專題02 用二元一次方程組解決問題重難點題型專訓(xùn)（14大題型+15道拓展培優(yōu)）（原卷版）

專題02用二元一次方程組解決問題重難點題型專訓(xùn)（14大題型+15道拓展培優(yōu)）【題型目錄】題型一根據(jù)實際問題列二元一次方程組題型二根據(jù)幾何圖形列二元一次方程組題型三方案問題題型四行程問題題型五工程問題題型六數(shù)字問題題型七年齡問題題型八分配問題題型九銷售、利潤問題題型十和差倍分問題題型十一幾何問題題型十二圖表信息題題型十三古代問題題型十四其他問題【知識梳理】知識點、二元一次方程組的應(yīng)用（一）、列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組．

（4）求解．

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．

（二）、設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．

當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．【經(jīng)典例題一根據(jù)實際問題列二元一次方程組】【例1】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知6個大桶加上4個小桶可以盛酒48斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），5個大桶加上3個小桶可以盛酒38斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)1個大桶可以盛酒斛、1個小桶可以盛酒斛．根據(jù)題意，可列方程組為（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級下·山西長治·階段練習(xí)）2024年大年初一上映的動畫科幻電影《熊出沒一逆轉(zhuǎn)時空》受到廣大青少年、小朋友的喜愛，它有國語2D和國語3D兩個版本．國語2D每張票售價40元，國語3D每張票售價50元．李叔叔購買了20張票，一共用了950元，請問李叔叔分別買了多少張國語2D和國語3D票？（列方程解應(yīng)用題）2．（2024·陜西咸陽·一模）為增強學(xué)生體質(zhì)，舒緩學(xué)習(xí)壓力，培養(yǎng)團隊意識，增進班級凝聚力．某校初三年級組織了一場拔河比賽，并為獲得一等獎和二等獎共8個班級購買獎品，共花費600元，其中一等獎獎品每班100元，二等獎獎品每班60元，求獲得一等獎和二等獎的班級分別有多少個？根據(jù)題意列方程組．3．（23-24八年級上·遼寧沈陽·期末）周末，小亮幫奶奶去超市買菜，回家后與奶奶有一段對話：小亮：牛肉和雞蛋一共6斤，單價分別是元/斤和元/斤，您給了我元，現(xiàn)找回元．奶奶：你肯定摘錯了．小亮：哦，我把自己口袋里的5元一起當(dāng)作找回的錢款了．奶奶：這就對了．根據(jù)上面的信息，請你列方程組求小亮買了牛肉和雞蛋各多少斤．【經(jīng)典例題二根據(jù)幾何圖形列二元一次方程組】【例2】（2023下·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）在長為18m，寬為15m的長方形空地上，沿平行于長方形各邊的方向分別割出三個大小完全一樣的小長方形花圃，其示意圖如圖所示，則其中一個小長方形花圃的面積為（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·山東青島·期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計紙盒方案？素材1如圖1，現(xiàn)將300張紙板裁剪成材料，1張紙板可以裁成4個正方形或3個長方形，并用這些材料制作兩種無蓋紙盒（如圖2），橫式無蓋紙盒需要2個正方形和個長方形，豎式無蓋紙盒需要1個正方形和4個長方形．素材2（1）所有紙板都要裁剪，且每張紙板只能裁剪--種材料．（2）制作紙盒后沒有剩余材料．為方便解決問題，設(shè)制作了橫式無蓋紙盒m個，豎式無蓋紙盒n個．問題解決任務(wù)1初探材料用量1．完善下表：2．（21-22八年級上·陜西銅川·階段練習(xí)）如圖，一個大長方形由10個完全一樣的小長方形拼成，若大長方形的周長為，求圖中每一個小長方形的面積．

3．（22-23七年級下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖，在長方形中，放入個形狀、大小都相同的小長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示.

(1)小長方形的長和寬各是多少？(2)求陰影部分的面積.【經(jīng)典例題三方案問題】【例3】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級?？计谀┠赣H節(jié)來臨，小明與花店為媽媽準(zhǔn)備節(jié)日禮物，已知康乃馨每支2元，百合每支3元，小明將20元錢全部用于購買這兩種花（兩種都買），小明的購買方案有（

）種A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級下·福建泉州·階段練習(xí)）已知：用3輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運貨17噸；用2輛型車和3輛型車載滿貨物一次可運貨18噸．某物流公司現(xiàn)有35噸貨物，計劃同時租用型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛型車和1輛型車都載滿貨物一次分別可運貨多少噸?(2)該物流公司有哪幾種租車方案?(3)若型車每輛需租金200元/次；型車每輛需租金250元/次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．2．（23-24七年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）某加工廠生產(chǎn)書包大、小兩種型號．5個大書包和6個小書包成本需320元，4個大書包和3個小書包成本需220元．該工廠每日生產(chǎn)1000個書包，并按照大書包每個75元，小書包每個40元的價格出售，每日可獲利潤26000元．(1)該工廠生產(chǎn)的兩種書包每個成本各是多少元？(2)為提高工廠效益，現(xiàn)增加生產(chǎn)線，每日可多生產(chǎn)650個書包，全部賣出后，此時大、小書包利潤相同．求額外增加的生產(chǎn)線，每天生產(chǎn)大小書包各多少個？3．（23-24七年級下·福建福州·階段練習(xí)）運輸公司要把120噸物資從地運往地，有甲、乙、丙三種車型供選擇，每種型號的車輛的運載量和運費如表所示．（假設(shè)每輛車均滿載）車型甲乙丙運載量（噸/輛）5810運費（元/輛）500600700解答下列問題：(1)安排甲型車8輛，乙型車5輛，丙型車______輛可將全部物資一次運完；(2)若全部物資僅用甲、乙型車一次運完，需運費10000元，則甲、乙型車各需多少輛？(3)若用甲、乙、丙型車共16輛同時參與運送，且一次運完全部物資，則三種型號的車各需多少輛？此時總運費為多少元？【經(jīng)典例題四行程問題】【例4】（2022下·河北石家莊·七年級?？茧A段練習(xí)）小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔12分鐘從背后駛過一輛8路公交車，每隔4分鐘從迎面駛來一輛8路公交車．已知每輛8路公交車的行駛速度相同，且每相鄰的兩輛8路公交車相距1200米則8路公交車的行駛速度為（

）A．100m/分鐘 B．200m/分鐘 C．300m/分鐘 D．400m/分鐘【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）A地至B地的航線長，一架飛機從A地順風(fēng)飛往B地需，它逆風(fēng)飛行同樣的航線需，求飛機無風(fēng)時的平均速度與風(fēng)速．解：設(shè)這架飛機無風(fēng)時的平均速度為，風(fēng)速為．(1)用含x，y的代數(shù)式表示：①順風(fēng)速度為____；②逆風(fēng)速度為____；(2)根據(jù)題意，列出方程組解決問題．2．（22-23七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）小明和小亮分別從相距20千米的甲、乙兩地相向而行，經(jīng)過2小時，兩人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮繼續(xù)向甲地前進，小明返回到甲地時，小亮離甲地還有2千米，請求出兩人的速度分別是多少？3．（23-24七年級下·福建泉州·階段練習(xí)）滴滴快車是一種便捷的出行工具，計價規(guī)則如下表：計費項目里程費時長費遠途費單價1.8元/公里0.3元/分鐘0.8元/公里注：車費由里程費、時長費、遠途費三部分構(gòu)成，其中里程費按行車的實際里程計算；時長費按行車的實際時間計算；遠途費的收取方式為：行車?yán)锍?公里以內(nèi)（含7公里）不收遠途費，超過7公里的，超出部分每公里收0.8元．小王與小張各自乘坐滴滴快車，在同一地點約見，已知到達約見地點時他們的實際行車?yán)锍谭謩e為6公里與8.5公里，兩人付給滴滴快車的乘車費相同．(1)求這兩輛滴滴快車的實際行車時間相差多少分鐘；(2)實際乘車時間較少的人，由于出發(fā)時間比另一人早，所以提前到達約見地點在大廳等候．已知他等候另一人的時間是他自己實際乘車時間的2倍，且比另一人的實際乘車時間的一半多7分鐘，計算兩人各自的實際乘車時間．【經(jīng)典例題五工程問題】【例5】（2021上·四川巴中·八年級四川省巴中中學(xué)?？计谥校┠澄鬯幚韽S庫池里現(xiàn)有待處理的污水m噸．另有從城區(qū)流入庫池的待處理污水（新流入污水按每小時n噸的定流量增加）．若該廠同時開動2臺機組，需30小時處理完污水；若同時開動3臺機組，需15小時處理完污水．若5小時處理完污水，則需同時開動的機組數(shù)為（

）A．6臺 B．7臺 C．8臺 D．9臺【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）為打造南渡江南側(cè)風(fēng)光帶，現(xiàn)有一段長350米的河邊道路整治任務(wù)由，兩個工程隊先后接力完成，工程隊每天整治15米，工程隊每天整治10米，共用時30天．(1)根據(jù)題意，甲、乙兩位同學(xué)分別列出了如下不完整的方程組：甲：

乙：根據(jù)甲、乙兩位同學(xué)所列的方程組，請分別指出其中未知數(shù)表示的意義：甲：表示_________________；乙：表示_________________．(2)從甲、乙兩位同學(xué)所列方程組中任選一組，將其補全，并利用此方程組求出，兩個工程隊分別整治河邊道路多少米．2．（23-24八年級上·海南?？凇て谀┠称囍圃鞆S開發(fā)了一款新式電動汽車，計劃一年生產(chǎn)安裝240輛，由于熟練工不夠，工廠決定招聘一些新工人；他們經(jīng)過培訓(xùn)后上崗，也能獨立進行電動汽車的安裝，生產(chǎn)開始后，調(diào)研部門發(fā)現(xiàn)：1名熟練工和2名新工人每月可安裝8輛電動汽車：2名熟練工和3名新工人每月可安裝14輛電動汽車．(1)求每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛電動汽車？(2)如果工廠招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽調(diào)的熟練工剛好能完成一年的安裝任務(wù)，求所抽調(diào)的熟練工的人數(shù)．3．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）一項工程，甲隊獨做需12天完成，乙隊獨做需15天完成，丙隊獨做需20天完成．按原計劃，這項工程要在7天內(nèi)完成，現(xiàn)在甲、乙兩隊先合作若干天，以后為加快進度，丙隊同時加入這項工作，這樣比原計劃提前一天完成，求甲、乙兩隊先合作了多少天．【經(jīng)典例題六數(shù)字問題】【例6】（2023上·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮圖．將數(shù)字，，，，0，1，2，3，4分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行、每一豎列以及對角線上的數(shù)字之和都是同一個值，則的值是（

）

A． B． C． D．1【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級下·全國·隨堂練習(xí)）有甲、乙兩個兩位數(shù)，若把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是乙數(shù)的201倍；若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小1188，求甲、乙這兩個數(shù)．2．（23-24七年級上·江蘇·周測）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的和為，若把個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字對調(diào)，則所得的數(shù)比原數(shù)的倍小，求原來的兩位數(shù)．3．（23-24九年級上·福建南平·期中）算盤起源于中國，算盤是我國的優(yōu)秀文化遺產(chǎn).以排列成串的算珠作為計算工具，成串算珠稱為檔，中間橫梁把上珠分為上、下兩部分，每個上珠代表5，每個下珠代表1，每串算珠從右至左依次代表十進位值制的個位、十位、百位、千位、萬位數(shù)可以任意選定某檔為個位，不撥出空檔表示0．小華在百位撥了一顆上珠和一顆下珠，對小明說：我撥的三位數(shù)中，個位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于百位上的數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字的差是4，請求出這個三位數(shù)，并回答怎樣在算盤上撥出十位數(shù)和個位數(shù)．【經(jīng)典例題七年齡問題】【例7】（2023下·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（

）A．38歲 B．39歲 C．40歲 D．41歲【變式訓(xùn)練】1．（2022八年級上·全國·專題練習(xí)）根據(jù)小頭爸爸與大頭兒子的對話，求出大頭兒子現(xiàn)在的年齡．小頭爸爸：兒子，現(xiàn)在我的年齡比你大23歲．大頭兒子：5年后，您的年齡比我的年齡的2倍還多8歲．2．（19-20七年級下·吉林延邊·期末）7月4日，2020長白山地下森林徒步活動鳴槍開始，一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同參加了比賽．下面是兩個孩子與記者的部分對話：妹妹：我和哥哥的年齡和是16歲．哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加恰好等于爸爸的年齡．根據(jù)對話內(nèi)容，請你用方程的知識幫記者求出現(xiàn)在哥哥和妹妹的年齡各是多少歲？3．（18-19八年級·全國·課時練習(xí)）聰聰在給媽媽過生日時發(fā)現(xiàn)自己的年齡與媽媽的年齡的十位數(shù)字與個位數(shù)字正好相反.同時，他還發(fā)現(xiàn)，過10年，媽媽歲數(shù)減1（歲）剛好是自己歲數(shù)加1（歲）的2倍；再過1年，他們兩人的年齡又一次相反，且十位數(shù)字與個位數(shù)字的和為7，求聰聰和他媽媽現(xiàn)在的年齡.【經(jīng)典例題八分配問題】【例8】（2023上·四川綿陽·八年級校聯(lián)考開學(xué)考試）某工廠用如圖①所示的長方形和正方形紙板制作如圖②所示的A、B兩種長方體形狀的無蓋紙盒．現(xiàn)有正方形紙板120張，長方形紙板360張，剛好全部用完，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（

）①甲同學(xué)：設(shè)制作A型盒個數(shù)為x，根據(jù)題意可得；②乙同學(xué)：設(shè)制作B型盒用正方形紙板的張數(shù)為m，根據(jù)題意可得；③制作A型盒72個；④制作B型盒需正方形紙板共48張．

A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級下·河北邢臺·階段練習(xí)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計板材裁切方案？素材1圖l中是一張學(xué)生椅，主要由靠背、座墊及鐵架組成．經(jīng)測量，該款學(xué)生椅的靠背尺寸為，座墊尺寸為．圈2是靠背與座墊的尺寸示意圖．素材2因?qū)W校需要，某工廠配合制作該款式學(xué)生椅．經(jīng)清點庫存時發(fā)現(xiàn)，工廠倉庫已有大量的學(xué)生椅鐵架，只需在市場上購進某型號板材來加工制做該款式學(xué)生椅的靠背與座墊．已知該板材長為240cm，寬為50cm．（裁切時不計損耗）我是板材裁切師任務(wù)一擬定裁切方案若要不造成板材浪費，請你設(shè)計出一張該板材的所有裁切方法．方法一：裁切靠背16張和座墊0張．方法二：裁切靠背______張和座墊______張．方法三：裁切靠背______張和座墊______張．任務(wù)二確定搭配數(shù)量若該工廠購進110張該型號板材，能制作成多少張學(xué)生掎？任務(wù)三解決實際問題現(xiàn)需要制作700張學(xué)生椅，該工廠倉庫現(xiàn)有4張座墊和12張靠背，若將板材采用方法二和方法三裁切，還需要購買該型號板材多少張（恰好全部用完）？2．（23-24七年級·全國·隨堂練習(xí)）某服裝廠生產(chǎn)一批運動服，6米長的布料可做上衣4件或褲子6條，計劃用300米長的布料生產(chǎn)該批次運動服，(1)分別用多少米布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套？(2)在（1）的條件下，若該布料的價格是25元/米，運動服售價80元/套，則生產(chǎn)該批次運動服能盈利多少元？3．（21-22七年級下·廣西桂林·階段練習(xí)）某紙品加工廠利用邊角料裁出正方形和長方形兩種硬紙片，長方形的寬與正方形的邊長相等（如圖2），再將它們制作成甲乙兩種無蓋的長方體小盒（如圖1）．（注：圖1中向上的一面無蓋）(1)如果制作甲、乙兩種無蓋的長方體小盒各一個，則共需長方形紙片張，正方形紙片張；(2)現(xiàn)將400張長方形硬紙片和200張正方形硬紙片全部用于制作這兩種小盒，可以做成甲乙兩種小盒各多少個？【經(jīng)典例題九銷售、利潤問題】【例9】（2022上·河南鄭州·八年級?？计谥校┠嘲嗟囊粋€綜合實踐活動小組去甲、乙兩個超市調(diào)查去年和今年“元旦”期間的銷售情況，下面是調(diào)查后小明與其他兩位同學(xué)進行交流的對話．小明說：“去年兩超市的銷售額共為150萬元，今年兩超市的銷售額共為170萬元．”小亮說：“甲超市的銷售額今年比去年增加．”小穎說：“乙超市的銷售額今年比去年增加．”根據(jù)他們的對話，得出今年甲超市的銷售額為（

）萬元.A．100 B．50 C．60 D．110【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·浙江杭州·階段練習(xí)）某海鮮排檔購進一批大龍蝦和海膽，它們的進貨單價之和是360元．大龍蝦零售單價比進貨單價多40元，海膽零售單價比進貨單價的1.5倍少60元，按零售單價購買大龍蝦2只和海膽4個，共需要1200元．(1)求大龍蝦和海膽的進貨單價；(2)該海鮮排檔平均每天賣出大龍蝦20只和海膽12個．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大龍蝦零售單價每降低1元，平均每天就可多售出大龍蝦2只，海鮮排檔決定把大龍蝦的零售單價下降元，海膽的零售單價和銷量都不變，在不考慮其他因素的條件下，當(dāng)a為多少時，海鮮排檔每天銷售大龍蝦和海膽獲取的總利潤為1490元？2．（23-24七年級下·湖南邵陽·階段練習(xí)）某商店分兩次購進A，B型兩種臺燈進行銷售，兩次購進的數(shù)量及費用如下表所示，由于物價上漲，第二次購進A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進價分別上漲，．購進的臺數(shù)購進所需要的費用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購進A，B型兩種臺燈每臺進價分別是多少元？(2)A，B型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．求A，B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？3．（23-24八年級上·云南文山·期末）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，某玩具店購進亞運會吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”共100個，總費用為6600元，這兩種吉祥物的進價、售價如表：琮琮蓮蓮進價（元/個）6070售價（元/個）80100

(1)該玩具店購進“琮琮”和“蓮蓮”各多少個？(2)周老師有幸能參加本次亞運會，然后想買20個琮琮，30個蓮蓮送給他的學(xué)生，現(xiàn)在有兩個玩具店在做活動，甲商店打“八折”銷售，乙商店總價“滿4000元減700元”，請問周老師會選擇到哪個商店買更優(yōu)惠？【經(jīng)典例題十和差倍分問題】【例10】（2022下·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期中）小青的爸爸到網(wǎng)上購買北京2022年冬奧會會徽和吉祥物冰墩墩徽章組合套裝奧運紀(jì)念品，第一次他購買了2件該奧運紀(jì)念品，加上快遞費共付款213元；因為大家都很喜愛該紀(jì)念品，于是第二次他購買了5件該奧運紀(jì)念品，且快遞費與第一次購買時的相同，共付款510元，則兩次的快遞費一共為（

）A．15元 B．30元 C．45元 D．60元【變式訓(xùn)練】1．（23-24七年級下·江西宜春·階段練習(xí)）小麗購買學(xué)習(xí)用品的收據(jù)如表所示，因收據(jù)污損導(dǎo)致部分?jǐn)?shù)據(jù)無法識別．根據(jù)下表，解決問題：商品名單價（元）數(shù)量金額（元）簽字筆326自動鉛筆1.5記號筆4軟皮筆記本29圓規(guī)3.51合計828(1)小麗買了自動鉛筆、記號筆各幾支？(2)若小麗再次購買軟皮筆記本和自動鉛筆兩種文具，軟皮筆記本和自動鉛筆都至少購買一件，共花費15元，則有哪幾種不同的購買方案？2．（23-24八年級上·河南鄭州·階段練習(xí)）為了弘揚愛國主義精神，某中學(xué)組織八年級學(xué)生到鄭州市二七紀(jì)念塔展覽，現(xiàn)有兩種車型可供選擇．已知2輛型車和1輛型車可以載學(xué)生100名；1輛型車和2輛型車可以載學(xué)生110人，該學(xué)校八年級共有320名學(xué)生，根據(jù)題目提供的信息，解決下列問題：(1)型車每輛可分別載學(xué)生多少人？(2)若租一輛型車需要1000元，租一輛型車需要1200元，請你設(shè)計租車方案，使得恰好運送完學(xué)生并且租車費用最少．3．（2024·浙江杭州·一模）某公司后勤部準(zhǔn)備去超市采購牛奶和咖啡若干箱，現(xiàn)有兩種不同的購買方案，如下表：牛奶（箱咖啡（箱金額（元方案一20101100方案二3015__________(1)采購人員不慎將污漬弄到表格上，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷污漬蓋住地方對應(yīng)金額是__元；(2)若后勤部購買牛奶25箱，咖啡20箱，則需支付金額1750元；①求牛奶與咖啡每箱分別為多少元？②超市中該款咖啡和牛奶有部分因保質(zhì)期臨近，進行打六折的促銷活動，后勤部根據(jù)需要選擇原價或打折的咖啡和牛奶，此次采購共花費了1200元，其中購買打折的牛奶箱數(shù)是所有牛奶、咖啡的總箱數(shù)的，則此次按原價采購的咖啡有箱（直接寫出答案）．【經(jīng)典例題十一幾何問題】【例11】（2023下·山東·七年級統(tǒng)考期中）如圖所示為兩個形狀、大小完全一樣的小長方形拼接而成的圖形．已知，，則小長方形的面積為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【變式訓(xùn)練】1．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱德強學(xué)校校考階段練習(xí)）一個長方形的長減少4厘米，寬增加1厘米，就成為一個正方形，并且正方形的面積比原長方形的面積少11平方厘米，則原長方形的長為．2．（2023下·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形拼圖，白色部分均由長為、寬為的小長方形卡片拼成．

(1)如圖1，當(dāng)圖中最大長方形的寬為時，分別求、的值；(2)如圖2，若大正方形的面積為81，每張卡片的面積為14，求小正方形的邊長；(3)如圖3，當(dāng)兩個陰影部分（均為長方形）面積差為定值時，求與的數(shù)量關(guān)系．3．（2022上·安徽滁州·七年級校考階段練習(xí)）數(shù)軸上有兩個動點，，如果點始終在點的左側(cè)，我們稱作點是點的“追趕點”如圖，數(shù)軸上有個點A，，它們表示的數(shù)分別為，，已知點是點的“追趕點”，且，表示的數(shù)分別為，．

(1)由題意易知，點A是點的“追趕點”，表示線段的長，以下相同；類似的，______．(2)在A，，三點中，若其中一個點是另兩個點所構(gòu)成線段的中點，請用含的代數(shù)式來表示．(3)若，，求和的值．【經(jīng)典例題十二圖表信息題】【例12】（2023下·浙江寧波·七年級?？计谀┤绫砀袼荆诜礁裰凶鎏钭钟螒?，要求每行，每列及對角線上三個方格中的數(shù)字和都相等，則表格中x，y的值是（

）05A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，在第一個天平上，物塊A的質(zhì)量等于物塊B加上物塊C的質(zhì)量；如圖2，在第二個天平上，物塊A加上物塊B的質(zhì)量等于3個物塊C的質(zhì)量．已知物塊A的質(zhì)量為．請你判斷：1個物塊B的質(zhì)量是．

2．（2022上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）張老師在某文體店購買商品A、B若干次（每次A、B兩種商品都購買，且A、B都只能購買整數(shù)個），其中第一、二兩次購買時，均按標(biāo)價購買，兩次購買商品A、B的數(shù)量和費用如表所示：購買商品A的數(shù)量/個購買商品B的數(shù)量/個購買總費用/元第一次購物65980第二次購物37940(1)求商品A、B的標(biāo)價；(2)若張老師第三次購物時，商品A、B同時打6折出售，這次購買總費用為960元，則張老師有哪幾種購買方案？3．（2022下·湖南株洲·七年級校考期末）某電器超市銷售每臺進價為200元，170元的A、B兩種型號的電風(fēng)扇．如表所示是近2周的銷售情況：（進價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入－進貨成本）銷售時段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號第一周351750元第二周4103000元(1)求A、B兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價；(2)超市銷售完A、B兩種型號的電風(fēng)扇共25臺，能否實現(xiàn)利潤為1200元的目標(biāo)？請說明理由．(3)一家公司打算花費4000元同時購買A、B兩種型號的電風(fēng)扇若干臺，請你為該公司設(shè)計不同的購買方案．【經(jīng)典例題十三古代問題】【例13】（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，書中有一道題“今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕；一雀一燕交而處，衡適平；并燕雀重一斤．問：燕雀一枚，各重幾何？”譯文：“五只雀、六只燕，共重1斤(古時1斤=16兩)．雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕重量各為多少？”設(shè)雀重x兩，燕重y兩，可列出方程組()A． B．C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）我國古典數(shù)學(xué)文獻《增刪算法統(tǒng)宗?六均輸》中有一個“隔溝計算”的問題：“甲乙隔溝牧放，二人暗里參詳，甲云得乙九只羊，乙說得甲九只，兩家之?dāng)?shù)相當(dāng)，畫地算了半晌”其大意為：甲、乙兩人一起放牧，兩人心里暗中數(shù)羊．如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍；如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同，問：甲乙各有多少只羊？設(shè)甲有羊x只，乙有羊y只，可列方程組為．2．（2022·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）《算法統(tǒng)宗》中有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，四文錢買苦果七，十一文錢九個甜，甜苦兩果各幾個？請君布算莫遲疑！”大意是說：“用九百九十九文錢共買了一千個甜果和苦果，其中四文錢可以買苦果七個，十一文錢可以買甜果九個，請問究竟甜、苦果各有幾個？”試求甜果，苦果的個數(shù)．3、（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級?？计谥校╅喿x下列材料，解決問題．《張丘建算經(jīng)》是一部數(shù)學(xué)問題集，其內(nèi)容、范圍與《九章算術(shù)》相仿．其中提出并解決了一個在數(shù)學(xué)史上非常著名的不定方程問題，通常稱為“百雞問題”：“今有雞母一值錢三，雞翁一值錢五，雞雛三值錢一．凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何．”譯文：每一只母雞值三文錢，每一只公雞值五文錢，每三只小雞值一文錢．現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問這一百只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？(1)[嘗試]若設(shè)母雞有x只，公雞有y只，①小雞有_______只，買小雞一共花費_____文錢（用含x，y的式子表示）；②根據(jù)題意，列出一個含有x，y的方程__________；(2)[探索]小軍對“百雞問題”增加一個條件：“母雞數(shù)量是公雞數(shù)量的4倍多2只，”求此時公雞?母雞?小雞的只數(shù)；(3)[拓展]小明對“百雞問題”增加兩個條件：“若買得公雞和母雞之和不超過20只，且買得公雞數(shù)不低于母雞數(shù)，”求此時公雞?母雞?小雞的只數(shù)．【經(jīng)典例題十四其他問題】【例14】（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？计谥校┠耻囬g35名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個．一個螺栓要配兩個螺母，問應(yīng)該分配（

）名工人生產(chǎn)螺栓，才能使當(dāng)天的螺栓和螺母剛好配套？A．13人 B．14人 C．15人 D．16人【變式訓(xùn)練】1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·校考三模）某學(xué)校計劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購買獎品．已知購買2個A種獎品和4個B種獎品共需100元；購買5個A種獎品和2個B種獎品共需130元．學(xué)校準(zhǔn)備用160元全部購買A，B兩種獎品若干個，那么可以購買B種獎品個．2．（2022下·福建廈門·七年級?？计谥校┠呈袨樘嵘胶＝】挡降酪咕靶Ч?，在兩條筆直平行的景觀道，上安裝旋轉(zhuǎn)燈，旋轉(zhuǎn)燈A的光射線自順時針旋轉(zhuǎn)至再回轉(zhuǎn)，燈B的光射線自旋轉(zhuǎn)至再回轉(zhuǎn)，燈A為激光燈，燈B為燈，分為兩種型號，型號一每秒轉(zhuǎn)，型號二每秒轉(zhuǎn)，這兩種型號的燈購買費用如下表：購買型號一數(shù)量（個）購買型號二數(shù)量（個）總價（元）1214534335

(1)如圖1，若燈A的光射線順時針旋轉(zhuǎn)，光線與交于C點，D為上一點，且，求．(2)如圖2，若燈A每秒轉(zhuǎn)，其先轉(zhuǎn)20秒后燈B開始轉(zhuǎn)40秒后，兩燈的光束的夾角為．請你判斷所安裝的是哪個型號的燈，并求該型號燈單個購買費用．(3)如圖3，在轉(zhuǎn)動過程中，若某一時刻兩燈的光束交于點O，此時點E為射線上一點，與的角平分線交于點F，求和的數(shù)量關(guān)系．3．（2022上·貴州貴陽·八年級統(tǒng)考期末）貴陽垃圾分類“百日攻堅”正在行動中，某校為實現(xiàn)垃圾分類投放，準(zhǔn)備在校園內(nèi)擺放和兩種不同型號的分類垃圾桶，購買3個垃圾桶和4個垃圾桶共需430元；購買5個垃圾桶和8個垃圾桶共需770元，求這兩種不同型號的分類垃圾桶單價各為多少元？【拓展培優(yōu)】1．（23-24九年級下·江蘇揚州·階段練習(xí)）“踐行垃圾分類?助力雙碳目標(biāo)”主題班會結(jié)束后，米樂和琪琪一起收集了一些廢電池，米樂說：“我比你多收集了7節(jié)廢電池”琪琪說：“如果你給我8節(jié)廢電池，我的廢電池數(shù)量就是你的2倍．”如果他們說的都是真的，設(shè)米樂收集了x節(jié)廢電池，琪琪收集了y節(jié)廢電池，根據(jù)題意可列方程組為（

）A． B．C． D．2．（2024七年級下·江蘇·專題練習(xí)）打折前，買60件A商品和30件B商品用了1080元，買50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，買500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（）A．200元 B．300元 C．400元 D．500元3．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）小華準(zhǔn)備購買單價分別為4元和5元的兩種瓶裝飲料，且每種瓶裝飲料的購買數(shù)量不為0.若小華將50元恰好用完，則購買方案共有（

）A．2種 B．3種 C．4種 D．5種4．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）某車間35名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個．一個螺栓要配兩個螺母，問應(yīng)該分配（

）名工人生產(chǎn)螺栓，才能使當(dāng)天的螺栓和螺母剛好配套？A．13人 B．14人 C．15人 D．16人5．（22-23七年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）將8個一樣大小的長方形，恰好可以拼成一個大的長方形如圖1，將這8個一樣大小的長方形拼成了如圖2那樣的正方形，中間還留了一個洞，恰好是邊長為的小正方形，則一個小長方形的面積為（）

A． B． C． D．6．（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習(xí)）某班級為籌備運動會，準(zhǔn)備用350元購買兩種運動服，其中甲種運動服20元/套，乙種運動服35元/套，在錢都用盡的條件下，有種購買方案．7．（23-24九年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于大約1500年前，其中一道題的原文：“今三人共車，兩車空；兩人工車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人乘車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行．問人與車各有多少？上述問題中車有輛．8．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期末）甲、乙兩店分別購進一批無線耳機，每副耳機的進價甲店比乙店便宜，乙店的標(biāo)價比甲店的標(biāo)價高元，這樣甲乙兩店的利潤率分別為和，則乙店每副耳機的進價為元．9．（23-24八年級上·江西萍鄉(xiāng)·期末）《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸，屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺，將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，問長木長多少尺？設(shè)繩子長x尺，長木長y尺，依題意可列方程組為．10．（23-24七年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）一花店將、、三種花卉包裝成甲、乙、丙三種不同的禮盒進行銷售；用花卉支、花卉支、花卉支包裝成甲種禮盒；用花卉支、花卉支、種花卉支包裝成乙種禮盒；用花卉支、花卉支、花卉支包裝成丙種禮盒；包裝費忽略不計，且每支花卉的成本是每支花卉成本的倍，每盒甲禮盒的總成本是每盒乙禮盒總成本的倍；該商家將三種禮盒均以利潤率進行定價銷售；某周末，該花店為了加大銷量，將甲、乙兩種禮盒打八折進行銷售，且兩種禮盒的銷量相同，丙禮盒打九折銷售；銷售完畢后統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，三種禮盒的總成本恰好為總利潤的倍，則該周末丙禮盒的總利潤與三種禮盒的總利潤的比值為．11．（23-24七年級下·江蘇