上海市張堰中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

上海市張堰中學(xué)2024學(xué)年第二學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研高一數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共有12題，每題3分，滿(mǎn)分36分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果．1.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_____.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)周期公式直接求解即可【詳解】的最小正周期為，故答案為：2.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____________．【答案】【解析】【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧?.扇形的半徑等于2，圓心角等于2，則扇形的面積等于__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式求解.【詳解】由扇形的面積公式可得.故答案為：4.4.已知，，則__________．【答案】【解析】【分析】由平方關(guān)系求出，利用兩角差的公式求出得解.【詳解】，，，則，所以.故答案為：0.5.已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)根，則__________．【答案】26【解析】【分析】利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對(duì)原理可得方程的另一個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解.【詳解】由題意，是方程的一個(gè)根，則是其另一個(gè)根，所以.故答案為：26.6.已知的終邊在直線(xiàn)（）上，則__________．【答案】【解析】【分析】在角的終邊上任取一點(diǎn)，根據(jù)余弦函數(shù)定義求解.【詳解】在角終邊上任取一點(diǎn)，則.故答案為：.7.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式求解.詳解】由，得，.故答案為：.8.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的同角求值，可求得，再結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所?故答案為：.9.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)的增區(qū)間，再與取交集即可解出．【詳解】令，解得，所以的增區(qū)間為，又，所以在上的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.10.函數(shù)的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)陰影面積得出，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求出函數(shù)值.【詳解】函數(shù)的最小正周期，由圖可知，，函數(shù)，所以，故答案為：11.由于四邊形不具有穩(wěn)定性，所以求四邊形面積公式需要有限制條件.我們將四個(gè)點(diǎn)在圓上的四邊形稱(chēng)為圓內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形具有對(duì)角互補(bǔ)的性質(zhì).印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多發(fā)現(xiàn)了圓內(nèi)接四邊形的面積公式為，其中、、、分別為圓內(nèi)接四邊形的4條邊，，與海倫公式有類(lèi)似之處.已知在圓內(nèi)接四邊形中，，，，，則四邊形的面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】連接，利用余弦定理得到的長(zhǎng)，再利用圓內(nèi)接四邊形的面積公式即可得到答案.【詳解】連接，因?yàn)樵趫A內(nèi)接四邊形中，，，，，所以，在中，由余弦定理得，在中，，，即，解得或（舍去），則，所以圓內(nèi)接四邊形的面積.故答案為：.①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減；③存在自然數(shù)，使得；④存在常數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，使得.【答案】①②④【解析】【分析】求出函數(shù)解析式可得，經(jīng)驗(yàn)證可得函數(shù)是奇函數(shù)，即①正確，利用整體代換法并根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性可判斷②正確，根據(jù)三角函數(shù)周期性計(jì)算可得，且，因此③錯(cuò)誤；結(jié)合誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換計(jì)算可得當(dāng)時(shí)，符合題意，可得④正確.【詳解】由經(jīng)過(guò)點(diǎn)可得，即，可得，又，因此可得；所以；對(duì)于①，易知為奇函數(shù)，即①正確；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減；即②正確.對(duì)于③，易知函數(shù)的最小正周期為，且，易知，所以的最大值為2，即，所以不存在自然數(shù)，使得；即③錯(cuò)誤；對(duì)于④，根據(jù)題意可得，因此存在常數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，使得，即④正確.故答案為：①②④二、選擇題（本大題共有4題，每題4分，滿(mǎn)分16分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.已知，則“為純虛數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義及復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可確定選項(xiàng).【詳解】當(dāng)為純虛數(shù)時(shí)，設(shè)，則，∴.當(dāng)時(shí)，可取，則為純虛數(shù)不成立.綜上得，“為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：A.14.對(duì)于函數(shù)，的圖像（

）得到．A.向右平移 B.向右平移C向右平移 D.向右平移【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意利用平移規(guī)則可知向右平移即可滿(mǎn)足題意.【詳解】易知將向右平移個(gè)單位可得.故選：A15.已知向量在向量上的投影向量為，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)

、

的夾角為

，利用投影向量的定義可得出，再利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值.【詳解】設(shè)

、

的夾角為

，

因?yàn)橄蛄吭谙蛄?/p>

上的投影向量為，所以，又因?yàn)?，則

．故選：C.16.設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用換元，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有2個(gè)，至多有3個(gè)t，使得，繼而數(shù)形結(jié)合，列出符合題意的不等式，求得答案.【詳解】令，則，令，則，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有2個(gè)，至多有3個(gè)t，使得，求的取值范圍；作出和的圖象，如圖：結(jié)合圖象可知滿(mǎn)足條件的最短區(qū)間的長(zhǎng)度為，最長(zhǎng)區(qū)間的長(zhǎng)度為，故得，解得，即，故選：B三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分48分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟．17.設(shè)，是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，已知，，.（1）求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）實(shí)數(shù)的值為9.【解析】【分析】（1）由平面向量的線(xiàn)性表示與共線(xiàn)定理，證明、共線(xiàn)，得出A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)；（2）由平面向量的共線(xiàn)定理列方程求出的值.【小問(wèn)1詳解】由，，，所以，所以，所以、共線(xiàn)，且有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn).【小問(wèn)2詳解】由，且，所以，即，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的值為9.18.在中，a，b，c分別是角A，B，C.（1）若，，求的外接圓的半徑；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理求解可得；（2）由余弦定理求得，進(jìn)而得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理得：，所以，故的外接圓的半徑為.【小問(wèn)2詳解】由，得，所以，又，則，∴.19.近年來(lái)，金山區(qū)認(rèn)真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市場(chǎng)需求，深挖冷水魚(yú)產(chǎn)業(yè)發(fā)展優(yōu)勢(shì)潛力，現(xiàn)已摸索出以虹鱒、鱘魚(yú)等養(yǎng)殖為主方向．為擴(kuò)大養(yǎng)殖規(guī)模，某鱘魚(yú)養(yǎng)殖場(chǎng)計(jì)劃在如圖所示的扇形區(qū)域內(nèi)修建矩形水池，矩形一邊在上，點(diǎn)在圓弧上，點(diǎn)在邊上，且，米，設(shè).（1）若，求矩形的面積S；（2）若矩形的面積為，當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為【解析】【分析】（1）在直角三角形中利用半徑與分別表示出和，進(jìn)而可得矩形面積表達(dá)式，利用二倍角公式及輔助角公式將化簡(jiǎn)變形，將代入即可求解；（2）由（1）可知矩形的面積為，其中結(jié)合角的范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.小問(wèn)1詳解】在中，，，，，其中.在中，，，，，∴矩形的面積為當(dāng)時(shí)，，即矩形的面積為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：矩形的面積為，其中.，∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，最大值為.20.如圖，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，將射線(xiàn)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后與單位圓相交于點(diǎn)，設(shè)函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求，的值；（2）求的單調(diào)增區(qū)間；（3）函數(shù)，的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1），；（2）（3）或【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)定義計(jì)算.（2）利用給定關(guān)系列式，再利用和角的正弦及輔助角公式化簡(jiǎn)，借助正弦函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)遞增區(qū)間.（3）利用二倍角的余弦公式變形，換元轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】依題意，，.【小問(wèn)2詳解】依題意，，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】由（2）得，令，則，函數(shù)的圖象是開(kāi)口方向向下，對(duì)稱(chēng)軸為的拋物線(xiàn)，①當(dāng)，即時(shí)，，解得；②當(dāng)，即時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的值為或.21.已知函數(shù)，，設(shè)，.（1）若，試求，；（2）若，試求，；（3）若，且，試確定整數(shù)的最大值.【答案】（1），（2），或（3）3【解析】分析】（1）分別令，，即可求出集合，；（2）由輔助角公式可得的解析式，分別令，即可求出集合，；（3）設(shè)，則，由題意可得，可得，然后分和兩種情況討論，由三角函數(shù)的有界性，可得，即恒成立，可得整數(shù)的值，從而可求得整數(shù)的最大值.【小問(wèn)1詳解】令，即，得，所以，令，即，得，所以；【小問(wèn)2詳解】，令，則，得,解得，所以，令，則，所以，解得，由正弦函