3.2 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 極值和最值 課件-2025屆高三數(shù)學三輪專項復習

3.2導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值考點1導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性設函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,f'(x)是f(x)的導數(shù),則f'(x)>0f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增f'(x)<0f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減f'(x)=0f(x)在(a,b)上為常數(shù)函數(shù)注意

1.f'(x)>0(<0)是f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞增(減)的充分不必要條件.2.f'(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)的必要不充分條件.3.若f'(x)在區(qū)間(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零,則f'(x)≥0(≤0)是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)

單調(diào)遞增(減)的充要條件.考點2導數(shù)與函數(shù)的極(最)值1.函數(shù)的極值極值滿足條件極小值點與極小值函數(shù)y=f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點處的函數(shù)值都小,f'(a)=0;在點x=a附近的左側f'(x)<0,右側f'(x)>0,就把a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值極大值點與極大值函數(shù)y=f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點處的函數(shù)值都大,f'(b)=0;在點x=b附近的左側f'(x)>0,右側f'(x)<0,就把b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值極值與極值點極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點注意

1.在函數(shù)的整個定義域內(nèi),函數(shù)的極值不一定唯一,在整個定義域內(nèi)可能有多個

極大值和極小值;2.極大值與極小值沒有必然關系,極大值可能比極小值還小;3.導數(shù)等

于零的點不一定是極值點(例如:f(x)=x3,f'(x)=3x2,當x=0時,f'(0)=0,但x=0不是函數(shù)的極

值點);4.對于處處可導的函數(shù),極值點處的導數(shù)必為零.2.函數(shù)的最值一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值

和最小值,函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)如果函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,那么一定有f'(x)>0.

(

)(2)若函數(shù)f(x)在定義域上都有f'(x)>0,則f(x)在定義域上一定單調(diào)遞增.

(

)(3)若在(a,b)內(nèi)f'(x)≤0,且f'(x)=0的根為有限個,則f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.

(

)××√2.函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則

(

)A.在區(qū)間(-2,1)上,f(x)單調(diào)遞增

B.在區(qū)間(1,3)上,f(x)單調(diào)遞減C.在區(qū)間(4,5)上,f(x)單調(diào)遞增

D.在區(qū)間(3,5)上,f(x)單調(diào)遞增3.已知函數(shù)f(x)=x3-x+2,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.4.(易錯題)函數(shù)f(x)=x+ln(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

.C(-∞,1)題型一利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題角度1利用導數(shù)求不含參函數(shù)單調(diào)性問題利用導數(shù)求函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求導數(shù)f'(x);(3)解不等式f'(x)>0,其解集與定義域的交集為單調(diào)遞增區(qū)間;(4)解不等式f'(x)<0,其解集與定義域的交集為單調(diào)遞減區(qū)間.典例1

(2023北京,20節(jié)選)設函數(shù)f(x)=x-x3eax+b,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y

=-x+1.(1)求a,b的值;(2)設函數(shù)g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間.解析

(1)∵點(1,f(1))在切線y=-x+1上,且切線斜率為-1,∴f(1)=0,f'(1)=-1,而f(1)=1-ea+b=0,即ea+b=1①,又f'(x)=1-3x2eax+b-ax3eax+b,∴f'(1)=1-3ea+b-aea+b=-1②,由①②得a=-1,b=1.(2)由(1)知g(x)=f'(x)=e1-x(x3-3x2)+1,g'(x)=-e1-x(x3-3x2)+e1-x(3x2-6x)=e1-x(-x3+6x2-6x)=-xe1-x(x2-6x+6),令g'(x)=0,得x=0或x=3±

.g'(x),g(x)隨x的變化情況如表:x(-∞,0)0(0,3-

)3-

(3-

,3+

)3+

(3+

,+∞)g'(x)+0-0+0-g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(3-

,3+

),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3-

)和(3+

,+∞).變式訓練1-1

(關鍵元素變式)(2025屆北京理工大學附屬中學開學考,19)已知函數(shù)f(x)

=(x-1)·ex-x2.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求f(x)的零點個數(shù).解析

(1)由題可得f'(x)=xex-2x=x(ex-2),令f'(x)<0,解得0<x<ln2;令f'(x)>0,解得x<0或x>ln2,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,ln2),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(ln2,+∞).(2)由(1)知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,ln2),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),(ln2,+∞),因為f(0)=-1<0,所以f(x)在(-∞,0)上無零點;因為f(ln2)=2(ln2-1)-(ln2)2<0,所以f(x)在(0,ln2)上無零點;因為f(2)=e2-4>0,所以f(x)在(ln2,2)上存在唯一零點.

綜上,函數(shù)f(x)在R上存在唯一零點.角度2利用導數(shù)求含參函數(shù)單調(diào)性問題含參函數(shù)的單調(diào)性問題主要以兩種形式呈現(xiàn),一是判斷含參函數(shù)的單調(diào)性,二是求

含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.這兩種形式實質(zhì)上是一致的.解決此類問題時,通常歸結為求含參

不等式的解集問題,而對于含有參數(shù)的不等式,要針對具體情況進行分類討論,但始終要

注意定義域及分類討論的標準.典例2已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+

-1(a∈R).當a≤

時,討論f(x)的單調(diào)性.解析

f(x)=lnx-ax+

-1(x>0),則f'(x)=

-a+

=

(x>0),令h(x)=ax2-x+1-a(x>0),當a=0時,h(x)=-x+1(x>0),(先討論二次項系數(shù)為0)當x∈(0,1)時,h(x)>0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x∈(1,+∞)時,h(x)<0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.當a≠0時,由f'(x)=0,即ax2-x+1-a=0,解得x1=1,x2=

-1.當a=

時,x1=x2,h(x)≥0恒成立,此時f'(x)≤0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;(再討論兩根相等)當0<a<

時,

-1>1>0,x∈(0,1)時,h(x)>0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;(最后討論兩根不相等,注意拋物線開口方向)x∈

時,h(x)<0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;x∈

時,h(x)>0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.當a<0時,

-1<0,x∈(0,1)時,h(x)>0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;x∈(1,+∞)時,h(x)<0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.綜上所述:當a≤0時,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增;當a=

時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;當0<a<

時,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減.變式訓練1-2

(情境模型變式)設函數(shù)f(x)=alnx+

,其中a為常數(shù).(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解析

(1)當a=0時,f(x)=

,x∈(0,+∞).則f'(x)=

,則f'(1)=

=

,又f(1)=0,∴切點為(1,0),∴所求切線方程為y=

x-

.(2)函數(shù)的定義域為(0,+∞),f'(x)=

+

=

,當a≥0時,f'(x)>0,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當a<0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),當a=-

時,Δ=0,f'(x)=

≤0,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,當a<-

時,Δ<0,g(x)<0,即f'(x)<0,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,當-

<a<0時,Δ>0,設方程g(x)=0的兩根分別為x1,x2,且x1<x2,則x1=

,x2=

,因為x1=

=

>0,所以x∈(0,x1)時,g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,x∈(x1,x2)時,g(x)>0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,x∈(x2,+∞)時,g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.綜上,當a≥0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當a≤-

時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;當-

<a<0時,f(x)在

,

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增.角度3利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍由函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),可得f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在該區(qū)間恒成立,而

不是f'(x)>0(或f'(x)<0)恒成立,“=”不能少.必要時還需對“=”進行檢驗.典例3

(2023全國乙理,16,5分)設a∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)單調(diào)遞增,則a

的取值范圍是

.解析

由題意得f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即axlna+(1+a)xln(1+a)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,∵a∈(0,1),∴a+1∈(1,2),∴l(xiāng)n(1+a)>0,lna<0,∴y=axlna與y=(1+a)xln(1+a)在(0,+∞)上均為增函數(shù),∴y=f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f'(0)≥0,即lna+ln(a+1)≥0,即ln(a2+a)≥ln1?a2+a≥

1,解得a≤

或a≥

,又a∈(0,1),∴a∈

.變式訓練1-3

(設問條件變式)(2025屆河北唐山二中月考,6)已知函數(shù)f(x)=

mx2+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍為

(

)A.[0,+∞)

B.[1,+∞)

C.[2,+∞)

D.[3,+∞)B解析

因為函數(shù)f(x)=

mx2+lnx-2x在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),所以f'(x)=mx+

-2≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立,所以m≥

-

在(0,+∞)內(nèi)恒成立,只需m≥

即可.因為

-

=-

+1,當

=1,即x=1時,

=1,所以m≥1,即m的取值范圍為[1,+∞).故選B.變式訓練1-4

(關鍵元素變式)(2025屆重慶巴蜀中學月考,7)若函數(shù)f(x)=x3+(k-1)x2+(k+

5)x+2在區(qū)間(0,3)上不單調(diào),則k的取值范圍是

(

)A.(-4,-3)

B.(-5,-2)C.(-5,-3)

D.(-4,-2)B解析

對f(x)求導得f'(x)=3x2+2(k-1)x+k+5,由題意得f'(x)=0在區(qū)間(0,3)上有解,由3x2+2(k-1)x+k

+5=0得k=

=

-

(2x+1)-

=

-

,則k∈(-5,-2).故選B.題型二

利用導數(shù)解決函數(shù)極(最)值問題角度1利用導數(shù)解決函數(shù)極值問題1.解決函數(shù)極值問題的一般思路

2.可導函數(shù)f(x)的極值點存在問題可轉化為導函數(shù)f'(x)的變號零點存在問題.典例4

(2021全國乙理,10,5分)設a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點,則

(

)A.a<b

B.a>b

C.ab<a2

D.ab>a2D解析

解法一:f'(x)=a(x-a)[3x-(a+2b)],令f'(x)=0,得x1=a,x2=

.(i)若a>0,要使函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值,則需f(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減,此時需a<

,得0<a<b,∴a2<ab.(ii)若a<0,要使函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值,則需f(x)在

上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減,此時需滿足a>

,得b<a<0,∴a2<ab.綜上可知,a2<ab,故選D.解法二:f'(x)=a[2(x-a)(x-b)+(x-a)2]=(a-x)[-a(3x-2b-a)],令g(x)=-a(3x-2b-a),因為x<a時,a-x>0,x>a時,a-x<0,又因為x=a時,函數(shù)取得極大值,故只需g(a)>0,即-a(2a-2b)>0,得ab>a2,故選D.變式訓練2-1

(設問條件變式)(2025屆廣東三校聯(lián)考,8)已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+lnx有兩

個不同的極值點x1,x2,則f(x1)+f(x2)的取值范圍為(

)A.(-∞,-

)

B.(-∞,-

]C.(-∞,-3)

D.(-∞,-3]C解析

由f(x)=ax2-2x+lnx(x>0)得f'(x)=2ax-2+

=

(x>0),若函數(shù)f(x)=ax2-2x+lnx有兩個不同的極值點x1,x2,則方程2ax2-2x+1=0有兩個不相等的正

實根,即

解得0<a<

.f(x1)+f(x2)=a

-2x1+lnx1+a

-2x2+lnx2=a[(x1+x2)2-2x1x2]-2(x1+x2)+ln(x1x2)=-

-1-ln(2a)

.令h(a)=-

-1-ln(2a),0<a<

,則h'(a)=

-

=

>0,所以h(a)在

上單調(diào)遞增,所以h(a)<h

=-3,所以f(x1)+f(x2)<-3.故選C.角度2利用導數(shù)解決函數(shù)最值問題求函數(shù)