1.1 集合 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項(xiàng)復(fù)習(xí)

1.1集合命題形式本專題內(nèi)容較為簡(jiǎn)單,高考中多作為載體與其他知識(shí)結(jié)合考查,集合多與方程、不等式

的求解結(jié)合,設(shè)問(wèn)有求交集、并集、補(bǔ)集、元素個(gè)數(shù)及元素與集合間的關(guān)系等;常用邏

輯用語(yǔ)可與各類知識(shí)結(jié)合,需深刻理解知識(shí)內(nèi)涵,設(shè)問(wèn)通常是充分、必要條件的判斷及

全稱量詞命題與存在量詞命題的否定及真假判斷;不等式多與函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列

等知識(shí)綜合考查.考點(diǎn)1集合及其關(guān)系1.集合的含義與表示(1)集合中元素的特性:確定性、互異性、無(wú)序性.(2)元素與集合的關(guān)系是屬于(用符號(hào)“∈”表示)或不屬于(用符號(hào)“?”表示).(3)常用數(shù)集及其符號(hào)表示:非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)N、正整數(shù)集N*(或N+)、整數(shù)集Z、

有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R.(4)集合的表示方法:列舉法、描述法、圖示法.2.集合間的基本關(guān)系

表示

關(guān)系

文字語(yǔ)言記法集合間的基本關(guān)系相等一般地,集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí)集合B的任何一

個(gè)元素都是集合A的元素A=B子集集合A中任意一個(gè)元素均為集合B中的元素A?B或B?A真子集如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,則稱A是B的真子集A?B或B?A注意

(1)空集是任何集合的子集;(2)空集是任何非空集合的真子集.易錯(cuò)警示

(1)解決集合間關(guān)系A(chǔ)?B或A?B問(wèn)題時(shí),易忽視A是空集的情況而出現(xiàn)漏解.(2)解決有關(guān)點(diǎn)集{(x,y)|y=x2}與數(shù)集{y|y=x2}問(wèn)題時(shí)容易忽略集合的屬性.知識(shí)拓展

有限集的子集個(gè)數(shù)設(shè)集合A是有n個(gè)元素的有限集,即card(A)=n(n∈N*),則A的子集個(gè)數(shù)是2n;真子集個(gè)數(shù)是

2n-1;非空子集個(gè)數(shù)是2n-1;非空真子集個(gè)數(shù)是2n-2.考點(diǎn)2集合的基本運(yùn)算已知全集U,集合A,B.

并集交集補(bǔ)集圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言A∪B={x|x∈A或x∈B}A∩B={x|x∈A,且x∈B}?UA={x|x∈U,且x?A}性質(zhì)A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?AA∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?BA∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A知識(shí)拓展

1.德·摩根定律:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).2.容斥原理:一般地,對(duì)任意兩個(gè)有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A

∩B).即練即清1.判斷正誤.(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)集合{2,4,6}與集合{4,2,6}表示同一集合.(

)(2)空集是任何集合的真子集.

(

)(3)集合{y|y=2x,x∈R}與集合{(x,y)|y=2x,x∈R}表示同一集合.

(

)(4)若x∈A∩B,則x∈A∪B.

(

)√××√2.已知集合A={x∈R|x≤10},a=

,則a與集合A的關(guān)系是

(

)A.a∈A

B.a?A

C.a=A

D.{a}∈A3.(人教A版必修第一冊(cè)P14·T4改編)設(shè)全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={x|1≤x≤3},則

A∩B=

,(?UA)∪B=

.4.(易錯(cuò)題)已知集合A={x|ax=2,a∈N},若A?N,則所有a的取值構(gòu)成的集合為

.A{x|1≤x≤2}{x|x<0或x≥1}{0,1,2}題型一集合間基本關(guān)系的求解及應(yīng)用角度1集合間基本關(guān)系的判斷

典例1

(2021全國(guó)乙理,2,5分)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},則S∩T=

(

)A.?

B.S

C.T

D.ZC解析

解法一:對(duì)n進(jìn)行分類,從表達(dá)式中尋找集合間關(guān)系.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2k,k∈Z,則s=2n+1=4k+1,k∈Z;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2k+1,k∈Z,則s=2n+

1=4k+3,k∈Z,則T?S,則S∩T=T,故選C.解法二(列舉法):從元素中尋找集合間關(guān)系.由已知得S={…,-3,-1,1,3,5,…},T={…,-3,1,5,9,…},觀察可知,T?S,所以T∩S=T,故選C.變式訓(xùn)練1-1

(數(shù)形結(jié)合法)設(shè)P={x|x<4},Q={x|x2<4},則

(

)A.P?Q

B.Q?P

C.P??RQ

D.Q??RPB解析

由題意得Q={x|-2<x<2},將集合P,Q表示在數(shù)軸上,如圖所示,

可知Q?P,故選B.變式訓(xùn)練1-2

(元素特征法)設(shè)集合M=

,N=

,則?NM=

(

)A.?

B.

C.

D.{x|x=2n,n∈Z}B解析

由x=

+

=

=(2n+1)×

,n∈Z,可知集合M中的元素均是

的奇數(shù)倍,由x=

,n∈Z可知,集合N中的元素均是

的整數(shù)倍,故N=M∪

,所以?NM=

.故選B.角度2由集合間的基本關(guān)系求參數(shù)值(或范圍)典例2已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1<x<m+1},且A∩B=B,則實(shí)數(shù)m的取值范圍

為

(

)A.[-1,2)

B.[-1,3]

C.[-2,+∞)

D.[-1,+∞)D解析

由x2-x-12≤0,得-3≤x≤4,即A=[-3,4].由A∩B=B,得B?A.(不要忘記空集,對(duì)集合B分兩種情況討論)當(dāng)B=?時(shí),滿足條件,則2m-1≥m+1,解得m≥2.當(dāng)B≠?時(shí),若B?A,則

解得

借助于數(shù)軸可得-1≤m<2.(根據(jù)集合間的關(guān)系建立不等式組,求交集時(shí)注意端點(diǎn)值是否能取到)綜上,滿足條件的m的取值范圍是{m|m≥-1}.故選D.技巧點(diǎn)撥

空集的討論對(duì)于“A?B”或“A?B”的問(wèn)題,若集合A中含有參數(shù),通常要分A=?和A≠?兩種情

況進(jìn)行討論,其中A=?的情況容易被忽略,應(yīng)引起足夠的重視.注意

求參數(shù)值的問(wèn)題需注意集合中元素的互異性.對(duì)于求參數(shù)范圍的問(wèn)題需注意端

點(diǎn)值的取舍.變式訓(xùn)練1-3

(關(guān)鍵元素變式)設(shè)集合A={0,1},B={1,a-2,a-1},若A?B,則a=

(

)A.2

B.3

C.1

D.1或2C解析

因?yàn)锳={0,1},B={1,a-2,a-1}且A?B,所以0∈B,則a-2=0或a-1=0,解得a=2或a=1,(求出a的值后,一定要檢驗(yàn)是否滿足集合中元素的互異性)當(dāng)a=2時(shí),a-1=1,不滿足集合中元素的互異性,故舍去;當(dāng)a=1時(shí),B={1,-1,0},符合題意.綜上,可得a=1,故選C.題型二集合運(yùn)算問(wèn)題的求解

角度1集合的基本運(yùn)算典例3

(2024浙江三模,2)已知集合A={x|log3(x+2)>1},B={x|x(x-2)<0},則A∩(?RB)等于

(

)A.?

B.(0,1)

C.(1,2)

D.[2,+∞)D解析

(先化簡(jiǎn),再借助數(shù)軸)由log3(x+2)>1,即log3(x+2)>log33,得x+2>3,解得x>1,所以A={x|x>1},由x(x-2)<0,解得0<x<2,所以B={x|0<x<2},所以?RB=(-∞,0]∪[2,+∞),如圖所示,借助數(shù)軸得A∩(?RB)=[2,+∞).故選D.變式訓(xùn)練2-1

(關(guān)鍵元素變式)(2023天津,1,5分)設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B=

{1,2,4},則A∪(?UB)=(

)A.{1,3,5}

B.{1,3}C.{1,2,4}

D.{1,2,4,5}A解析

列舉法由題意知?UB={3,5},所以A∪(?UB)={1,3,5},故選A.變式訓(xùn)練2-2

(逆反條件變式)設(shè)全集U=R,A={x|-1<x≤2},B={x|x2-4x<0},則圖中陰影部

分對(duì)應(yīng)的集合是

(

)

A.{x|-1<x≤2}

B.{x|0<x≤2}C.{x|-1<x≤0}

D.{x|-1<x<0}C解析

題圖中陰影部分表示的集合為?A(A∩B),因?yàn)锽={x|x2-4x<0}={x|0<x<4},所以A∩B={x|0

<x≤2},所以?A(A∩B)={x|-1<x≤0},故選C.角度2

利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值(或范圍)典例4已知集合A={x|(x-2)·(x-3)≥0},B={x|x>a-1},若A∪B=R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(

)A.(3,+∞)

B.[2,+∞)C.(-∞,2]

D.(-∞,3]D解析

易知集合A={x|x≥3或x≤2},由B={x|x>a-1},A∪B=R,借助于數(shù)軸(注意端點(diǎn)值能否取

到),如圖所示,得a-1≤2,即a≤3,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,3].故選D.

變式訓(xùn)練2-3

(設(shè)問(wèn)條件變式)已知集合A={0,