長沙市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期高三下學(xué)期5月數(shù)學(xué)模擬試卷（一）（學(xué)生版+解析版）

長沙市一中2025屆模擬試卷(一)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.對于數(shù)據(jù)1,2,4,6,6,11下列說法錯誤的是()A.平均數(shù)為5B.眾數(shù)為6C.極差為10D.中位數(shù)為62.已知集合A={-1,0,2,m2},B={x∈Zlx2≤3},若A∩B={-1,0,1},則m=()A.1B.-1CA.sina>0,cosa>0B.sina>0,C.sina<0,cosa>0D.sina<0,cosa<04.已知1ga+lgb=0(a>0,b>0,5.已知復(fù)數(shù)z∈C,滿足,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則點(diǎn)Z所在區(qū)域的面積為A.πB.2π6.已知菱形ABCD的邊長為1,∠DAB=60,E是BC的中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F,則AF·AB=DD7.橢圓具有光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點(diǎn)(如圖).已知橢圓E:的左、右焦點(diǎn)分別為F,F?,過F?的直線與橢圓E交于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)A作橢圓的切線1,點(diǎn)B關(guān)于1的對稱點(diǎn)為M,,則橢圓E的離心率為8.函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)就是對函數(shù)f(x)求n次導(dǎo)數(shù)，記作f(”)(x),設(shè)函數(shù)f(x)=(x-2025)e,若關(guān)于x的不等式f(2024)(x)<kx-1恰有一個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(0,1)B.(1,e2+1)D9.已知在首項(xiàng)為1,公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}中，a,a?,a?是等比數(shù)列{b?}的前三項(xiàng)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則()A.d=3C.是公差為3的等差數(shù)列D.b=4”-1在球O的表面上，則()A.EF//平面A?ACC?B.AF⊥平面A?ECD.球O的體積為11.已知函數(shù)f(x)=|sinwx|+|cosox(w>0)的定義域?yàn)锳=[0,a](a>0)B.若,且α∈(π,+∞),則f(x)的圖象在A上存在對稱軸.C.若α=π,且f(x)在A上單調(diào)，則@取值范圍是D若B中恰有3個不同元素，則13.已知三棱錐P-ABC滿足AB=3,BC=4,AC=5,部)到AB,BC,AC的距離相等，則二面角P-AB-C若a?=40,則b= 且其體積為4√2,若點(diǎn)P(正投影在VABC內(nèi) 14.已知動直線l與圓x2+(y-9)2=1相切，并與圓x2+(y-9)2=4相交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)P為拋物線y2=2x上一動點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則PO+PA+PB的取值范圍為四、解答題(本大題共5個小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.在多面體ABCDE中，已知AB=BC=2,AC=2√2,DA=DB=EB=EC=√5,且平面DAB均垂直于平面ABC,F為DE的中點(diǎn).(1)證明：DE//AC;(2)求直線BF與平面ACE所成角的正弦值.16.海岸上建有相距40√3海里的雷達(dá)站C,D,某一時刻接到海上B船因動力故障發(fā)出的求救信號后，調(diào)配附近的A船緊急前往救援，雷達(dá)站測得角度數(shù)據(jù)為(1)救援出發(fā)時，A船距離雷達(dá)站C距離為多少?(2)求A,B之間的距離，并判斷若A船以30海里每小時的速度前往B處，能否在3小時內(nèi)趕到救援(說明理由)?17.甲、乙兩人進(jìn)行AI知識問答搶答賽，比賽共有3道搶答題，每道題均有人搶答，其計(jì)分規(guī)則為：初始甲、乙雙方均為0分，答對一題得1分，答錯一題得-1分，未搶到題得0分，最后累計(jì)總分多的人獲勝.假設(shè)甲、乙搶到每題的成功率相同，且甲、乙兩人每題答題正確的概率分別為和.求：(1)在3題均被乙搶到的條件下，設(shè)乙答題得分為X,求X的分布列和期望值；(2)甲在比賽中獲勝的概率.18.已知等軸雙曲線C:y2-x2=a2,過E(0,-2)作斜率為k的直線1,與雙曲線C分別交于A,B兩點(diǎn)，(1)求雙曲線C的方程；(2)若l與雙曲線C的上、下兩支相交，點(diǎn)D(0,2),直線AD,BD分別與雙曲線C的上支交于M,N兩點(diǎn).(ii)設(shè)DMN和DAB的面積分別為S?,S?,且,求直線AB的方程.19.已知函數(shù)f(x)=e"sinx.(2)若.時，f(x)≥x恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；長沙市一中2025屆模擬試卷(一)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.對于數(shù)據(jù)1,2,4,6,6,11,下列說法錯誤的是()A.平均數(shù)為5B.眾數(shù)為6C.極差為10D.中位數(shù)為6【答案】D【解析】【分析】利用平均數(shù)，眾數(shù)，極差，中位數(shù)的意義計(jì)算可判斷每個選項(xiàng)的正誤.【詳解】平均數(shù)為故A正確；眾數(shù)為6,故B正確；極差為11-1=10,故C正確；數(shù)據(jù)1,2,4,6,6,11的中位數(shù)為5,故D錯誤.2.已知集合A={-1,0,2,m2},B={x∈Zx2≤3},若A∩B={-1,0,1}A.1B.-1C【解析】【分析】先求得集合B,再根據(jù)交集定義列式計(jì)算即可.【詳解】集合B={-1,0,1},因此m2=1,m=±1.A.sina>0,cosa>0C.sina<0,cosa>0D.sina<0,c【解析】【分析】確定出α=-5的范圍，從而可求得答案【詳解】因所以α=-5為第一象限的角，4.已知lga+1gb=0(a>0,b>0,且a≠1,b≠1),則函數(shù)f(x)=a?×與g(x)=log,x的圖象可能是【解析】【詳解】由lga+lgb=0可知，故f(x)=a×=b,故函數(shù)f(x)=a?*與函數(shù)g(x)=log,x的單調(diào)性相同，5.已知復(fù)數(shù)z∈C,滿足在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則點(diǎn)Z所在區(qū)域的面積為A.πB.2π【解析】的圓，從而可求出點(diǎn)Z所在區(qū)域的面積為圓環(huán)的面積.【詳解】因?yàn)楸硎疽詾閳A心，2為半徑的圓，因此由得點(diǎn)Z所在區(qū)域的面積為π×22-π×12=3π【答案】B【解析】【分析】依題意可得FEB∽FAD,即可得到從而用AB、AD作為基底表示出AF,再根據(jù)數(shù)量積定義及運(yùn)算律計(jì)算可得.7.橢圓具有光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點(diǎn)(如圖).已知橢圓E:的左、右焦點(diǎn)分別為F,F?,過F?的直線與橢圓E交于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)A作橢圓的切線l,點(diǎn)B關(guān)于I的對稱點(diǎn)為M,若AB|=a,,則橢圓E的離心率為DABDAB【答案】D【解析】8.函數(shù)f(x)的n階導(dǎo)就是對函數(shù)f(x)求n次導(dǎo)數(shù)，記作f("(x)于x的不等式f(2024)(x)<kx-1恰有一個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是A.(0,1)B.(1,e2+1)D【解析】【分析】根據(jù)f("(x)的定義求得f(2024)(x)=(x-1)e,令g(x)=(x-1【詳解】f'(x)=(x-2024)e,f"(x)=(x-2023)e*,…,f(2024)(x)=(x-1)e*,作出函數(shù)g(x)圖象，如圖所示，直線y=kx二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，至少有兩項(xiàng)符合題目要求，若全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯或不選得0分)C.是公差為3的等差數(shù)列D.b=4”-1【解析】【詳解】因?yàn)閍?a?=a2,即a(a+5d)=(a+d)2,又a?=1,所以1(1+5d)=(1+d)2,b?=a?=1,b?=a?=4即{b?}的公比為4,故b?=4”-1,故D正確.A.EF//平面A?ACC?【解析】對于D,可得球心0為A?C的中點(diǎn)，計(jì)算可判斷.【詳解】對于A,如圖1,取A?B?的中點(diǎn)G,連接GF,GE,所以GF//A?C?,又GFa平面ACC?A?,A?C?C平面ACC?A,所以GF//平面ACC?A,又A?G//AE且A?G=AE,所以四邊形A?GEA是平行四邊形，所以A?A//EG,又GE女平面ACC?A?,A?AC平面ACC?A?,所以GE//平面ACC?A?,圖1圖3對于B,取BC的中點(diǎn)K,連接KF,KA,如圖2,若AF⊥平面A?EC,ECc平面A?EC,則AF⊥EC,因?yàn)镵,F分別為BC,B?C?上的中點(diǎn)，所以B?F//BK且B?F=BK,所以四邊形B?FKB是平行四邊形，所以B?B//KF,又由正三棱柱ABC-A?B?C?,可得BB?⊥平面ABC,所以KF⊥平面ABC,所以CE⊥平面AKF,又AKc平面AKF,所以AK⊥CE,但由ABC是正三角形，顯然AK⊥CE不成立，故AF⊥平面AEC不成立，故B錯誤；對于C,設(shè)CA=a,CB=b,CC?=c,則a對于D,由題意知，CE⊥平面AA?B?B,又A?Ec平面AA?B?B,所以A?E⊥EC.同理A?F⊥FC,因?yàn)椤鰽?EC與△A?FC均為以A?C為斜邊的直角三角形，則球心0為A?C的中點(diǎn)，所以球O的體積為,故D正確.11.已知函數(shù)f(x)=|sinwx|+|cosox(w>0)的定義域?yàn)锳=[0,a](a>0),集合B.若,且α∈(π,+∞),則f(x)的圖象在A上存在對稱D.若B中恰有3個不同元素，【解析】t對于D:若B中有3個不同元素，則方程|sin2ox|=1在A上恰12.已知(x+b)?=a?x?+a?x?+a?x3+a?x2+ax+a?,若a?=40,則b=【答案】±2【解析】【分析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】(x+b)?展開式的通項(xiàng)公式為T?+=C?x?-b,由(x+b)?=a?x?+a?x?+a?x3+a?x2+ax+a?,故x3的系數(shù)為C2b2而a?=40,得C2·b2=40,解得b=±2.13.已知三棱錐P-ABC滿足AB=3,BC=4,AC=5,且其體積為4√2,若點(diǎn)P(正投影在VABC內(nèi)部)到AB,BC,AC的距離相等，則二面角P-AB-C的正弦值為【答案】【解析】【分析】設(shè)P在底面上投影為0,過0作OD⊥AB,垂足為D,連接PD,則∠PDO是二面角P-AB-C的平面角，由體積求得棱錐的高，再結(jié)合底面內(nèi)切圓半徑，即可求點(diǎn)到底面的距離，進(jìn)而求得側(cè)面上的高即可求解.【詳解】因?yàn)锳B=3,BC=4,AC=5,所以VABC是以AC為斜邊的直角三角形.由三棱錐體積公式得三棱錐高h(yuǎn)=2√2,由點(diǎn)P到AB,BC,AC的距離相等得出點(diǎn)P在底面上投影O到VABC各邊距離也相等，所以0是VABC的內(nèi)心，則O到VABC各邊距離為內(nèi)切圓半徑，過0作OD⊥AB,垂足為D,連接PD,則∠PDO是二面角P-AB-則三棱錐側(cè)面上的高為PD=√h2+r2=3,故二面角P-AB-C的正弦值為14.已知動直線l與圓x2+(y-9)2=1相切，并與圓x2+(y-9)2=4相交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)P為拋物線y2=2x上一動點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則PO+PA+PB|的取值范圍為_【解析】,進(jìn)而計(jì)算可求得PO+PA+PB的取值范圍.【詳解】設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,根據(jù)圓的對稱性可知點(diǎn)M在圓x2+(y-9)2=1上，圓心為R(0,6),半徑為故|此PO+PA+PB|的取值范圍是(6√5-2,+o)四、解答題(本大題共5個小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15.在多面體ABCDE中，已知AB=BC=2,AC=2√2,DA=DB=EB=EC=√5,且平面BCE與平面DAB均垂直于平面ABC,F為DE的中點(diǎn).(1)證明：DE//AC;(2)求直線BF與平面ACE所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析【解析】【分析】(1)取AB,BC的中點(diǎn)M,N,證明四邊形DENM為平行四邊形即可得證DE//AC;(2)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用法向量求解即可.【小問1詳解】如圖，分別取AB,BC的中點(diǎn)M,N,連接DM,MN,NE,因此DM//EN且DM=EN,故四邊形DENM為平行四邊形，所以DE//MN,【小問2詳解】因?yàn)锳B=BC=2,AC=2√2,所以AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90,以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，過B且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐由題意知，B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(1,0,2),E(0,設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z),則有即令x=2,則y=2,z=1,即平面ACE的一個法向量為n=(2,2,1).設(shè)直線BF與平面ACE所成角為θ,即直線BF與平面ACE所成角的正弦值為(2)求A,B之間的距離，并判斷若A船以30海里每小時的速度前往B處，能否在3小時內(nèi)趕到救援(說明理由)?【答案】(1)120海里【解析】【分析】(1)在△ADC中，求出∠DAC,∠ADC,利用正弦定理求解即可.【小問1詳解】所以A船距離雷達(dá)站C距離為120海里；【小問2詳解】即解得BC=40√2,在VABC中，由余弦定理可得AB2=1202+(40√2)-2×120×40√2cos45=8000,解得AB=40√5,因?yàn)锳船以30海里每小時的速度前往B處，i所以能在3小時內(nèi)趕到救援.17.甲、乙兩人進(jìn)行AI知識問答搶答賽，比賽共有3道搶答題，每道題均有人搶答，其計(jì)分規(guī)則為：初始甲、乙雙方均為0分，答對一題得1分，答錯一題得-1分，未搶到題得0分，最后累計(jì)總分多的人獲勝.假設(shè)甲、乙搶到每題的成功率相同，且甲、乙兩人每題答題正確的概率分別為和.求：(1)在3題均被乙搶到條件下，設(shè)乙答題得分為X,求X的分布列和期望值；(2)甲在比賽中獲勝的概率.【答案】(1)分布列見解析，-1【解析】【分析】(1)由題意知X的所有可能取值為-3,-1,1,3,分別求出對應(yīng)概率，寫出分布列，進(jìn)而求期望；(2)設(shè)甲獲勝為事件A,甲在比賽中共搶到i(i=0,1,2,3)道題為事件A?,由P(A)=P(A?)P(A|A?)+P(A?)P(AlA?)+P(A)P(AlA)+P(A,)P(AlA,)計(jì)算求解即可.【小問1詳解】依題意，X的所有可能取值為-3,-1,1,3,則故分布列為X13P【小問2詳解】設(shè)甲獲勝為事件A,甲在比賽中共搶到i(i=0,1,2,3)道題為事件A,,則18.已知等軸雙曲線C:y2-x2=a2,過E(0,-2)作斜率為k的直線l,與雙曲線C分別交于A,B兩點(diǎn)，(1)求雙曲線C的方程；(2)若1與雙曲線C的上、下兩支相交，點(diǎn)D(0,2),直線AD,BD分別與雙曲線C的上支交于M,N兩點(diǎn).(i)求直線l斜率k的取值范圍；(ii)設(shè)DMN和DAB的面積分別為S?,S?,且,求直線AB的方程.【答案】(1)y2-x2=1(2)(i);(ii)y=√3x-2或y=-√3x-2.【解析】【分析】(1)由題意知直線1為y=-2,再由A|