專題04 公因數(shù)與公倍數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用（學(xué)生版）

2023-2024學(xué)年蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)真題匯編講義（期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)）專題04公因數(shù)與公倍數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用（知識(shí)梳理+易錯(cuò)分析+真題匯編培優(yōu)卷）同學(xué)你好，該套講義結(jié)合蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)同步內(nèi)容進(jìn)行匯編整理，結(jié)合數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何，統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容進(jìn)行專項(xiàng)劃分。本套講義根據(jù)考察方向與重難點(diǎn)內(nèi)容將全冊(cè)內(nèi)容細(xì)致劃分劃分為：列方程解應(yīng)用題；2,5,3的倍數(shù)特征；合數(shù)與質(zhì)數(shù)；公因數(shù)與公倍數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用；分?jǐn)?shù)的性質(zhì)與加減運(yùn)算；圓、圓環(huán)的周長(zhǎng)與面積；與圓有關(guān)的組合圖形的面積計(jì)算；“式”的規(guī)律等八個(gè)專題。對(duì)相關(guān)專題進(jìn)行知識(shí)梳理，主要精選江蘇省13市歷年期中期末培優(yōu)真題。百分制匯編卷！本套講義幫助同學(xué)梳理考察點(diǎn)，明確本學(xué)期學(xué)習(xí)重難點(diǎn)，熟悉考題類型，查漏補(bǔ)缺，提高解題能力，掌握做題技巧，解題思路清晰完整，有助于規(guī)范答題步驟！相信你在期末考試中考出理想成績(jī)！知識(shí)點(diǎn)01：公因數(shù)（又稱公約數(shù)）定義：公因數(shù)是兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有的因數(shù)。一個(gè)整數(shù)同時(shí)是另幾個(gè)整數(shù)的因數(shù)，稱這個(gè)整數(shù)為它們的“公因數(shù)”；公因數(shù)中最大的一個(gè)稱為最大公因數(shù)，又稱作最大公約數(shù)。計(jì)算方法：列舉法：將兩個(gè)數(shù)的所有因數(shù)分別列出來，然后找出它們的公共因數(shù)。歐幾里得算法（輾轉(zhuǎn)相除法）：用于計(jì)算兩個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)。具體步驟是：用較大的數(shù)除以較小的數(shù)，再用除數(shù)（第一余數(shù)）和商來除，如此反復(fù)，直到余數(shù)為0為止，最后一次的除數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。性質(zhì)：如果d是a和b的公因數(shù)，那么d的倍數(shù)也是a和b的公因數(shù)。任意兩個(gè)正整數(shù)的最大公因數(shù)一定存在。如果a和b都是c的倍數(shù)，那么a和b的公因數(shù)也一定是c的因數(shù)。知識(shí)點(diǎn)02：公倍數(shù)定義：公倍數(shù)是兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有的倍數(shù)。兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)，其中除0以外最小的一個(gè)公倍數(shù)就叫做這幾個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)。計(jì)算方法：列舉法：將兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)分別列出來，然后找出它們的最小公倍數(shù)。公式法：兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。性質(zhì)：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。如果d是a和b的公倍數(shù)，那么d的因數(shù)也是a和b的公倍數(shù)。任意兩個(gè)正整數(shù)的最小公倍數(shù)一定存在。知識(shí)點(diǎn)03：公因數(shù)與公倍數(shù)的應(yīng)用1、最大公因數(shù)應(yīng)用題物品分配問題：比如有一些糖果，分給8個(gè)人或分給10個(gè)人都能正好分完，這些糖果最少有多少粒？這種問題實(shí)際上是求8和10的最小公倍數(shù)。余數(shù)問題：一個(gè)數(shù)被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，求這個(gè)數(shù)最小是幾？這種問題通常需要通過找到滿足所有條件的數(shù)來求解，這實(shí)際上是在找這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)加或減某個(gè)數(shù)，以滿足所有條件。班級(jí)分組問題：如五年級(jí)學(xué)生參加植樹活動(dòng)，人數(shù)在30~50之間。如果分成3人一組、4人一組、6人一組或8人一組，都恰好分完。求五年級(jí)參加植樹活動(dòng)的學(xué)生有多少人？這種問題實(shí)際上是求滿足所有分組條件的最小公倍數(shù)，且這個(gè)數(shù)在指定范圍內(nèi)。2、最小公倍數(shù)應(yīng)用題瓷磚拼接問題：如利用每小塊長(zhǎng)6公分、寬4公分的長(zhǎng)方形彩色瓷磚在墻壁上貼成正方形的圖案。問拼成的正方形的面積最小是多少？這個(gè)問題實(shí)際上是求6和4的最小公倍數(shù)，然后將這個(gè)最小公倍數(shù)作為正方形的邊長(zhǎng)，計(jì)算面積。物品切割問題：如有一根繩子，長(zhǎng)度為18米、24米和30米的小段可以截取。要截成盡可能長(zhǎng)的小段，并且沒有剩余。問每段最長(zhǎng)可以有幾米？一共可以截成多少段？這個(gè)問題實(shí)際上是求18、24和30的最大公因數(shù)，然后將這個(gè)最大公因數(shù)作為每段繩子的長(zhǎng)度，然后計(jì)算可以截取的段數(shù)。3、最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的綜合應(yīng)用這類問題通常會(huì)結(jié)合最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察。例如，給定兩個(gè)數(shù)，求它們的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，然后根據(jù)這兩個(gè)數(shù)以及它們的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)進(jìn)行一些計(jì)算或判斷。知識(shí)點(diǎn)01：公因數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)概念混淆：學(xué)生可能會(huì)將公因數(shù)和最大公因數(shù)混淆。公因數(shù)是指兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有的因數(shù)，而最大公因數(shù)則是這些公因數(shù)中最大的一個(gè)。學(xué)生需要明確這兩個(gè)概念的區(qū)別，并知道在題目中具體是求公因數(shù)還是最大公因數(shù)。計(jì)算方法錯(cuò)誤：在求最大公因數(shù)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)使用錯(cuò)誤的計(jì)算方法。例如，有些學(xué)生會(huì)直接相減或者相加來求最大公因數(shù)，這是不正確的。正確的方法包括列舉法、歐幾里得算法（輾轉(zhuǎn)相除法）等。學(xué)生需要掌握并熟練運(yùn)用這些正確的計(jì)算方法。忽視特殊情況：在求最大公因數(shù)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忽視一些特殊情況。例如，當(dāng)兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)時(shí)，它們的最大公因數(shù)就是較小的那個(gè)數(shù)。當(dāng)兩個(gè)數(shù)互質(zhì)（即它們的最大公因數(shù)為1）時(shí)，學(xué)生可能會(huì)誤判為它們沒有公因數(shù)。學(xué)生需要特別注意這些特殊情況，并正確處理。知識(shí)點(diǎn)02：公倍數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)概念混淆：學(xué)生可能會(huì)將公倍數(shù)和最小公倍數(shù)混淆。公倍數(shù)是兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)共有的倍數(shù)，而最小公倍數(shù)則是這些公倍數(shù)中最小的一個(gè)。學(xué)生需要明確這兩個(gè)概念的區(qū)別，并知道在題目中具體是求公倍數(shù)還是最小公倍數(shù)。計(jì)算方法錯(cuò)誤：在求最小公倍數(shù)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)使用錯(cuò)誤的計(jì)算方法。例如，有些學(xué)生會(huì)直接將兩個(gè)數(shù)相乘來求最小公倍數(shù)，這是不正確的。正確的方法包括列舉法、公式法（兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積）等。學(xué)生需要掌握并熟練運(yùn)用這些正確的計(jì)算方法。忽視題目要求：在求解公倍數(shù)或最小公倍數(shù)的題目中，學(xué)生可能會(huì)忽視題目的具體要求。例如，題目可能會(huì)要求求出滿足某種條件（如能被某個(gè)數(shù)整除）的最小公倍數(shù)或公倍數(shù)。學(xué)生需要仔細(xì)閱讀題目要求，并根據(jù)要求來求解。單位換算錯(cuò)誤：在涉及長(zhǎng)度、面積等單位的題目中，學(xué)生可能會(huì)因?yàn)閱挝粨Q算錯(cuò)誤而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。例如，題目中給出的長(zhǎng)度單位可能是厘米和米，學(xué)生需要進(jìn)行單位換算后才能進(jìn)行計(jì)算。學(xué)生需要熟練掌握常見的單位換算關(guān)系，并在計(jì)算過程中注意單位的統(tǒng)一。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.51（較難）一、精挑細(xì)選(共5題；每題2分，共10分)1．（2分）（2024五下·徐州鼓樓期中）李菲家客廳長(zhǎng)4.8米，寬4.2米，選邊長(zhǎng)()分米的方磚鋪地不需要切割。A．4 B．6 C．82．（2分）（2023五下·淮安期中）甲、乙兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是10，最小公倍數(shù)是60，如果乙數(shù)是20，那么甲數(shù)是（）。A．60 B．30 C．6 D．1203．（2分）（2023五下·太倉期中）下面說法正確的有（）個(gè)。①5和7沒有公因數(shù)，但5和7有公倍數(shù)。②一個(gè)兩位數(shù)，十位上是8，個(gè)位上是b，這個(gè)數(shù)可表示為8b。③連續(xù)的四個(gè)非0自然數(shù)中，一定有一個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)。④3的倍數(shù)一定是9的倍數(shù)，9的倍數(shù)一定是3的倍數(shù)。A．1 B．2 C．3 D．44．（2分）（2023五下·惠山期中）學(xué)校圖書室新買了一些圖書，如果每12本一包，能夠正好包完；如果每10本一包也能正好包完。圖書室至少買了（）本圖書。A．24 B．60 C．1205．（2分）（2023五下·如皋期中）下列說法正確的有（）個(gè)。①真分?jǐn)?shù)都比1小，假分?jǐn)?shù)都比1大。②一個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)都是它本身。③分子、分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)一定相等。④把一根繩子剪成4份，每份是全長(zhǎng)的。A．1 B．2 C．3 D．4二、判斷正誤(共5題；每題2分，共10分)6．（2分）（2023五下·邢臺(tái)月考）兩個(gè)自然數(shù)（0除外）的積一定是這兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。7．（2分）兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)一定是這兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)的倍數(shù)。8．（2分）（2020五下·高港期末）13和17沒有公因數(shù)，只有公倍數(shù)。（）9．（2分）（2020五下·漣水月考）兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)它們的最大公因數(shù)是1。（）10．（2分）（2023五下·秦淮期末）兩個(gè)素?cái)?shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積。（）三、仔細(xì)想，認(rèn)真填(共9題；共20分)11．（2分）（2024五下·徐州鼓樓期中）如果A、B是不為0的自然數(shù)，且A÷B=5，那么A和B的最大公因數(shù)是，最小公倍數(shù)是。12．（2分）（2024五下·期中）若A=3×2×5，B=2×5×7，則A和B的最大公因數(shù)是，最小公倍數(shù)是。13．（2分）（2023五下·海門期末）有三根鋼絲，長(zhǎng)度分別是12米、18米和30米，現(xiàn)在要把他們截成長(zhǎng)度相等的小段，但每一根都不許剩余，每小段最長(zhǎng)是米。14．（3分）（2023五下·江寧期末）如圖，要鋪滿長(zhǎng)12分米、寬8分米的長(zhǎng)方形且不需要切割，可以用邊長(zhǎng)為分米、分米或分米的正方形。（填整數(shù)）15．（2分）（2023五下·江寧期末）張紅和李梅是好朋友，都在南京市中醫(yī)院上班。張紅每4天值一次夜班，李梅每5天值一次夜班。6月2日她們同時(shí)值夜班，下一次她們同時(shí)值夜班是月日。16．（2分）（2023五下·丹徒期中）有兩根彩帶，一根長(zhǎng)42厘米，另一根長(zhǎng)30厘米?，F(xiàn)在要把它們剪成長(zhǎng)度一樣的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長(zhǎng)是厘米，一共可以剪成段。17．（2分）（2024五下·期中）學(xué)校將一些鋼筆作為獎(jiǎng)品分到相關(guān)班級(jí)，如果每班分得8枝鋼筆，就會(huì)多6枝鋼筆；如果每班分得9枝鋼筆，就會(huì)缺2枝鋼筆。學(xué)校最少要準(zhǔn)備枝鋼筆作為獎(jiǎng)品。18．（3分）（2023五下·宿城期中）暑假期間，王老師每6天返校一次，劉老師每4天返校一次。7月25日兩人在學(xué)校相遇，至少再過天兩人相遇，再次相遇時(shí)是月日。19．（2分）（2021五下·建鄴期末）一根木棍長(zhǎng)30厘米，另一根木棍長(zhǎng)45厘米，要把它們截成同樣長(zhǎng)的小段而且沒有剩余，每段最長(zhǎng)是厘米，一共可以剪成段。四、計(jì)算能手(共1題；共9分)20．（9分）（2024五下·徐州鼓樓期中）寫出每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。19和577和1236和24五、解決問題(共10題；共51分)21．（4分）（2024五下·海門月考）把兩根長(zhǎng)度分別是45厘米和60厘米的鐵絲截成長(zhǎng)度相等的小段，每根都不能有剩余。每段最長(zhǎng)是多少厘米？可以截成多少段？22．（4分）（2024五下·徐州鼓樓期中）有兩根鋼絲，長(zhǎng)度分別是16米和20米，現(xiàn)在要把它們截成長(zhǎng)度相同的小段，但每一根都不許剩余，每小段最長(zhǎng)是多少米？一共可以截成多少段？23．（8分）（2024五下·徐州鼓樓期中）為了展示少先隊(duì)員的風(fēng)采，我校舉行了“淳美小歌手”才藝大賽，五年級(jí)參賽選手在20～30人之間，正好是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)。擔(dān)任評(píng)委的有學(xué)生代表、家長(zhǎng)代表和教師代表，學(xué)生代表人數(shù)是最小的質(zhì)數(shù)，家長(zhǎng)代表人數(shù)是3的最大因數(shù)，教師代表人數(shù)是最小的合數(shù)。（1）（2分）五年級(jí)參賽選手有人；擔(dān)任評(píng)委的有人。（2）（2分）五年級(jí)參賽選手中女生人數(shù)是男生人數(shù)的1.4倍，參加比賽的男、女生各有多少人？（列方程解答）（3）（2分）在這次比賽中，女選手平均得分9.6分，女選手總得分比男選手高40.4分，男選手平均得分是多少分？（列方程解答）（4）（2分）比賽時(shí)，每位選手平均用時(shí)3.2分鐘，每?jī)晌贿x手上、下場(chǎng)平均耗時(shí)0.8分鐘。這次比賽從第一位選手表演開始，到最后一位選手表演結(jié)束為止。一共用時(shí)多少分鐘？24．（5分）（2023五下·崇明期末）學(xué)校教學(xué)樓門廳有一個(gè)長(zhǎng)方形的宣傳欄，長(zhǎng)20分米，寬12分米?，F(xiàn)決定展示學(xué)生的繪畫作品。這些作品是大小相同、邊長(zhǎng)為整分米的正方形，而且作品正好貼滿宣傳欄，不能有空隙和剩余部分。宣傳欄里最少能展示多少幅繪畫作品？25．（5分）（2023五下·淮安期中）同學(xué)們做了24朵紅花和56朵黃花，把這些花分成相同的若干束，最多可以分成幾束？每束里紅花和黃花各有幾朵？26．（5分）（2023五下·銅山期中）每年一度的徐州馬拉松賽備受人們的關(guān)注，下面表示賽道的一部分，賽道在B處拐彎。根據(jù)賽會(huì)要求，需要在賽道的一側(cè)擺放警示樁，相鄰兩個(gè)警示樁之間的距離必須相等，而且A、BC處必須擺放一個(gè)，那么這段賽道最少要擺放多少個(gè)警示樁？27．（5分）（2024五下·海門月考）用長(zhǎng)8厘米，寬6厘米的長(zhǎng)方形，照下圖的樣子拼一個(gè)正方形。拼成的正方形邊長(zhǎng)最小是多少厘米？需要多少個(gè)長(zhǎng)方形？28．（5分）（2024五下