2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章立體幾何第37講空間幾何體的三視圖直觀圖表面積和體積課時達(dá)標(biāo)文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第37講空間幾何體的三視圖、直觀圖、表面積和體積課時達(dá)標(biāo)一、選擇題1．下列說法正確的是()A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D．棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點D解析由棱柱和棱錐的概念可知A，B，C項均錯誤．由于棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的截面與底面之間的部分，故棱臺各側(cè)棱的延長線交于一點．2．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不行能是()D解析由幾何體的正視圖和側(cè)視圖，結(jié)合四個選項中的俯視圖知，若為D項，則正視圖應(yīng)為，故D項不行能．故選D.3．(2024·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4C解析由三視圖可知該幾何體底面為一個直角梯形，且有一棱與底面垂直，因此在四個側(cè)面中有3個直角三角形．故選C.4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()A．2＋eq\r(5) B．2＋2eq\r(5)C.eq\f(4,3) D.eq\f(2,3)B解析三棱錐的高為1，底面為等腰三角形，如圖，因此表面積是eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×2＝2＋2eq\r(5).故選B.5．已知某個幾何體的三視圖如圖所示，依據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得出這個幾何體的內(nèi)切球半徑是()A.eq\f(4,3) B.eq\f(4,9)C.eq\r(6)－2 D．3eq\r(6)－6C解析由三視圖可知該幾何體為三棱錐，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則由棱錐的體積公式有eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，其中S＝eq\f(1,2)×2×2＝2，h＝2，S1，S2，S3，S4分別是三棱錐四個面的面積，S1＝S2＝S＝2，S3＝S4＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)，所以4＝(4＋2eq\r(6))r，解得r＝eq\r(6)－2.6．(2024·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A．90π B．63πC．42π D．36πB解析依題意，題中的幾何體是用一個平面將一個底面半徑為3，高為10的圓柱截去一部分后所剩余的部分，可在該幾何體的上方拼接一個與之完全相同的幾何體，從而形成一個底面半徑為3，高為10＋4＝14的圓柱，因此該幾何體的體積等于eq\f(1,2)×π×32×14＝63π.故選B.二、填空題7．(2024·江蘇卷)如圖所示，正方體的棱長為2，以其全部面的中心為頂點的多面體的體積為________．解析由題意知所給的幾何體是棱長均為eq\r(2)的八面體，它是由兩個有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個八面體的體積為2V正四棱錐＝2×eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(4,3).答案eq\f(4,3)8．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________．解析如圖所示：因為OE＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F＝eq\f(\r(2),4)，則直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)9．某四棱錐的三視圖如圖所示，則最長的一條側(cè)棱的長度是________．解析依據(jù)三視圖可知原幾何體如圖所示，最長棱為AC，所以AE＝2，EB＝2，ED＝3，DC＝4，所以EC＝5，所以AC＝eq\r(29).答案eq\r(29)三、解答題10．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰直角三角形．(1)依據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA的長．解析(1)該四棱錐的俯視圖是邊長為6cm的正方形(內(nèi)含對角線)，如圖，其面積為36cm2.(2)由側(cè)視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正視圖可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．11．現(xiàn)須要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形態(tài)是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形態(tài)是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．AB＝6m，PO1＝解析由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因為A1B1＝AB＝6，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．12．已知矩形ABEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面相互垂直，AD＝2，AB＝3，AF＝eq\f(3\r(3),2)，M為EF的中點，求多面體M－ABCD的外接球的表面積和體積．解析記多面體M－ABCD的外接球的球心為O，如圖，過點O分別作平面ABCD和平面ABEF的垂線，垂足分別為Q，H，則Q，H分別為矩形ABCD和△ABM外接圓的圓心．連接MH并延長，交AB于點N，連接OM，NQ，AQ.設(shè)球O的半徑為R，球心到平面ABCD的距離為d，即OQ＝d，因為矩形ABEF所在的平面與矩形ABCD所在的平面相互垂直，AF＝eq\f(3\r(3),2)，M為EF的中點，所以MN＝eq\f(3\r(3),2)，又AB＝3，AD＝2，所以AN＝NB＝eq\f(3,2)，NQ＝1，所以R2＝AN2＋NQ2＋OQ2＝MH2＋OH2，即eq\f(9,4)＋1＋d2＝12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)－d))2，所以d＝eq\f(\r(3),2)，R＝2，所以多面體M－ABCD的外接球的表面積為4πR2＝16π，體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).13．[選做題](2024·陜西西工大附中訓(xùn)練)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝eq\r(2)m，若在這個四棱錐內(nèi)放一個球，則此球的最大半徑是________．解析由PD⊥底面ABCD得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝eq\r(2)m，則AD＝m.設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，OD，OP(圖略)，易知VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，即eq\f(1,3)·m2·m＝eq\f(1,3)·m2·R＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·m2·R＋eq\f(1,3)×eq\f(