2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程3.3.2兩點(diǎn)間的距離練習(xí)含解析新人教A版必修2

PAGE1-第26課時(shí)兩點(diǎn)間的距離對應(yīng)學(xué)生用書P71學(xué)問點(diǎn)一兩點(diǎn)間距離公式1．一條平行于x軸的線段的長是5個(gè)單位，它的一個(gè)端點(diǎn)是A(2，1)，則它的另一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)是()A．(－3，1)或(7，1)B．(2，－4)或(2，6)C．(－3，1)或(5，1)D．(2，－5)或(2，5)答案A解析因?yàn)锳B平行于x軸，所以B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1．因?yàn)榫€段的長度為5，所以B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7或－3．2．已知點(diǎn)A(x，5)關(guān)于點(diǎn)C(1，y)的對稱點(diǎn)是B(－2，－3)，則點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)的距離是()A．4B．eq\r(13)C．eq\r(15)D．eq\r(17)答案D解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(x－2,2)，,y＝\f(5－3,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝1.))∴d＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17)．3．如圖所示，已知A(4，0)，B(0，4)，從點(diǎn)P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最終經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過的路程是()A．2eq\r(10)B．6C．3eq\r(3)D．2eq\r(5)答案A解析由題意知，點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D(4，2)，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為C(－2，0)，則光線所經(jīng)過的路程為|CD|＝2eq\r(10)．故選A．學(xué)問點(diǎn)二最值問題4．已知M(1，0)，N(－1，0)，點(diǎn)P為直線2x－y－1＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|2＋|PN|2的最小值為________．答案eq\f(12,5)解析設(shè)P的坐標(biāo)為(t，2t－1)，則|PM|2＋|PN|2＝(t－1)2＋(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－1)2＝10t2－8t＋4＝10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,5)))2＋eq\f(12,5)≥eq\f(12,5)．學(xué)問點(diǎn)三兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用5．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．(1)推斷△ABC的形態(tài)；(2)求△ABC的面積．解(1)如圖，△ABC為直角三角形，下面進(jìn)行驗(yàn)證：解法一：∵|AB|＝eq\r(－1－12＋[3－－1]2)＝eq\r(20)＝2eq\r(5)，|AC|＝eq\r(3－12＋[0－－1]2)＝eq\r(5)，|BC|＝eq\r([3－－1]2＋0－32)＝eq\r(25)＝5，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形．解法二：∵kAB＝eq\f(3－－1,－1－1)＝－2，kAC＝eq\f(0－－1,3－1)＝eq\f(1,2)，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形．(2)∵∠A＝90°，|AB|＝2eq\r(5)，|AC|＝eq\r(5)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·|AC|＝5．6．求證：若圓內(nèi)接四邊形的兩條對角線相互垂直，則連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)的線段長等于圓心到該邊對邊中點(diǎn)的距離．證明以兩條對角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)O、對角線所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖所示)．設(shè)A(－a，0)，B(0，－b)，C(c，0)，D(0，d)，分別取CD和AB的中點(diǎn)E，F(xiàn)，圓心為M，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(d,2)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－\f(b,2)))．設(shè)M(x，y)，∵點(diǎn)M到點(diǎn)A，C的距離相等，∴eq\r(x＋a2＋y2)＝eq\r(x－c2＋y2)，∴x＝eq\f(c－a,2)．又∵點(diǎn)M到點(diǎn)B，D的距離相等，∴eq\r(x2＋y＋b2)＝eq\r(x2＋y－d2)，∴y＝eq\f(d－b,2)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c－a,2)，\f(d－b,2)))．∴|OF|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))2)＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，|ME|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c－a,2)－\f(c,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(d－b,2)－\f(d,2)))2)＝eq\f(\r(a2＋b2),2)，∴|OF|＝|ME|．學(xué)問點(diǎn)四運(yùn)用解析法解決平面幾何問題7．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，對角線為AC和BD．求證：|AC|＝|BD|．證明如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(a－b，c)．∴|AC|＝eq\r(b－02＋c－02)＝eq\r(b2＋c2)，|BD|＝eq\r(a－b－a2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2)，故|AC|＝|BD|．8．在△ABC中，D是BC邊上隨意一點(diǎn)(D與B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．求證：△ABC為等腰三角形．證明作AO⊥BC，垂足為O，以BC所在直線為x軸，以O(shè)A所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)．設(shè)A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，D(d，0)．因?yàn)閨AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由距離公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c．所以|AB|＝|AC|，即△ABC為等腰三角形．對應(yīng)學(xué)生用書P72一、選擇題1．已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，則BC邊上的中線AM的長為()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(2),2)D．2eq\r(2)答案D解析設(shè)點(diǎn)M(x，y)．∵點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，∴x＝eq\f(－2＋4,2)＝1，y＝eq\f(－1＋7,2)＝3，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，3)．由兩點(diǎn)間的距離公式，得|AM|＝eq\r([1－－1]2＋3－52)＝2eq\r(2)．∴BC邊上的中線AM的長為2eq\r(2)．2．過點(diǎn)A(4，a)和B(5，b)的直線與y＝x＋m平行，則|AB|的值為()A．6B．eq\r(2)C．2D．不確定答案B解析由題意可知直線AB的斜率與y＝x＋m的相同，∴eq\f(b－a,5－4)＝1，∴b－a＝1，∴|AB|＝eq\r(5－42＋b－a2)＝eq\r(2)．3．設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是P(2，－1)，則|AB|等于()A．5B．4eq\r(2)C．2eq\r(5)D．2eq\r(10)答案C解析設(shè)A(a，0)，B(0，b)，則eq\f(a,2)＝2，eq\f(b,2)＝－1，解得a＝4，b＝－2，∴|AB|＝eq\r(4－02＋0＋22)＝2eq\r(5)．4．在直線2x－3y＋5＝0上求點(diǎn)P，使點(diǎn)P到A(2，3)的距離為eq\r(13)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(5，5)B．(－1，1)C．(5，5)或(－1，1)D．(5，5)或(1，－1)答案C解析設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則y＝eq\f(2x＋5,3)．由|PA|＝eq\r(13)，得(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋5,3)－3))2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5．當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝5時(shí)，y＝5，∴P(－1，1)或(5，5)．5．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，則eq\r(x2＋y－22)＋eq\r(x－32＋y－12)的最小值為()A．3eq\r(2)B．5C．eq\r(10)D．eq\r(2)答案C解析由平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，知原式表示動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)A(0，2)和B(3，1)的距離之和．由“兩點(diǎn)之間線段最短”，得點(diǎn)P(x，y)在線段AB上時(shí)，eq\r(x2＋y－22)＋eq\r(x－32＋y－12)取得最小值，最小值為|AB|＝eq\r(0－32＋2－12)＝eq\r(10)．二、填空題6．兩直線l1：3ax－y－2＝0和l2：(2a－1)x＋5ay－1＝0分別過定點(diǎn)A，B，則|AB|＝________．答案eq\f(13,5)解析直線l1：y＝3ax－2過定點(diǎn)A(0，－2)，直線l2：a(2x＋5y)－(x＋1)＝0過定點(diǎn)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝0，,x＋1＝0，))即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,5)))．由兩點(diǎn)間的距離公式得|AB|＝eq\f(13,5)．7．已知A(1，2)，B(－1，1)，C(0，－1)，D(2，0)，則四邊形ABCD的形態(tài)為________．答案正方形解析∵kAB＝eq\f(1,2)，kCD＝eq\f(1,2)，kBC＝－2，kAD＝－2，∴AB∥CD，BC∥AD，AB⊥BC，∴四邊形ABCD為矩形．又∵|AB|＝eq\r(1＋12＋2－12)＝eq\r(5)，|BC|＝eq\r(－1－02＋1＋12)＝eq\r(5)，∴|AB|＝|BC|，故四邊形ABCD為正方形．8．已知A(1，6)，B(5，2)，點(diǎn)P在x軸上，則使|AP|＋|BP|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．答案(4，0)解析∵A(1，6)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′(1，－6)，則|PA|＝|PA′|，當(dāng)P點(diǎn)為A′B與x軸的交點(diǎn)時(shí)，|PA|＋|PB|取得最小值，又A′B的方程為eq\f(y＋6,2＋6)＝eq\f(x－1,5－1)，即2x－y－8＝0，令y＝0，得x＝4，∴P(4，0)．三、解答題9．已知直線l1：2x＋y－6＝0和點(diǎn)A(1，－1)，過點(diǎn)A作直線l2與直線l1相交于點(diǎn)B，且|AB|＝5，求直線l2的方程．解∵點(diǎn)B在直線l1上，∴設(shè)B(x0，6－2x0)．∵|AB|＝5，∴eq\r(x0－12＋7－2x02)＝5，整理，得xeq\o\al(2,0)－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，4)或(5，－4)．∴直線l2的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0．10．在直線l：3x－y＋1＝0上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到兩點(diǎn)A(1，－1)，B(2，0)的距離相等．解解法一：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由P在l上和P到A，B距離相等建立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y＋1＝0，,\r(x－12＋y＋12)＝\r(