專題21探究與表達規(guī)律專項訓練（原卷版）

專題21探究與表達規(guī)律專項訓練1.通過具體的問題情境，經(jīng)歷在實際問題中探索規(guī)律的過程。2.能歸納具體問題中蘊含的規(guī)律，用代數(shù)式表示，并通過計算驗證。3.在解決問題過程中體驗類比、轉化等數(shù)學思想，培優(yōu)良好的思維品質。1.解題思維過程：從簡單、局部或特殊情況入手，經(jīng)過提煉、歸納和猜想，探索規(guī)律，獲得結論.有時候還需要通過類比聯(lián)想才能找到隱含條件.一般有下列幾個類型：1）一列數(shù)的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號之間的關系.2）一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號之間的關系.3）圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)或圖形總數(shù)與序號之間的關系.4）圖形變換的規(guī)律：找準循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個循環(huán)變換周期，進而觀察商和余數(shù).5）數(shù)形結合的規(guī)律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結論.2.常見的數(shù)列規(guī)律：1）1，3，5，7，9，…，（為正整數(shù)）．2）2，4，6，8，10，…，（為正整數(shù)）．3）2，4，8，16，32，…，（為正整數(shù)）．4）2，6，12，20，…，（為正整數(shù)）．5），，，，，，…，（為正整數(shù)）．6）特殊數(shù)列：①三角形數(shù)：1,3,6,10,15,21，…，.②斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個數(shù)開始每一個數(shù)等于與它相鄰的前兩個數(shù)的和.【題型一】數(shù)列的規(guī)律【典題1】（2021?沂南縣模擬）觀察下列兩行數(shù)：0，2，4，6，8，10，12，14，16，…0，3，6，9，12，15，18，21，24，…探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是0，第2個相同的數(shù)是6，…，若第n個相同的數(shù)是102，則n等于（）A．20 B．19 C．18 D．17【典題2】（2021·云南七年級模擬）有一組數(shù)：，它們是按一定規(guī)律排列的，這一組數(shù)的第n個數(shù)是（）A． B． C． D．【變式練習】1.（2021·福建省漳州第一中學七年級開學考試）觀察下列各項：，，，，…，依此規(guī)律下去，則第7項是__________；第項是__________．2.（2021?韶關一模）按規(guī)律排列的一列數(shù)：，，，，，…，則第2021個數(shù)是QUOTE．【題型二】數(shù)表的規(guī)律【典題1】（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個式子（其中的n是正整數(shù)），每行的三個式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【典題2】（2021?廣漢市模擬）右邊是一個按某種規(guī)律排列的數(shù)陣：根據(jù)規(guī)律，自然數(shù)2021應該排在從上向下數(shù)的第m行，是該行中的從左向右數(shù)的第n個數(shù)，那么m+n的值是（）A．131 B．130 C．129 D．128【變式練習】1.（2021?武漢模擬）觀察下面倒“品”字形中各數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出a的值為（）A．2020 B．2021 C．4040 D．40392.（2021?柳南區(qū)校級月考）將正奇數(shù)按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123………2725若2021在第m行第n列，則m+n＝（）A．256 B．257 C．510 D．511【題型三】算式的規(guī)律【典題1】（2021·廣州白云廣雅實驗學校七年級期中）已知：，，，，……，若符合前面式子的規(guī)律，則的值為_____．【典題2】（2021·安徽七年級期末）觀察以下等式：第個等式：；第個等式：；第個等式：；第個等式：．……按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）寫出第個等式：____________________．（2）寫出你猜想的第個等式：____________________（用含的等式表示）．（3）你認為（2）中所寫的式子一定成立嗎？請說明理由．【變式練習】1．（2021·浙江省衢州市衢江區(qū)實驗中學）數(shù)學興趣小組的同學，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：12+22+22＝32；22+32+62＝72；32+42+122＝132．…請你根據(jù)上述的規(guī)律，寫出第n個式子：___．2．（2021·東營市東營區(qū)實驗中學）我國古代數(shù)學的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，如圖1的“楊輝三角”就是其中的一例．如圖2，某同學發(fā)現(xiàn)楊輝三角給出了（n為正整數(shù)）的展開式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應展開式中各項的系數(shù)；第四行的四個數(shù)1，3，3，1，恰好對應著展開式中各項的系數(shù)等等．（1）填出展開式中共有________項，第三項是________．（2）直接寫出的展開式．（3）利用上面的規(guī)律計算：．【題型四】有序數(shù)對的規(guī)律【典題1】（2021·廣州市第十六中學七年級期中）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若有序實數(shù)對表示第排，從左到右第個數(shù)，如表示9，則表示2021的有序數(shù)對是（）A． B． C． D．【典題2】（2021·陜西·西安市曲江第一中學七年級期中）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分數(shù)，得到一個如圖所示的分數(shù)三角形，稱萊布尼茨三角形．若用有序實數(shù)對(m，n)表示第m行，從左到右第n個數(shù)，如(4，3)表示分數(shù)那么(8，3)表示的分數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式練習】1．（2020·北京市房山區(qū)初一期末）由一些正整數(shù)組成的數(shù)表如下（表中下一行中數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍）：若規(guī)定坐標號（m,n）表示第m行從左向右第n個數(shù)，則（7，4）所表示的數(shù)是_____；（5，8）與（8，5）表示的兩數(shù)之積是_______；數(shù)2012對應的坐標號是_________【題型五】圖形的規(guī)律（一次類）【典題1】（2021·山東淄博市·九年級一模）如圖所示，根據(jù)你的觀察，下面四個選項中的圖片，適合填補圖中空白處的是（）A． B． C． D．【典題2】（2021·山東九年級一模）如圖1是個正五邊形，分別連接這個正五邊形各邊中點得到圖2，再分別連接圖2小正五邊形各邊中點得到圖3．（1）填寫如表圖形標號123正五邊形個數(shù)__________________三角形個數(shù)__________________（2）按上面方法繼續(xù)連下去，第n個圖中有多少個三角形？（3）能否分出2014個三角形？簡述你的理由．【變式練習】1．（2021·云南九年級二模）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由大小相同的“”圖案組成的，依此規(guī)律，第2021個圖案中含有“”圖案的個數(shù)為（）

A．10106 B．10105 C．11005 D．110062.（2021·北京七年級期末）如圖所示是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形與等邊三角形鑲嵌而成，第1個圖案有4個三角形，第2個圖案有7個三角形，第3個圖案有10個三角形，第4個圖案有13個三角形，…，按照這樣的規(guī)律，第5個圖案中有____個三角形，第n個圖案中有____個三角形（用含有n的代數(shù)式表示）．【題型六】圖形的規(guī)律（二次類）【典題1】（2021·浙江九年級一模）按圖示的方法，搭1個正方形需要4根火柴棒，搭3個正方形需要10根火柴棒，搭6個正方形需要18根火柴棒，則下列選項中，可以搭成符合規(guī)律圖形的火柴棒的數(shù)目是（）A．52根 B．66根 C．70根 D．72根【典題2】（2021·重慶七年級期末）下列圖形都是由同樣大小的圓按一定的規(guī)律組成，其中第1個圖形中有5個圓，第2個圖形中有9個圓，第3個圖形中有14個圓，．．．則第8個圖形中圓的個數(shù)是（）A．52 B．53 C．54 D．55【變式練習】1．（2021·重慶八年級期末）如圖所示，各圖是用小黑色三角形壘成的“三角形”，圖①個中有個小黑色三角形，圖②中有個小黑色三角形，圖③中有個小黑色三角形，…，按此規(guī)律壘下去，則圖⑩中的小黑色三角形的個數(shù)是（）A． B． C． D．2.（2021·重慶西南大學附中七年級期中）古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，…．我國宋元時期數(shù)學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術”其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐的錐垛（如圖所示頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球），若一個“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛球的總個數(shù)為（）A．55 B．220 C．285 D．385【題型七】圖形的規(guī)律（指數(shù)類）【典題1】（2021·江蘇七年級期末）如圖，已知圖①是一塊邊長為1，周長記為C1的等邊三角形卡紙，把圖①的卡紙剪去一個邊長為的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊再剪去一個邊長為的等邊三角形后得到圖③，依次剪去一個邊長為、、…的等邊三角形后，得到圖④、⑤、⑥、…，記圖n（n≥3）中的卡紙的周長為Cn，則Cn﹣Cn﹣1＝_____．【典題2】（2021·常州市同濟中學七年級期中）（1）為了計算1+2+3+…+8的值，我們構造圖形（圖1），共8行，每行依次比上一行多一個點．此圖形共有（1+2+3+…+8）個點．如圖2，添出圖形的另一半，此時共8行9列，有8×9＝72個點，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．用此方法，可求得1+2+3+…+20=（直接寫結果）．（2）觀察下面的點陣圖（如圖3），解答問題：填空：①1+3+5+…+49=；②1+3+5…+（2n+1）=．（3）請構造一圖形，求（畫出示意圖，寫出計算結果）．【變式練習】1．（2021·日照港中學九年級三模）如圖，小聰用一張面積為1的正方形紙片，按如下方式操作：①將正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，把四個等腰直角三角形扔掉；②在余下紙片上依次重復以上操作，當完成第2021次操作時，余下紙片的面積為（）A． B． C． D．2．（2021·江蘇七年級期中）數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休”．如圖，將一個邊長為1的正方形紙板等分成兩個面積為的長方形，接著把面積為的長方形分成兩個面積為的長方形，如此繼續(xù)進行下去，根據(jù)圖形的規(guī)律計算：的值為（）A． B． C． D．1．（2021年陜西省西安市高新一中七模試卷）算籌是在珠算發(fā)明以前我國獨創(chuàng)井且有效的計算工具，為我國古代數(shù)學的發(fā)展做出了很大的貢獻．在算籌計數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字如圖：數(shù)字形式123456789縱式|||||||||||||||橫式表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，示例如圖：，則表示的數(shù)是（）A．5123 B．9167 C．9176 D．91632.（2021?九龍坡區(qū)模擬）按如圖所示的規(guī)律搭正方形：搭1個小正方形需要4根小棒，搭2個小正方形需要7根小棒，搭3個小正方形需要10根小棒，搭2021個這樣的小正方形需要小棒（）根．A．8084 B．6066 C．6063 D．60643．（2021·重慶）如圖，將整數(shù)按規(guī)律排列，若有序數(shù)對(a，b)表示第a排從左往右第b個數(shù)，則(9，4)表示的數(shù)是（）A．49 B．﹣40 C．﹣32 D．254．（2021·重慶巴蜀中學九年級三模）用大小相同的圓點擺成如圖所示的圖案，按照這樣的規(guī)律擺放，則第8個圖案中共有圓點的個數(shù)是（）A．34 B．40 C．49 D．595．（2021·北京七年級期末）在某學校慶祝建黨“100周年”的活動上,宇陽同學用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成如圖所示的“100”字樣．按照這種規(guī)律,第個“100”字樣的棋子個數(shù)是（）A． B． C． D．6．（2021·重慶市渝北區(qū)實驗中學校）一組按規(guī)律排列的式子：則第2020個式子是（）A． B． C． D．7．（2021·遼寧葫蘆島市·七年級期中）如圖在表中填在各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，的值是（）

A．216 B．147 C．130 D．4428．（2020·云南省中考真題）按一定規(guī)律排列的單項式：，，，，，，…，第個單項式是（）A． B． C． D．9．（2021·山西實驗中學九年級其他模擬）謝爾賓斯基地毯，最早是由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基制作出來的：把一個正三角形分成全等的4個小正三角形，挖去中間的一個小三角形；對剩下的3個小正三角形再分別重復以上做法…將這種做法繼續(xù)進行下去，就得到小格子越來越多的謝爾賓斯基地毯（如圖）．若圖1中的陰影三角形面積為1，則圖5中的所有陰影三角形的面積之和是（）A． B． C． D．10．（2021·全國初一課時練習）把所有正偶數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：第一組：2，4；第二組：6，8，10，12；第三組：14，16，18，20，22，24第四組：26，28，30，32，34，36，38，40……則現(xiàn)有等式Am=（i，j）表示正偶數(shù)m是第i組第j個數(shù)（從左到右數(shù)），如A10=（2，3），則A2018=（）A．（31，63） B．（32，17） C．（33，16） D．（34，2）11．（2021·山東九年級三模）如圖，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)字之和，例如第4行的6為第3行中兩個3的和．若在“楊輝三角”中從第2行左邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構成一個數(shù)列：，，，，，，，……，則的值為（）A．1275 B．1326 C．1378 D．143112．（2022·河北·平泉市教育局教研室七年級期末）已知一列數(shù)：1，，3，，5，，7，…將這列數(shù)排成下列形式：第1行

1第2行

3第3行

5

第4行

7

9

第5行

11

13

15…

…按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第5個數(shù)等于（

）A． B． C．45 D．13．（2022·湖南·吉首市教育科學研究所模擬預測）觀察下列等式：，，，，，，，根據(jù)這個規(guī)律，則的末尾數(shù)字是（

）A． B． C． D．14.（2021?廬陽區(qū)校級月考）探究規(guī)律：（1）計算：①2﹣1＝；②22﹣2﹣1＝；③23﹣22﹣2﹣1＝；④24﹣23﹣22﹣2﹣1＝；（2）根據(jù)上面結果猜想：①22020﹣22019﹣22018﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝；②2n﹣2n﹣1﹣2n﹣2﹣…﹣23﹣22﹣2﹣1＝；③212﹣211﹣210﹣29﹣28﹣27﹣26＝．15.（2021?諸城市三模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為2，﹣5，10，﹣17，26，﹣37，…，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第20個數(shù)是．16．（2021·北京七年級期末）將邊長為1的正方形紙片按如圖所示方法進行對折，第1次對折后得到的圖形面積為S1，第2次對折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對折后得到的圖形面積為Sn，則S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．17．（2021·江蘇七年級期末）在無限大的正方形網(wǎng)格中按規(guī)律涂成的陰影如圖所示，第1、2、3個圖中陰影部分小正方形的個數(shù)分別為5個、9個、15個，根據(jù)此規(guī)律，則第20個圖中陰影部分小正方形的個數(shù)是_____．18．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學九年級三模）將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細觀察，第n個圖形有___________個小圓．（用含n的代數(shù)式表示）19．（2021·湖北九年級二模）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅圖形中“●”的個數(shù)為，第2幅圖形中“●”的個數(shù)為，第3幅圖形中“●”的個數(shù)為，…，以此類推，則的值為________．20．（2021·浙江七年級期末）一列數(shù)a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝，a3＝，…，an＝．（1）求a2，a3的值；（2）求a1+a2+a3+…+a2021的值．21．（2021·江蘇南京市·七年級期中）觀察下列各式：根據(jù)上面各式的規(guī)律可得（）；利用規(guī)律完成下列問題：（1）______；（2）求的值．22．（2021·福建七年級月考）如圖1，給定一個正方形，要通過畫線將其分割成若干個互不重疊的正方形．第1次畫線分割成4個互不重疊的正方形，得到圖2；第2次畫線分割成7個互不重疊的正方形，得到圖3；…，以后每次只在上次得到圖形的左上角的正方形中畫線．嘗試（1）第3次畫線后，分割成______個互不重疊的正方形；第4次畫線后，分割成______個互不重疊的正方形．發(fā)現(xiàn)（2）第次畫線后，分割成______個互不重疊的正方形，并直接寫出第2021次畫線后得到互不重疊的正方形的個數(shù)．探究（3）若干次畫線后﹐能否得到1005個互不重疊的正方形？若能，求出是第幾次畫線后得到的；若不能，請說明理由．23.（2021?安徽模擬）觀察下列圖形與等式：（1）觀察圖形，寫出第（7）個等式：；根據(jù)圖中規(guī)律，寫出第n個圖形的規(guī)律：