小學(xué)奧數(shù)公式

公式

八al+an、，n(n-1),

4.等差數(shù)列公式Sn=-、—Xn=ajXn+---Xd

an-al

5.立方和公式：

6.立方差公式：

7.奇數(shù)和公式：

8.偶數(shù)和公式：

9.多數(shù)平方和公式:

10.多數(shù)立方和公式：I3+23+33+..+r?=(1+2+...+n)2

11.特種公式：1X2+2X3+3X4+....+nX(n+1)

=I2+22+32+……+產(chǎn)+1+2+3+……+n

Jn(n+l)(n+2)

與因數(shù)相關(guān)的學(xué)問

1.因數(shù)個(gè)數(shù)：分解質(zhì)因數(shù)后，全部指數(shù)加1后的乘積。

2.因數(shù)和：設(shè)A=2'X3bx5c

那么因數(shù)和=(2°+2,+—+2a)X(30+3I+-+3b)X(5°+54…+5，)

3.因數(shù)積：設(shè)A=2'X3bx5c

那么因數(shù)積=人因數(shù)個(gè)數(shù)‘2(完全平方數(shù)除外)

4.因數(shù)倒數(shù)和：設(shè)A=2"X3'X5c

11,1_因數(shù)和

那么UU+LK

1

循環(huán)小數(shù)

7：；=0.1428575

7

：=0.285714

^=0.428571

4

4

7=0.5714287

6

^=0.714285

7

：=().857142

i

13：4=0.076923《=0.1538461310

4=0.2307695

XOW=0.384615

4卷=0.461538

WXO=0.307692XO

9△=0.538461

7XO^=0.692307Xo

^=0.7692308

7^=0.615384

XOXo13

11=0.92307611=0.846153

排列組合進(jìn)階

X排列是先選再排，組合是只選不排C

C：卜里選m個(gè)的數(shù)量和n里（n-m）個(gè)不選的數(shù)量是一樣的）

C（C：；=i（一個(gè)不選和全部都選只有一種狀況）

出+以+髭+……+C：；=T（每個(gè)元素有選中和不選中兩種狀況）

常用方法：

1.優(yōu)限法：找出特別的狀況，先把特別的狀況分組（有可能須要細(xì)分，如0,2,4又分為

0和2,4）,再計(jì)算其他狀況

2.捆綁法：相鄰問題，干脆捆在一起，算一個(gè)，再與其他的排，留意捆在一起包內(nèi)的，也

要排序，然后兩個(gè)數(shù)乘積即可。

3.插空法：求不相鄰問題，那就把他們?nèi)猿鋈?，先排剩下的，排完，再插空，查出多少個(gè)

空位再選多少個(gè)元素去插空即可。

4.大除法：先把全部的元素排列數(shù)量求出來，再找出限定條件的元素單獨(dú)排一排，并找到

限定條件后占全部限定元素排列的比率，再與全部排列數(shù)量相乘即可。

5.插板法：都變?yōu)椤爸辽僖粋€(gè)”的狀況，再查空位，插板，用C計(jì)算即可。

6.解除法：正面求解困難，則利用反向求解，再用全部減去反向，可得正向解。

A+6余3,求A最小多少？

解：設(shè)A+7—K余5

A=7K+5代入其次式中，得，(7K+5)+6余3,得7"6余4

當(dāng)K=4時(shí)，滿意。即A=7K+5=33,通式為A=33+42K

同余

定義：對(duì)于自然數(shù)A、B,除以相同的數(shù)m,所得的余數(shù)也相同，則稱A、B

對(duì)于模m同余。表示為A三B(modm)讀作：“A同余于B,模m”

推論1：若A>B,A4-m=X.....n

B+m=Y.....n

那么，A-B=(X-Y)m;m能整除A、B的差,m|(A-B).

推論2：若A三B(modm；,B=C(modm)

那么，A三C(modm)；

推論3：若A三B(modm),C三D(modm)

那么，(A±C)=(B±D)(modm)；AC=BD(modm)

推論4：若A三B(modm),那么A。三B"(modm)

少數(shù)比較大小

手段一：十字相乘法

:口;匚)等口-t)Cad即be代表左邊，ad代表右邊。

手段二：作差

A-B>0A>BA-B<0A<B

手段三：作商

i>l二)A>Bi<lI—>AVB

手段四：取倒數(shù)

*匚X>B

段㈡〈B

手段五：化小數(shù)

手段六：基準(zhǔn)法

真分?jǐn)?shù)：當(dāng)分子與分母差肯定時(shí)，分母越大，值越大

假分?jǐn)?shù)：當(dāng)分子與分母差肯定時(shí)，分母越大，值越小

在白提之間比較大小，因分子與分母差都為3,且是真分?jǐn)?shù)，則^^

在意卷之間比較大小，因分子與分母差都為3,且是假分?jǐn)?shù)，則裝

手段七：通分差法(將分子分母變?yōu)椴羁隙?，再用手段六推斷大?

在看，仁之間比較大小，先將：變?yōu)槟挤肿优c分母差都為5,真分?jǐn)?shù)，則於得

糖

手段八：糖水法(糖水的甜度=耐不原)

模型一：：V筌(在糖水中加入糖，糖水的甜度增加，也可以理解為通分差)

模型二；?！戳豓：(糖水中加入另一糖水，新的糖水的甜度在二者之間)

bmbmb+ndndd_____\bmb+ndd

_?一=—-----v—=-?>v<一

kh—amama+ncncc--------/ama+ncc

好玩的巧數(shù)

1.33……3X33……3=11……1088……89

'------V------''------V-----''------V----''----V----'

n個(gè)3n個(gè)3n-l個(gè)1n-l個(gè)8

推論：6666X6666=44435556,9999X9999=99980001,3333X6666=22217778

3333X9999=33326667,6666X9999=66653334

2.33..3X33....34=11....122....2

‘V''v'\V9'V9

n個(gè)3n-l個(gè)3n個(gè)1n個(gè)2

推論：6666X3334=22224444,9999X3334=33336666

3.111=3X3710001=73X372007=32X223

999=27X3710101=3X7X13X372008=2:1X251

11111=271X411995=3X5X7X192015=5X13X31

111111=3X7X11X13X371998=2X3：*372016=2sX3X7

4.頭同尾和10：兩個(gè)兩位數(shù)相乘，如首位相同，末位加和為10,則得數(shù)四位數(shù)中前兩位

為首位與首位加1的乘數(shù)，末兩位為尾數(shù)相乘的乘數(shù)。

如：53X57=3021,84X86=7224,39X31=1209……

5.完全平方數(shù)口算：找到接近5與0的數(shù)再利用平方差公式計(jì)算

如：782=802-(802-782)=6400-(80+78)X2=6400-316=6084

762=75?+(762-752)=5625+(76+75)=5625*151=5776

6.123456789X8+9=987654321

7.MX99……9的數(shù)字和為9K.（其中MV99……9）

K個(gè)9

111111ill11111

8?<3+7+15）X（/正+石）-（3+7+15+石）*（/謳）=3X23

兩項(xiàng)乘積一兩項(xiàng)乘積問題：把最長的算式看作小龍，則原式為：

（有頭無尾小龍）X（無頭有尾小龍）一小龍X（無頭無尾小龍）

則結(jié)果為頭尾相乘。

9.1X2+2X3+.......+nX（n+1）=弓Xn義（n+1）X（n+2）

J

1Xa,+2Xa2+.......+riXan=-XnX（n+1）X（2an+ai）,al,a2.........an為等差

數(shù)列

分?jǐn)?shù)的分解

設(shè)A—A+i】］+A+n'

mi4日”，1112A+in+n

人IJ得出：X-A+m+A+n-(A+m)(A+n)

所以：(A+m)(A+n)=AX(2A+m+n),B|JA2+(m+n)A+mn=2A2+(m+n)A

可得:A2=mn

解題思路：只需將分母平方后分解質(zhì)因數(shù)，找到一對(duì)質(zhì)因數(shù)后，分別加上原分母作為等式

右邊的兩個(gè)分母。

例：將拆分成若干個(gè)分?jǐn)?shù)單位的和。

解：12的平方=144,而144=1X144=2X72=4X36=8X18=.......

111111111

所以=13+156=14+84=16+48=20+30.........

要拆分成三個(gè)式子相加如何做？

先拆成兩個(gè)，再將其中一個(gè)拆成兩個(gè)即可。

最值問題

（1）兩數(shù)和肯定，則兩數(shù)差越小，乘積越大，兩數(shù)差越大，乘積越小。

（2）兩數(shù)積肯定，則兩數(shù)差越小，加和越小，兩數(shù)差越大，加和越大。

（3）多3少2不拆1原則。

例：14拆成幾個(gè)自然數(shù)的積，求積最大值？

六大幾何模型

1.等積模型：平行平移模型和等高模型

3.鳥頭模型（共角模型）

ADXAESADE

ABXALSABC

4.蝴蝶模型

（1）風(fēng)箏模型（隨意四邊形）

S|XS3=S2XS.1（對(duì)頂面積乘積相等）

AO:OC=Si：St=S2：S3=（Si+S2）：（S4+S3）

（2）梯形中的蝴蝶模型（梯形）

S1=S3

s.xS.3=S2Xst（對(duì)頂面積乘積相等）

;2

S）：S2：S3：S，i=ab:b':ab:a

梯形S對(duì)應(yīng)的份數(shù)為（a+b）?

b

5.燕尾模型

acez

—X——1|aXcXe=bXc!Xf

左面積_左線段

右面積—右線段（每一底邊對(duì)應(yīng)三對(duì)面積與線段的比）

大面積_大面積包含的線段

串性:

小面積一小面積包含的線段

6.金字塔、沙漏模型（比例模型）：形態(tài)相同，大小不同的兩個(gè)三角形。

假如DE平行BC,那么

ADAEDEAF

（1）—=——=—=—

ABACBCAG

（2）兩個(gè)三角形面積比=對(duì)應(yīng)邊長的平方比B

7.勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊長為a,b,斜邊長為c,則有c2=a2+b?

外弦圖:

ba

常見勾股整數(shù):

3,4,5；

5,12,13；

7,24,25；

8,15,17：

9,40,41；

8.畢克定理：計(jì)算點(diǎn)陣中頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的多邊形面積

S=（n+；T）X小四邊形面積

其中：n是多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)

1是多邊形邊界上點(diǎn)數(shù)

a+h4-c

9.海倫公式：S-=p(p-a)(p-b)(p-c),a,b,c為三角形三邊長，p=-------(當(dāng)周長)

循環(huán)小數(shù)

1.有限小數(shù)：分母質(zhì)因子只有2或5

2.純循環(huán)小數(shù)：分母質(zhì)因子無2也無5

3.混循環(huán)小數(shù)：分母質(zhì)因子即含其他也含2或5.

小數(shù)化分?jǐn)?shù)：

1.純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：

aababc

O.a=g；0,ab=-；0-@血=碗

2.混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：

ab-aabc-aabed-ab

0.ab-90,0.abc-990，0,abcd=-9900^

正方體綻開圖（共11種）

規(guī)律：（1）對(duì)面規(guī)律，兩個(gè)相對(duì)的面綻開后是日字或之字兩個(gè)距離最遠(yuǎn)的面。

（2）對(duì)角點(diǎn)規(guī)律：在綻開圖中出現(xiàn)日字，通常用來找尋正方體復(fù)合的重合點(diǎn)。

如上圖中，A點(diǎn)的對(duì)角點(diǎn)為B點(diǎn)，Al,A2點(diǎn)與A點(diǎn)重合。

質(zhì)數(shù)

I.0和I即不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

2.除了2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，除了2和5,其余的質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只有1,3,7,9.

3.最小的三位質(zhì)數(shù)是101,最小的四位質(zhì)數(shù)是1009.

質(zhì)數(shù)的判定方法：

找到一個(gè)大于且接近該數(shù)的完全平方數(shù)K：再列出全部不大于K的質(zhì)數(shù)，推斷這些質(zhì)數(shù)能否

被該數(shù)整除，如不能，則該數(shù)就是質(zhì)數(shù)。

例