微專題30　隨機變量及其分布

板塊五概率與統(tǒng)計微專題30隨機變量及其分布高考定位離散型隨機變量的分布列、均值、方差和概率的計算問題常常結合在一起進行考查，重點考查超幾何分布、二項分布及正態(tài)分布，選擇題、填空題、解答題都有出現(xiàn)，中等難度.【

真題體驗

】(2024·北京卷)某保險公司為了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數(shù)相互獨立，用頻率估計概率.(1)估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；法一記“隨機抽取一份保單，索賠次數(shù)不少于2”為事件A，由索賠次數(shù)不少于2，知索賠次數(shù)為2，3，4，法二記“隨機抽取一份保單，索賠次數(shù)不少于2”為事件A，由索賠次數(shù)不少于2，知可利用間接法計算，(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.①記X為一份保單的毛利潤，估計X的數(shù)學期望E(X)；由題知X的所有可能取值為0.4，－0.4，－1.2，－2.0，－2.6，故E(X)＝0.4×0.8－0.4×0.1－1.2×0.06－2.0×0.03－2.6×0.01＝0.122.②如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學期望估計值與①中E(X)估計值的大小.(結論不要求證明)如果無索賠的保單的保費減少4%，有索賠的保單的保費增加20%，這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學期望估計值比①中E(X)估計值大.證明如下：設調整保費后一份保單的毛利潤(單位：萬元)為Y，則對于索賠次數(shù)為0的保單，Y＝0.4×(1－4%)＝0.384，對于索賠次數(shù)為1的保單，Y＝0.4×(1＋20%)－0.8＝－0.32，對于索賠次數(shù)為2的保單，Y＝－0.32－0.8＝－1.12，對于索賠次數(shù)為3的保單，Y＝－1.12－0.8＝－1.92，對于索賠次數(shù)為4的保單，Y＝－1.92－0.6＝－2.52，故E(Y)＝0.384×0.8－0.32×0.1－1.12×0.06－1.92×0.03－2.52×0.01＝0.1252.所以E(X)<E(Y).精準強化練熱點一分布列的性質及應用熱點二隨機變量的分布列熱點三正態(tài)分布熱點突破熱點一分布列的性質及應用離散型隨機變量X的分布列為例1√∴E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×2＋2＝8，故B不正確；對于D，∵D(ξ)＝2，∴D(3ξ＋1)＝9×D(ξ)＝18，故D不正確.(2)(2024·名校聯(lián)考)已知隨機變量X的分布列如表所示：√分布列性質的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1的性質可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.(2)隨機變量X所取的值對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內的概率.規(guī)律方法(1)(2024·安慶質檢)已知隨機變量X的分布列為訓練1√√熱點二隨機變量的分布列考向1二項分布例2(2024·臨沂模擬)某學校舉辦了精彩紛呈的數(shù)學文化節(jié)活動，其中有二個“擲骰子贏獎品”的登臺游戲最受歡迎.游戲規(guī)則如下：拋擲一枚質地均勻的骰子一次，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則一次上三級臺階，否則上二級臺階，再重復以上步驟，當參加游戲的學生位于第8、第9或第10級臺階時游戲結束，規(guī)定：從平地開始，結束時學生位于第8級臺階可獲得一本課外讀物，位于第9級臺階可獲得一套智力玩具，位于第10級臺階則認定游戲失敗.(1)某學生拋擲三次骰子后，按游戲規(guī)則位于第X級臺階，求X的分布列及數(shù)學期望E(X)；且X的可能取值為6，7，8，9，所以X的分布列為因為位于第10級臺階則認定游戲失敗，無法獲得獎品，(2)甲、乙兩位學生參加游戲，求恰有一人獲得獎品的概率.結合題意可知，若學員位于第10級臺階，則投擲3次后，學員位于第7級臺階，投擲第4次上三級臺階，可知不能獲得獎品的概率為所以甲、乙兩位學生參加游戲，考向2超幾何分布例3(2024·成都診斷)隨著互聯(lián)網的普及、大數(shù)據(jù)的驅動，線上線下相結合的新零售時代已全面開啟，新零售背景下，即時配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長.某即時配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務，提高客戶滿意度，在其A，B兩個分公司的客戶中各隨機抽取10位客戶進行了滿意度評分調查(滿分100分)，評分結果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)；將抽取的這20位客戶的評分從小到大排列為62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94.因為20×25%＝5，由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；(2)規(guī)定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進建議，設被抽到的3人中分公司B的客戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人.所以X的所有可能取值為1，2，3.所以X的分布列為求隨機變量X的均值與方差的方法及步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能的全部取值；(2)求X取每個值對應的概率，寫出隨機變量X的分布列；(3)由均值和方差的計算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；(4)若隨機變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點分布、二項分布、超幾何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.規(guī)律方法(2024·山西部分學校聯(lián)考)某企業(yè)舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答.小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為p(0<p<1)，且猜中每道謎語與否互不影響.(1)分別求小張，小王猜中謎語道數(shù)的分布列；訓練2設小張猜中謎語的道數(shù)為X，可知隨機變量X服從超幾何分布，X的可能取值分別為2，3，4.故小張猜中謎語道數(shù)X的分布列為設小王猜中謎語的道數(shù)為Y，可知隨機變量Y服從二項分布Y～B(4，p)，Y的取值分別為0，1，2，3，4，P(Y＝0)＝(1－p)4，P(Y＝4)＝p4.故小王猜中謎語道數(shù)Y的分布列為Y01234P(1－p)44p(1－p)36p2(1－p)24p3(1－p)p4(2)若預測小張猜中謎語的道數(shù)多于小王猜中謎語的道數(shù)，求p的取值范圍.熱點三正態(tài)分布解決正態(tài)分布問題的三個關鍵點(1)對稱軸x＝μ.(2)樣本標準差σ.(3)分布區(qū)間：利用3σ原則求概率時，要注意利用μ，σ分布區(qū)間的特征把所求的范圍轉化為3σ的特殊區(qū)間.A.2000 B.3000 C.4000 D.5000例4√由題易知均值μ＝90，則該市這次考試數(shù)學成績超過110分的考生人數(shù)約為0.1×50000＝5000.(2)(多選)(2024·宿遷模擬)設隨機變量X～N(0，1)，f(x)＝P(X≤x)，其中x>0，下列說法正確的是A.變量X的方差為1，均值為0B.P(|X|≤x)＝1－2f(x)C.函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是單調增函數(shù)D.f(－x)＝1－f(x)√隨機變量X～N(0，1)?σ2＝1，μ＝0，則A正確；√√P(|X|≤x)＝P(－x≤X≤x)＝1－2[1－f(x)]＝2f(x)－1，則B錯誤；隨機變量X～N(0，1)，結合正態(tài)曲線易得函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是單調增函數(shù)，則C正確；正態(tài)分布的曲線關于x＝0對稱，f(－x)＝P(X≤－x)＝P(X≥x)＝1－f(x)，則D正確.利用正態(tài)曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱及曲線與x軸之間的面積為1，注意下面三個結論的活用：(1)對任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a).(2)P(X＜x0)＝1－P(X≥x0).(3)P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a).規(guī)律方法(1)(2024·開封模擬)在某項測驗中，假設測驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布N(78，16).如果按照16%，34%，34%，16%的比例將測驗數(shù)據(jù)從大到小分為A，B，C，D四個等級，則等級為A的測驗數(shù)據(jù)的最小值可能是(附：若X～N(μ，σ2)，則

P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545)A.94 B.86 C.82

D.78訓練3√故A等級的分數(shù)線應該是μ＋σ＝78＋4＝82.√A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8√由題意可知，X～N(1.8，0.12)，所以P(X>2)<P(X>1.8)＝0.5，P(X<1.9)≈0.8413，所以P(X>2)<P(X≥1.9)＝1－P(X<1.9)≈1－0.8413＝0.1587<0.2，所以A錯誤，B正確；因為Y～N(2.1，0.12)，P(Y<2.2)≈0.8413，P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，所以P(2<Y<2.1)＝P(2.1<Y<2.2)＝P(Y<2.2)－P(Y≤2.1)≈0.8413－0.5＝0.3413，所以P(Y>2)＝P(2<Y<2.1)＋P(Y≥2.1)≈0.3413＋0.5＝0.8413>0.8，所以C正確，D錯誤.【精準強化練】√√2.(2024·合肥模擬)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>1.5)等于 A.0.14

B.0.62 C.0.72 D.0.86隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，所以P(X>1.5)＝1－0.14＝0.86.√3.已知隨機變量X的分布列為√4.(2024·遼陽模擬)遼寧的盤錦大米以粒粒飽滿、口感香糯而著稱.已知某超市銷售的盤錦袋裝大米的質量M(單位：kg)服從正態(tài)分布N(25，σ2)，且P(24.9<M<25.1)＝0.8，若從該超市中隨機選取60袋盤錦大米，則質量在25kg～25.1kg的盤錦大米的袋數(shù)的方差為 A.14.4

B.9.6 C.24

D.48從該超市中隨機選取60袋盤錦大米，則質量為25kg～25.1kg的盤錦大米的袋數(shù)X～B(60，0.4)，故D(X)＝60×0.4×(1－0.4)＝14.4，故選A.√5.從一批含有13件正品，2件次品的產品中不放回地抽取3次，每次抽取1件.若抽取的次品數(shù)為ξ，則E(5ξ＋1)＝ A.2

B.1 C.3

D.4ξ的可能取值為0，1，2.所以ξ的分布列為6.(2024·福州質檢)下列命題錯誤的是數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的標準差為s，則數(shù)據(jù)3x1，3x2，3x3，…，√X～N(1，σ2)，P(X>0)＝0.75，則P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2[P(X>0)－P(X>1)]＝2×(0.75－0.5)＝0.5，故C正確；X為取有限個值的離散型隨機變量，則D(X)＝E(X2)－[E(X)]2≥0，故D錯誤.7.(2024·綿陽診斷)若離散型隨機變量X的分布列如表所示，E(X)＝0，D(X)＝1，則P(X<1)＝√又因為P(X<1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)，8.“50米跑”是《國家學生體質健康標準》測試項目中的一項，某地區(qū)高三男生的“50米跑”測試成績ξ(單位：秒)服從正態(tài)分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2.從該地區(qū)高三男生的“50米跑”測試成績中隨機抽取3個，其中成績在(7，9)間的個數(shù)記為X，則 A.P(7<ξ<9)＝0.8 B.E(X)＝1.8 C.E(ξ)>E(5X) D.P(X≥1)>0.9√√由正態(tài)分布的對稱性可知：P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，A錯誤；X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正確；E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)<E(5X)，C錯誤；因為X～B(3，0.6)，9.(2024·武漢調研)在一次數(shù)學學業(yè)水平測試中，某市高一全體學生的成績 X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，規(guī)定測試成績不低于60分者為及格，不低于120分者為優(yōu)秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，則 A.μ＝80，σ＝400√√√對于A，由E(X)＝80，D(X)＝400，則μ＝80，σ2＝400，故A錯誤；對于B，由μ＝80，σ2＝400，則X～N(80，202)，則μ－σ＝80－20＝60，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P(60≤x≤100)＝m，P(40≤X≤120)＝n，即從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生，故從該市高一全體學生中隨機抽取一名學生，10.盒中有4個球，其中1個紅球，1個黃球，2個藍球，從盒中隨機取球，每次取1個，取后不放回，直到藍球全部被取出為止，在這一過程中取球次數(shù)為ξ，則ξ的均值E(ξ)＝________.由