專題03：數(shù)的認(rèn)識(shí)·因數(shù)和倍數(shù)【十三大考點(diǎn)】-2024年小升初數(shù)學(xué)典型例題系列（解析版）3

休對(duì)故人思故國(guó)，且將新火試新茶。詩(shī)酒趁年華。休對(duì)故人思故國(guó)，且將新火試新茶。詩(shī)酒趁年華?！彼巍ぬK軾《望江南·超然臺(tái)作》2024年小升初數(shù)學(xué)典型例題系列專題03：數(shù)的認(rèn)識(shí)·因數(shù)和倍數(shù)【十三大考點(diǎn)】【第一篇】專題解讀篇本專題是專題03：數(shù)的認(rèn)識(shí)·因數(shù)和倍數(shù)。本部分內(nèi)容包括因數(shù)與倍數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的認(rèn)識(shí)及綜合應(yīng)用，內(nèi)容較多，綜合性較強(qiáng)，建議作為小升初復(fù)習(xí)基礎(chǔ)內(nèi)容進(jìn)行講解，一共劃分為十三個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用?！镜诙磕夸泴?dǎo)航篇TOC\o"1-1"\h\u【考點(diǎn)一】因數(shù)與倍數(shù) 4【典型例題1】因數(shù)與倍數(shù)的認(rèn)識(shí) 4【典型例題2】求因數(shù)與倍數(shù) 4【典型例題3】因數(shù)與倍數(shù)的特征 5【考點(diǎn)二】2、5、3的倍數(shù)特征 6【考點(diǎn)三】奇數(shù)與偶數(shù) 10【考點(diǎn)四】奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 11【典型例題1】運(yùn)算性質(zhì) 12【典型例題2】實(shí)際應(yīng)用 13【考點(diǎn)五】質(zhì)數(shù)與合數(shù) 15【典型例題1】質(zhì)數(shù)與合數(shù)的認(rèn)識(shí) 16【典型例題2】質(zhì)數(shù)與合數(shù)的分解組合 16【典型例題3】質(zhì)數(shù)與合數(shù)的綜合應(yīng)用 16【考點(diǎn)六】連續(xù)偶數(shù)或奇數(shù)的和 16【考點(diǎn)七】因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)綜合與猜數(shù)問(wèn)題 18【考點(diǎn)八】分解質(zhì)因數(shù) 19【典型例題1】分解質(zhì)因數(shù) 19【典型例題2】因數(shù)的個(gè)數(shù) 20【考點(diǎn)九】公因數(shù)與最大公因數(shù) 21【考點(diǎn)十】公倍數(shù)與最小公倍數(shù) 23【考點(diǎn)十一】三種特殊情況求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù) 26【典型例題1】情況一 27【典型例題2】情況二 29【典型例題3】情況三 30【考點(diǎn)十二】最大公因數(shù)與兩種生活實(shí)際問(wèn)題 31【典型例題1】分線段問(wèn)題 31【典型例題2】分長(zhǎng)方形問(wèn)題 32【考點(diǎn)十三】最小公倍數(shù)與三種生活實(shí)際問(wèn)題 34【典型例題1】日期或時(shí)段問(wèn)題 34【典型例題2】同余數(shù)問(wèn)題 36【典型例題3】同差問(wèn)題 37【第三篇】知識(shí)總覽篇【第四篇】典型例題篇【考點(diǎn)一】因數(shù)與倍數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】1.因數(shù)與倍數(shù)的定義。在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)。

例如：a×b=c(a、b、c都是不為0的整數(shù))，那么a是c的因數(shù)，b也是c的因數(shù)；c是a的倍數(shù)，c也是b的倍數(shù)。2.因數(shù)與倍數(shù)的特征。（1）一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。（2）一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。注意：一個(gè)非零自然數(shù)的最大因數(shù)與最小倍數(shù)是相等的且都等于它本身。3.求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法：列乘法或除法算式。4.求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法：用這個(gè)數(shù)依次乘非0自然數(shù)?！镜湫屠}1】因數(shù)與倍數(shù)的認(rèn)識(shí)。，那么28是4和7的()，4和7是28的()?！敬鸢浮勘稊?shù)因數(shù)【分析】a×b＝c（a、b、c均為非0自然數(shù)），那么a和b是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)。據(jù)此解題?！驹斀狻?×7＝28，那么28是4和7的倍數(shù)，4和7是28的因數(shù)?！军c(diǎn)睛】本題考查了因數(shù)和倍數(shù)，掌握因數(shù)和倍數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵?！镜湫屠}2】求因數(shù)與倍數(shù)。寫出12的所有因數(shù)和50以內(nèi)的所有倍數(shù)：因數(shù)：()

倍數(shù)：()【答案】1、2、3、4、6、1212、24、36、48【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的因數(shù)方法可得，先寫出12的乘數(shù)：12＝1×12，12＝2×6，12＝3×4，則12的因數(shù)即乘數(shù)；根據(jù)求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)方法可得，從自身開(kāi)始，用1，2，3……去乘,可以得到；據(jù)此填空即可?！驹斀狻?2的因數(shù)有：1、2、3、4、6、12；12的倍數(shù)有：12×1＝12，12×2＝24，12×3＝36，12×4＝48，……；則12的50以內(nèi)的所有倍數(shù)有：12、24、36、48?！镜湫屠}3】因數(shù)與倍數(shù)的特征。一個(gè)數(shù)是24的因數(shù)，又是8的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)最小是()，最大是()?！敬鸢浮?24【分析】一個(gè)非0自然數(shù)的最大因數(shù)是它本身，最小倍數(shù)也是它本身。據(jù)此解答即可?！驹斀狻?4的最大因數(shù)是24，8的最小倍數(shù)是8，24÷8＝3，即24是8的倍數(shù)，8是24的因數(shù)。所以一個(gè)數(shù)是24的因數(shù)，又是8的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)最小是8，最大是24?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】因?yàn)?5÷5＝3，所以，5是15的()，15是5的()?！敬鸢浮恳驍?shù)倍數(shù)【分析】在整數(shù)除法中，商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)，據(jù)此解答即可。【詳解】由分析可知：因?yàn)?5÷5＝3，所以，5是15的因數(shù)，15是5的倍數(shù)?！军c(diǎn)睛】本題考查因數(shù)和倍數(shù)，明確因數(shù)和倍數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是32，這個(gè)數(shù)是()?！敬鸢浮?2【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是它本身，據(jù)此解答?！驹斀狻恳粋€(gè)數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是32，這個(gè)數(shù)是32?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)，明確最大因數(shù)和最小倍數(shù)的求法是解答本題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】實(shí)踐樂(lè)園。猜號(hào)碼。ABCDEFG。已知：A－5的最小倍數(shù)；B－最小的自然數(shù)；C－5的最大因數(shù)；D－既是4的倍數(shù)，又是4的因數(shù)；E－所有因數(shù)是1、2、3、6；F－所有因數(shù)是1，3；G－只有一個(gè)因數(shù)。這個(gè)號(hào)碼是()。【答案】5054631【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義，如果數(shù)a能被數(shù)b整除（b≠0），a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)；一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，最小的倍數(shù)是它本身，最小的自然數(shù)是0，1只有1個(gè)因數(shù)，就是它本身?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可知，5的最小倍數(shù)是5；最小的自然數(shù)是0；5的最大因數(shù)是5；既是4的倍數(shù)，又是4的因數(shù)的數(shù)是4；所有因數(shù)是1、2、3、6的數(shù)是6；所有因數(shù)是1，3的數(shù)是3；只有一個(gè)因數(shù)的數(shù)是1；所以這個(gè)號(hào)碼是：5054631?！军c(diǎn)睛】本題考查了因數(shù)和倍數(shù)的認(rèn)識(shí)以及應(yīng)用?！究键c(diǎn)二】2、5、3的倍數(shù)特征?！痉椒c(diǎn)撥】1.個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)。

2.個(gè)位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)。3.3的倍數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。4.2、5、3倍數(shù)特征之間的聯(lián)系：【典型例題】1．127至少增加()才是3的倍數(shù)，至少減少()才是5的倍數(shù)，最少增加()才是2的倍數(shù)?！敬鸢浮?21【分析】3的倍數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字加起來(lái)能夠被3整除則這個(gè)數(shù)也能被3整除。5的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)的末尾是0或者5，則這個(gè)數(shù)能被5整除。2的倍數(shù)特征：一個(gè)數(shù)的末尾是0、2、4、6、8，則這個(gè)數(shù)就能被2整除。127各個(gè)數(shù)位上的數(shù)加起來(lái)和是10，當(dāng)加上2等于12的時(shí)候能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除。127的末尾是7，當(dāng)減去2的時(shí)候末尾是5，則就能被5整除；當(dāng)末尾加上1時(shí)末尾是8，則就能被2整除?！驹斀狻縿t127至少增加2才是3的倍數(shù)；則127至少減少2才是5的倍數(shù)；則最少增加1才是2的倍數(shù)。2．如果三位數(shù)67□既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，□可以填()；如果它既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，□最大可以填()?！敬鸢浮?8【分析】既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，說(shuō)明這個(gè)數(shù)的個(gè)位是0；既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)，說(shuō)明這個(gè)數(shù)的個(gè)位可能是0、2、4、6、8且各個(gè)位數(shù)的數(shù)字之和能被3整除，據(jù)此解答?！驹斀狻?70÷2＝335；670÷5＝134如果三位數(shù)67□既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，□可以填0；6＋7＋8＝21，21÷3＝7所以，如果它既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，□最大可以填8。3．用0、2、6、1中的三個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)，組成的最小的偶數(shù)是()，組成的最大的3的倍數(shù)是()，組成2、3、5最小的倍數(shù)是()?！敬鸢浮?02621120【分析】偶數(shù)是能被2整除的整數(shù)。偶數(shù)的個(gè)位可能是0、2、4、6或8。要想組成最小的偶數(shù)，且是三位數(shù)，應(yīng)選擇0、1、2這三個(gè)數(shù)，則個(gè)位是2，十位是0，百位是1。3的倍數(shù)的數(shù)字特征：這個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。要想組成最大的3的倍數(shù)，且是三位數(shù)，應(yīng)選擇2、6、1這三個(gè)數(shù)，則個(gè)位是1，十位是2，百位是6。2、3、5的倍數(shù)的數(shù)字特征：這個(gè)數(shù)的末尾數(shù)字是0，而且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。要想組成2、3、5最小的倍數(shù)，且是三位數(shù)，應(yīng)選擇1、2、0這三個(gè)數(shù)，則個(gè)位是0，十位是2，百位是1?！驹斀狻拷M成的最小的偶數(shù)是102；組成的最大的3的倍數(shù)是621；組成2、3、5最小的倍數(shù)是120?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】413至少加上()后是3的倍數(shù)，至少加上()后是5的倍數(shù)，至少加上()后同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)?！敬鸢浮?27【分析】一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)；個(gè)位上0或5的數(shù)，是5的倍數(shù)；個(gè)位上0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)?！驹斀狻?＋1＋3＝88＋1＝99是3的倍數(shù)，413至少加上（1）是3的倍數(shù)。413＋2＝415415個(gè)位上是5，是5的倍數(shù)，所以413至少加上（2）后是5的倍數(shù)。既是2的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，個(gè)位只能是0，且滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加的和是3的倍數(shù)，413＋7＝4204＋2＋0＝6420個(gè)位是0，是2和5的倍數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的和是6，是3的倍數(shù)。413至少加上（7）后同時(shí)是2、3、5的倍數(shù)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)三位數(shù)43□，如果既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，□里應(yīng)填()；如果既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)，□里最大填()?！敬鸢浮?8【分析】2的倍數(shù)特征：個(gè)位數(shù)是0、2、4、6或8；5的倍數(shù)特征：個(gè)位數(shù)是0或5；3的倍數(shù)特征：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)；既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)特征：個(gè)位數(shù)是0或5，且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)；既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)特征：個(gè)位數(shù)是0、2、4、6或8，且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和是3的倍數(shù)；據(jù)此解答?！驹斀狻?＋3＋0＝74＋3＋5＝1212是3的倍數(shù)，所以435既是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，□里應(yīng)填5；4＋3＋8＝1515是3的倍數(shù)，所以如果43□既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)，□里最大填8?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】寫出由2、5、8組成的能被3整除的最小三位數(shù)()，能被5整除的最小三位數(shù)()，能被2和3同時(shí)整除的最大三位數(shù)()?！敬鸢浮?58285852【分析】能被3整除的多位數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和也能被3整除，能被5整除的多位數(shù)個(gè)位是5或0，能被2整除的多位數(shù)個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?＋5＋8＝7＋8＝15，所以由由2、5、8組成的三位數(shù)均能被3整除，且2＜5＜8，所以最小的是258；能被5整除，則個(gè)位是5，2＜8，所以能被5整除的最小三位數(shù)285；2、8均是偶數(shù)且8＞2，所以能被2和3同時(shí)整除的最大三位數(shù)百位是8、個(gè)位是2，所以這個(gè)三位數(shù)是852?！军c(diǎn)睛】熟記被2、3、5整除的數(shù)的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)三】奇數(shù)與偶數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】1.偶數(shù)：能被2整除的數(shù)就叫偶數(shù)（俗稱雙數(shù)），習(xí)慣用2n表示。2.奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)就叫奇數(shù)（俗稱單數(shù)），習(xí)慣用2n-1表示。3.整數(shù)：像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整數(shù)。4.自然數(shù)：像0、1、2、3、4、……都是自然數(shù)?！镜湫屠}】1～20中，最大的奇數(shù)是()，最小的偶數(shù)是()?！敬鸢浮?92【分析】整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍的數(shù)叫做奇數(shù)。根據(jù)偶數(shù)、奇數(shù)的意義解答即可?！驹斀狻?～20中奇數(shù)中1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，其中最大的奇數(shù)是19；2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，其中最小的偶數(shù)是2?！军c(diǎn)睛】整數(shù)按是不是2的倍數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。也就是說(shuō)，一個(gè)整數(shù)，不是奇數(shù)就是偶數(shù)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】在100以內(nèi)13的倍數(shù)中，奇數(shù)有()，偶數(shù)有()?！敬鸢浮?3、39、65、9126、52、78【分析】根據(jù)題意，首先寫出100以內(nèi)13的倍數(shù)，然后根據(jù)在自然數(shù)中，能被2整除的數(shù)為偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)為奇數(shù)，據(jù)此意義進(jìn)行分析填空即可?！驹斀狻?00以內(nèi)13的倍數(shù)有：13、26、39、52、65、78、91。則奇數(shù)：13、39、65、91；偶數(shù)：26、52、78?！军c(diǎn)睛】明確奇數(shù)與偶數(shù)的意義是完成本題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】100以內(nèi)最大的奇數(shù)是()；1～100中所有奇數(shù)的和是()（填“奇數(shù)”或“偶數(shù)”）?！敬鸢浮?9偶數(shù)【分析】不能被2整除的整數(shù)叫奇數(shù)，能被2整除的整數(shù)叫偶數(shù)；100是偶數(shù)，100以內(nèi)最大的奇數(shù)就是比100少1的數(shù)；1～100中有50個(gè)奇數(shù)，50個(gè)偶數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和是偶數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻扛鶕?jù)分析，100以內(nèi)最大的奇數(shù)是99；1～100中所有奇數(shù)的和是偶數(shù)?！军c(diǎn)睛】本題主要考查奇數(shù)和偶數(shù)的認(rèn)識(shí)，注意平時(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的積累。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】自然數(shù)里最小的奇數(shù)是()，最小的偶數(shù)是()?！敬鸢浮?0【分析】整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)（0也是偶數(shù)），不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)，最小的奇數(shù)是1，據(jù)此解答?！驹斀狻糠治隹芍?，自然數(shù)里最小的奇數(shù)是1，最小的偶數(shù)是0?！军c(diǎn)睛】本題主要考查奇數(shù)、偶數(shù)的認(rèn)識(shí)，掌握奇數(shù)、偶數(shù)的意義是解答題目的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)四】奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)?！痉椒c(diǎn)撥】奇數(shù)與偶數(shù)的基本性質(zhì)：

【典型例題1】運(yùn)算性質(zhì)。若m是一個(gè)奇數(shù)，n是一個(gè)偶數(shù)，那么4m＋3n一定是()數(shù)。（填“奇”或“偶”）【答案】偶【分析】偶數(shù)×奇數(shù)＝偶數(shù)，偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻縨是一個(gè)奇數(shù)，所以4m表示偶數(shù)×奇數(shù)＝偶數(shù)；又因?yàn)閚是一個(gè)偶數(shù)，所以3n表示奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)；所以4m＋3n表示偶數(shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)?！军c(diǎn)睛】本題應(yīng)根據(jù)數(shù)的奇偶性原理來(lái)解答，結(jié)合題意具體分析即可?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】任何一個(gè)偶數(shù)加1后都是()，任何一個(gè)奇數(shù)減1后都是()。（填“奇數(shù)”或“偶數(shù)”）【答案】奇數(shù)偶數(shù)【分析】根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的定義：在自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)；奇數(shù)和偶數(shù)的性質(zhì)：奇數(shù)和奇數(shù)的和與差都是偶數(shù)；偶數(shù)加、減偶數(shù)的和或差都是偶數(shù)；奇數(shù)與偶數(shù)的和與差都是奇數(shù)；據(jù)此解答即可?！驹斀狻咳魏我粋€(gè)偶數(shù)加1后都是奇數(shù)，任何一個(gè)奇數(shù)減1后都是偶數(shù)?！军c(diǎn)睛】此題考查的目的是理解奇數(shù)與偶數(shù)的意義以及奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】48名學(xué)生要分成甲、乙兩組，如果甲組人數(shù)為奇數(shù)，則乙組人數(shù)為()數(shù)。（填“奇”或“偶”）【答案】奇【分析】根據(jù)“奇數(shù)＋偶數(shù)＝奇數(shù)，奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)”可知，48是偶數(shù)，把它分成兩個(gè)數(shù)的和，如果其中一個(gè)是奇數(shù)，另一個(gè)也是奇數(shù)，由此求解?！驹斀狻恳?yàn)?8＝甲組人數(shù)＋乙組人數(shù)，48是偶數(shù)，甲組人數(shù)是奇數(shù)，因?yàn)槠鏀?shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)，所以乙組人數(shù)為奇數(shù)?！军c(diǎn)睛】解決本題關(guān)鍵是明確：奇數(shù)＋偶數(shù)＝奇數(shù)，奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】1＋2＋3＋…＋999＋1000＋1001的和是()（填奇數(shù)或偶數(shù)）?！敬鸢浮科鏀?shù)【分析】1～1001中共有500個(gè)偶數(shù)，501個(gè)奇數(shù)。根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，任意個(gè)偶數(shù)相加的和為偶數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加的和為奇數(shù)，偶數(shù)加奇數(shù)等于奇數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?＋2＋3＋…＋999＋1000＋1001＝500個(gè)偶數(shù)＋501個(gè)奇數(shù)＝偶數(shù)＋奇數(shù)＝奇數(shù)，即它們的和為奇數(shù)?！军c(diǎn)睛】熟練掌握奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵?！镜湫屠}2】實(shí)際應(yīng)用。五年級(jí)43名同學(xué)，分成兩個(gè)隊(duì)參加勞動(dòng)，每個(gè)隊(duì)都是偶數(shù)名同學(xué)，能正好分完嗎？為什么？【答案】不能正好分完，因?yàn)榕紨?shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)而43是奇數(shù)?！痉治觥扛鶕?jù)奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)判斷題干中的說(shuō)法是否正確?！驹斀狻恳?yàn)榕紨?shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)，而43是奇數(shù)，所以43不可能分出來(lái)兩個(gè)偶數(shù)。答：不能正好分完，因?yàn)榕紨?shù)＋偶數(shù)＝偶數(shù)而43是奇數(shù)?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是理解奇數(shù)和偶數(shù)相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)，并靈活運(yùn)用?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一只小狗在甲乙兩棵樹(shù)之間來(lái)回跑動(dòng)。小狗從甲樹(shù)跑到乙樹(shù)，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵樹(shù)？第90次呢？【答案】乙樹(shù)，甲樹(shù)【分析】第1次，小狗最初從甲樹(shù)跑向乙樹(shù)，第2次，小狗從乙樹(shù)跑向甲樹(shù)，第3次，小狗從甲樹(shù)跑向乙樹(shù)，第4次，小狗從乙樹(shù)跑向甲樹(shù)，…所以，可得規(guī)律：奇數(shù)次在乙樹(shù)旁，偶數(shù)次在甲樹(shù)旁，據(jù)此解答即可?！驹斀狻扛鶕?jù)分析可得：奇數(shù)次在乙樹(shù)旁，偶數(shù)次在甲樹(shù)旁，因?yàn)?5是奇數(shù)，所以一共跑了15次（往返算2次），最后小狗停在乙樹(shù)旁；因?yàn)?0是偶數(shù)，所以一共跑了90次（往返算2次），最后小狗停在甲樹(shù)旁?！军c(diǎn)睛】本題考查了奇偶性的實(shí)際應(yīng)用，解答此題關(guān)鍵是確定：奇數(shù)次在乙樹(shù)旁，偶數(shù)次在甲樹(shù)旁?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】長(zhǎng)江兩岸的船工以擺渡為生，每天都從南岸出發(fā)駛向北岸，再?gòu)谋卑恶偦啬习?，不斷往返。記船由南岸駛向北岸?次。（1）擺渡第10次結(jié)束時(shí)，船在南岸還是北岸？為什么？（2）擺渡第103次結(jié)束時(shí)，船在南岸還是北岸？為什么？【答案】（1）南岸；見(jiàn)詳解（2）北岸；見(jiàn)詳解【分析】整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。根據(jù)題意，記船由南岸駛向北岸為1次，也就是說(shuō)擺渡第1次結(jié)束時(shí)，船在北岸；擺渡第2次結(jié)束時(shí)，船在南岸；擺渡第3次結(jié)束時(shí)，船在北岸；擺渡第4次結(jié)束時(shí)，船在南岸……由此可知，擺渡奇數(shù)次結(jié)束時(shí)，船在北岸，擺渡偶數(shù)次結(jié)束時(shí)，船在南岸，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）擺渡第10次結(jié)束時(shí)，船在南岸。因?yàn)閿[渡奇數(shù)次結(jié)束時(shí)，船在北岸，擺渡偶數(shù)次結(jié)束時(shí)，船在南岸；10是偶數(shù)，所以船在南岸。（2）擺渡第103次結(jié)束時(shí)，船在北岸。因?yàn)閿[渡奇數(shù)次結(jié)束時(shí)，船在北岸，擺渡偶數(shù)次結(jié)束時(shí)，船在南岸；103是奇數(shù)，所以船在北岸?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一艘小船每天從河的南岸擺渡到北岸，再?gòu)谋卑稊[渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。（1）擺渡15次后，小船在南岸還是北岸？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）淘氣說(shuō)擺渡2016次后，小船在北岸。他的說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？【答案】（1）北岸；見(jiàn)詳解；（2）不對(duì)；見(jiàn)詳解【分析】（1）整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。根據(jù)題意，第1次擺渡是從南岸駛向北岸，即第1次擺渡后船在北岸；第2次擺渡是從北岸駛向南岸，即第2次擺渡后船在南岸；第3次擺渡是從南岸駛向北岸，即第3次擺渡后船在北岸；第4次擺渡是從從北岸駛向南岸，即第4次擺渡后船在南岸?不斷往返，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：擺渡的次數(shù)是奇數(shù)時(shí)，船在北岸；擺渡的次數(shù)是偶數(shù)時(shí)，船在南岸；據(jù)此解答。（2）先判斷2016的奇偶性，再根據(jù)擺渡的規(guī)律即可知道淘氣的說(shuō)法是否正確?！驹斀狻扛鶕?jù)分析得出規(guī)律：擺渡的次數(shù)是奇數(shù)時(shí)，船在北岸；擺渡的次數(shù)是偶數(shù)時(shí)，船在南岸。（1）因?yàn)?5是奇數(shù)，所以擺渡15次后，小船是在北岸。（2）淘氣的說(shuō)法不對(duì)，因?yàn)?016是偶數(shù)，擺渡2016次后，小船應(yīng)該在南岸?！军c(diǎn)睛】本題主要考查奇數(shù)與偶數(shù)的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用?！究键c(diǎn)五】質(zhì)數(shù)與合數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】質(zhì)數(shù)與合數(shù)是根據(jù)一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)定義的：1.質(zhì)數(shù)。一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。例如：20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19。注意：①質(zhì)數(shù)只要兩個(gè)因數(shù)，一個(gè)質(zhì)數(shù)的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身。②最小的質(zhì)數(shù)是2，沒(méi)有最大的質(zhì)數(shù)。

2.合數(shù)。一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的因數(shù)，那么這樣的數(shù)叫做合數(shù)。例如：20以內(nèi)的合數(shù)有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。注意：①合數(shù)質(zhì)數(shù)至少有三個(gè)因數(shù)，一個(gè)合數(shù)的最小因數(shù)是1，最大因數(shù)是它本身。②最小的合數(shù)是4，沒(méi)有最大的合數(shù)。3.注意：0、1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)?！镜湫屠}1】質(zhì)數(shù)與合數(shù)的認(rèn)識(shí)。在1，2，14，25，16，29，12，31，91，87這些數(shù)中，合數(shù)有()，質(zhì)數(shù)有()，奇數(shù)有()，偶數(shù)有()。解析：14，25，16，12，91，87；2，29，31；1，25，29，31，91，87；2，14，16，12【典型例題2】質(zhì)數(shù)與合數(shù)的分解組合。在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)馁|(zhì)數(shù)。15＝()×()

20＝()＋()＋()解析：3

5

2

7

11【典型例題3】質(zhì)數(shù)與合數(shù)的綜合應(yīng)用。一個(gè)四位數(shù)，最高位是3的倍數(shù)，百位上是最小的質(zhì)數(shù)，十位是所有整數(shù)共同的因數(shù)，個(gè)位是偶數(shù)，這個(gè)數(shù)最大是()。解析：9218【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】在17、6、13、9、2、34、1、33中，奇數(shù)有()，偶數(shù)有()，質(zhì)數(shù)有()，合數(shù)有()。解析：17、13、9、1、33；6、2、34；17、13、2；6、9、34、33【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】在括號(hào)里填上合適的質(zhì)數(shù)。26＝()＋()＝()＋()＝()＋()解析：3；23；7；19；13；13【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)三位數(shù)，百位上的數(shù)既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，十位上的數(shù)是最小的合數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是最大的一位數(shù)，這個(gè)數(shù)是()。解析：249【考點(diǎn)六】連續(xù)偶數(shù)或奇數(shù)的和?！痉椒c(diǎn)撥】該類題型關(guān)鍵在于熟悉偶數(shù)和奇數(shù)的特征，即相鄰兩個(gè)偶數(shù)或奇數(shù)相差2，首先求出這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)分別求出其他的數(shù)?！镜湫屠}】三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是225，這三個(gè)奇數(shù)分別是多少？【答案】73、75、77【分析】用“225÷3＝75”，求出中間的那個(gè)奇數(shù)，又因?yàn)閮蓚€(gè)連續(xù)的奇數(shù)相差“2”，進(jìn)而分別求出另外2個(gè)奇數(shù)即可?！驹斀狻看穑哼@三個(gè)奇數(shù)分別是73、75、77?！军c(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是求出中間的那個(gè)奇數(shù)，然后根據(jù)兩個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的特征來(lái)解答?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】五個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的和是75，這五個(gè)奇數(shù)分別是多少？【答案】11、13、15、17、19【分析】相鄰的奇數(shù)之間相差2，用五個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的和÷5，求出中間奇數(shù)，進(jìn)而推算出其它奇數(shù)?！驹斀狻?5÷5＝1515－2＝1313－2＝1115＋2＝1717＋2＝19答：這五個(gè)奇數(shù)分別是11、13、15、17、19?！军c(diǎn)睛】整數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】如果三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是150，這三個(gè)自然數(shù)分別是多少？如果三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是93，這三個(gè)連續(xù)奇數(shù)各是多少？【答案】49、50、51；29、31、33【分析】相鄰兩個(gè)自然數(shù)相差1，連續(xù)的奇數(shù)相差2，據(jù)此分析?！驹斀狻?50÷3＝50、50－1＝49、50＋1＝5193÷3＝31、31－2＝29、31＋2＝33答：三個(gè)自然數(shù)分別是49、50、51，三個(gè)連續(xù)奇數(shù)各是29、31、33?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是熟悉自然數(shù)和奇數(shù)的排列特點(diǎn)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】小梅、小蘭、小菊3人的年齡和是39歲，并且她們的年齡是相鄰的奇數(shù)，已知小梅最小，小菊最大，請(qǐng)問(wèn)小菊多少歲？【答案】15歲【分析】中間的奇數(shù)是三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平均數(shù)，由相鄰的奇數(shù)相差2可知，最大的奇數(shù)＝中間的奇數(shù)＋2，據(jù)此解答?！驹斀狻?9÷3＋2＝13＋2＝15（歲）答：小菊15歲?！军c(diǎn)睛】利用平均數(shù)求出中間的奇數(shù)，并掌握相鄰奇數(shù)的差為2是解答題目的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)七】因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)綜合與猜數(shù)問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】猜數(shù)問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，需要熟悉因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等的定義及一些特殊數(shù)?！镜湫屠}】小明家無(wú)線網(wǎng)絡(luò)的密碼是一個(gè)六位數(shù)。從左數(shù)第一位既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)。第二位數(shù)既是4的倍數(shù)又是4的因數(shù)，第三位數(shù)既是奇數(shù)又是合數(shù)，第四位數(shù)不是0，且既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，第五位數(shù)是8的最小因數(shù)，最后一位數(shù)是最大的一位數(shù)。小明家無(wú)線網(wǎng)絡(luò)的密碼是多少？解析：249119【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】東東家電話號(hào)碼前三位是521，第四位是最小的質(zhì)數(shù)，第五位是最小的偶數(shù)，第六位是最小的奇數(shù)，末尾數(shù)字既是合數(shù)又是奇數(shù)，東東家電話號(hào)碼是多少？解析：5212019【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】“天宮二號(hào)”空間實(shí)驗(yàn)室發(fā)射的年份是一個(gè)四位數(shù)，千位上的數(shù)字是最小的質(zhì)數(shù)，百位上的數(shù)字是最小的偶數(shù)，十位上的數(shù)字比最小的質(zhì)數(shù)小1，個(gè)位上的數(shù)字比最小的合數(shù)大2。“天宮二號(hào)”是哪一年發(fā)射的？解析：2016年【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】洪老師家的電話號(hào)碼從左往右的數(shù)字依次是：①既是奇數(shù)又是合數(shù)的數(shù)；②既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；③既是質(zhì)數(shù)，又是偶數(shù)；④10以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)；⑤最小的合數(shù)；⑥最小奇數(shù)的5倍；⑦有因數(shù)3的偶數(shù)。聰明的同學(xué)，你知道洪老師家的電話號(hào)碼是多少嗎？解析：9127456【考點(diǎn)八】分解質(zhì)因數(shù)。【方法點(diǎn)撥】1.分解質(zhì)因數(shù)。指的就是把一個(gè)合數(shù)用幾個(gè)質(zhì)數(shù)乘積的形式表示出來(lái)。例：15=3×5，24=2×2×2×3，這就是分解質(zhì)因數(shù)。2.注意。①分解質(zhì)因數(shù)是解決數(shù)論最有效最直接的途徑；②100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25個(gè)?！镜湫屠}1】分解質(zhì)因數(shù)。把下列各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。111

375【答案】111＝3×37；375＝3×5×5×5【分析】分解質(zhì)因數(shù)就是把一個(gè)合數(shù)寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的連乘積形式，一般從簡(jiǎn)單的質(zhì)數(shù)試著分解?！驹斀狻?11＝3×37375＝3×5×5×5【典型例題2】因數(shù)的個(gè)數(shù)。已知A＝2×2×3×3，那么A的因數(shù)一共有()個(gè)。A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)A＝2×2×3×3，求出A的值，再根據(jù)求一個(gè)數(shù)因數(shù)的方法，寫出A所有的因數(shù)，最后數(shù)出因數(shù)的個(gè)數(shù)即可。【詳解】A＝2×2×3×3＝3636的因數(shù)有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；共有9個(gè)因數(shù)。故答案為：D【點(diǎn)睛】掌握找一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)三位數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，而且又有因數(shù)5，這個(gè)這個(gè)三位數(shù)最大是()，把它分解質(zhì)因數(shù)是()?！敬鸢浮?90990＝2×3×3×5×11【分析】同時(shí)是2、3和5的倍數(shù)的特征是，個(gè)位上必須是0，且各位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)；據(jù)此解答。【詳解】一個(gè)三位數(shù)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)，而且又有因數(shù)5，這個(gè)三位數(shù)最大是990，把990分解質(zhì)因數(shù)：990＝2×3×3×5×11?！军c(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握同時(shí)是2、3和5的倍數(shù)的特征，以及分解質(zhì)因數(shù)的方法?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】已知A=3×7×10，則A一共有()個(gè)因數(shù)。A．6 B．12 C．16 D．20【答案】C【詳解】試題分析：A的因數(shù)包括1和它的質(zhì)因數(shù)，以及質(zhì)因數(shù)相乘的積；據(jù)此找出即可．解：A=3×7×10=2×3×5×7，則A的因數(shù)有：1、2、3、5、7、2×3=6、2×5=10、2×7=14、3×5=15、3×7=21、5×7=35、2×3×5=30、2×3×7=42、2×5×7=70、3×7×5=105、2×3×5×7=210，共16個(gè)；故選C．點(diǎn)評(píng)：此題也可以運(yùn)用規(guī)律解答：把給定的數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，寫成冪指數(shù)形式，各指數(shù)分別加1后相乘，其積就是所求因數(shù)的個(gè)數(shù)．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】把111111分解質(zhì)因數(shù)是()?！敬鸢浮?11111＝3×7×11×13×37【詳解】略【考點(diǎn)九】公因數(shù)與最大公因數(shù)。【方法點(diǎn)撥】1.最大公因數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)2.求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。（1）列舉法；（2）短除法3.短除法的口訣：求最大公因乘一邊，求最小公倍乘一圈。注意：求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)用小括號(hào)表示。【典型例題】求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)。36和48

11和13

21，42和70【答案】12；1；7【分析】根據(jù)求兩個(gè)（或兩個(gè)以上）數(shù)最大公因數(shù)也就是這兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，較小的數(shù)是它們的最大公因數(shù)；當(dāng)兩個(gè)數(shù)互為質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公因數(shù)是1；據(jù)此解答?！驹斀狻?6和4836＝2×2×3×348＝2×2×2×2×3則36和48的最大公因數(shù)是：2×2×3＝12；11和1311和13互為質(zhì)數(shù)，所以11和13的最大公因數(shù)是：1；21，42和7021＝3×742＝2×3×770＝2×5×7則21，42和70的最大公因數(shù)是：7?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】找出下列每組數(shù)的最大公因數(shù)。5和36

24和72

14、26和32【答案】1；24；2【分析】?jī)蓴?shù)互質(zhì)，最大公因數(shù)是1；兩數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是較小數(shù)；全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)?！驹斀狻?和36是互質(zhì)數(shù)，5和36的最大公因數(shù)是1；72÷24＝3，24和72的最大公因數(shù)是24；14＝2×726＝2×1332＝2×2×2×2×214、26和32的最大公因數(shù)是2?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】寫出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。15和25

7和15

22和33

35和28【答案】5；1；11；7【分析】全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。兩數(shù)互質(zhì)，最大公因數(shù)是1，據(jù)此求出各組數(shù)的最大公因數(shù)?！驹斀狻?5＝3×5、25＝5×515和25的最大公因數(shù)是5；7和15是互質(zhì)數(shù)，7和15的最大公因數(shù)是1；22＝2×11、33＝3×1122和33的最大公因數(shù)是11；35＝5×7、28＝2×2×735和28的最大公因數(shù)是7。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】寫出每組數(shù)的最大公因數(shù)。12和18

72和48

78和117

23和32【答案】6；24；39；1【分析】當(dāng)兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1；當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，最大公因數(shù)是較小數(shù)；其它情況可以用分解質(zhì)因數(shù)找兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)是把合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式。兩個(gè)或兩個(gè)以上的合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，把公有的相同質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)就是最大公因數(shù)?！驹斀狻浚?）12＝2×2×318＝2×3×312和18的最大公因數(shù)是2×3＝6；（2）72＝2×2×2×3×348＝2×2×2×2×372和48的最大公因數(shù)是2×2×2×3＝24；（3）78＝2×3×13117＝3×3×1378和117的最大公因數(shù)是3×13＝39；（4）23和32是互質(zhì)數(shù)，所以23和32的最大公因數(shù)是1?！究键c(diǎn)十】公倍數(shù)與最小公倍數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】1.最小公倍數(shù)。幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做它們的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做它們的最小公倍數(shù)。2.求最小公倍數(shù)。（1）列舉法；（2）短除法。3.短除法的口訣：求最大公因乘一邊，求最小公倍乘一圈。注意：求兩個(gè)數(shù)的最小公因數(shù)用中括號(hào)表示?！镜湫屠}】求下面每組數(shù)的最小公倍數(shù)。27和72

36和60

76和80【答案】216；180；1520【分析】全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)?？梢杂枚坛ㄟM(jìn)行計(jì)算，把公有的質(zhì)因數(shù)從小到大依次作為除數(shù)，連續(xù)去除這幾個(gè)數(shù)，直到得出的商只有公因數(shù)1為止。然后把所有的除數(shù)、商都相乘，得到最小公倍數(shù)?！驹斀狻?×3×3×8＝21627和72的最小公倍數(shù)是216；2×2×3×3×5＝18036和60的最小公倍數(shù)是180；2×2×19×20＝152076和80的最小公倍數(shù)是1520?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】求下面各組數(shù)的最小公倍數(shù)。10和60

8和14

11和34【答案】60；56；374【分析】全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。兩數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，最小公倍數(shù)是較大數(shù)；兩數(shù)互質(zhì)，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的積?！驹斀狻?0÷10＝6，10和60的最小公倍數(shù)是60；8＝2×2×2、14＝2×72×2×2×7＝568和14的最小公倍數(shù)是56；11×34＝37411和34的最小公倍數(shù)是374?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。18和24

15和25

11和19【答案】最大公因數(shù)6；最小公倍數(shù)72；最大公因數(shù)5；最小公倍數(shù)75；最大公因數(shù)1；最小公倍數(shù)209【分析】把兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)從小到大依次作為除數(shù)連續(xù)去除這兩個(gè)數(shù)，直到得出的商只有公因數(shù)1為止，然后把所有除數(shù)連乘起來(lái)，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)；最后把所有除數(shù)和商連乘起來(lái)，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）18和24的最大公因數(shù)：2×3＝618和24的最小公倍數(shù)：2×3×3×4＝72（2）15和25的最大公因數(shù)：515和25的最小公倍數(shù)：5×3×5＝75（3）11和19的最大公因數(shù)：111和19的最小公倍數(shù)：11×19＝209【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】求下面各組數(shù)的最小公倍數(shù)。3和12

4和13

7和49

24和15【答案】12；52；49；120【分析】最小公倍數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積；若兩個(gè)數(shù)互為倍數(shù)關(guān)系，則較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)；若兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，則最小公倍數(shù)就是它們的乘積。據(jù)此計(jì)算即可?！驹斀狻恳?yàn)?2÷3＝4，所以3和12互為倍數(shù)關(guān)系，所以3和12的最小公倍數(shù)是12；因?yàn)?和13互質(zhì)，所以4和13的最小公倍數(shù)是4×13＝52；因?yàn)?9是7的倍數(shù)，所以7和49的最小公倍數(shù)是49；因?yàn)?4＝2×2×2×315＝3×5所以24和15的最小公倍數(shù)是2×2×2×3×5＝120。【考點(diǎn)十一】三種特殊情況求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。【方法點(diǎn)撥】1.質(zhì)因數(shù)求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。求兩數(shù)的最小公倍數(shù)是共有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最大公因數(shù)也就是這幾個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積。2.互質(zhì)數(shù)求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。（1）公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。（2）當(dāng)兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)關(guān)系時(shí)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積。3.倍數(shù)關(guān)系求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，它們的最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)?！镜湫屠}1】情況一。1.如果A＝2×3×5，B＝3×7，那么它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：A和B公因數(shù)只有3，所以3就是最大公因數(shù)；A＝2×3×5＝6×5＝30B＝3×7＝21最小公倍數(shù)：30×21÷3＝630÷3＝2102.把自然數(shù)A和B分解質(zhì)因數(shù)得：A＝2×5×N，B＝3×5×N，如果A和B的最大公因數(shù)是35，則A和B的最小公倍數(shù)是()。【答案】210【分析】分解質(zhì)因數(shù)是把合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式。兩個(gè)或兩個(gè)以上的合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，把公有的相同質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)就是最大公因數(shù)；把公有的質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)乘起來(lái)，就是最小公倍數(shù)。【詳解】A＝2×5×NB＝3×5×NA和B的最大公因數(shù)是：5N＝35；N＝35÷5＝7A和B的最小公倍數(shù)是：2×3×5×N；當(dāng)N＝7時(shí)，2×3×5×7＝210；所以，A和B的最小公倍數(shù)是210。【點(diǎn)睛】掌握求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】M＝2×3×7，N＝3×7×11，M和N的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：21

462【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然數(shù)且m不等于0），如果a與b的最大公因數(shù)是14，則m是()，a和b的最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?210【分析】全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。據(jù)此可知2×m＝14，根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊同時(shí)÷2，即可求出m的值。全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)?！驹斀狻?×m＝14解：2×m÷2＝14÷2m＝72×3×5×7＝210已知a＝2×3×m，b＝2×5×m（m是自然數(shù)且m不等于0），如果a與b的最大公因數(shù)是14，則m是7，a和b的最小公倍數(shù)是210。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的意義，掌握最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如果A＝2m×5，B＝2×3m，已知A和B的最大公因數(shù)是8，那么m＝()，A和B的最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮?120【分析】由題意可知，B＝2×3m＝2m×3，則A和B的最大公因數(shù)是2m，A和B的最小公倍數(shù)是2m×3×5，據(jù)此解答?！驹斀狻緼＝2m×5，B＝2×3m＝2m×3，則2m是兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，m＝8÷2＝4，A和B的最小公倍數(shù)是2×4×3×5＝120，所以m＝4，A和B的最小公倍數(shù)是120?！军c(diǎn)睛】本題主要考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，根據(jù)兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)求出m的值是解答題目的關(guān)鍵?！镜湫屠}2】情況二。b和t是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：1

bt【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】?jī)蓚€(gè)連續(xù)的自然數(shù)（均不為0），它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：1

它們的乘積【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如果a，b的公因數(shù)只有1，那它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：1

ab【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如果a－1＝b（a、b分別為非零的自然數(shù)），那么a、b的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。【答案】1ab【分析】求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積；如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是其中較大的數(shù)；如果兩個(gè)數(shù)既不互質(zhì)，也不是倍數(shù)關(guān)系，則先把兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)的乘積，據(jù)此解答?！驹斀狻咳绻鸻－1＝b（a、b分別為非零的自然數(shù)），則a和b是兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，它們的公因數(shù)只有1，所以a和b互質(zhì)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是ab?！军c(diǎn)睛】本題考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，掌握相應(yīng)的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵。【典型例題3】情況三。如果a＝3b，且a，b都是大于0的自然數(shù)，那么a和b的最大公因數(shù)是()；最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮縝a【分析】若兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。據(jù)此填空即可。【詳解】因?yàn)閍＝3b，所以a÷b＝3則a和b的最大公因數(shù)是b；最小公倍數(shù)是a。【點(diǎn)睛】本題考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，明確互為倍數(shù)關(guān)系的特殊求法是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】如果a＝2b（a、b均為大于9的整數(shù)），則a、b的最小公倍數(shù)是()，最大公因數(shù)是()。【答案】ab【分析】若兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，則較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)，較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。【詳解】因?yàn)閍＝2b，所以a÷b＝2；則a和b成倍數(shù)關(guān)系；a和b的最小公倍數(shù)是a，a和b的最大公因數(shù)是b。因此如果a＝2b（a、b均為大于9的整數(shù)），則a、b的最小公倍數(shù)是a，最大公因數(shù)是b?！军c(diǎn)睛】本題考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，明確兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，則較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)，較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)是解題的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如果自然數(shù)C是B的5倍，則B與C的最小公倍數(shù)是()，最大公因數(shù)是()。【答案】CB【分析】求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積；如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是其中較大的數(shù)；如果兩個(gè)數(shù)既不互質(zhì)，也不是倍數(shù)關(guān)系，則先把兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是兩個(gè)數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)的乘積，據(jù)此解答。【詳解】由分析可知：如果自然數(shù)C是B的5倍，則B與C的最小公倍數(shù)是C，最大公因數(shù)是B。【點(diǎn)睛】本題主要考查了求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的方法，熟練掌握相應(yīng)的方法是解答本題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】如果A＝7B，那么A和B的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()?！敬鸢浮緽A【分析】求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是其中較大的數(shù)；據(jù)此解答。【詳解】如果A＝7B則A和B是倍數(shù)關(guān)系，那么A和B的最大公因數(shù)是B，最小公倍數(shù)是A。【點(diǎn)睛】本題主要考查了最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法?！究键c(diǎn)十二】最大公因數(shù)與兩種生活實(shí)際問(wèn)題。【方法點(diǎn)撥】1.分線段問(wèn)題。（1）分析每小段的長(zhǎng)度和每條線段長(zhǎng)度的關(guān)系；（2）短除法求最大公因數(shù)。注意：要看清題目問(wèn)的是每個(gè)小段的長(zhǎng)度還是求一共可以分成多少個(gè)小段。2.分長(zhǎng)方形問(wèn)題。（1）分析每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)和大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系；（2）短除法求最大公因數(shù)。注意：要看清題目問(wèn)的是小正方形的邊長(zhǎng)還是求一共可以分成多少個(gè)小正方形【典型例題1】分線段問(wèn)題。用下面的兩種彩帶包裝禮品盒。現(xiàn)在要把它們剪成同樣長(zhǎng)的小段且沒(méi)有剩余，每段最長(zhǎng)是多少分米？一共能剪成幾段？解析：56＝2×2×2×748＝2×2×2×2×32×2×2＝8每段最長(zhǎng)是8分米，（56＋48）÷8＝104÷8＝13（段）答：每段最長(zhǎng)是8分米，一共能剪成13段?！镜湫屠}2】分長(zhǎng)方形問(wèn)題。選修課上，老師要求同學(xué)們將一張長(zhǎng)28厘米，寬12厘米的長(zhǎng)方形彩紙。在無(wú)剩余的前提下，裁成大小相等且盡可能大的正方形，正方形的邊長(zhǎng)是多少？一共可以裁成多少?gòu)垼拷馕觯?8＝2×2×712＝2×2×32×2＝4（厘米）28×12÷（4×4）＝336÷16＝21（張）正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，一共可以裁成21張?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】有兩根彩帶，一根長(zhǎng)45厘米，另一根長(zhǎng)60厘米。現(xiàn)在要把它們剪成長(zhǎng)度一樣的短彩帶且沒(méi)有剩余，每根短彩帶最長(zhǎng)是多少厘米？一共可以剪成幾根？解析：45＝3×3×560＝2×2×3×545和60的最大公因數(shù)是：3×5＝15。即每根短彩帶最長(zhǎng)是15厘米。（45÷15）＋（60÷15）＝3＋4＝7（根）答：每根短彩帶最長(zhǎng)是15厘米，一共可以剪成7根。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】把一塊長(zhǎng)48厘米，寬36厘米的長(zhǎng)方形硬紙裁成同樣大小，面積盡可能大的正方形，紙板沒(méi)有剩余。至少可以裁成多少個(gè)正方形？每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米？解析：48＝2×2×2×2×336＝2×2×3×32×2×3＝12（厘米）48×36÷（12×12）＝1728÷144＝12（個(gè)）答：至少可以裁成12個(gè)正方形，每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是12厘米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】李伯伯家挖了一個(gè)長(zhǎng)15分米，寬10分米，深8分米的長(zhǎng)方體水池。（1）現(xiàn)在要用邊長(zhǎng)是整分米數(shù)的藍(lán)色正方形地磚把這個(gè)水池的底面鋪滿（使用的地磚必須都是整塊），藍(lán)色地磚的邊長(zhǎng)最大是幾分米？一共需要多少塊這樣的藍(lán)色地磚？（2）如果把水池內(nèi)