2025屆江蘇省南京市、鹽城市高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省南京市、鹽城市2025屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合.若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，由可得，又，所以，即，故D正確.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以.故選：B3.已知均為單位向量.若，則與夾角的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知，兩邊平方可得.則，所以.

因為均為單位向量，所以.根據(jù)，，.將其代入可得：.則.

設(shè)與的夾角為，，且，，可得，即.因為，所以.

則與夾角的大小是.故選：C.4.某項比賽共有10個評委評分，若去掉一個最高分與一個最低分，則與原始數(shù)據(jù)相比，一定不變的是（）A.極差 B.45百分位數(shù) C.平均數(shù) D.眾數(shù)【答案】B【解析】對A，若每個數(shù)據(jù)都不相同，則極差一定變化，故A錯誤；對B，由，所以將10個數(shù)據(jù)從小到大排列，45百分位數(shù)為第5個數(shù)據(jù)，從10個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到8個有效評分，，所以45百分位數(shù)為8個數(shù)據(jù)從小到大排列后第4個數(shù)據(jù)，即為原來的第5個數(shù)據(jù)．對C，去掉一個最高分一個最低分，平均數(shù)可能變化，故C錯誤；對D，去掉一個最高分一個最低分，眾數(shù)可能變化，故D錯誤.故選：B5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，且.若，則正整數(shù)的值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，且，所以，解得，故，因為，解得，故選：B.6.在銳角中，角所對的邊分別為.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】如圖所示，過點A作于點D，則，同理可證，因為，所以，整理得，因為為銳角三角形，所以，所以，即，故選：D7.已知雙曲線的左焦點、右頂點分別為，過點傾斜角為的直線交的兩條漸近線分別于點.若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可得，所以直線的方程為，由可得，由可得，因為為等邊三角形，所以，即，整理可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程是，故選：C.8.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則，由，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，則，即，可得，分解因式可得，解得.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由，且，則，故A錯誤；由，故B正確；由，故C正確；由故D錯誤.故選：BC.10.在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線折成四面體，使得，則（）A.直線與直線所成角為B.直線與平面所成角的余弦值為C.四面體的體積為D.四面體外接球的表面積為【答案】ABD【解析】如圖所示，取的中點，連接，因和為等邊三角形，則，因平面，平面，則平面，因平面，則，故A正確；因平面，則在平面內(nèi)的投影落在直線上，故為直線與平面所成角，因，，則，因，則在中邊上的高為，則，故B正確；因，平面，則，故C錯誤；點分別為和的外心，過分別作平面，平面，，則點為球心，則，在中，，故，則，則四面體外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)滿足：對任意，且當(dāng)時，.下列說法正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.當(dāng)時，D.在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】因為，令，，可得，所以，令，，可得，所以，所以，A正確；由，令可得，，再將中的替換為，可得，所以，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，B錯誤；當(dāng)時，將中的用替換，可得，即，當(dāng)時，，由已知可得，所以，，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，C正確；因為，所以若，則，任取，且，則，因為，所以，，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，當(dāng)時，，因為，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的值是__________.【答案】【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，所以，所以，因為不恒為，所以，所以.故答案為：.13.已知橢圓的上頂點為，直線交于兩點.若的重心為，則實數(shù)的值是__________.【答案】【解析】已知橢圓，上頂點坐標(biāo)為.設(shè)，，因為的重心為，所以，.由可得；由可得.直曲聯(lián)立，將直線代入橢圓，可得.展開并整理得.根據(jù)韋達定理可知.又因為，，所以.由可得①；由可得②.由②可得，將其代入①可得：，則，解得.當(dāng)時，代入②可得，，此時直線與橢圓有兩個交點，符合題意.故答案為：.14.將9個互不相同的向量，填入的方格中，使得每行、每列的三個向量的和都相等，則不同的填法種數(shù)是__________.【答案】72【解析】已知，那么向量的所有可能情況有共種.設(shè)每行、每列的三個向量的和為，因為，所以.又因為三行向量和等于三列向量和，且所有向量和為，所以，而的分量和分量都為（取值且各有個），所以.要使每行、每列的三個向量和為，則每行、每列的三個向量的分量和分量都分別為.對于分量，個數(shù)的和為，有這一種組合情況；對于分量，個數(shù)的和為，也有這一種組合情況.先確定第一行的填法，第一行的個向量的分量和分量都要滿足的組合，分量的排列有種，分量的排列也有種，所以第一行的填法有種.當(dāng)?shù)谝恍写_定后，第二行第一列的向量分量要與第一行第一列和第三行第一列的分量和為，分量同理，所以第二行第一列的向量是唯一確定的，同理第二行第二列、第二行第三列的向量也唯一確定，第三行的向量也就隨之確定.因為第一行確定后，第二行和第三行可以交換位置.所以不同的填法種數(shù)是種.故答案為：72.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，內(nèi)接于圓為圓的直徑，平面為線段中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：因為內(nèi)接于圓為圓的直徑，所以.因為平面平面，所以.又平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）因為平面平面，所以.以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，則，所以.設(shè)平面的法向量，由得不妨設(shè)，則，所以平面的一個法向量.又，設(shè)平面的法向量，由得不妨設(shè)，則，所以平面的一個法向量.所以，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.16.已知數(shù)列的前項和滿足為常數(shù)，且.（1）求的值；（2）證明：為等差數(shù)列；（3）若，求的取值范圍.（1）解：因為，所以，又，所以.又，所以.（2）證明：由（1）可得，所以，因此，相減得，得，所以為等差數(shù)列.（3）解：由（2）得，由，得.因為對恒成立，所以.17.甲、乙兩人組隊準(zhǔn)備參加一項挑戰(zhàn)比賽，該挑戰(zhàn)比賽共分關(guān)，規(guī)則如下：首先某隊員先上場從第一關(guān)開始挑戰(zhàn)，若挑戰(zhàn)成功，則該隊員繼續(xù)挑戰(zhàn)下一關(guān)，否則該隊員被淘汰，并由第二名隊員接力，從上一名隊員失敗的關(guān)卡開始繼續(xù)挑戰(zhàn)，當(dāng)兩名隊員均被淘汰或者關(guān)都挑戰(zhàn)成功，挑戰(zhàn)比賽結(jié)束.若甲每一關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率均為，乙每一關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率均為，且甲、乙兩人每關(guān)挑戰(zhàn)成功與否互不影響，每關(guān)成功與否也互不影響.（1）已知甲先上場，，①求挑戰(zhàn)沒有一關(guān)成功的概率；②設(shè)為挑戰(zhàn)比賽結(jié)束時挑戰(zhàn)成功的關(guān)卡數(shù)，求；（2）如果關(guān)都挑戰(zhàn)成功，那么比賽挑戰(zhàn)成功.試判斷甲先出場與乙先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率是否相同，并說明理由.解：（1）①記甲先上場且挑戰(zhàn)沒有一關(guān)成功的概率為，則.②依題可知，的可能取值為，則，所以.（2）設(shè)甲先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率為，乙先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率為，則由，得因此，甲先出場與乙先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率相同.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求證：；（2）若對于恒成立，求的取值范圍；（3）若存在，使得，求證：.（1）證明：由，得.要證，只需證.令，則.當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以，故，因此.（2）解：令，則①當(dāng)時，由，得，因此，滿足題意.②當(dāng)時，由，得，因此，則在上單調(diào)遞增.若，則，則在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意；若，則，因此在存在唯一的零點，且，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，不合題意.綜上，的取值范圍為.（3）解：由（2）知，設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，注意到，故在上存在唯一的零點.注意到，且在上單調(diào)遞增.要證明，只需證，因為，所以只需證，即證.因為，即，所以，只需證，只需證（*）由（1）得，因此，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，從而，即，因此（*）得證，從而.19.設(shè)是由直線構(gòu)成的集合，對于曲線，若上任意一點處的切線均在中，且中的任意一條直線都是上某點處的切線，則稱為的包絡(luò)曲線.（1）已知圓為的包絡(luò)曲線，判斷直線（為常數(shù)，）與集合的關(guān)系；（2）已知的包絡(luò)曲線為，直線.設(shè)與的公共點分別為，記的焦點為.①證明：是、的等比中項；②若點在圓上，求的最大值.解：（1）圓心到的距離，即直線與圓相切，所以.（2）解法一：①證明：由，知的準(zhǔn)線方程為，.設(shè).因為，且與的公共點為，所以是曲線在點處的切線，其方程為，即，則（*），同理，，則（**），由（*）（**）得直線方程為，即.由，消去整理得，則.又因為，則.又因為，所以，故是、的等比中項.②解：由①知，，則.因為，所以，則，又因為，則，從而可得，解得，當(dāng)時等號成立，故的最大值為.解法2：①證明：由題意知，則.設(shè).因為，且與的公共點為，所以是曲線在點處的切線，所以，即（*）同理（**）聯(lián)立（*）（**）得，即，所以，注意到，因此，所以是的等比中項.②解：由①知，，設(shè)，則.因點在圓上，所以，于是，從而，解得，即.又當(dāng)時，，故的最大值為.江蘇省南京市、鹽城市2025屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合.若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，由可得，又，所以，即，故D正確.故選：D2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】因為，所以，所以，所以.故選：B3.已知均為單位向量.若，則與夾角的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】已知，兩邊平方可得.則，所以.

因為均為單位向量，所以.根據(jù)，，.將其代入可得：.則.

設(shè)與的夾角為，，且，，可得，即.因為，所以.

則與夾角的大小是.故選：C.4.某項比賽共有10個評委評分，若去掉一個最高分與一個最低分，則與原始數(shù)據(jù)相比，一定不變的是（）A.極差 B.45百分位數(shù) C.平均數(shù) D.眾數(shù)【答案】B【解析】對A，若每個數(shù)據(jù)都不相同，則極差一定變化，故A錯誤；對B，由，所以將10個數(shù)據(jù)從小到大排列，45百分位數(shù)為第5個數(shù)據(jù)，從10個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到8個有效評分，，所以45百分位數(shù)為8個數(shù)據(jù)從小到大排列后第4個數(shù)據(jù)，即為原來的第5個數(shù)據(jù)．對C，去掉一個最高分一個最低分，平均數(shù)可能變化，故C錯誤；對D，去掉一個最高分一個最低分，眾數(shù)可能變化，故D錯誤.故選：B5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，且.若，則正整數(shù)的值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】因為數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，且，所以，解得，故，因為，解得，故選：B.6.在銳角中，角所對的邊分別為.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】如圖所示，過點A作于點D，則，同理可證，因為，所以，整理得，因為為銳角三角形，所以，所以，即，故選：D7.已知雙曲線的左焦點、右頂點分別為，過點傾斜角為的直線交的兩條漸近線分別于點.若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可得，所以直線的方程為，由可得，由可得，因為為等邊三角形，所以，即，整理可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程是，故選：C.8.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則，由，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，則，即，可得，分解因式可得，解得.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由，且，則，故A錯誤；由，故B正確；由，故C正確；由故D錯誤.故選：BC.10.在邊長為2的菱形中，，將菱形沿對角線折成四面體，使得，則（）A.直線與直線所成角為B.直線與平面所成角的余弦值為C.四面體的體積為D.四面體外接球的表面積為【答案】ABD【解析】如圖所示，取的中點，連接，因和為等邊三角形，則，因平面，平面，則平面，因平面，則，故A正確；因平面，則在平面內(nèi)的投影落在直線上，故為直線與平面所成角，因，，則，因，則在中邊上的高為，則，故B正確；因，平面，則，故C錯誤；點分別為和的外心，過分別作平面，平面，，則點為球心，則，在中，，故，則，則四面體外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)滿足：對任意，且當(dāng)時，.下列說法正確的是（）A.B.為偶函數(shù)C.當(dāng)時，D.在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】因為，令，，可得，所以，令，，可得，所以，所以，A正確；由，令可得，，再將中的替換為，可得，所以，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，B錯誤；當(dāng)時，將中的用替換，可得，即，當(dāng)時，，由已知可得，所以，，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，，C正確；因為，所以若，則，任取，且，則，因為，所以，，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，當(dāng)時，，因為，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的值是__________.【答案】【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，所以，所以，因為不恒為，所以，所以.故答案為：.13.已知橢圓的上頂點為，直線交于兩點.若的重心為，則實數(shù)的值是__________.【答案】【解析】已知橢圓，上頂點坐標(biāo)為.設(shè)，，因為的重心為，所以，.由可得；由可得.直曲聯(lián)立，將直線代入橢圓，可得.展開并整理得.根據(jù)韋達定理可知.又因為，，所以.由可得①；由可得②.由②可得，將其代入①可得：，則，解得.當(dāng)時，代入②可得，，此時直線與橢圓有兩個交點，符合題意.故答案為：.14.將9個互不相同的向量，填入的方格中，使得每行、每列的三個向量的和都相等，則不同的填法種數(shù)是__________.【答案】72【解析】已知，那么向量的所有可能情況有共種.設(shè)每行、每列的三個向量的和為，因為，所以.又因為三行向量和等于三列向量和，且所有向量和為，所以，而的分量和分量都為（取值且各有個），所以.要使每行、每列的三個向量和為，則每行、每列的三個向量的分量和分量都分別為.對于分量，個數(shù)的和為，有這一種組合情況；對于分量，個數(shù)的和為，也有這一種組合情況.先確定第一行的填法，第一行的個向量的分量和分量都要滿足的組合，分量的排列有種，分量的排列也有種，所以第一行的填法有種.當(dāng)?shù)谝恍写_定后，第二行第一列的向量分量要與第一行第一列和第三行第一列的分量和為，分量同理，所以第二行第一列的向量是唯一確定的，同理第二行第二列、第二行第三列的向量也唯一確定，第三行的向量也就隨之確定.因為第一行確定后，第二行和第三行可以交換位置.所以不同的填法種數(shù)是種.故答案為：72.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，內(nèi)接于圓為圓的直徑，平面為線段中點.（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：因為內(nèi)接于圓為圓的直徑，所以.因為平面平面，所以.又平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）因為平面平面，所以.以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，則，所以.設(shè)平面的法向量，由得不妨設(shè)，則，所以平面的一個法向量.又，設(shè)平面的法向量，由得不妨設(shè)，則，所以平面的一個法向量.所以，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.16.已知數(shù)列的前項和滿足為常數(shù)，且.（1）求的值；（2）證明：為等差數(shù)列；（3）若，求的取值范圍.（1）解：因為，所以，又，所以.又，所以.（2）證明：由（1）可得，所以，因此，相減得，得，所以為等差數(shù)列.（3）解：由（2）得，由，得.因為對恒成立，所以.17.甲、乙兩人組隊準(zhǔn)備參加一項挑戰(zhàn)比賽，該挑戰(zhàn)比賽共分關(guān)，規(guī)則如下：首先某隊員先上場從第一關(guān)開始挑戰(zhàn)，若挑戰(zhàn)成功，則該隊員繼續(xù)挑戰(zhàn)下一關(guān)，否則該隊員被淘汰，并由第二名隊員接力，從上一名隊員失敗的關(guān)卡開始繼續(xù)挑戰(zhàn)，當(dāng)兩名隊員均被淘汰或者關(guān)都挑戰(zhàn)成功，挑戰(zhàn)比賽結(jié)束.若甲每一關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率均為，乙每一關(guān)挑戰(zhàn)成功的概率均為，且甲、乙兩人每關(guān)挑戰(zhàn)成功與否互不影響，每關(guān)成功與否也互不影響.（1）已知甲先上場，，①求挑戰(zhàn)沒有一關(guān)成功的概率；②設(shè)為挑戰(zhàn)比賽結(jié)束時挑戰(zhàn)成功的關(guān)卡數(shù)，求；（2）如果關(guān)都挑戰(zhàn)成功，那么比賽挑戰(zhàn)成功.試判斷甲先出場與乙先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率是否相同，并說明理由.解：（1）①記甲先上場且挑戰(zhàn)沒有一關(guān)成功的概率為，則.②依題可知，的可能取值為，則，所以.（2）設(shè)甲先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率為，乙先出場比賽挑戰(zhàn)成功的概率為，則由，得因此，甲先出