2025屆黑龍江省名校協(xié)作體高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1黑龍江省名校協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，解得或，則，而，所以.故選：A2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由題設(shè)，所以.故選：D3.如圖是某高中學(xué)校2000名男生的身高樣本的頻率分布直方圖，估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的53%分位數(shù)為（）A.177 B.178 C.179 D.180【答案】C【解析】由題設(shè)，所以53%分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為，則，所以.故選：C4.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．若是的焦距的倍，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)橢圓的半焦距為c，而，又，則，整理得，因此，所以的離心率為.故選：B5.如圖，在正六邊形中，點(diǎn)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)及正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知，，且，，又，所以.故選：B6.已知，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.4 C.15 D.16【答案】C【解析】若為的中點(diǎn)，如下圖示，，，所以，由，即圓心，半徑，所以，到的距離，即直線與圓相離，結(jié)合圖知，最小，此時(shí).故選：C7.如圖，是圓臺(tái)上底面的圓心，，是圓臺(tái)下底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是圓臺(tái)的一條母線，記圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為，．若，平面，且的最小值為6，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取圓臺(tái)下底面圓心，令，連接，顯然，由平面平面，平面，平面，得則四邊形為平行四邊形，，在中，，，在圓中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值6，由，解得，因此，圓臺(tái)的高，所以該圓臺(tái)的體積為.故選：C8.若函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則的最大整數(shù)值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】依題意，恒成立，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，由，得，因此，則，所以的最大整數(shù)值為0.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.直線的傾斜角為 B.的方程為C. D.在點(diǎn)處的切線方程為【答案】ACD【解析】由點(diǎn)在拋物線上，得，，對(duì)于A，直線的斜率，因此直線的傾斜角為，A正確；對(duì)于B，拋物線的準(zhǔn)線方程為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為焦點(diǎn)，則，C正確；對(duì)于D，由，求導(dǎo)得，則在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為，即，D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，，則（）A.與的圖象存在相同的對(duì)稱中心B.與的圖象存在相同的對(duì)稱軸C.當(dāng)時(shí)，與的圖象有5個(gè)公共點(diǎn)D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象【答案】BC【解析】函數(shù)，對(duì)于A，函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，而對(duì)任意整數(shù)，，因此與的圖象不存在相同的對(duì)稱中心，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，，即直線是函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，B正確；對(duì)于C，由，得或，而，解得，則當(dāng)時(shí)，與的圖象有5個(gè)公共點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，，平移后得到的函數(shù)解析式為，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若是奇函數(shù)，且，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)?，令，則，即，即，又是奇函數(shù)，即，即，則，故A錯(cuò)誤；又，由，令，則，由，令，則，令，則，故B正確；由，兩邊求導(dǎo)可得，即，故C正確；由A可知，，兩邊求導(dǎo)可得，即，所以是周期為的函數(shù)，又，兩邊求導(dǎo)可得，即，令，則，又，則，令，則，又，所以，即，所以，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則________．【答案】9【解析】在等差數(shù)列中，，則，，由，得，即，因此，又等差數(shù)列的公差不為0，則等差數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，所以.故答案為：913.現(xiàn)將1個(gè)紅球、1個(gè)黃球、1個(gè)綠球及3個(gè)白球（白球之間沒(méi)有區(qū)別）放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子放入2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)字作答）【答案】24【解析】把6個(gè)小球按2個(gè)球一組分成3組，有兩類分法：每個(gè)盒子放入一個(gè)白球，有1種方法；有2個(gè)白球放入一個(gè)盒子，有種方法，再將分成的3組放入3個(gè)盒子有種方法，所以不同的放法種數(shù)為.故答案為：2414.已知正四棱柱的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，若該四棱柱的體積為1，則球的表面積的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則其外接球的直徑，由四棱柱的體積為1，得，即，因此球的表面積，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以球的表面積的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）的外接圓半徑為1，是邊的中點(diǎn)，求的最小值．解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由的外接圓半徑為1及正弦定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，由是邊的中點(diǎn)，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.16.如圖，四棱錐中，，，，平面平面．（1）證明：；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：分別取的中點(diǎn)，連接，則，四邊形為平行四邊形，，由，得，平面平面，平面平面，平面，所以平面，則平面，而平面，因此，又為的中點(diǎn)，所以.（2）解：由（1）知，平面，平面，得，而，平面，則平面，又，則平面，在平面內(nèi)過(guò)作，則，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，得，而，解得，令，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值.17.已知函數(shù)，．（1）若曲線與在點(diǎn)處有相同的切線，求的值；（2）若，證明：對(duì)任意的，．（1）解：由題設(shè)，，則，，又曲線與在點(diǎn)處有相同的切線，則；（2）證明：令且，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，得證.18.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，漸近線方程為．（1）求方程；（2）設(shè)軸上方的點(diǎn)，分別在的左支與右支上，若，求四邊形的面積．解：（1）雙曲線的漸近線方程為，依題意，，半焦距，而，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，而，由，得，依題意，，解得，即，，，等腰底邊上的高，又四邊形為梯形，則，所以四邊形的面積為.19.已知一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)有數(shù)字的張卡片，．（1）把這個(gè)袋子中的張卡片分別放入2個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子不空，記分配方法總數(shù)為，求的值；（2）從這個(gè)袋子中依次隨機(jī)抽取一張卡片．（i）若取出的卡片不再放回袋子，記為最后一張標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的卡片被取出時(shí)所需的抽取次數(shù)，求；（ii）若取出的卡片再放回袋子，最多抽取次，直到取到標(biāo)號(hào)為偶數(shù)的卡片就停止抽取，記抽取的次數(shù)為，證明：．解：（1）由題意知，所以.（2）（i）由題意知的所有可能取值為，則，所以，因?yàn)?，所以；（ii）證明：若取出的卡片再放回袋子，則每次抽取到偶數(shù)號(hào)碼卡片的概率為，由題意知的所有可能取值為，所以，，則的分布列為所以，則，兩式相減可得，所以.黑龍江省名校協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，解得或，則，而，所以.故選：A2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由題設(shè)，所以.故選：D3.如圖是某高中學(xué)校2000名男生的身高樣本的頻率分布直方圖，估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的53%分位數(shù)為（）A.177 B.178 C.179 D.180【答案】C【解析】由題設(shè)，所以53%分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，設(shè)為，則，所以.故選：C4.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為．若是的焦距的倍，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)橢圓的半焦距為c，而，又，則，整理得，因此，所以的離心率為.故選：B5.如圖，在正六邊形中，點(diǎn)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)及正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知，，且，，又，所以.故選：B6.已知，是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B.4 C.15 D.16【答案】C【解析】若為的中點(diǎn)，如下圖示，，，所以，由，即圓心，半徑，所以，到的距離，即直線與圓相離，結(jié)合圖知，最小，此時(shí).故選：C7.如圖，是圓臺(tái)上底面的圓心，，是圓臺(tái)下底面圓周上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是圓臺(tái)的一條母線，記圓臺(tái)的上、下底面圓的半徑分別為，．若，平面，且的最小值為6，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取圓臺(tái)下底面圓心，令，連接，顯然，由平面平面，平面，平面，得則四邊形為平行四邊形，，在中，，，在圓中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值6，由，解得，因此，圓臺(tái)的高，所以該圓臺(tái)的體積為.故選：C8.若函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，則的最大整數(shù)值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】依題意，恒成立，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，由，得，因此，則，所以的最大整數(shù)值為0.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.直線的傾斜角為 B.的方程為C. D.在點(diǎn)處的切線方程為【答案】ACD【解析】由點(diǎn)在拋物線上，得，，對(duì)于A，直線的斜率，因此直線的傾斜角為，A正確；對(duì)于B，拋物線的準(zhǔn)線方程為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為焦點(diǎn)，則，C正確；對(duì)于D，由，求導(dǎo)得，則在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為，即，D正確.故選：ACD10.已知函數(shù)，，則（）A.與的圖象存在相同的對(duì)稱中心B.與的圖象存在相同的對(duì)稱軸C.當(dāng)時(shí)，與的圖象有5個(gè)公共點(diǎn)D.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象【答案】BC【解析】函數(shù)，對(duì)于A，函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，而對(duì)任意整數(shù)，，因此與的圖象不存在相同的對(duì)稱中心，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，，即直線是函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，B正確；對(duì)于C，由，得或，而，解得，則當(dāng)時(shí)，與的圖象有5個(gè)公共點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，，平移后得到的函數(shù)解析式為，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若是奇函數(shù)，且，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因?yàn)?，令，則，即，即，又是奇函數(shù)，即，即，則，故A錯(cuò)誤；又，由，令，則，由，令，則，令，則，故B正確；由，兩邊求導(dǎo)可得，即，故C正確；由A可知，，兩邊求導(dǎo)可得，即，所以是周期為的函數(shù)，又，兩邊求導(dǎo)可得，即，令，則，又，則，令，則，又，所以，即，所以，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則________．【答案】9【解析】在等差數(shù)列中，，則，，由，得，即，因此，又等差數(shù)列的公差不為0，則等差數(shù)列是單調(diào)數(shù)列，所以.故答案為：913.現(xiàn)將1個(gè)紅球、1個(gè)黃球、1個(gè)綠球及3個(gè)白球（白球之間沒(méi)有區(qū)別）放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子放入2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)字作答）【答案】24【解析】把6個(gè)小球按2個(gè)球一組分成3組，有兩類分法：每個(gè)盒子放入一個(gè)白球，有1種方法；有2個(gè)白球放入一個(gè)盒子，有種方法，再將分成的3組放入3個(gè)盒子有種方法，所以不同的放法種數(shù)為.故答案為：2414.已知正四棱柱的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，若該四棱柱的體積為1，則球的表面積的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則其外接球的直徑，由四棱柱的體積為1，得，即，因此球的表面積，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以球的表面積的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（1）求；（2）的外接圓半徑為1，是邊的中點(diǎn)，求的最小值．解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，而，所以.（2）由的外接圓半徑為1及正弦定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，由是邊的中點(diǎn)，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是.16.如圖，四棱錐中，，，，平面平面．（1）證明：；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：分別取的中點(diǎn)，連接，則，四邊形為平行四邊形，，由，得，平面平面，平面平面，平面，所以平面，則平面，而平面，因此，又為的中點(diǎn)，所以.（2）解：由（1）知，平面，平面，得，而，平面，則平面，又，則平面，在平面內(nèi)過(guò)作，則，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由