微專題31　統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析

板塊五概率與統(tǒng)計(jì)微專題31統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析高考定位高考對(duì)本專題內(nèi)容的考查往往以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解與運(yùn)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，常與概率綜合考查，中等難度.【

真題體驗(yàn)

】1.(2022·全國(guó)乙卷)某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2，平均一棵的材積量為0.39m3.(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為Ym3，解得Y＝1209(m3).則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為1209m3.2.(2024·全國(guó)甲卷)某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造.升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品合計(jì)甲車間2624050乙車間70282100合計(jì)96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車間2624乙車間7030則完整的2×2列聯(lián)表如下：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品合計(jì)甲車間262450乙車間7030100合計(jì)9654150因?yàn)镵2＝4.6875>3.841，所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異；因?yàn)镵2＝4.6875<6.635，所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異.精準(zhǔn)強(qiáng)化練熱點(diǎn)一用樣本估計(jì)總體熱點(diǎn)二回歸分析熱點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)一用樣本估計(jì)總體考向1統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)字特征的應(yīng)用例1√(1)(多選)(2024·湛江二模)廣東省湛江市2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則A.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為38萬(wàn)B.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口呈遞增趨勢(shì)C.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的第60百分位數(shù)為730.50萬(wàn)D.湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的中位數(shù)為717.02萬(wàn)√√由圖可知，湛江市2017年到2022年這6年的常住人口的極差約為736.00－698.12≈38(萬(wàn))，A正確；這6年的常住人口前3年呈遞增趨勢(shì)，后三年也遞增，但后三年的常住人口低于前3年，B錯(cuò)誤；湛江市2017年到2022年這6年的常住人口按照從小到大的順序排列為698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，6×0.6＝3.6，(2)(2024·新鄉(xiāng)模擬)已知甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員在四場(chǎng)小組賽中的得分(單位：分)如表：√甲612913乙811714則對(duì)于這兩組數(shù)據(jù)，不相同的數(shù)字特征是A.平均數(shù) B.中位數(shù)

C.方差

D.極差故A錯(cuò)誤；考向2用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布例2√(多選)(2024·溫州模擬)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是A.圖中所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于1B.中位數(shù)的估計(jì)值介于100和105之間C.該班成績(jī)眾數(shù)的估計(jì)值為97.5D.該班成績(jī)的極差一定等于40√√對(duì)于A，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，圖中所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于1，A正確；對(duì)于B，易知組距為5，前兩組成績(jī)所占的頻率為(0.01＋0.06)×5＝0.35<0.5，前三組成績(jī)所占的頻率為(0.01＋0.06＋0.05)×5＝0.6>0.5，由中位數(shù)定義可得其估計(jì)值介于100和105之間，B正確；對(duì)于C，由圖可知頻率最高的成績(jī)區(qū)間為[95，100)，取中間值為代表可知該班成績(jī)眾數(shù)的估計(jì)值為97.5，C正確；對(duì)于D，由圖可知成績(jī)最高區(qū)間為[125，130]，最低區(qū)間為[90，95)，但最高分和最低分不一定分別為130，90，所以其成績(jī)極差不一定為40，D錯(cuò)誤.1.對(duì)于給出的統(tǒng)計(jì)圖表，一定要結(jié)合問(wèn)題背景理解圖表意義.2.頻率分布直方圖中縱坐標(biāo)不要誤以為是頻率.易錯(cuò)提醒某工廠A，B兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，若產(chǎn)品按照一、二、三等級(jí)分類，則每件可分別獲利10元、8元、6元，現(xiàn)從A，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取100件進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖：訓(xùn)練1(1)分別計(jì)算兩條生產(chǎn)線抽樣產(chǎn)品獲利的方差，以此作為判斷依據(jù)，說(shuō)明哪條生產(chǎn)線的獲利更穩(wěn)定；(2)估計(jì)該廠產(chǎn)品產(chǎn)量為2000件時(shí)的利潤(rùn)以及一等級(jí)產(chǎn)品的利潤(rùn).由樣本估計(jì)總體，當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量為2000件時(shí)，估計(jì)該工廠獲利2000×8.1＝16200(元).因?yàn)閺腁，B生產(chǎn)線共隨機(jī)抽取的200件產(chǎn)品中，A生產(chǎn)線生產(chǎn)的一等級(jí)產(chǎn)品有20件，B生產(chǎn)線生產(chǎn)的一等級(jí)產(chǎn)品有35件，由樣本頻率估計(jì)總體概率，當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量為2000件時(shí)，熱點(diǎn)二回歸分析(2024·邯鄲模擬)某民營(yíng)學(xué)校為增強(qiáng)實(shí)力與影響力，大力招攬名師、建設(shè)校園硬件設(shè)施，近5年該校招生人數(shù)的數(shù)據(jù)如表：例3年份序號(hào)x12345招生人數(shù)y/千人0.811.31.72.2(1)由表中數(shù)據(jù)可看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；因?yàn)閞與1非常接近，故可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.由此預(yù)測(cè)當(dāng)年份序號(hào)為7時(shí)該校的招生人數(shù)為2.8千人.3.利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷相關(guān)性強(qiáng)弱時(shí)，看|r|的大小，而不是r的大小.4.區(qū)分樣本相關(guān)系數(shù)r與決定系數(shù)R2.5.通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程求的都是估計(jì)值，而不是真實(shí)值.易錯(cuò)提醒(2024·重慶診斷)當(dāng)前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，現(xiàn)收集某地近6年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如表：訓(xùn)練2(1)若用模型y＝aebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；所以y＝e3.49·e0.36x＝e0.36x＋3.49.設(shè)甲公司獲得“優(yōu)勝公司”稱號(hào)為事件A，熱點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)例4所以P(AB)≠P(A)P(B)，所以A與B不為獨(dú)立事件.(2)為驗(yàn)證學(xué)習(xí)興趣與主動(dòng)預(yù)習(xí)是否有關(guān)，該校用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了一個(gè)容量為m(m∈N*)的樣本，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算得χ2＝1.350.為提高檢驗(yàn)結(jié)論的可靠性，現(xiàn)將樣本容量調(diào)整為原來(lái)的t(t∈N*)倍，使得能有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)習(xí)興趣與主動(dòng)預(yù)習(xí)有關(guān)，試確定t的最小值.α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828假設(shè)原列聯(lián)表為預(yù)習(xí)興趣合計(jì)高不高主動(dòng)aba＋b不太主動(dòng)cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d若將樣本容量調(diào)整為原來(lái)的t(t∈N*)倍，則新的列聯(lián)表為：又t∈N*，所以t的最小值為6.1.χ2越大兩分類變量無(wú)關(guān)的可能性越小，推斷犯錯(cuò)誤的概率越小，通過(guò)表格查得無(wú)關(guān)的可能性.2.有99.5%的把握認(rèn)兩個(gè)變量有關(guān)，就是在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)，并不是指兩個(gè)變量無(wú)關(guān)的可能性為0.005.易錯(cuò)提醒(2024·濟(jì)南質(zhì)檢)人工智能的發(fā)展為許多領(lǐng)域帶來(lái)了巨大的便利，但同時(shí)也伴隨著一些潛在的安全隱患.為了調(diào)查不同年齡階段的人對(duì)人工智能所持的態(tài)度，某機(jī)構(gòu)從所在地區(qū)隨機(jī)調(diào)查了100人，所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖表所示：訓(xùn)練3年齡/歲[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數(shù)2416152520持支持態(tài)度2013121510(1)完成下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷對(duì)人工智能所持態(tài)度是否與年齡有關(guān)；對(duì)人工智能的態(tài)度年齡在50歲

以上(含50歲)以下支持

不支持

合計(jì)

由題可得如下2×2列聯(lián)表對(duì)人工智能的態(tài)度年齡在50歲合計(jì)以上(含50歲)以下支持254570不支持201030合計(jì)4555100零假設(shè)為H0：對(duì)人工智能所持態(tài)度與年齡無(wú)關(guān).因?yàn)?.129>6.635，所以依據(jù)小概率值α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有充分證據(jù)推斷H0不成立，即對(duì)人工智能所持態(tài)度與年齡有關(guān).α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828所以X的分布列為【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】√A.4 B.4.5 C.5

D.9故該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為5.故選C.√A.4 B.5 C.6

D.7故數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均數(shù)為2×3－1＝5.故選B.√3.(2024·湖南名校聯(lián)考)某校數(shù)學(xué)興趣小組在某座山測(cè)得海拔高度x(單位：千米)與氣壓y(單位：千帕)的六組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，6)，并將其繪制成如圖所示的散點(diǎn)圖，分析研究發(fā)現(xiàn)B點(diǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)不符合實(shí)際，刪除B點(diǎn)后重新進(jìn)行回歸分析，則下列說(shuō)法正確的是A.刪除點(diǎn)B后，樣本數(shù)據(jù)的兩變量x，y正相關(guān)B.刪除點(diǎn)B后，相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值更接近于1C.刪除點(diǎn)B后，新樣本的殘差平方和變大D.刪除點(diǎn)B后，解釋變量x與響應(yīng)變量y相關(guān)性變?nèi)鯊念}中散點(diǎn)圖可知，刪除點(diǎn)B后，樣本數(shù)據(jù)的兩變量x，y負(fù)相關(guān)，所以A錯(cuò)誤；由于B點(diǎn)較其他點(diǎn)偏離程度大，故刪除B點(diǎn)后，回歸效果更好，從而相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值更接近于1，所以B正確；同理刪除后決定系數(shù)R2更接近于1，所以新樣本的殘差平方和變小，所以C錯(cuò)誤；由B，C分析知解釋變量x與響應(yīng)變量y相關(guān)性增強(qiáng)，所以D錯(cuò)誤.故選B.√4.2024年4月，國(guó)內(nèi)鮮菜、食用油、糧食、禽肉、鮮果、雞蛋、豬肉價(jià)格同比(與去年同期相比)的變化情況如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是

A.食用油、糧食、禽肉、鮮果、雞蛋、豬肉這6種食品中，食用油價(jià)格同比漲幅最小B.豬肉價(jià)格同比漲幅超過(guò)禽肉價(jià)格同比漲幅的5倍C.2023年4月鮮菜價(jià)格要比2024年4月高D.這7種食品價(jià)格同比漲幅的平均數(shù)超過(guò)10%由圖可知，糧食價(jià)格同比漲幅比食用油價(jià)格同比漲幅小，故A錯(cuò)誤；豬肉價(jià)格同比漲幅為34.4%，禽肉價(jià)格同比漲幅為8.5%，34.4%－5×8.5%<0，故B錯(cuò)誤；因?yàn)轷r菜價(jià)格同比漲幅為－21.2%，說(shuō)明2023年4月鮮菜價(jià)格要比2024年4月高，故C正確；這7種食品價(jià)格同比漲幅的平均數(shù)為故D錯(cuò)誤.5.(2024·廈門模擬)已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大3，則 A.甲組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為23 B.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差不相同 C.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24.5 D.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同

√解得a＝28，甲組數(shù)據(jù)中6×70%＝4.2，故70百分位數(shù)為24，A錯(cuò)誤；甲組數(shù)據(jù)的極差為25－20＝5，乙組數(shù)據(jù)的極差為28－23＝5，所以甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同，故B錯(cuò)誤；故兩組數(shù)據(jù)的方差相同，D正確.6.(2024·新高考Ⅱ卷)某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量(單位：kg)并整理得下表：

√根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間對(duì)于A，因?yàn)榍?組的頻率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4組的頻率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)所在的區(qū)間為[1050，1100)，故A不正確；對(duì)于C，因?yàn)?200－900＝300，1150－950＝200，所以100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間，故C正確；7.(2024·西安調(diào)研)5G技術(shù)在我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商場(chǎng)統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月手機(jī)的實(shí)際銷量，如表所示：

√時(shí)間x12345銷量y/千只0.50.81.01.21.5對(duì)于A，從數(shù)據(jù)看，y隨x的增加而增加，所以變量y與x正相關(guān)，故A正確；所以當(dāng)x＝6時(shí)該商場(chǎng)5G手機(jī)銷量約為8.(2024·開封二模)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

√√√根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中正確的是A.該地農(nóng)戶家庭年收入的極差為12B.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的75%分位數(shù)約為9C.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間D.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值超過(guò)6.5萬(wàn)元觀察頻率分布直方圖，對(duì)于A，該地農(nóng)戶家庭年收入的極差約為14－3＝11，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)據(jù)在[2.5，8.5)的頻率為0.02＋0.04＋0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.7，數(shù)據(jù)在[2.5，9.5)的頻率為0.8，因此75%分位數(shù)m∈(8.5，9.5)，(m－8.5)×0.1＝0.05，解得m＝9，故B正確；對(duì)于C，數(shù)據(jù)在[4.5，8.5)內(nèi)的頻率為0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.64>0.5，C正確；9.(2024·合肥模擬)現(xiàn)有甲、乙兩家檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)某品牌的一款智能手機(jī)進(jìn)行拆解測(cè)評(píng)，具體打分如表(滿分100分).設(shè)事件M表示“從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，至多1個(gè)超過(guò)平均分”，事件N表示“從甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中任取3個(gè)，恰有2個(gè)超過(guò)平均分”.下列說(shuō)法正確的是

√√機(jī)構(gòu)名稱甲乙分值90989092959395929194A.甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分小于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的平均分B.甲機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差大于乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的方差C.乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的第一四分位數(shù)為91.5D.事件M，N互為對(duì)立事件對(duì)于C，乙機(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)從小到大排列為：91，92，93，94，95，又i＝np＝5×0.25＝1.25，所以乙機(jī)構(gòu)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)的第一四分位數(shù)為92，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榧讬C(jī)構(gòu)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)中有且僅有2個(gè)測(cè)評(píng)分?jǐn)?shù)超過(guò)平均分，由對(duì)立事件的定義知，事件M，N互為對(duì)立事件，D正確.10.某校抽取100名學(xué)生做體能測(cè)試，其中百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測(cè)試結(jié)果分成五組：第一組[13，14)，第二組[14，15)，…，第五組[17，18].如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，若成績(jī)低于a即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為14，則a的估計(jì)值是________.14.5測(cè)試結(jié)果位于[13，14)的頻率為0.06<0.14，測(cè)試結(jié)果位于[13，15)的頻率為0.06＋0.16＝0.22>0.14，所以a∈(14，15)，由題意可得0.06＋(a－14)×0.16＝0.14，解得a＝14.5.11.某學(xué)校有男生400人，女生600人.為了調(diào)查該校全體學(xué)生每天睡眠時(shí)間，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，計(jì)算得男生每天睡眠時(shí)間均值為7.5小時(shí)，方差為1，女生每天睡眠時(shí)間均值為7小時(shí)，方差為0.5.若男、女樣本量按比例分配，則可估計(jì)總體方差為________.0.7612設(shè)被調(diào)查的男生為x人，則女生為2x人，依題意可得到列聯(lián)表如下：因此本次調(diào)查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為喜愛足球與性別有關(guān)”的結(jié)論，又因?yàn)樯鲜隽新?lián)表中的所有數(shù)字均為整數(shù)，故x的