專題01 角平分線的五種題型（原卷版）

專題01角平分線的五種壓軸題型全攻略【知識(shí)點(diǎn)梳理】1. 過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段：2. 在角的兩邊上截取相等的線段，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形：3. 構(gòu)造等腰三角形：類型一、作垂線分兩邊例1．（2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平分，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的長的最小值為．

例2．（2022上·四川成都·八年級(jí)成都七中?？计谥校┤鐖D，在中，，，邊AB的中垂線與的外角的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，，則【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，是的平分線，分別為上的點(diǎn)，且，求證：．【變式訓(xùn)練2】．（2023下·四川成都·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，平分，交于D，點(diǎn)E、G分別在邊、上，連接，．過D作于F．已知，，，則的面積為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練3】．（2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，，為的角平分線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，則的長為．

類型二、截線段，構(gòu)全等例．（1）【感悟】如圖1，是的高線，，若，，求的長．小明同學(xué)的解法是：將沿折疊，則點(diǎn)C剛好落在邊上的點(diǎn)E處．請(qǐng)你畫出圖形并寫出完整的解題過程；（2）【探究】如圖2，，為的外角的平分線，交的延長線于點(diǎn)D，則線段、、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想并證明；（3）【拓展】如圖3，在四邊形中，平分，，，，則的長為__________．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在四邊形中，與交于點(diǎn)，平分，平分，．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)O，求證：．

【變式訓(xùn)練3】．（1）如圖1，射線OP平分∠MON，在射線OM，ON上分別截取線段OA，OB，使OA＝OB，在射線OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD．求證：AD＝BD．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求證：BC＝AC+AD．（3）如圖3，在四邊形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C為BD邊中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值．類型三、構(gòu)造等腰三角形例．（2022下·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，的角平分線和邊的中垂線交于點(diǎn)D，的延長線于點(diǎn)M，于點(diǎn)N．若，則的長為．【變式訓(xùn)練1】．已知：中，為的中點(diǎn)，平分于，連結(jié)，若，求的長．【變式訓(xùn)練2】．已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．求證：BE=AD．類型四、作平行構(gòu)造等腰例.如圖，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分線分別交ED于點(diǎn)G、F，若FG=4，ED=8，求EB+DC=_________．【變式訓(xùn)練1】如圖，已知△ABC的兩邊AB=5，AC=8，BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點(diǎn)O作DE∥BC，則△ADE的周長等于________________．【變式訓(xùn)練2】如圖①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)圖①中有幾個(gè)等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系.(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎?(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關(guān)系又如何?說明你的理由.類型五、與一次函數(shù)綜合例．（2022上·四川成都·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面有角坐標(biāo)系中，已知、分別在坐標(biāo)軸的正半軸上．(1)如圖1．若a、b滿足，以B為直角頂點(diǎn)，AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是；(2)如圖2，若，點(diǎn)D是的延長線上一點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰直角，連接，求證：；(3)如圖3，設(shè)的平分線過點(diǎn)，請(qǐng)問的值是否為定值，請(qǐng)說明理由．【變式訓(xùn)練1】．（2022下·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A是射線OE：y＝x（x≥0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，過點(diǎn)B作OA的平行線交∠AOB的平分線于點(diǎn)C(1)若A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），求BC的長度；(2)如圖2，過點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥OE于點(diǎn)H，求證：AC平分∠BAE．【變式訓(xùn)練2】．（2022下·四川成都·八年級(jí)成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）直線AB與x軸交于A（m，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，n），且m，n滿足．(1)m=，S△ABO=；(2)如圖1，D為OA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直角邊作等腰直角△BDE，連接EA，求直線EA與y軸交點(diǎn)F的坐標(biāo)．(3)如圖2，P為y軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射線AF上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，求OM+MN的最小值．（圖1與圖2中點(diǎn)A的坐標(biāo)相同）【課后訓(xùn)練】1．（2023下·四川成都·八年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┤鐖D，已知、、、是平面坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，且，設(shè)直線、直線交于點(diǎn)，兩條直線表達(dá)式分別為，，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（）

①；②平分；③．A． B． C． D．2．（2022下·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┲苯侨切沃?，，兩條角平分線與交于點(diǎn)O，若，則的度數(shù)是．

3．如圖，在中，、的角平分線相交于點(diǎn)，①若，則，②若，，則.4．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．5．已知：如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求證：點(diǎn)D在線段AC的垂直平分線上．6．在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時(shí)，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請(qǐng)求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．7．已知點(diǎn)C是∠MAN平分線上一點(diǎn)，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點(diǎn)，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB的延長線上時(shí)，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，連接DO并延長交AB于點(diǎn)G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．

8．（2022下·四川成都·七年級(jí)四川省成都市鹽道街中學(xué)?？计谀┤鐖D，和都是等邊三角形，連接，，與交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的大?。?3)若，，求的長度．9．（2023下·四川成都·八年級(jí)校聯(lián)考期中）角平分線性質(zhì)定理描述了角平分線上的點(diǎn)到角兩邊