專題04平行線中的拐點(diǎn)模型之羊角模型（原卷版）

專題04平行線中的拐點(diǎn)模型之羊角模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（羊角模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：羊角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB圖1圖2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD∠FCB，∴∠=∠∠.在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠∠=180°.例1．（2023·江蘇七年級期中）如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．則∠C等于（

）A．20° B．25° C．30° D．40°例2．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，證明：．

例3．（2023上·廣東韶關(guān)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，如果，求的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例4．（2023下·重慶沙坪壩·七年級校考期中）如圖，已知，，的延長線交的角平分線于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例5．（2023下·福建寧德·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，先畫了兩條平行線、，然后在平行線間畫了一點(diǎn)E，連接，后（如圖①），再拖動點(diǎn)E，分別得到如圖②、③、④等圖形．

(1)請你分別寫出圖①至圖④各圖中的、與之間關(guān)系；①______，②______，③______，④______．(2)請寫出圖③證明過程．例6．（2023下·黑龍江雙鴨山·七年級統(tǒng)考期末）已知，為直線，所確定的平面內(nèi)一點(diǎn)．

(1)如圖①，，，之間的數(shù)量關(guān)系為______；(2)如圖②，求證：；(3)如圖③，點(diǎn)在直線上，若，，過點(diǎn)作，作，的平分線交于點(diǎn)，直接寫出的度數(shù)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023上·廣東江門·八年級校考期中）如圖，，于，與交于點(diǎn)，若，則等于（）

A． B． C． D．2．（2023下·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，在中，，，．若平分，則（

）

A． B． C． D．3．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，已知，若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，頂點(diǎn)，分別在直線，上．若，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，．若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．6．（2023下·廣東潮州·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，，延長至點(diǎn)E，延長至點(diǎn)F，連接，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．7．（2023下·甘肅白銀·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，的頂點(diǎn)B，C分別在上，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．8．（2023下·四川瀘州·七年級?？计谀┤鐖D，在線段的延長線上，，，，連交于，的余角比大，為線段上一點(diǎn)，連，使，在內(nèi)部有射線，平分．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2023下·遼寧錦州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，且，，則．

10．（2023下·江蘇宿遷·七年級校考期中）如圖，直線，，，則的度數(shù)是．

11．（2023下·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）如圖，直線，，，那么的度數(shù)是．

12．（2023·廣東汕頭·校聯(lián)考三模）如圖，，，，則的度數(shù)是．

13．（2023下·浙江杭州·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，平分，（1）若，，則；（2）與之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．

13．（2023上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，E是、外一點(diǎn)，，，，求的度數(shù)．

14．（2023下·四川德陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，射線交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)D，從點(diǎn)D引一條射線，若，，求的度數(shù)．

15．（2023下·山東濟(jì)南·六年級統(tǒng)考期末）已知，點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn)，，垂足為．(1)問題呈現(xiàn)：如圖1，，則；(2)問題遷移：如圖2，點(diǎn)在的上方，請?zhí)骄浚g的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)聯(lián)想拓展：如圖3，在（2）的條件下，已知，，請求出的度數(shù)．

16．（2023下·四川涼山·七年級統(tǒng)考期末）直線交于M、N，P點(diǎn)是直線上一個(gè)動點(diǎn)(1)如圖a，P點(diǎn)在線段上時(shí)，若，試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖b，P點(diǎn)在射線上時(shí)，若時(shí)，證明、與的關(guān)系．

17．（2023上·黑龍江大慶·七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知，分別寫出下面的四個(gè)圖形中與，的關(guān)系，請你從所得關(guān)系中任意選取一個(gè)加以證明

18．（2023上·黑龍江綏化·七年級期末）已知直線，和，分別交于，點(diǎn)，分別在直線，上，且位于的左側(cè)，點(diǎn)在直線上，且不和點(diǎn)，重合．(1)如圖1，有一動點(diǎn)在線段間運(yùn)動時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)動點(diǎn)在點(diǎn)之上運(yùn)動時(shí)，猜想、、有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

19．（2023下·遼寧營口·七年級校聯(lián)考期中）已知，點(diǎn)、分別是、上兩點(diǎn)，點(diǎn)在、之間，連接、．(1)如圖1，已知，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)是上方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)；(3)如圖3，若點(diǎn)是下方一點(diǎn)，連接、，且的延長線平分，平分，，求的度數(shù)．

20．（2023下·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)D是的邊AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線，是的平分線，以點(diǎn)D為端點(diǎn)作線段，連接．

(1)在圖1中，若是的平分線，試探究：與的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，若是的平分線，則與又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請做出判斷，并說明理由；(3)如圖3，若是的平分線，，請求出的度數(shù)．21．（2023下·廣西河池·七年級?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，已知，點(diǎn)E在兩平行線的內(nèi)側(cè)，連接，．若，，求的度數(shù)；（2）如圖2，已知，點(diǎn)E在兩平行線的外側(cè)，連接，，若，．①求的大?。ㄓ煤粒碌拇鷶?shù)式表示）；②作的平分線交于點(diǎn)G，連接，平分（如圖3）．若，，分別求出α，β的度數(shù)．

22．（2023下·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）【問題情境】如圖1，，直線交于點(diǎn)H，交于