創(chuàng)新點(diǎn)6　解析幾何中的融合創(chuàng)新問題

板塊六平面解析幾何創(chuàng)新點(diǎn)6解析幾何中的融合創(chuàng)新問題高考定位解析幾何創(chuàng)新問題的表現(xiàn)形式有：(1)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)融合，如立體幾何、導(dǎo)數(shù)等；(2)定義新的解析幾何概念，如距離、曲線等.解決解析幾何創(chuàng)新題理解新定義是基礎(chǔ)、計(jì)算是關(guān)鍵.精準(zhǔn)強(qiáng)化練題型一解析幾何與數(shù)列、立體幾何高度融合題型二曲率與曲率半徑問題題型三解析幾何新定義問題題型突破題型一解析幾何與數(shù)列、立體幾何高度融合例1(2024·新高考Ⅱ卷)已知雙曲線C：x2－y2＝m(m>0)，點(diǎn)P1(5，4)在C上，k為常數(shù)，0<k<1.按照如下公式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn(n＝2，3，…)：過點(diǎn)Pn－1作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn－1，令Pn為Qn－1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn).記Pn的坐標(biāo)為(xn，yn).本題考查的是對(duì)解析幾何和數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用，第(2)問利用固定斜率的直線與雙曲線交點(diǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論，第(3)問將面積相等問題轉(zhuǎn)化為兩條直線的平行問題.規(guī)律方法訓(xùn)練1即平面A′F1F2⊥平面F1F2B′，交線為F1F2，A′O?平面A′F1F2，所以A′O⊥平面F1F2B′，因?yàn)镕2B′?平面F1F2B′，所以A′O⊥F2B′.②求平面A′F1F2和平面A′B′F2所成角的余弦值；以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后的y軸負(fù)半軸為x軸，原x軸為y軸，原y軸正半軸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)折疊前A(x1，y1)，B(x2，y2)，折疊后對(duì)應(yīng)的A′(x1，y1，0)，B′(x2，0，－y2)，設(shè)直線l方程為my＝x＋1，

題型二曲率與曲率半徑問題例2(2024·溫州二模)如圖，對(duì)于曲線Γ，存在圓C滿足如下條件：①圓C與曲線Γ有公共點(diǎn)A，且圓心在曲線Γ凹的一側(cè)；②圓C與曲線Γ在點(diǎn)A處有相同的切線；(1)求拋物線y＝x2在原點(diǎn)處的曲率圓的方程；記f(x)＝x2，設(shè)拋物線y＝x2在原點(diǎn)處的曲率圓的方程為x2＋(y－b)2＝b2，其中b為曲率半徑.設(shè)曲線y＝f(x)在(x0，y0)的曲率半徑為r，則(3)若曲線y＝ex在(x1，ex1)和(x2，ex2)(x1≠x2)處有相同的曲率半徑，求證：x1＋x2<－ln2.規(guī)律方法訓(xùn)練2題型三解析幾何新定義問題例3(2024·石家莊調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，重新定義兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)之間的“距離”為|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|，我們把到兩定點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>c)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”.(1)求“橢圓”的方程；設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為P(x，y)，則|PF1|＋|PF2|＝2a，即|x＋c|＋|y|＋|x－c|＋|y|＝2a，即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a(a>c>0)，所以“橢圓”的方程為|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a(a>c>0).(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說明理由；由方程|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a，得2|y|＝2a－|x＋c|－|x－c|，因?yàn)閨y|≥0，所以2a－|x＋c|－|x－c|≥0，即2a≥|x＋c|＋|x－c|，將點(diǎn)(x，－y)代入得，|x＋c|＋|x－c|＋2|－y|＝2a，即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于x軸對(duì)稱，將點(diǎn)(－x，－y)代入得，|－x＋c|＋|－x－c|＋2|－y|＝2a，即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以“橢圓”關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱.(3)設(shè)c＝1，a＝2，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C，C的左頂點(diǎn)為A，過F2作直線交C于M，N兩點(diǎn)，△AMN的外心為Q，求證：直線OQ與MN的斜率之積為定值.1.題干中定義“橢圓”的距離：|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|稱為曼哈頓距離，平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的曼哈頓距離等于定值的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)正方形，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)六邊形.2.解決與曼哈頓距離有關(guān)的問題一般要利用絕對(duì)值的意義求解.規(guī)律方法訓(xùn)練3(2024·長(zhǎng)沙二模)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x＝ty＋1表示過點(diǎn)(1，0)的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.(1)若圓C1：x2＋y2＝1是直線族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包絡(luò)曲線，求m，n滿足的關(guān)系式；

(2)若點(diǎn)P(x0，y0)不在直線族Ω：(2a－4)x＋4y＋(a－2)2＝0(a∈R)的任意一條直線上，求y0的取值范圍和直線族Ω的包絡(luò)曲線E；點(diǎn)P(x0，y0)不在直線族Ω：(2a－4)x＋4y＋(a－2)2＝0(a∈R)的任意一條直線上，所以無論a取何值時(shí)，(2a－4)x0＋4y0＋(a－2)2＝0無解.將(2a－4)x0＋4y0＋(a－2)2＝0整理成關(guān)于a的一元二次方程，即a2＋(2x0－4)a＋(4＋4y0－4x0)＝0.(3)在(2)的條件下，過曲線E上A，B兩點(diǎn)作曲線E的切線l1，l2，其交點(diǎn)為P.已知點(diǎn)C(0，1)，若A，B，C三點(diǎn)不共線，探究∠PCA＝∠PCB是否成立？請(qǐng)說明理由.得到PA′＝PC，即∠PA′A＝∠PCA.同理可知∠PB′B＝∠PCB，PB′＝PC，所以PA′＝PC＝PB′，即∠PA′B′＝∠PB′A′.則∠PA′A＝∠PA′B′＋90°＝∠PB′A′＋90°＝∠PB′B，所以∠PCA＝∠PCB成立.【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】(2)對(duì)于給定的點(diǎn)集M，N，若M中的每個(gè)點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為d(M，N).①若M，N分別為線段AB與圓O上任意一點(diǎn)，P為圓O上一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求d(M，N)；當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝kx＋m，②若d(M，N)，d(N，M)均存在，記兩者中的較大者為H(M，N).已知H(X，Y)，H(Y，Z)，H(X，Z)均存在，證明：H(X，Z)＋H(Y，Z)≥H(X，Y).因?yàn)镠(X，Y)，H(Y，Z)，H(X，Z)均存在，設(shè)點(diǎn)X1，X2∈X，Y1，Y2∈Y，Z1，Z2∈Z，且

H(X，Z)＝|X1Z1|，H(Y，Z)＝|Y1Z2|，H(X，Y)＝|X2Y2|，設(shè)Y2是集合Y中到X2的最近點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)H(X，Y)＝d(X，Y)＝|X2Y2|，令點(diǎn)X2到集合Z的最近點(diǎn)為Z3，點(diǎn)Z3到集合Y的最近點(diǎn)為Y3，因?yàn)閨X1Z1|是集合X中所有點(diǎn)到集合Z最近點(diǎn)距離的最大值，則|X1Z1|≥|X2Z3|，因?yàn)閨Y1Z2|是集合Y中所有點(diǎn)到集合Z最近點(diǎn)距離的最大值，則|Y1Z2|≥|Y3Z3|，因此H(X，Z)＋H(Y，Z)＝|X1Z1|＋|Y1Z2|≥|X2Z3|＋|Y3Z3|，而在坐標(biāo)平面中，|X2Z3|＋|Y3Z3|≥|X2Y3|，又點(diǎn)Y2是集合Y中到點(diǎn)X2的最近點(diǎn)，則|X2Y3|≥|X2Y2|，所以H(X，Z)＋H(Y，Z)≥H(X，Y).2.(2024·沈陽三模)設(shè)拋物線C：x2＝2py(p>0)，過點(diǎn)M(0，4)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB.若拋物線C的焦點(diǎn)為F，記△AOB，△AOF的面積分別為S△AOB，S△AOF. (1)求S△AOB＋2S△AOF的最小值.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l：y＝k1x＋4，(2)設(shè)點(diǎn)D(1，－4)，直線AD與拋物線C的另一交點(diǎn)為E，求證：直線BE過定點(diǎn).于是x1＋x3＋16＝x1x3，又x1x2＝－16，聯(lián)立消去x1，得x2x3＋16(x2＋x3)－16＝0，設(shè)直線BE：y＝k2x＋m，

整理得x2－4k2x－4m＝0，x2x3＝－4m，x2＋x3＝4k2，因此－4m＋64k2－16＝0，m＝16k2－4，直線y＝k2x＋16k2－4恒過定點(diǎn)(－16，－4).(3)我國(guó)古代南北朝數(shù)學(xué)家祖暅所提出的祖暅原理是“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即：