，所以，則，當(dāng)時，，故，又對于，都有，故，所以，故當(dāng)時，，又，所以的前101項和為.故答案為：10101四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為，且是公比為的等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）探究的單調(diào)性，并求其最值.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題可得，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為.（2）因為，所以，又，由題知，得到，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故數(shù)列先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，且數(shù)列有最小值，最小值為，無最大值.16.甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率是，乙每次擊中目標(biāo)的概率是，假設(shè)兩人是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.（1）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率；（2）設(shè)甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件，甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次為事件，甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為事件，則，所以甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為.（2）由題可知的所有可能取值為，，，所以的分布列為0123所以.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：；（2）當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.證明：（1）要證，即證.當(dāng)時，，可以考慮證明，令，則，易知在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，是的極小值點，也是最小值點，故當(dāng)時，，即，因此，當(dāng)時，（2）由題可知，則.若，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，沒有極值點，不符合題意，舍去.若，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又在區(qū)間上有唯一的零點，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)有唯一的極值點，符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍是.18.已知橢圓的離心率為，短軸長為.（1）求的方程.（2）若上的兩點滿足，則稱點為上的一對伴點.設(shè)為上位于第一象限的一點，且點的橫坐標(biāo)為1.（i）證明：點在上共有兩個伴點；（ii）設(shè)（i）中的兩個伴點分別為，若斜率為的動直線與交于點，點組成四邊形，求四邊形的面積的最大值.解：（1）設(shè)的半焦距為.由題可知，解得，所以的方程為.（2）（i）由題可知點的坐標(biāo)為.如圖：設(shè)點在上的伴點的坐標(biāo)為，則，即，所以點在上的伴點在直線上.聯(lián)立方程得，解得或，所以點在上所有伴點的坐標(biāo)分別為，即點在上共有兩個伴點.（ii）設(shè)，則，兩式相減得.由題可知，則，所以線段的中點在直線上，則線段被直線平分.由（i）可知直線的方程為.設(shè)點到直線的距離為，則四邊形的面積.又，所以.設(shè)過點且與直線平行的直線的方程為，則當(dāng)與相切時，取得最大值.由，可得，令，解得.故的最大值為直線和直線（或）的距離，即為，所以，即四邊形的面積的最大值為.19.球面與過球心的平面的交線叫做大圓，將球面上三點用三條大圓弧連接起來所組成的圖形叫做球面三角形，每條大圓弧叫做球面三角形的一條邊，兩條邊所在的半平面構(gòu)成的二面角叫做球面三角形的一個內(nèi)角.如圖（1），球的半徑為球的球面上的四點.（1）若球面三角形的三條邊長均為，求此球面三角形一個內(nèi)角的余弦值.（2）在球的內(nèi)接三棱錐中，平面，直線與平面所成的角為.（i）若分別為直線上的動點，求線段長度的最小值；（ii）如圖（2），若分別為線段的中點，為線段上一點（與點不重合），當(dāng)平面與平面夾角的余弦值最大時，求線段的長.解：（1）因為球面三角形的三條邊長均為，所以球面三角形每條邊所對的圓心角均為，所以四面體為正四面體.取的中點，連接，則，且，則為二面角的平面角.由余弦定理可得.所以此球面三角形一個內(nèi)角的余弦值為.（2）因為平面，所以.設(shè)，則，所以.由勾股定理的逆定理可得，又，所以平面，又平面，所以，因為直線與平面所成的角為，所以.易知在和中，斜邊的中點到點的距離相等，即為球的直徑，所以.以點為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，過點且與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（i）由題可知，則.設(shè)與都垂直的向量為，則令，則，所以線段長度最小值為.（ii）設(shè)，由題可知，則.設(shè)平面的一個法向量為，則取，可得.設(shè)平面的一個法向量為，則取，可得.設(shè)平面與平面夾角為.因為，令，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時取得最大值，故.河南省焦作市普通高中2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得，所以，由，得，解得，所以，所以.故選：A.2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于軸上，則實數(shù)（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因為在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于軸上，所以，此時滿足題設(shè).故選：C.3.已知向量，則在上的投影向量的長度為（）A. B. C.10 D.20【答案】B【解析】由題可知，，則在上的投影向量的長度為.故選：B4.如圖.曲線是拋物線的一部分，且曲線關(guān)于軸對稱，，則點到的焦點的距離為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由題可知的焦點坐標(biāo)為，點，所以點到的焦點的距離為2.故選：C.5.已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，則，又，所以，所以.故選：D.6.在直三棱柱中，，若該棱柱外接球的表面積為，則側(cè)面繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題可知三棱柱兩個底面三角形的外接圓的圓心分別為的中點，.設(shè)外接球的半徑為，則，所以，解得.側(cè)面旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體是底面半徑為，高為2的圓柱，其體積為.故選：B7.為了抒寫鄉(xiāng)村發(fā)展故事?展望鄉(xiāng)村振興圖景?演繹民眾身邊日常?唱出百姓幸福心聲，某地組織了2025年“美麗鄉(xiāng)村”節(jié)目匯演，共有舞蹈?歌曲?戲曲?小品?器樂?非遺展演六個節(jié)目，則歌曲和戲曲節(jié)目相鄰，且歌曲和戲曲都在器樂節(jié)目前面演出的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】六個節(jié)目總的排序有，當(dāng)器樂在第三個位置演出時，共有種不同的演出順序，當(dāng)器樂在第四個位置演出時，共有種不同的演出順序，當(dāng)器樂在第五個位置演出時，共有種不同的演出順序，當(dāng)器樂在第六個位置演出時，共有種不同的演出順序，所以共有種不同的演出順序，則所求概率為.故選：A8.已知且，若函數(shù)與在區(qū)間上都單調(diào)遞增，則實數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可知，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)時，有，即，不成立，當(dāng)時，有，則成立，所以；又在區(qū)間上都單調(diào)遞增，所以在，時恒成立，所以在時恒成立，因為，所以，所以或，又，所以，故選：D.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合是目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，其中，由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)為，則（）A.兩組數(shù)據(jù)的極差一定相等B.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等D.兩組數(shù)據(jù)的方差不可能相等【答案】BC【解析】對于A，假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為，則新樣本數(shù)據(jù)為，兩組數(shù)據(jù)的極差不相等，錯誤；對于B，因為，所以兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等，正確；對于C，由A中的數(shù)據(jù)可知兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等，正確；對于D，假設(shè)原樣本數(shù)據(jù)為，則新樣本數(shù)據(jù)為，這兩組數(shù)據(jù)一樣，故方差可能相等，錯誤.故選：BC10.已知分別是雙曲線的左、右焦點，斜率為且過點的直線交的右支于兩點，在第一象限，且，則（）A.點到的漸近線的距離為B.C.的離心率為2D.分別以為直徑的圓的公共弦長為【答案】ACD【解析】雙曲線，則，對于，連接，由題意得，為銳角，所以，解得，由于，所以，又，故，設(shè)，在中，由余弦定理可得，即，解得（負(fù)值舍去），故離心率為，點到的漸近線的距離，即，故A，C正確；對于B，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，解得，故，故B錯誤；對于D，因為，所以為等腰三角形，過點作于點，因為，所以為中點，易知分別以，為直徑的圓的公共弦為，且，故D正確.故選：ACD.11.塌縮函數(shù)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信號處理和數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域經(jīng)常用到.常見的塌縮函數(shù)有，設(shè)的值域為的值域為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.方程的所有實根之和為1D.若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以在上為增函數(shù)，且的值域為，又，所以，故正確；對于B，因為，所以，故正確；對于C，因為，所以，由B知圖象關(guān)于點對稱，又圖象也關(guān)于點對稱，所以兩函數(shù)圖象的交點也關(guān)于點對稱，則方程的所有實根之和為0，故錯誤；對于D，易知為增函數(shù)，由題得，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是，故正確.故選：ABD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知一圓錐的表面積與底面積的比值為3，則該圓錐的母線與底面所成的角為__________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，母線與底面所成的角為.由題可知，則，所以，因為，所以，故答案為：.13.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若的平分線交于點，且，則__________.【答案】【解析】由面積相等，可得，即，化簡得，又.由余弦定理可得.故答案為：.14.記表示不超過的最大整數(shù).若正項數(shù)列滿足，則數(shù)列的前101項和為__________.【答案】【解析】因為，所以，因為正項數(shù)列，所以，則，當(dāng)時，，故，又對于，都有，故，所以，故當(dāng)時，，又，所以的前101項和為.故答案為：10101四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為，且是公比為的等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）探究的單調(diào)性，并求其最值.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題可得，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為.（2）因為，所以，又，由題知，得到，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故數(shù)列先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，且數(shù)列有最小值，最小值為，無最大值.16.甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率是，乙每次擊中目標(biāo)的概率是，假設(shè)兩人是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.（1）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率；（2）設(shè)甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件，甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次為事件，甲擊中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為事件，則，所以甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為.（2）由題可知的所有可能取值為，，，所以的分布列為0123所以.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：；（2）當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.證明：（1）要證，即證.當(dāng)時，，可以考慮證明，令，則，易知在上單調(diào)遞增，且，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，是的極小值點，也是最小值點，故當(dāng)時，，即，因此，當(dāng)時，（2）由題可知，則.若，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，沒有極值點，不符合題意，舍去.若，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，又在區(qū)間上有唯一的零點，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)有唯一的極值點，符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍是.18.已知橢圓的離心率為，短軸長為.（1）求的方程.（2）若上的兩點滿足，則稱點為上的一對伴點.設(shè)為上位于第一象限的一點，且點的橫坐標(biāo)為1.（i）證明：點在上共有兩個伴點；（ii）設(shè)（i）中的兩個伴點分別為，若斜率為的動直線與交于點，點組成四邊形，求四邊形的面積的最大值.解：（1）設(shè)的半焦距為.由題可知，解得，所以的方程為.（2）（i）由題可知點的坐標(biāo)為.如圖：設(shè)點在上的伴點的坐標(biāo)為，則，即，所以點在上的伴點在直線上.聯(lián)立方程得，解得或，所以點